Tentamenskrivning: TMS145 - Grundkurs i matematisk statistik och bioin- formatik, 7,5p.

Tentamenskrivning: TMS145 - Grundkurs i matematisk statistik och bioin- formatik, 7,5p.

Tid: Tisdagen den 10 april, 2012 kl 14.00 - 18.00.

Examinator: Erik Kristiansson

Jour: Erik Kristiansson, tel 070-5259751.

Hj¨ alpmedel: kalkylator, egen handskriven formelsamling (fyra A4 sidor) samt med skrivningen utdelade tabellsidor.

Max ¨ ar 32 po¨ ang. F¨ or godk¨ ant kr¨ avs minst 15 po¨ ang, f¨ or betyget 4 kr¨ avs 21 po¨ ang och f¨ or 5 kr¨ avs 26 po¨ ang. Uppgifterna kommer inte i sv˚ arighetsordning.

1. L˚ at X vara en stokastisk variabel med t¨ athetsfunktion f _X (x) = 1 − x

2 , 0 < x < 2.

(a) Ber¨ akna v¨ antev¨ ardet f¨ or X.

(b) Ber¨ akna standardavvikelsen f¨ or X.

(c) L˚ at X ₁ , . . . , X ₁₀₀ vara ett oberoende stickprov fr˚ an en f¨ ordelning med t¨ athetsfunktion f _X (x). L˚ at

Y = X ₁ + . . . + X ₁₀₀

100 .

Ber¨ akna approximativt P(|Y − E[Y ]| > 0.1).

(5 p)

2. Till en telefonsupportavdelning inkommer tv˚ a olika typer av ¨ arenden:

handhavandefel och reklamationer. Sannolikheten att ett inkommande

¨

arende ¨ ar en ett handhavandefel ¨ ar 0,75 medan sannolikheten f¨ or att ett inkommande ¨ arende ¨ ar en reklamation ¨ ar 0,25. Tiden det tar f¨ or att avsluta ett ¨ arende antas vara exponentialf¨ ordelad d¨ ar v¨ antev¨ ardet beror p˚ a typen av ¨ arende. F¨ or handhavandefel ¨ ar v¨ antev¨ ardet 4 och f¨ or reklamationer ¨ ar v¨ antev¨ ardet 8.

(a) Ber¨ akna sannolikheten att ett ¨ arende tar mer ¨ an 6 minuter att avsluta.

(b) Ber¨ akna sannolikheten f¨ or att ett ¨ arende ¨ ar av typen handhavan- defel om det tar mer ¨ an 6 minuter att avsluta.

1

(4p)

3. M¨ angden mRNA av genen PROM1 misst¨ anks vara sammankopplad med agressiviteten hos en viss typ av tum¨ orer. F¨ or att unders¨ oka om s˚ a ¨ ar fallet uppm¨ attes mRNA-niv˚ an hos PROM1 hos tio patienter med den agressiva formen (x ₁ , . . . , x ₁₀ ) och hos 8 patienter med den sn¨ allare formen (y 1 , . . . , y 8 ) av tum¨ oren. Medelv¨ ardet och stickprovstandard- avvikelsen f¨ or de tv˚ a grupperna ber¨ aknades till ¯ x = 7, 76 och s _X = 2, 02 samt ¯ y = 5, 82 och s _Y = 0, 90. M¨ atningarna fr˚ an de tv˚ a grupperna kan antas vara normalf¨ ordelade men med olika varians.

(a) Unders¨ ok om det finns en skillnad i mRNA-niv˚ a f¨ or PROM1 mel- lan de tv˚ a grupperna genom att genomf¨ ora ett l¨ ampligt statistiskt test. Gl¨ om inte att formulera f¨ ordelningsantaganden samt noll- och alternativ-hypotes. Anv¨ and signifikansniv˚ an α = 0.05.

(b) Ber¨ akna testets p-v¨ arde.

(5 p)

4. L˚ at (X, Y ) vara en tv˚ adimensionell stokastisk variabel med t¨ athetsfunktion f _X,Y (x, y) = x + y, 0 < x < 1, 0 < y < 1.

(a) ¨ Ar X och Y oberoende?

(b) Ber¨ akna korrelationen mellan X och Y . Tolka resultatet.

(c) Ber¨ akna P(X > 2Y ).

(5 p)

5. L˚ at X ₁ , . . . X _n vara ett stickprov fr˚ an en normalf¨ oredelning med v¨ antev¨ arde µ och k¨ and varians σ ² .

(a) H¨ arled ett konfidensintervall f¨ or µ. Konfidensgraden ska vara 1−α.

(b) Best¨ am minsta antalet observationer som kr¨ avs f¨ or att konfidensin- tervallets l¨ angd inte ¨ overstiger σ/2.

(4 p)

2

6. Livsl¨ angden (x) hos en komponent misst¨ anks vara exponentialf¨ ordelad med v¨ antev¨ arde µ. F¨ or att unders¨ oka saken genomf¨ ordes ett test av 100 komponenter d¨ ar livsl¨ angden observerades.

Livsl¨ angd Antal 0 ≤ x ≤ 10 47 10 < x ≤ 20 31 x > 20 22

Observationerna kan antas vara oberoende. Medellivsl¨ angden av de 100 komponenterna ber¨ aknades till ¯ x = 13, 5.

(a) Anv¨ and ett χ ² -test f¨ or att avg¨ ora om observationerna kommer fr˚ an en exponentialf¨ ordelning med µ = 10.

(b) Anv¨ and ett χ ² -test f¨ or att avg¨ ora om observationerna kommer fr˚ an en exponentialf¨ ordelning.

(5 p)

7. L˚ at X ₁ , . . . , X _n vara ett stickprov fr˚ an en normalf¨ ordelning med v¨ antev¨ arde µ och varians σ ² . T¨ athetsfunktionen ¨ ar d˚ a

f _X (x) = 1

√

2πσ ² e ⁻

, −∞ < x < ∞.

(a) Ber¨ akna maximumlikelihoodskattningarna ˆ µ _{M L} och ˆ σ ² _{M L} av µ och σ ² .

(b) Hur f¨ orh˚ aller sig ˆ σ ² _{M L} till stickprovsstandardavvikelsen

s ² = 1 n − 1

n

X

i=1

(x _i − ¯ x) ² ?

Ar maximumlikelihoodskattaren av σ ¨ ² v¨ antev¨ ardesriktig?

(4 p)

3