CO NTR OVER SI AM

D. D.

DISSERTATIO MATHEMATICA

SISTE NS

CO NTR OVER SI AM

^DE

LOG-

ARITHM1S NUMERORUM

NEGATIVORUM,

Cujus PARTEM SECUNDAM

CONSENT. AMPL1SS. FACVLT. FH1L0S. UPSAL.

PUBLICO EXAMINI SUBJICIUNT

NICOLA US JOHANNES

BERGSTEN,

thilos. magister

ET

CAROLUS _PETRUS STRENG,

u plan di.

IN AUDIT. GUST. MAJ. D. m MAJI. mdcclxxxviii.

h. a. m. s.

UPSALITC,

Apud Direct. J OH. EDMAN.

C? 1, _^

)

t

DB

MONSIEUR

POSSESSEV R DES MlNES,

å

MONSIEUR if MADAME

^5e(l ^avec la

plus

grande

joie

^, que

je faifis

^cette

occafion _, pour

Vous temoigner, devant le public,

la reconnoisfance, _que

je

Vous ai des bontés, dont

Vous /m' avés comblé , & le

profond refpét,

avec

lequel j'aurai rhonneur

d' etre toute nia vie

MONSIEUR & MADAME

V O T R E

tres hiimhle d?5 tres obe'ijjhnt ferviteur

CHARLES PIERRE STRENG,

20

Caujpe in Eloqiientia Erogrejjionis.

ENKE-PROSTINNAN,

HÖGÅDLA

_FRUN,

FRU

BRITA CHRISTINA ARBORELIUS,

Min Huldaste MORMOR!

T;i!låt

^, atjag åt Edert omina och välgörande hjerta up*

offrar detta Academifka Lärdomsprof.

Min tackfambet känner val, burvt litet detta fvarar e- mot de

välgerningar,

J mig hevifat; men min 011[kan vinnes,

om jag härmed kan ådagalägga den vördnad, med hvilken jag til dödsflunden bar åran atframhärda

HÖGÅDLA

FRU PROSTINNANS

Min Huldaste MORMODERS

Lydigfle Dotterfon

Carl Peter _Streng.

r _DB

II )

27

( ft

§. .vir.

Eodem tempore, quo EULERUS c ontroverfiam de Logarithmis Numerorum Negativorum dirimere

niteba-

tur, ipfe Domino D' ALEM3ERT fuarum in hac re me-

ditationum copiam fecit. Hic Thefibus Euleriaois varia oppofuit; Sc Disfertationis Eulerianae ^, anno 1751

inMo-

numentis Berolinenfibus _pro »749 impresrte, tandem par- ticeps fa&us, omnia quae cum Ilio per literarium com¬

mercium egerat, denuo evolvere inftituit, ut ex Opufcu-

lorum Mathematicorum Tomo I:mo _pag. 180 feqq. mani-

feftum ert. Hic nempe peculiare Schediasma Tub titulo:

Sur hs Logarithmes des quantitfa Negatives, publici juris fecit; Sc quia EULERUS monuerat, iitem BERNOUL-

LIUM inter Sc LEIBNITIUM olim de hac materia fu-

isfe _motam, partim Bernoulliana argumenta conftrmare ⁵ partim nova adjicere Sc ^contra pugnantia refellere adla*

boravit. Qute vero de Sua in hac re fententia uberius adduxit, breviter recenfebimus, nortrasque adnotationes

illurtrandi Sc difquirendi causfa pasfim (ubjungemus.

§. VIII,

D7 ALEMBERTIUS igitur3 ut tutius incedat,a de-

finirione Logarithmorum orditur ita ab ^eo concinnata,

ut Logarithmi fignificent leriem quamcumque Numerorum

fecundum progresfionem Arithmeticam fefe excipientium,

atque terminis Progresfionis Geometricae fuccesfive re-,

fpondentium. Hac praefulta definitione fequitur membra progresfionis Arithmericae ^o, 23*?, 4n, Sec. asfumi posfe ut veros Logarirhmos rerminorum Progresfionis

Geometricae -f- 1, —2, -j-4, ^— 5, -f- 16, — 32, &c.

Hane vero definitionem etfi abfolute _negare non aude-

amus, quurn ab arbitrio D'ALEMBERTH prorfus pen-

*E deatj

-20

CauJJa

in

Eloquentia Progreßionis.

m \ lyQ ( c§$i$

deat, ipfam fibi definitiooem ica -condere,ut limitibus hu- jus Theoriae latius promovendis inferviret; eam tarnet*

in prsefenti difquifitione nec utilem^{, nec} faris aptam cen*

femus. Si enim NEPERUM Logarithmorum au£torem conlulimus, eric linea uniformitet* crefcens, vel decre-

fcens Logarithmus linete proportionafitet*, (h. ^e. in ratio»

ne longirudinis fuae) crefcentis, aut decrefcentis. Si er¬

go fuerit x logarithmus numeri y & ^a defignet velocita-

tem j qua x variatur, ipfe numerus y pro velocita-

te variarionis fum asfumi poterit, adeoque dx :dy:: a : y, Evanefcente _{ergo x} ponatur y erit Lb ~o \ fed quam*

vis x evanefcat , & poft evanefcentiam in negativam tranfeat, linea jy tarnen decrefcens nunquam ad nihilum reducerur, quamdiu idea velocitatis ipfi y proportionalis

retinetur. Hinc tranfitus lineae _y in partes opjpofitas five negativas erit imposfibilis.

Asfumattir b

=r i,

live

L i~o, erit Lo ~—ao , üve non asfignabilis^, quod apud Geo-

metras Logarithmicam fua gaudere Afymptoto ar'guir.

Sit porro /? rz i rr£, erit x rr L ^y9 & fi i rr L ^c h. e.

j rr quando j = erit cx~ y. In hac ergo aeqna-

tione frufira cum D'ALEMBERTIO asfumitur yr:— 2»

Licet enim linea proportionaliter crefcens terminos ha¬

best logarithmis eequrdifferentibus relpondeptes ^arque in

ferie Geometrica progredientes, non tarnen vicisfim

fe-

quitur, ilngulos terminos feriei Geometricae

fignis

-+-

vel

— utcumque fibi jun&os habere Logarithmos sequidiffe-

renres. Quod fi ^ergo definitionem logarithmorum d'A-

lembertianam omni numero abfolutam probare vellemus,

hoc ipio illorum ideam primaevam defereremus <& aliam

ac NEPERUS logarithmorum genefin fumeremus,

quod

tarnen nec animadvertisfe nec voluisfe videtur Sagacisfi-

mus alias D'ALEMBERTIUS. Liquer itaque, quam ne- cesfaria in his fit quanritatum fymbolicarum cum Geo-

metricis comparatio, ne per abftraäum illarum conce- ptum

OB

'S nO f J 29 \

ptum veritates Mathemaricas a fe invicem

diftin£tas

te-

fnere commifceamus. Sed licet maxime concedamus, lo-

garithmorum definirionem ex nutu cujusque audoris ad-

llrui posfe, illa tarnen, quam adtulit D'ALEMBERTI-

US , parum lucis praelenri materice conciliabit. Si enim

terminos feriei ^— 2_, 4, -—■ 8j + ib,— 32, +64 &c.

confideremus & medias proportionales y—2, V—8>

V- 32, &c. his inrerjedas voluerimus,

iequerur

horum logarithmos haberi ~n, £0,40, &c. adeoque multiplican-

do medias proportionales hne fme, ut curvae logarith-

micse bac ratione determinatae continuitas efficiatur, per

imposfibilitatem ordinatarum ^arcum Logarithmicas inter«

ruoipi, nec eum ulla ratione ut oontinuurn cogitari posfe-

§. IX.

Pergit D'ALEMBERT1US ad illa exponenda argu¬

menta, qitse logarithmos numerorum negativorum non

minus, quam pofitivorum reales esfe evincanr. Quorum proecipua hic adferemus monita noftra ^rnox addituri.

Arg. /. Definitioni logarirhmorum ^non repugnat, fi

duae feries ^— _{1, —-2,-3, — 4,} dcc. & 1,2, 3, 4, &c.

eisdem gaudeant logarithmis o, p> q, r, dcc.

Arg. 11. Quoniarn 1 : — 1 : :— 1 : 1, erit (—- 1 )2= 12, iL ^— 1 = 2L 1 <Sc L — 1 — Oy unde logarithmos nu¬

merorum negarivorum reales esle evincitur, cum tota res inde pendeat, ut esfe L — 1 ro probetur.

.

. fty ndy

Arg. Hl. Aequatio ^{x —}_J/—- , vel d x — — non

y y

minus duas arguit Logarithmicas, quam aequatio ^{y rr} xz

duos exprimit ramos Parabolicos. Qiiod ut clarius pa-

E 2 teat,

20

Cauffce in Eloquentia Prog rejjionis.

\ A« f c!8)

IS» / 3° k

andy

teat, fupponatur generaliter esfe dx=z—ubi ^k de.

notat numerum imparem pofitivumd Ad conftruendam

curvam, cui hacc competat aequatio, defcribantur hyper-

bolas OPF} OpF, ubi abfcisfa AN = y 8c ordinata /W=

JL-.- _{deinde quaeratur area}

f——

^- refpondens abfcis-

yn J yn

fas cuicumque AR, pofito evanefcere hanc aream, quan- do yzzzAN. Curva vero , cujus ordinatse .v, ad axeru

AT*, proportionales funt areis /

JLf-L,

erit curva quaefi-

/ y»

ta. Cum autem has areae eundem valorem rerineant, fi-

ve affirmetur abfcisfa _y, five negeturj necesfum erit, ut ordinatae x a pun£to A ab; utraque parte aeqtialiter fe- jun£lae aequales fintJ ejusdemque figni: id quod cum ex

integratione aequationis d ^{x =} andy perfpicuum "eft, tum

e demonftratione BERNOULLII, quam p. p.ySc 8 Par¬

tis I:ma expofuimus, quaeque de omnibus Hyperbolis se- a"+ I

quatione x =• conteritis valet, modo n fit nume-

y"

rus integer impar & pofitivus. Nec ex integratione in

cafu n rr= i deficiente quidquam exfculpi posfe putat D' ALEMBERTIUS, quod hujus argumenti vim minu-

at,cum methodus nuper tradita conftruendi curvam dxz=z

l^ope

arearum Hyperbolicarum, adeo fit generalis, ^ut f

ne-

DB

#

) 31

C ®

neque Hyperbolam vulgarem, cujus ordinata ^=—» ex*

cludat. Nihil igitur dubii fuperesfe exiftimat, quin lo- garithmi tam quantitatum negativarum, quam pofitiva-

.rum, ad idem fyftema, eandem curvam eandemque ^as- quarionem peitineant, & Logarithmica re vera duobus

cruribus aequalibus ^, fimilibus fimiliteique pofitis fupra Sc

infra axem feu afymptotum, gaudear.

• X

■Arg. IF. In aequatione Logarithmicte y = c pofito

= -~9 defignante n numerum quemcumque imparem,

n

duo obtinebuntur valöres ordinatae _y nempe + V°m^*

Unde porro concluditur, dari valöres abfcisfae x nurne- ro infinitos,quibus refpondent ordinäre sequales &fignis

affe&ae contrariis; adeo ut Logarithmica infra axem in-

numera habeat piinfta conjugata, quorum a fe invicem

diftantia omni asfignabili minor fir. Ejusmodi vero pun- ftorum conjugatorum feriem nihil aliud ^, quam curvam

continuam, esfe defendit D'ALEMBERTIUS. Ne vero

haec curva fuis deftituatur ordinatis, quamvis in aequatio-

neysf e valöreipfius x determinato unus tantum erua- tur valör ipfiuse. gr. quandoj/ = c3, vel y = \ dwpli-

cem valorem numero c tribuendum esfe ftaruir, affirma- tivum nempe Sc negativum. Idque eam ob causfam, quod c denotet _numerum, cujus logarithmus == 1, quem

non negativum minus, quam affirmativum esfe fupra oftendit.

Arg, F, Sumto quovis pun£lo D in axe logarithmir

ces, Sc pofita ED~DM _atque ere&is ordinatis HEi BM%

E 3 erit

20

Caujfce in Eloquentia

Frog

reßloms.

cSfe ^ It>y ( c§?3

^g5 ) ^ \ -dt?

ordinata pun£lo D refpondens inter HE Sc EM media proportiona!is. Hiec veroduplicis eil valoris -f-J/HE.BM

Sc ^— V HE. EM, quam fignorum ambiguitatern, non in logarithmica magis ^{, quam} in Curvis Algebraicis, omit*

teridam esfe exiftinrat. Et quemadmodum in Parabola requationes Hezz-t-yx, y zez —Vx-> non nifi unum vei

alterum crus exprimunt, ita etiam tequatio iogarithmices

» JC '

integre eric ^{y z=z}-4- ^{a ,}

Horum argumentorum primo, quippe quod flatum

controverfioe minus ferit, diutius inhasrere minus neces- farium ducimus. Hic enim non quaeritur, pugnetne cum definitions logarithmorum , fi dute ^{feries —i, —2, -—3,}

See. Sc _{1, 2, 3,} See. eisdem gaudeanc logarithmis, fed

an id ex definitions necesfario fequatur? In fecundö

D' ALEMBERTIUS ^non obfervavit, racite fupponi. quan- titates (—1)2 Sc (-i-1)2 non niii unam habere radicem,

illam nempe — i, hanc -f- r. Cum vero utriusque fint

duae radices Hh _{1-, non} valet conclufio illa 2L— ^{1 rr 2} Z-i,

fed potius hsec 2Z + 1 = 2 L + i, unde nihil inferri

potell.

Nec Viro Celeberrimo placuisfe arbitramur, fi

eodem argumentandi modo esfe + 1 r: ^— 1 oftendere-

tur. Tertium argumentum ex omnibus, quee pro adflrti-

endis logarithmis quanrirarum negativarum adferuntur,

maximi videtur ponderis. Qiiod tarnen fi ad omnia rite adrendatur, multa obfiare invenienrur, quominus ut o- mnino Illingens cenferi posfit, Nemo quidem inficias

n 1—n

... <1 — a y ^.

lbit, curvam x z=z .<——, qute per integrationem

11 — 1

aequationis E

xezet—t

elicitur, ex duobns cruribus con-

yn

tinu-

DB

IS

) 33

( Hl

tinuitatis vinculo nexis compofitam ^esfe, quod valet de

omnibus curvis, ubi n > i. In cafu vero i deficit eequatio Algebraica, unde ^tarnen omnis continuitas ^per«

fpici debet, itaque de hac nihil certi concludere licet.

At contendit D'ALEMBERTIUS, hoc ex ipfa integra-

tione patere pariter atque ex analogia, quse inter hy- pérbolam vulgarem & curvas

a1 * 1

^x

y"obtinet.

Quo

1 1—n

fimul tacite fupponere videtur, formulam

-——Z

«—i

areas inter NPScRS fitas femper exprimere, ubicumque pun£tum R in axe KZ fuerit; adeo ut, cum R ad locum

o r i— n

(i — (i y

r pervenerit ^- i valorem exbibeat areae

n— i

inrer NP 8c rs interceptae. Hoc vero adeo evidens non

eft, ^{ut omnem} adimat dubitandi anfam. Cum enim R pofi tranfitum ^per A in afymptoto AK locatur, perinde eft, utrum area nprs^> an qua? inter NPj ^rs intercipitur,

formula Integrali exprimi cenfeatur; quoniam nempe e-

^2 i i—n

vanefcit in utroque cafu y = a 8c

n—i

y =— Quod fi npsr aream abfcisfae Ar refponden-

tern apte reprasfentare posfit, eandem ^per NPOA Anp

G -f- _{npsr exponere} valde inutile arbitramur. Interea

confideratio arearum infinitarum, ut arbitraria efi, ita ni¬

hil roboris argumento D'ALEMBERTII detrahir. Ut igitur, quid inde de logarithmis ^numerorurn negativo-

rum concludi posfit, clarius pateat, fingula ejus momen-

ta adcuratiori fubjicere examini fas e(t.

Sitn numerus quicumque pofitivus integer, 8c aequa- tio

20

Caujfte in Eloquentia frogreßioms.

w ) 3t l «as»

"S

tio ad hyperbolam ordinis n-\- r,

d1

*

1

==

xy\

Ex hac

ut fupra oftenfum eft determinatur ope inregrationis hy- perbola ordinis n, unde ümiliter determinari poceft alia

ordinis n—■ i Sc repetita integrations fuccesfive prove- liient hyperbolee ordinum ^{n— 2, n—3,} n—4, &c.

quarum unaquaeque ordinatas habet proportionales areis hyperbolee proxime anrecedentis. Pervenietur tandem ad hyperbolam vulgarem a2 = xy, exqua BERNOULLIUS

Sc D'ALEMBRRT1US fuas conftruxerunt Logarithmicas,

quas in hac ferie hyperbolam primi ordinis conftituent.

In eo vero differunt logarithmicas ^a cereris hyperbolis

. ay° a

d1^ 1 z=zxy\ primo,quodillarum aequatiox^z -g— —

non eh algebraica, deinde quod unarn afymprotorum axi

fcilicet abfeisfarum parallelam amittunt. In ceteris enim

haec afymptotus ad diftantiam —-—. ab axe remota eft,

n—i

in his autem ad diftantiam infinitam. ^. Prasterea ut quse- vis hyperbola Qiiadratrix eft hyperbolee proxime ^antece-

dentis, ita etiam logarithmica Qiiadratrix erit hyperbo-

Ise Apollonianae & eatenus bicruralis cenferi debet. Si

continuetur feries curvarum, facile patebit, ab Hyperbo¬

lis per logarithmicam 8l lineam re£lam ad Parabolas

rranfitum fieri, ^ut fchema adpofitüm indicat.

dl 1

=

xyn a% zzz xy~, a2 z=z xy> Logarithmica, y zn x,

yz ~ax, y3 = a2 x, Scc. Quodque fupra de Quadra-

trieibus di&um eft, valet de omnibus curvis in infini-

tum. Excipitur tarnen linea re£ta,cum logarithmica ntil-

3a gaudeat Quadratrice, quia nec afymptotus, nec areae

afymptoticee asfignabiles funr, Sed ad propofitum ^rever-

tamur,

E con-

DB

«S&J ^ ^{/•) £} f c!?S?3 ) 3 5 v.

E continuitate loo-arirhrnicarum^'c' D'ALEMBERTIUS infert, logarithmos tam quantitatum

negativarum,

quam pofitivarum, ad

idem fyftema

^,

eandem

curvam

eandem-

qiie sequationem pertinere.

Ut htec omnia rite enoden«

tur, quid logaritbmus,

quidque

Syftema

logar ithmicuni fir

^,

prins definiendum erit:

nifi enim de fignificatione Ter.

minorum conveniatur, omnis controverfia in Logoma-

chiam abit. Eft vero Logarithmus vi vocis nihil aliud, ni¬

fi numerus rationis, vel numerus, qui exprimit, quomo- do ratio quaelibet ab alia, quae pro menfura

asfumitur,

cotnponi posfit. Sit A : B ratio, ^quac

menfurae

commu¬

nis loco eft, cujus logarithmus per unitatem exprimi fo-

m

let, adeo ut L{A\ B) — i\ Et fi D: E = (A: B)n ^e«

rit L( D : E) quod indicat in ratione D : E ra-

n

tionem A : B toties contineri, quoties unitas in nume-

ro —. Polito

"f

^-= Cj erit L(C: i) = i: fimiliter po-

n b

fito = erit L(F: i) = —. In rationibus vero, u-

E n

bi unitas terminus confequens eft3 brevitatis ergo, idem

771

ita exponi fölet L.C=z i, L.Fz=z ^{_ ,}

adeo

ut per loga-

n

rithmum cujuftibet numeri nihil aliud intelligatur, nifi log¬

arithmus rationis ejusdem numeri ad unitatem, cujus log.

arithmus vulgo ftatui fölet='o. Ceterum

fit L(-jg:

i

)

=

A>

qu oniam (Fri).

(yy

^: i

)

= i : i,

erit L ( F:

i

)

-+•

T / 1 T

i) = Z( i : i) =o,vel L._{j- ==}

L

^{i = o,}

F vel

20

Caujfce in Eloquentia Progrejjionis.

0

)

36 (

II

vel -L- -J" A_{rr: 0,} 8c Arrr — Hinc adparet, quomo*

do numeri duo reciproci eosdem habeant Logarithmos,

r . m

lignis vero contrariis praefixis. Ut vero (C:i) »Tquam- libet rationem repraefentare poteft, ita eriam F omnibus

numeris refpondet. Complexus vero numerorum F 8c logarithmorum fyßema hgaritbmicum dici folet. De-

terminato autem numero C, qui Bafis fyflematis dicirur, ipfum fyftema datur. Procterea manifeftum eft, nume-

rum F non nifi pofitivi valoris esfe, cum C pofirivus as-

fumitur. Ergo numeri negarivi fyftema pofitivorum non intranr. Sit jam in hyperbola AN = n — 1, PNRSrz:

L( AR : AN) = AN* z=z 1, erir AR bafis fyflematis hy- perbolici 8c AR: AN menfura ceterarum rarionum. Et

cum omnes valöres pofitivi his 0 8c 00 interje£li in a-

fymptoto AZ capi posfinr, nec non areae NPFZ,, NPOA

omnes comple&antur Logarithmos, non nifi una area a-

fymptotica ^, ad fyftema Logarithmicum conftruendum o- pus esfe patet. Quod jam ad crus nL logarithmicse ad- tinet, id ad ^aream afymptoticam ARFG ^totum refertur ^,

8c fyftemati Logarithmico refponder, quod alteri fimile eft, vel bafin habet cequalem Ar AR \ de ^cetero hoc

non nifi numeros negativos comple£lirur. Aut igitur

D'ALEMBERTIUS a communi notione fyflematis loga-

rithmici recebfit, aut nimium prtecipiranter ab Illo con- clufum eft, Logarithmos numerorum pofitivorum & ne-

gativorum eidem fyftemati fubjeftos esfe. Si fingula ri¬

te perpendantur, argumentum ab hyperbola defumtum

nihil aliud demonftrat, nifi pofira hyperbola QPSy poni oppofitam spG\8c pofito ^aream

ad

PN

evanefcere,

in

deter-

DB

& Vd } ^{n n} f

s 61 \

determinanda curva OBN, necesfario eandem _{quoque a-}

ream ad' _pn evanefcere & eurvam OLn inde determinari.

Ergo pofito Z i = o in quovis fyftemate, necesfario erit

Z—i=o in alio fimili, quod ^cum priori ad eandem re»

fertur _eurvam, quae Quadratrix eft asfumtarum Hyperbo*

larum. Hoc vero LEIBNITII & EULERI fenrentiam nullo modo evertit, quippe qui non nifi. unum fyftema

examini fuo fubjecerunr. Ceterum aequatio, ad quam log-

arithmos tam pofitivorum, quam negarivorum referri

monet D'ALEMBERTIUS, eftj/2=f2* ambo fcilicet

crura exprimens. Quae tarnen in duas refolvitur _y z=zcxy

y-=L —cx\ in illa Iogarirhmi negativorum imposfibiles funt, in hac logarithmi pofitivorum fruftra quaeruntur.

Quae nuper de tertio _argumento difputata funt, ad

quartum & quintum etiam rransferri posfunt. Sic quan-

—11 n

do aequatio y = cveft formte _{y = T2,n ,} & y = + yc »>»

n ii

rejiciendus eft valör ₃₁₌ — j/c m , cum ratio^— ycm : 1 ex partibus rationis c : 1 nullo paflo componi posfit. I-

n

dem de valöre -f~yc m obfervandum eft, ubi deaequatione

y= — cx qüaeritur, in qua omnes numeri cum unitate

negativa comparantur, adfumta ratione — c : ^— 1 pro communi menfura. Praeterea hand alienum erit animad- vertere, demonftrationem D'ALEMBERTII valde clau-

dicare,qua probatum vult ordinatam logarithmices in pun-

&o D diiplicem esfc DT=z -f. y EH. BM oc DL =

' f EH- BM\ pari enim ratione colligeretur ordinatam nyperbolte in pun&o quovis N duplicem esfe. Sumtis fcilicet areis nQPN: NPSR sequalibus, erit ordinata ad

F 2

pun-

20

CaujJk

in

Eloqiientia

Prog

rejjlonis.

é$b \ ryQ ( d?t?3

^ i )(' V <2)S=

punflum N inter ^a2_, RS media proportionale, adeoque

r=r-f- faCg /?£ Non eft tamen nifi unica hyperbolae

in pun£to N ordinata. Quare in iogarithmica, ex fola {ignorum arnbiguitate, nihil certi concludi posfe exifti-

mamus.

§. X.

Ut nihil intachim eorum, quo? hane fpe£bant mate- riem , relinqueret D ' ALEMBERTIUS^, ad ^argumenta

BERNOULL1I & reprehenfiones, quae in ^ea intendun-

tur examini fubjiciendas fefe accingit. Et quod ad pri-

mum Hujus adtinet argumentum a calculo differentiali

d X

defumtum , quo concluditur esfe L — x zr Lx ob ^_ x~

=

-ii,

obfervat nihil ei roboris inde decedere, quod

eadem argumentandi ratione ad cequalitatem ipfius Lnx

& Lx in genere pervenitur. Agedum vero videamus, quomodo hunc folvat nodum. "Pofita x ordinata qnali-

bet Logaritbmicce, L^x erit logarithmus rationis ipfius x ad

cråinatam b, _quae unitatem repreefentat. Similiter erit in ge¬

liereLnx logarithmus rationis nx adlineam quandamc,qua

n 7 " Y Tx

pro Imitate asfumitur. Et pofito c =b, ^eritL —g z=L ^, +

nb *

L vel Lnxz=iL^x -f Ln; pofito vero c z=z nby invenie-

L i——

Lgq

=

Lx, Sit jam

n = i

vel Ln

zzz o,

erit

Ln xvzz L x \ Eodem jurepofito n~—-1,11 = o, conclu*

di posfe arbitvatur, esfe L n x ~

L

^— x —

L

x,

Non

ve¬

ro videmus, quid ponderis haec explicatio argumento Ber-

noulliano adjiciat. Tota enim huc redit: pofitis tribus fy-

DB

eS3s ^ ^oft ( effå»

m J 39 l

fyftematibus,

ubi unitates

per «, i, — i

repraefentantur,

erit refpe&ive X^—=

Z—

—

Z~Z-L)

vel

Lnxz=.Lx

zu X —• x\ id quod nemo umquam

in dubium vocaverif»

Hic vero quaeritur,^* an fit

L —L

i =

L~~

*v i^,

vel L —XL

i

= L—.

1

Neque tam

refutasfe,

quam

potius# elufisfe cenfe-

mus D'ALEMBERTIUM hocce EULERI argumentum,

quod polito L ^{— i} =o,

etiam habetur L

j/ — i = o=

X 1 —

^

-JL.&c. quod do&rinae quantitatum imagi-

nariarum manifefte _repugnare EULERUS contenderat.

Quodvis enim Logarithmorum

fyllema arbitrarium esfe

D'ALEMBERTIUS moner, adeo ^ut etiam o, o, o, o, &c.

feriem Logarithmorum exprimere posfit. Hinc pofito

Z i = o & Z — i = o, habebitur Z |/ — i = o =

Z^

HLi-. Prteterea infpe£la logarithmica patere

2

arbitratur, logarithmos quantitatum imaginariarum, ut re¬

ales, aslumi posfe. Narn media proportionalis inter po- fitivam ME & negativam DL eft imaginaria, & tarnen

pro logarithmo habet DX— ±DM.

At, utcumque fe habeanr ifla, concesfo, dari Loga¬

rithmos reales quantitatum imaginariarum, Theorema iL

lud BERNOULLII, radium nempe esfe ad peripheriam

ut V— ⁱ ad 4Z1/— i, corruet. Quem nodum ut ex-

pediat, paradoxon hoc oriri notat ex

fyftemate logarith-

F 3 mo-

20

Canffce

in

Eloquentia Erogreßionis.

;£§& ^ >irs t

W J 4° V «&8°

triorum, quod in aequatione illa fuppanitur dz =- dx

Vi ~x2

, qua exprimiturrelatio interarcum V i• V~x? ^_

quemlibet % & ejus

finum

x9

unde

per inregrationeme- licitur »

=-^

L ^{, ■.} Eft vero hoc fyfte-

y.— i x y X2 t

ma ex ejus opinione ita comparatum, ut i!o logarithmi-

ca, quae illud

irepraefentat,

pro modulo vel fubtangente

habeat quantitatem imaginariam-

'

: 2:0 L

^

~~

1

^-

y 1 x-i-yxu_ t

fit imposfibilis quando x2 < t. Eft igitur hoc fingulare quoddam fyftema, quod cum aequatione Logarithmicas x~L.y, ubi tam fubtangens, ^quam ordinata y pro reali

asfumitur , nihil habet commune. Prior harum condi- tionum aperte falfa eft, ut ex ipfo calculo judicari pot- eft. In genere enim, pofita fubtangente logarithmicae

= a, erit d {Lp) =

aßZ

^, quare ft fiat p — x -+•

P

. adp adx ^{, .} adp

Yx2 ^— i, Grit ^{— v} hinc ^— —

P Vx2 — i py— 1

a dx jy,

w—T"V~2 5 & pofito dz ^{— —} :

V—1-Vx*~i r _{V—i.yX2_}

l

.

*p_

^.

pYi' lm/enietur integratione fafta ³ z zzz — 1

Lp—

1

^-

1

ay~i 1 aV~i ^x qu« quantitas

x ^■ i

quo-

DB

SI )

41

( •

quoniam evanefceredebet, fa£to zz=zo, habebitur corrigen«

do ^{z =.}_—y—.^ L ^~—

.T—

Si fiat a = i, eric AT4-KX2 I

1 T V I

a —

y x

**

t_{I 1 ' X i— £},

pofito

vero

fecundum

D'ALEMBERTIUM, ä =

*

^{— ,} invenietur ^{z =}

K — i

y^«— i

£ :>—-—— ^. Unde facile adparet, Theorema al-

X -+* v X I

latum ex vulgari

hypothefi L

i == o

& fubtangentis

⁼ⁱ

deduci, neque cum

hypothefi logarithmorum

realium in vulgari fyftemate

quantitatibus imaginariis refpondentium,

ullo pa£lo

conciliari posfe.

Pergir Vir

Celeberrimus ad

examen

ejusmodi

argu¬

mentorum, quae ex conje£tis in feries infinitas Loga-

rithmis arcesfi folent, atque defendit, hujusmodi feries

nec ad corroborandam, nec ad evertendam Do&rinam logarithmorum

realium quantitatibus negativis refponden¬

tium quidquam conferre; idque duas ob

causfas. Primum

quia feries infinitae non

exprimunt

omnes

valöres

quan- titatum, quae per illas evolvuntur, deinde quoniam inter-

dum falfae funt quippe divergentes.

Quod denique ad EULERI Theoriam adtinet, qua

logarithmos numerorum negativorum imaginarios

esfede-

monftratur, in illa hypothefi hane fundatam obfervat, quod L ( i

oo^—nca

repraefentet omnes logarithmos, pofito nempe n numero infinite magno &oo infinite ^par-

vo: qute hypothefis nihil cum logarithmis negativorum

habet commune, cum i -p non nifi pofitivos reprae- fen-

Cauffie

in

Eloquent

ia

Frogrejjlonis.

C©2l ^ if% ( C??&

w J 42 l

t

fentare posfit. Hie, ^ut Sc

compluribus aliis in disfertatio*

ne fua locis ftatum controveriiae mutat 1) ALEMBER-

TlUi. EULERUS enim conrendit,_.r*Logarithmos nega- tivorum non abfolure, Ted tanrum in poütivorum fyite-

mate imposfibiles esfej quare in

Theoria fua

non

nifi il-

lud confiderare debuit, ad quod tequatio

L

ⁱ q- 00 = 1200 refertur. Ut vero in hoc fyilemate

logarithmi negativo¬

rum determinentur, quaerit L — 1; cujus

valöres

acqua-

, y r 1 \ — T , , r 2 ^ — *

tione 1 -4- • = coL tt ~+~ y —■ 1. im ^———— 71

72 72 72

comprehendi doeuit, in qua ex

ejus

mente y non

nifi i-

maginarium

eft:

(

fupponitur

vero

hic

y —

L~

1 , tt r:

are. 1800, Sc A numerus quicumque integer). Attamen

D'ALEMBERTiUS poftulat, hujus

cequationis radicem

etiam esfe jr:o, cum, pofito ^{y z=z} o,

acquatio det

1

T-~-

— 1+01/— 1, vel 1 1:Sc fa£to K c©,

fit

1 72

cof. 2 TT ~f~ 1/ — i.fin 272, vel i -4- -= i,

&

y zrz 0,

72

Nifi vero omnis evertatur Infinitorum

Analyfis, hujus-

modi argumentatio nullo

modo admitti poterit. In ac-

quatione^{^} enim 1 4- -=₇₂

cof———^

₇₂ 7t

+ V

•— *•

fin

l^ZL-L. 7t = i ±

1

^{^}V— i

licet ambo termini

72 72

Z^8c2~- ~~ * ⁷ⁱV—1 evanefeant

pofito

312=20,

male ta-

72 71

men inde inferretur —= + ~7t

V—i,praefertim

72 n

cum

DB

c$CÜb } A iy (

<36? ' 43 V

cum alter fit infinitefimalis fecundi ordinis, alter ve- ro primi ordinis., In hujusmodi ergo sequationibus ^ter-

mini evanefcentes minime negligendi funt, quippe ex quorum debita comparatione tota pendet analyfis. * Sic in mquatione eadem ii fiat A = n = co , non invenitur

i q- cof 27r dzV— ^i. fin ²⁷⁷ = i &jy ^{=o, verum}

I 4-^ ^{= COf} ₍ 277

77

) + |/ ■— I. fin (277 — -) =

« ra v ra'

cof (— ™)_ra +y— ifin(—= ^— *> qua re

ra ra

f\J ryg

L. =rfc--l/—' i x & 7 = ± ⁷⁷ y — 13 qui idem pro-

7i n

dit valör poiito A= o.

§. XI.

Breviter ergo argumenta expofuimus, quibus realita-

tem Logarithmorum quantitatum negativarum adftruere

conarus eft D'ALEMBERT1US, nec non, quomodo con¬

tra monitis occurrerit. Ipfe ^vero tandem concludit, log-

arithmos negativorum pro arbitrio ,J ut reales, vel ima-

ginarios, fpe£lari posfe, quod non nifi ex fyftcmate log¬

arithmorum fumto; pendebit. Ceterum disiertationi fuae

finem impofiturus in Comm. Ep. LEIBNIT11 & BER- NOULLII incidir, cujus le£bjo novam illi fuggesfit me- ditandi materiem, quam quo pa£lo perfecutus fit, haud

attinet multis attulisfe, cum jam allata etiam hic adplica-

ri posfint Sunt vero praecipua Ejus quee fequuntur mö-

menta. i:o Ratio i : — i non eft imaginaria, ut pcftu-

lat LEIBN11IUS; exponens enim ^{— i} hujus rationis quantitas realis eft. ^2:0 LEIBN1TIUS minus re£te fta-

tuit, numeros negativos ^non intrare rationes, etiamfi cal-

culum intrent. Sic in Parabola ax =y2, non minus eft

a :—yr: —y : x} quam a : y: \ y : x. 3:0 L V^— 2 non

Cauffcc

in

Eloquent

ia

Progreßonis.

cSfc

«as* ) ⁴⁴

(

minus realis eft quam L^~i\ itaque

rejicienda eft BER-

NOULLII thefis, quod ~L ^— 2 =

Z

— 1/2.

Si retineatur definitio rationis, quam EUCLIDES in

5 Lib. El.

dedit, fatis patebit, rationem

1 : — 1

& omnes

alias, quarum exponentes

ve.J negativi, vel imaginarii

funt, imposfibiles

esfe;

quum

fcilicet ejusmodi rationes,,

nec aequalitatis fint, nec

majoris ad minus,

nec

minoris

ad majus.

LEIBNIT1US

ergo,

qui rationem haud fe¬

ens ae ipfe

EUCLIDES confideravir, meriro poftulavit,

numeros negativos rationes non

inrrare. Nihil

tarnen impedit, quin

aequatio nxzxiy^ & id

genus

alke in duas

reiolvantur analogias, a : y : : y : x

&

a : — y — y : x, quarum

illa reales rationes, haec imaginarias continer,

Ceterum fat fuperque

fupra oßenfum eft,

tam

L

— 2 , quam L y— 2

imposfibiles esfe, fi ad unitatem affirma-

tivam referantur. BERNOULLIUS vero,

qui

numeros negativos cum ^— 1

comparavit, recte concludit

^—

2 z=Tl

— V 2.

His abfolvitur Disfertatio

D'ALEMBERTIT, cui

poftea

fupplementum addidit, quod quoniam meditata

Equitis

FONCENEX direcle petit, hccc prius recenfuisfe

oportet, antequam

ad illius examen properemus.