Substituera först dina parametrar p,q i nedanstående uppgifter och därefter lös uppgifterna. DEL 2 Tentamen i Matematisk analys, HF1905

(1)

Sida 1 av 4 Tentamen i Matematisk analys, HF1905

DEL 2

Lärare: Jonas Stenholm, Joakim Dahlfors, Armin Halilovic Examinator: Armin Halilovic

Jourhavande lärare: Armin Halilovic Datum: 4 juni 2020

Skrivtid: Del 2: 10:30- 12:30 (+ 15 min för uppladdning av lösningar) . För de som har rätt till extra tid, enligt LADOK:

Extra skrivtid Del 2 extratid: 11:30-14:30 (+ 15 min för uppladdning av lösningar) Endast de som är synliga i Zoom under hela tentamen har rätt att lämna in lösningar.

Du använder papper och penna för att lösa uppgifterna. Du skannar eller tar bilder av dina lösningar (jpg, jpeg, png, pdf, heic, format är OK). Dina lösningar samlade i en mapp och komprimerade (som en zip eller rar fil) laddar du upp på Canvas:

https://kth.instructure.com/courses/23640

Viktigt: Mappens namn ska innehålla ditt efternamn och namn, med andra ord använd EFTERNAMN_NAMN för mappens namn.

---

För godkänt betyg krävs 10 poäng (totalt i båda delar) av max 24 poäng .

Betygsgränser: För betyg A, B, C, D, E krävs 22, 19, 16, 13 respektive 10 poäng.

Komplettering: 9 poäng på tentamen ger rätt till komplettering (betyg Fx) . Hjälpmedel: Endast bifogat formelblad (miniräknare är inte tillåten).

• Till samtliga uppgifter krävs fullständiga lösningar. ( Endast svar utan tillhörande lösning ger 0 poäng.)

• Skriv TYDLIGT NAMN och PERSONNUMMER på varje blad, (speciellt tydligt på omslaget, eftersom tentorna skannas och automatiskt kopplas till namn/personnummer som finns på omslaget)

• Ange omslagsbladet klasstillhörighet : Klass A, Klass B, Klass C eller Omregistrerad.

Till samtliga uppgifter krävs fullständiga lösningar. ( Endast svar utan tillhörande lösning ger 0 poäng.)

Parametrarna p och q i nedanstående uppgifter är sista två siffror i ditt personnummer.

T ex: Om ditt personnummer är 751332 2248 så är p= 4 och q=8.

---

Substituera först dina parametrar p,q i nedanstående uppgifter och därefter lös

uppgifterna.

(2)

Sida 2 av 4 DEL2

Uppgift 7. (3p) Bestäm volymen av kroppen som definieras av

2 2 2

0≤x +y ≤(p+1) , z= +1 2x²+2y²

Lösning (i allmänt fall) : Definitionsområdet, D, är en cirkelskiva i xy-planet, med centrum i origo och radien p+1. Gör en övergång till polära koordinater i den dubbelintegral som ställs upp för att beräkna den sökta volymen, V.

(

² ²

) (

²

)

² ¹

(

³

)

0 0

1 2 2 1 2 ^p 2

D D

V =

∫∫

+ x + y dxdy=

∫∫

+ r rdrdθ =

∫ ∫

^p ⁺ r+ r drdθ =

( ) ( ) ( ) ( )

²

1 2 4 2 4

2 2 4 2

0 0 0 0

1 1 1 1

2 2 2 2 0 0 2 2

p p p p p

r r d d

p p p

θ θ θ

+  + +   + +  

   

=

∫

 +  ⋅ =

∫

 + − − ⋅ = + ⋅  =

(

^p₂¹

) (

² ^p₂¹

)

⁴ ²^p ⁰

( (

^p ¹

) (

² ^p ¹

)

⁴

)

^p ^{v e}^{. .}

 + + 

= + ⋅ − = + + + ⋅

Svar: Kroppens volym är

( (

^p⁺¹

) (

²⁺ ^p⁺¹

)

⁴

)

^⋅^p ^{v e}^{. .}

Rättningsmall: Ställer upp en dubbelintegral i polära koordinater med korrekta gränser och korrekt integrand +1p. Gör detta och den första integrationen korrekt +2p. Allt korrekt 3p.

Uppgift 8. (2p)

a) Bestäm den allmänna lösningen till differentialekvationen y x y′ − ^{4 2}−(p+1)^{2 4}x =0. b) Ange lösningen på explicit form (dvs på formen y = f(x)).

Lösning (i allmänt fall) :

Inga (reella) singulära lösningar eftersom (𝑝𝑝 + 1)²+ 𝑦𝑦² ≠ 0.

𝑦𝑦^′

(𝑝𝑝 + 1)²+ 𝑦𝑦² = 𝑥𝑥⁴ ⇒ 𝑑𝑑𝑦𝑦

(𝑝𝑝 + 1)²+ 𝑦𝑦² = 𝑥𝑥⁴𝑑𝑑𝑥𝑥 ⇒ � 𝑑𝑑𝑦𝑦

(𝑝𝑝 + 1)² + 𝑦𝑦² = � 𝑥𝑥⁴𝑑𝑑𝑥𝑥 (formelblad eller variabelsubstitution)

⇒_𝑝𝑝+1¹ arctan �_𝑝𝑝+1^𝑦𝑦 � =^𝑥𝑥₅⁵+ 𝐶𝐶 Rättningsmall: Allt korrekt ger 1p

b) Ange lösningen på explicit form (dvs på formen y = f(x)).

1

𝑝𝑝+1arctan �_𝑝𝑝+1^𝑦𝑦 � =^𝑥𝑥₅⁵+ 𝐶𝐶 ⇒ arctan �_𝑝𝑝+1^𝑦𝑦 � = (𝑝𝑝 + 1) �^𝑥𝑥₅⁵+ 𝐶𝐶�

⇒_𝑝𝑝+1^𝑦𝑦 = tan �(𝑝𝑝 + 1) �^𝑥𝑥₅⁵+ 𝐶𝐶�� ⇒ 𝑦𝑦 = (𝑝𝑝 + 1) tan �(𝑝𝑝 + 1) �^𝑥𝑥₅⁵+ 𝐶𝐶��

(3)

Sida 3 av 4 Rättningsmall: Allt korrekt ger 1p.

Uppgift 9. (3p)

Ett område Ω definieras avy≥0, x≥0 , 0≤x²+ y² ≤(q+1)² och y x≤ (se figuren).

Beräkna x-koordinaten för områdets tyngdpunkt.

Lösning (i allmänt fall):

𝑥𝑥𝑇𝑇 = ¹_𝐴𝐴∬ 𝑥𝑥𝑑𝑑𝑥𝑥_𝐷𝐷 = �𝑥𝑥 = 𝑟𝑟 cos 𝜑𝜑

𝑑𝑑𝑥𝑥 = 𝑟𝑟𝑑𝑑𝑟𝑟𝑑𝑑𝜑𝜑� =¹₂∙^𝜋𝜋₄(𝑞𝑞+1)¹ ²∫₀^𝜋𝜋/4�∫₀^𝑞𝑞+1𝑟𝑟 cos 𝜑𝜑  𝑟𝑟𝑑𝑑𝑟𝑟� 𝑑𝑑𝜑𝜑 =

= _{𝜋𝜋(𝑞𝑞+1)}⁸ ₂∫ ��^𝑟𝑟₃³cos 𝜑𝜑�

0

𝑞𝑞+1� 𝑑𝑑𝜑𝜑

𝜋𝜋/4

0 =_{𝜋𝜋(𝑞𝑞+1)}⁸ ₂^(𝑞𝑞+1)₃ ³∫₀^𝜋𝜋/4cos 𝜑𝜑 𝑑𝑑𝜑𝜑= ^{8(𝑞𝑞+1)}_3𝜋𝜋 [sin 𝜑𝜑]₀^𝜋𝜋/4

= ^{8(𝑞𝑞+1)}_3𝜋𝜋 ^√2₂ = ^4√2_3𝜋𝜋 (𝑞𝑞 + 1)

Rättningsmall: Korrekt dubbelintegral med polära koordinater och gränser 1p.

Korrekt beräknad integral med korrekt svar 2p.

Uppgift 10. ( 2p) Använd substitutionen y x( ) ( ( ))= z x ^{1/( 3)}^q⁺ (där z x( ) är en ny obekant funktion) för att lösa följande differentialekvation

2

( ) 1

( 3) ( )

q ( ) q y x y x

x y ⁺ x

+ ′ + = , x>0.

Lösning Lösning för q=4

Om q=4 har vi ekvationen

6

( ) 1

7 ( )

( ) y x y x

x y x

′ + = .

Vi substituerar y x( ) ( ( ))= z x ^1/7 och derivatan ( ) ¹

(

( )

)

^6/7 ( )

y x′ =7 z x ⁻ ⋅z x′ i ekvationen och får

( )

^6/7 ^1/7 _6/7

1 ( ( )) 1

7 ( ) ( )

7 ( ( ))

z x z x z x

x z x

− ⋅ ′ + =

Multiplikation med ( ( ))z x ^6/7 ger ( ) z x( ) 1

z x′ + x = .

Detta är en linjär DE av första ordningen (ej konstanta koefficienter), med P 1 , Q 1.

= x =

En integrerande faktor är F e= ∫¹^x^dx =e^{ln| |}^x =| |x x= . (Notera att x>0 enligt antagande).

Enligt formeln är

(4)

Sida 4 av 4

1 1 1 2

( ) ( ) ( 1 ) ( )

2 2

x C x

z x F C Q Fdx C xdx C

x x x

= − +

∫

⋅ = +

∫

⋅ = + = +

Slutligen

1/7

( ) ( ( ))1/7

2 y x z x C x

x

 

= = +  Svar

1/7

( ) 2

y x C x x

 

= + 

 

Svar i allmänt fall:

1/( 3)

( ) 2

C x q

y x x

  +

= + 

 

Rättningsmall: Korrekt till ekvationz x( ) z x( ) 1

′ + x = ger 1p. Allt korrekt=2p.