Matematisk statistik 9 hp för I, Pi, C, D och fysiker Föreläsning 1: Introduktion och Sannolikhet

(1)

Introduktion Sannolikhetsteori Beroende

Matematisk statistik 9 hp f¨or I, Pi, C, D och fysiker

F¨orel¨asning 1: Introduktion och Sannolikhet

Anna Lindgren

30+31 augusti 2016

(2)

Introduktion Sannolikhetsteori Beroende Praktiska detaljer Till¨ampningar

Praktiska detaljer

I Kr¨aver 12 hp inom Endim och/eller Flerdim och/eller Linalg.

Vi inv¨antar augustitentorna innan vi kastar ut er fr˚an kursen.

I 1 f¨orel¨asning i veckan, men 2 i lp1:2+5 och lp2:3+7.

En föreläsningsserie för I+Pi, en för C+D. Övriga f˚ar välja grupp.

I 1 r¨akne¨ovning i veckan

I 4 obligatoriska dator¨ovningar (lp1:4+7 och lp2:4+6).

I 1 obligatoriskt f¨ardighetsprov deadline 14/10 kl 24.00.

I skriftlig tentamen 12 januari.

I Kurshemsida:

www.maths.lu.se/kurshemsida/fms012masb03

I F¨orel¨asare: Anna Lindgren, MH:136, anna@maths.lth.se

(3)

Matematisk statistik – slumpens matematik

Sannolikhetsteori: Hur beskriver man slumpen?

Statistikteori: Vilka slutsatser kan man dra av ett datamaterial?

(4)

Slumpm¨assig Variation

I Inom population

I M¨atos¨akerhet

(5)

Vad kan vi veta om slumpm¨assig variation?

Inte exakt vad som ska h¨anda, men hur ofta olika saker h¨ander.

Vad vi kan säga är hur sannolika olika händelser är.

(6)

Till¨ampningar f¨or matematisk statistik

I Milj¨o

I Ozonlagret ^bild

I V˚agh¨ojd ^bild

I Ekonomi

I Aktiedata ^bild

I F¨ors¨akringar ^bild

I Signalbehandling

I EEG/EKG ^bild

I Hitta spr¨ang¨amnen ^bild

I Hitta narkotika ^bild

(7)

Till¨ampningar f¨or matematisk statistik (forts)

I Mobil kommunikation

I Elmarknad

I F¨ors¨akringar

I Spel/Lotterier

I Biologi

I Geologi

I osv

(8)

Introduktion Sannolikhetsteori Beroende Venn Ex Kolmogorov Frekvens

Grundl¨aggande sannolikhetsteori

Grundl¨aggande begrepp

I Utfall – resultatet av ett slumpmässigt försök.

Bet. ω1, ω₂, . . .

I H¨andelse – en samling av ett eller flera utfall.

Bet. A, B, . . .

I Utfallsrum – m¨angden av m¨ojliga utfall. Bet Ω

(9)

Exempel: T¨arningskast

Ex. Kasta en t¨arning.

I Utfallsrum Ω = {1:a, 2:a, 3:a, 4:a, 5:a, 6:a}

I En h¨andelse A : ”Minst 4:a” = {4:a, 5:a, 6:a}

I B : ”H¨ogst 5:a” = {1:a, 2:a, 3:a, 4:a, 5:a}

I C : ”3:a” = {3:a}

Ex. Kasta tv˚a t¨arningar.

Ej uppenbart hur man skall v¨alja utfallsrum. T.ex.

I Ω = {(1, 1), (1, 2), . . . , (6, 6)}. Totalt 36 utfall.

I Om man bara ¨ar intresserad av summan:

Ω = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}. 11 utfall.

(10)

Händelser Venn-diag. Mängdlära

Utfallsrummet Ω Grundm¨angden

H¨andelsen A;

A intr¨affar Delm¨angden A

Komplementh¨andelsen.

A^∗till A; A intr¨affar ej Komplementet {A till A Unionh¨andelsen A ∪ B;

A eller B eller b˚ada intr¨affar Unionen A ∪ B Snitth¨andelsen A ∩ B = AB;

b˚ade A och B intr¨affar Snittet A ∩ B

A och B of¨orenliga hndlser;

kan ej intr¨affa samtidigt A och B disjunkta

(11)

Exempel (kasta en t¨arning rep, forts)

I A : ”Minst 4:a” = {4:a, 5:a, 6:a}

I B : ”H¨ogst 5:a” = {1:a, 2:a, 3:a, 4:a, 5:a}

I C : ”3:a” = {3:a}

N˚agra exempel p˚a snitt och union

I A ∩ B = {4:a, 5:a}

I A ∪ B = Ω

I B ∩ C = C = {3:a}

I A ∩ C = {} = ∅. Kan inte inträffa, eftersom A och C är oförenliga.

(12)

Sannolikhet

Sannolikheten att en händelse A skall inträffa bet. P(A) En sannolikhet m˚aste uppfylla följande,

Kolmogorovs axiomsystem:

•0 ≤ P(A) ≤ 1 En sannolikhet ¨ar ett tal mellan 0 och 1

• P(Ω) = 1 Sannolikheten attn˚agot skall h¨anda ¨ar 1

• P(A ∪ B) = P(A) + P(B) Om och endast om A och B är oförenliga Härur följer även t.ex.

Komplementsatsen P(A^∗) =1 − P(A).

Om det ¨ar slh 1/100 att vinna p˚a ett lotteri ¨ar slh 99/100 attinte vinna.

Additionssatsen P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)

(13)

Frekvenstolkning av sannolikhet

Upprepa ett slumpmässigt försök n g˚anger Antal ggr A inträffar

n → P(A), n → ∞

Ex Kasta tre tärningar 100 000 ggr och räkna ut relativa frekvensen treor i varje kast för var och en av tärningarna

0.2 0.4 0.6 0.8 1

Relativa frekvensen av antal treor

Relativ frekvens 1/6?

(14)

Den klassiska sannolikhetsdefinitionen

Om ett försök kan utfalla p˚a m möjliga sätt som alla är lika sannolika (har vi enlikformig sannolikhetsfördelning) och en händelse A inträffar vid g st av dessa gäller

P(A) = g m

Ex Dra ett kort ur en kortlek. Vad är sannolikheten att det är ett hjärter?

Lsg Det finns m = 52 kort varav g = 13 ¨ar hj¨arter s˚a P(♥) = 13/52 = 1/4

Ex Dra tv˚a. Vad är sannolikheten att b˚ada är hjärter?

Lsg Med lite kombinatorik blir det lite mer komplicerat P(b˚ada ♥) = Antal s¨att att v¨alja tv˚a♥

Antal s¨att att v¨alja tv˚a kort =

13 2

52 = 78 1326 = 1

17

(15)

Introduktion Sannolikhetsteori Beroende Bayes Oberoende Flera h¨andelser

Betingad sannolikhet

Ex. För en tärning har vi P(Etta) = 1/6, men om vi vet att utfallet är udda f˚ar vi P(Etta om udda utfall) = 1/3.

Def. Den betingade sannolikheten att A skall intr¨affa om vi vet att B intr¨affat betecknas P(A | B) och definieras som

P(A | B) = P(A ∩ B) P(B)

Ur detta (och P(B | A)) f˚ar vi tv˚a r¨akneregler f¨or P(A ∩ B) P(A ∩ B) = P(A | B) · P(B) = P(B | A) · P(A) Ex (igen) Dra tv˚a kort.

Vad är sannolikheten att b˚ada är hjärter?

(16)

Betingad risk

(17)

Satsen om total sannolikhet

Om vi har n st h¨andelser H1, . . . ,Hnsom ¨ar

I Parvis of¨orenliga, dvs Hi∩ H_j = ∅, i 6= j

I Tillsammans t¨acker utfallsrummet, dvs

n

[

i=1

H_i = Ω gäller för varje händelse A

P(A) =

n

X

i=1

P(A | H_i) ·P(H_i)

samt”Konsten att v¨anda en betingad sannolikhet” eller Bayes sats P(Hi | A) = P(Hi∩ A)

P(A) = P(A | Hi) ·P(Hi) P(A)

(18)

Oberoende h¨andelser

Om det visar sig att P(A | B) = P(A), p˚averkas inte A av att B intr¨affat eller ej, de ¨ar oberoende. Detta kan med definitionen av betingad sannolikhet skrivas om som P(A ∩ B) = P(A) · P(B).

Def. H¨andelserna A och B ¨aroberoende av varandra

⇐⇒

P(A ∩ B) = P(A) · P(B) Obs. Skilj mellanoberoende och of¨orenliga.

Kan tv˚a oberoende h¨andelser vara of¨orenliga?

(19)

Exempel: Oberoende

Kasta tv˚a t¨arningar och l˚at

A = Första tärningen visar sexa B = Summan är sju

C = Summan ¨ar ˚atta

Vilka av h¨andelserna A, B och C ¨ar oberoende av varandra?

2 3 4 5 6

Tärning 2

A B C

(20)

Alla, ingen och n˚agon

Om vi har n stoberoende h¨andelser A1, . . . ,An kan vi r¨akna ut sannolikheten att

I alla intr¨affar

P(A₁∩ · · · ∩ An) =P(A₁) · . . . ·P(An)

I ingen intr¨affar, dvs alla l˚ater bli att intr¨affa

P(A^∗₁∩ · · · ∩ A^∗_n) =P(A^∗₁) · . . . ·P(A^∗_n) =

= [1 − P(A₁)] · . . . · [1 − P(An)]

I n˚agon intr¨affar, dvs minst en, eller ”inte ingen”

P(A₁∪ · · · ∪ An) =1 − P(A^∗₁∩ · · · ∩ A^∗_n) =

(21)

Ozon i Dobson enheter

Tillbaka

(22)

V˚agh¨ojd

Tillbaka

(23)

OMXS30 aktieindex

Tillbaka

400 600 800 1000 1200 1400

OMXS30

(24)

Kostnad stormskador

Tillbaka

(25)

EKG och R-R variation

Tillbaka

(26)

Detektion av spr¨ang¨amne

Tillbaka

(27)

NQR signal meta-amfetamin

Tillbaka