Substituera först dina parametrar p,q i nedanstående uppgifter och därefter lös uppgifterna. DEL 1 Tentamen i Matematisk analys, HF1905

(1)

Sida 1 av 7 Tentamen i Matematisk analys, HF1905

DEL 1

Lärare: Jonas Stenholm, Joakim Dahlfors, Armin Halilovic Examinator: Armin Halilovic

Jourhavande lärare: Armin Halilovic Datum: 4 juni 2020

Skrivtid: 8:00-10:00 (+ 15 min för uppladdning av lösningar +15 min rast innan Del 2) (Del 2: 10:30- 12:30 + 15 min för uppladdning av lösningar )

För de som har rätt till extra tid, enligt LADOK:

Extra skrivtid 8:00-11: 00 (+ 15 min för uppladdning av lösningar +15 min rast innan Del 2) (Del 2 extratid: 11:30-14:30 + 15 min för uppladdning av lösningar)

Endast de som är synliga i Zoom under hela tentamen har rätt att lämna in lösningar.

Du använder papper och penna för att lösa uppgifterna. Du skannar eller tar bilder av dina lösningar (jpg, jpeg, png, pdf, heic, format är OK). Dina lösningar samlade i en mapp och komprimerade (som en zip eller rar fil) laddar du upp på Canvas:

https://kth.instructure.com/courses/23640

Viktigt: Mappens namn ska innehålla ditt efternamn och namn, med andra ord använd EFTERNAMN_NAMN för mappens namn.

---

För godkänt betyg krävs 10 poäng (totalt i båda delar) av max 24 poäng .

Betygsgränser: För betyg A, B, C, D, E krävs 22, 19, 16, 13 respektive 10 poäng.

Komplettering: 9 poäng på tentamen ger rätt till komplettering (betyg Fx) . Hjälpmedel: Endast bifogat formelblad (miniräknare är inte tillåten).

• Till samtliga uppgifter krävs fullständiga lösningar. ( Endast svar utan tillhörande lösning ger 0 poäng.)

• Skriv TYDLIGT NAMN och PERSONNUMMER på varje blad, (speciellt tydligt på omslaget, eftersom tentorna skannas och automatiskt kopplas till namn/personnummer som finns på omslaget)

• Ange omslagsbladet klasstillhörighet : Klass A, Klass B, Klass C eller Omregistrerad.

Till samtliga uppgifter krävs fullständiga lösningar. ( Endast svar utan tillhörande lösning ger 0 poäng.)

Parametrarna p och q i nedanstående uppgifter är sista två siffror i ditt personnummer.

T ex: Om ditt personnummer är 751332 2248 så är p= 4 och q=8.

---

Substituera först dina parametrar p,q i nedanstående uppgifter och därefter lös

uppgifterna.

(2)

Sida 2 av 7

Uppgift 1. (2p) (Student som är godkänd på KS1 hoppar över uppgift 1.) Beräkna följande gränsvärden

a) ₂ ₄

0

( 2) 2

lim 3

x x

p e p

x x x

→

+ − −

+ + b)

2

arcsin( 2) lim^x sin( 2 2)

x px x p

→

−

+ − − .

Uppgift 2. (2p) (Student som är godkänd på KS2 hoppar över uppgift 2.) Beräkna följande integraler:

a)

∫ x

³

⋅ cos(2 + + q 5 ) x dx

⁴ . (Tips: variabelbyte) b)

∫ x e ⋅

^{qx x}^{+ +}^{2 3}

dx

(Tips: Partiell integration)

Uppgift 3. (3p) (Student som är godkänd på inlämningsuppgiften hoppar över uppgift 3.)

Ett mekaniskt system med en fjäder och en dämpare kan beskrivas med följande ekvation, med avseende på y(t)

) ( ) ( ) ( )

(t by t ky t F t y

m ′′ + ′ + = .

a) Bestäm den allmänna lösningen för y(t) då

1, 2 3, 2 3 2, 0

m= b= p+ k p= + p+ F = .

b) Bestäm den lösning som satisfierar y( =0) 0, y′(0) 2= .

Uppgift 4. (2p)

Bestäm tangenten till kurvan

(10−p x) ²+(12− p y) ² =22 2− p i punkten A = (1,1).

Uppgift 5. (2p)

Bestäm volymen av den kropp som uppstår då området som definieras av 0≤ ≤x (q+1)_,0≤ ≤y 5e^{(10 )}⁻^{q x}

roterar kring a) x-axeln, b ) y-axeln

Uppgift 6. (3p) Låt f x( ) 3 x² 2qx q² 1 x q

− + +

= + − .

a) (2p) Bestäm eventuella stationära punkter och deras typ.

b) (1p) Bestäm eventuella asymptoter till f(x).

(3)

Sida 3 av 7

FACIT

Uppgift 1. (2p) (Student som är godkänd på KS1 hoppar över uppgift 1.) Beräkna följande gränsvärden

a) ₂ ₄

0

( 2) 2

lim 3

x x

p e p

x x x

→

+ − −

+ + b)

2

arcsin( 2) lim^x sin( 2 2)

x px x p

→

−

+ − − .

Lösning:

a) Pröva att sätta in x = 0 i uttrycket: ( 2) ⁰₂ ₄ 2 0

3 0 0 0 0

p+ e − −p =

⋅ + +

L’Hospitals regel kan användas:

0

2 4 3 3

0 0

( 2) 2 ( 2) ( 2) 2

lim lim

3 3 2 4 3 2 0 4 0 3

x x

p e p p e p e p

x x x x x

→ →

+ − − = + = + = +

+ + + + + ⋅ + ⋅

b) Pröva att sätta in x = 2 i uttrycket: arcsin(2 2) arcsin(0) 0 sin(2p 2 2p 2) sin(0) 0

− = =

+ − −

L’Hospitals regel kan användas:

2 2

1 1

1 ( 2) 1 (2 2)

arcsin( 2) 1

lim lim

sin( 2 2) cos( 2 2) ( 1) cos(2 2 2 2) ( 1) 1

x x

px x p px x p p p p p p

→ →

− − − −

− = = =

+ − − + − − ⋅ + + − − ⋅ + +

Svar: a) 2

p + b) 13 1 p +

Rättningsmall: a) och b) Rätt eller fel.

Uppgift 2. (2p) (Student som är godkänd på KS2 hoppar över uppgift 2.) Beräkna följande integraler:

a)

∫ x

³

⋅ cos(2 + + q 5 ) x dx

⁴ . (Tips: variabelbyte) b)

∫ x e ⋅

^{qx x}^{+ +}^{2 3}

dx

(Tips: Partiell integration) Lösning:

a)

∫ x

³

⋅ cos(2 + + q 5 ) x dx

⁴ . (Tips: variabelbyte)

∫ 𝑥𝑥³cos(2 + 𝑞𝑞 + 5𝑥𝑥⁴) 𝑑𝑑𝑥𝑥 �𝑡𝑡 = 2 + 𝑞𝑞 + 5𝑥𝑥⁴

𝑑𝑑𝑡𝑡 = 20𝑥𝑥³𝑑𝑑𝑥𝑥 � = ∫ cos(𝑡𝑡)₂₀^{𝑑𝑑𝑑𝑑}+ 𝐶𝐶 =^{sin(𝑑𝑑)}₂₀ + 𝐶𝐶

= sin�2+𝑞𝑞+5𝑥𝑥⁴� 20 + 𝐶𝐶

Rättningsmall: Korrekt lösning med korrekt svar 1p.

(4)

Sida 4 av 7

b)

∫ x e ⋅

^{qx x}^{+ +}^{2 3}

dx

(Tips: Partiell integration)

∫ 𝑥𝑥 ∙ 𝑒𝑒^{𝑞𝑞𝑥𝑥+2𝑥𝑥+3}𝑑𝑑𝑥𝑥 = ∫ 𝑥𝑥 ∙ 𝑒𝑒^{(𝑞𝑞+2)𝑥𝑥+3}𝑑𝑑𝑥𝑥 = 𝑥𝑥 ∙^𝑒𝑒^{(𝑞𝑞+2)𝑥𝑥+3}_𝑞𝑞+2 − ∫ 1 ∙^𝑒𝑒^{(𝑞𝑞+2)𝑥𝑥+3}_𝑞𝑞+2 𝑑𝑑𝑥𝑥 =

= ^{𝑥𝑥𝑒𝑒}^{(𝑞𝑞+2)𝑥𝑥+3}_𝑞𝑞+2 −^𝑒𝑒^{(𝑞𝑞+2)𝑥𝑥+3}_(𝑞𝑞+2)₂ + 𝐶𝐶 = �(𝑞𝑞+2)𝑥𝑥−1�𝑒𝑒^{(𝑞𝑞+2)𝑥𝑥+3} (𝑞𝑞+2)² + 𝐶𝐶 Rättningsmall: Korrekt lösning med korrekt svar 1p.

Uppgift 3. (3p) (Student som är godkänd på inlämningsuppgiften hoppar över uppgift 3.)

Ett mekaniskt system med en fjäder och en dämpare kan beskrivas med följande ekvation, med avseende på y(t)

) ( ) ( ) ( )

(t by t ky t F t y

m ′′ + ′ + = .

a) Bestäm den allmänna lösningen för y(t) då

1, 2 3, 2 3 2, 0

m= b= p+ k p= + p+ F = .

b) Bestäm den lösning som satisfierar y( =0) 0, y′(0) 2= . Lösning (i allmänt fall):

Vi har en linjär homogen DE: y t′′( ) (2+ p+3) ( ) (y t′ + p²+3p+2) ( ) 0y t = Den karakteristiska ekvationen r²+(2p+3)r+(p²+3p+2) 0= har lösningar

1 ( 1) och 2 ( 2) r = − +p r = − +p

Den allmänna lösningen är y Ce= ^{− +}^{( 1)}^p ^x+De^{− +}⁽^p ²⁾^x Från villkoren y( =0) 0, y′(0) 2= har vi systemet

0

( 1) ( 2) 2

C D

p C p D

 + =

− + − + =

Härav C=2 och D= –2 

Därmed y=2e^{− +}^{( 1)}^p ^x−2e^{− +}⁽^p ²⁾^x Svar. y=2e^{− +}^{( 1)}^p ^x−2e^{− +}⁽^p ²⁾^x

Rättningsmall:

Korrekt r₁= − +(p 1) och r₂ = − +(p 2) ger 1p.

Korrekt till och med den allmänna lösningen y Ce= ^{− +}^{( 1)}^p ^x+De^{− +}⁽^p ²⁾^x ger 2p.

Allt korrekt=3p.

Uppgift 4. (2p)

Bestäm tangenten till kurvan

(10−p x) ²+(12− p y) ² =22 2− p i punkten A = (1,1).

Lösning (i allmänt fall):

Implicitderivering ger:

2(10− p x) +2(12−p y y′) ⋅ =0

(5)

Sida 5 av 7

Härav ²⁽¹⁰ ⁾ ⁽¹⁰ ⁾

2(12 ) (12 )

p x p x

y p y p y

− − − −

′ = =

− −

Tangentens lutningskoefficient i punkten A = (1,1) är (10 ) 1 (10 ) (12 ) 1 (12 )

p p

k p p

− − ⋅ − −

= =

− ⋅ −

Tangentens ekvation: 1 (10 )( 1) (12 )

y p x

p

− −

− = −

−

Svar ( i allmänt fall) : 1 (10 )( 1) (12 )

y p x

p

− −

− = −

−

Rättningsmall: Korrekt (10 ) (12 ) y p x

p y

− −

′ = − ger 1p Allt korrekt=2p.

Uppgift 5. (2p)

Bestäm volymen av den kropp som uppstår då området som definieras av 0≤ ≤x (q+1), 0≤ ≤y 5e^{(10 )}⁻^{q x}

roterar kring a) x-axeln, b ) y-axeln Lösning:

a) Lösning för q=9. Volymen av kroppen som alstras då området roterar kring x-axeln är

10 10

2 1 2 2 2 20

0 0

25 10 25

( ( )) (5 ) 25 ( 1)

0

2 2

b x x x

x a

V =π

∫

f x dx=π

∫

e dx=π

∫

e dx=^ πe ^ = π e −

b) Lösning för q=9. Volymen av kroppen som alstras då området roterar kring y-axeln är

10 10

0 0

2 ( ) 2 5 10 {part. int} 10 ( ) 10

0

b x x x x

y a

V = π

∫

x f x dx⋅ = π

∫

xe dx= π

∫

xe dx= = π xe −e 

[ ]

10 10 10 10 10 10

10 (10π e e ) 10 ( 1) 10 (10π π e e 1) 10 (9π e 1) 90πe 10π

 

= − − − = − + = + = +

Svar för alla värden på q:

q = 0, Vx=Pi*(-5/4+5/4*exp(20)), Vy=1/10*Pi+9/10*Pi*exp(10)

q = 1, Vx=Pi*(-25/18+25/18*exp(36)), Vy=10/81*Pi+170/81*Pi*exp(18), q = 2, Vx=Pi*(-25/16+25/16*exp(48)), Vy=5/32*Pi+115/32*Pi*exp(24), q = 3, Vx=Pi*(-25/14+25/14*exp(56)), Vy=10/49*Pi+270/49*Pi*exp(28), q = 4, Vx=Pi*(-25/12+25/12*exp(60)), Vy=5/18*Pi+145/18*Pi*exp(30), q = 5, Vx=Pi*(-5/2+5/2*exp(60)), Vy=2/5*Pi+58/5*Pi*exp(30),

q = 6, Vx=Pi*(-25/8+25/8*exp(56)), Vy=5/8*Pi+135/8*Pi*exp(28), q = 7, Vx=Pi*(-25/6+25/6*exp(48)), Vy=10/9*Pi+230/9*Pi*exp(24),

(6)

Sida 6 av 7

q = 8, Vx=Pi*(-25/4+25/4*exp(36)), Vy=5/2*Pi+85/2*Pi*exp(18), q = 9, Vx=Pi*(-25/2+25/2*exp(20)), Vy=10*Pi+90*Pi*exp(10), Rättningsmall: 1p för varje del.

Uppgift 6. (3p) Låt f x( ) 3 x² 2qx q² 1 x q

− + +

= + − .

a) (2p) Bestäm eventuella stationära punkter och deras typ.

b) (1p) Bestäm eventuella asymptoter till f(x). Lösning: Skriv om funktionen på enklare form:

f x( ) 3 x² 2qx q² 1 3 (x q) 1² 3 x q 1

x q x q x q

− + + − +

= + = + = + − +

− − −

a) Stationära punkter. Derivera funktionen:

(

¹

)

²

( ) 1

f x′ = − x q

−

(

¹

)

₂

( )

²

( ) 0 1 0 1 1 1

f x x q x q x q

′ = ⇒ − x q = ⇒ − = ⇒ − = ± ⇒ = ±

−

Två stationära punkter. Karaktär:

(

²

)

³

( )

f x′′ = x q

−

(

²

) ( )

³ ² ³

( 1) 2

1 1

f q′′ ± = q q = = ±

± − ± d.v.s. max i x = q-1 och min i x = q+1.

b) Asymptoter: Lodrät asymptot då x q= (nämnaren blir 0 men inte täljaren) Sned asymptot y= + −3 x q åt höger och åt vänster ( 1 0, då x

x q→ → ±∞

− )

Ingen vågrät asymptot.

Graf över funktionen för fallet q=2.

Svar: a) Maximum i x = q-1 och minimum i x = q+1.

b) En lodrät asymptot x q= . Ingen vågrät asymptot. En sned asymptot y= + −3 x q åt höger och åt vänster.

Rättningsmall: a) Båda punkterna korrekt bestämda eller en punkt och dess typ korrekt bestämda +1p. b) Allt korrekt 1p.

(7)

Sida 7 av 7