Sida 1 av 3
INLÄMNINGSUPPGIFT 2
MATEMATISK STATISTIK, HF1012
Lärare: Armin Halilovic armin@kth.se
www.sth.kth.se/armin
I nedanstående uppgifter betecknar p och q de två sista siffrorna i ditt personnummer.
Har du, till exempel, pn. 751546 2348 så är p =4 och q=8.
Du substituerar p och q i dina uppgifter och därefter löser dem.
Individuellt arbete.
Uppgift 1. Excel.
Vi simulerar resultat för en klass med 53+p+q studenter i en tentamen i Matematisk statistik.
Poängfördelning och betygsgränser: Tentamen ger maximalt 32 poäng.
Betygsgränser: För betyg A, B, C, D, E krävs 30, 24, 20, 16 respektive 12 poäng.
Komplettering: 11 poäng på tentamen ger rätt till komplettering (betyg Fx) . a) Tentamen består av 8 uppgifter. Varje uppgift ger max 4 poäng.
Simulera klassens resultat på tentamen genom att välja 8 kolonner med 53+p+q slumptal mellan 0 och 4. Kopiera tabellen med slumptal och klistra endast värden i en ny tabell (annars ändras slumptal varje gång du exekverar något i Excel).
Tips för a-delen: Använd kommandot SLUMP.MELLAN (eng, version RANDBETWEEN)
b) Beräkna poängsumman för varje student. Beräkna därefter medelvärdet och
standardavvikelsen för poängsumma i klassen. Bestäm själv vilken formel passar bäst:
stickprovets standardavvikelse eller standardavvikelse för hela populationen.
c) Använd Excel-kommandon för att bestämma betyg enligt ovanstående regler.
Tips. använd OM (eng. version IF) i flera nivåer.
Uppgift 2. (Matlab) Oberoende stokastiska variabler ξ och η har täthetsfunktioner (p, q är de två sista siffrorna i ditt personnummer ) :
1( 2 2) ,2 0 3
( ) 0
k p q x för x
f xξ för övrigt
+ + < <
=
2 2
(3 3) , 0 1
( ) (3 3)(2 ) 1 2
0
k q x för x
f x k q x för x
för övrigt
η
+ < <
= + − ≤ <
i) Bestäm värdet på k1 ii) Bestäm väntevärdet E(ξ)
Sida 2 av 3
iii) Bestäm variansen V(ξ) iv) Bestäm värdet på k2 v) Bestäm väntevärdet E(η ) vi) Bestäm variansen V(η ) vii) Bestäm väntevärdet och variansen för 4ξ+6η .
Uppgift 3) ( Excel)
En elektronisk komponent har en livslängd ξ som är exponentialfördelad dvs
P(ξ≤ )=x 1−e−λx för x ≥0, x är antal driftstimmar. Sedan man testat 50+q komponenter fick man resultat (komponenternas livslängder i timmar) som vi simulerar i Excel med en lista L som innehåller 50+q tal slumpvis valda med Excel-funktionen
=SLUMP.MELLAN(1200;1250) { =RANDBETWEEN(1200;1250) }
(Alternativ : Man kan skapa en lista med kommandot = –1225*LN(SLUMP()) som simulerar en exponentialfördelning. Du väljer själv.)
a) Bestäm m=medelvärdet av alla tal i listan L och därefter bestäm parameter m
≈ 1
λ .
b) Beräkna sannolikheten att en komponent fungerar i mer än 1220 timmar.
c) Bestäm sannolikheten att nedanstående system, som består av 9 sådana komponenter, fungerar i mer än 1220 timmar. ( Vi menar att systemet fungerar om det finns minst en fungerande väg mellan A och B. Vi antar att de 9 komponenter fungerar oberoende av varandra.)
1 2 3
4 5
6
7 8
9
A B
Uppgift 4. ( Excel)
A) Den stokastiska variabeln X är N(63,10). Bestäm
i) P(X ≤ 68) ii) P(X > 72) iii) P(48 < X ≤ 65)
iv) talet c så att P(X ≤ c) =0.95, v) talet c så att P(X ≤ c) =0.9 B) Den stokastiska variabeln Y är t-fördelad med 10 frihetsgrader.
Bestäm talet c så att P(Y≤ c) =0.92, Tips:
1. Lämpliga Excel funktioner för normalfördelade s.v. X∈ N(m,σ):
Fördelningsfunktionen F(x) = P(X ≤ x) beräknas i Excel (2010 sv version) med =NORM.FÖRD(x,m;σ;SANT)
( Anm: SANT refererar till fördelningsfunktion, FALSK till täthetsfunktion) Exempel: =NORM.FÖRD(2,2;2;0,1;SANT)
2. Inversen till fördelningsfunktionen för en norm fördelad s.v. beräknas med NORM.INV(sannolikhet; medelvärde; standardavvikelse)
Exempel =NORM.INV(0,6; 23; 2)
Sida 3 av 3
3. Inversen till fördelningsfunktionen för en t-fördelad s.v. beräknas med r frihetsgrader beräknas med
=T.INV (sannolikhet; frihetsgrader ) Exempel =T.INV(0,95;5)
Lycka till!
