• Kursboken V¨ annman: Matematisk statistik. I kursboken f˚ ar anteckningar och post-it lappar finnas, men inte l¨ osta exempel.

Po¨ ang totalt f¨ or del 1: 25 (10 uppgifter) Tentamensdatum 2013-01-18 Po¨ ang totalt f¨ or del 2: 30 (3 uppgifter) Skrivtid 09.00 – 14.00 L¨ arare: Adam Jonsson, Ove Edlund och Niklas Grip

Jourhavande l¨ arare: Adam Jonsson Tel: 0920-491948

Till˚ atna hj¨ alpmedel: • R¨ aknedosa,

• Kursboken V¨ annman: Matematisk statistik. I kursboken f˚ ar anteckningar och post-it lappar finnas, men inte l¨ osta exempel.

• Kompendium om regressionsanalys

• Formelblad

• Tabeller

Tentamen best˚ ar av tv˚ a delar. P˚ a den f¨ orsta delen, som ¨ ar obligatorisk f¨ or att kunna bli godk¨ and, beh¨ over enbart svar l¨ amnas in, men om korta l¨ osningar bifogas s˚ a finns det vid gr¨ ansfall m¨ ojlighet att f˚ a delpo¨ ang p˚ a en uppgift. Delpo¨ ang ges i f¨ orsta hand om en uppgift i stort sett behandlats korrekt men slarvfel beg˚ atts. Om kortfattade l¨ osningar ej bifogas s˚ a finns inga m¨ ojligheter att f˚ a delpo¨ ang p˚ a en uppgift.

F¨ or godk¨ ant kr¨ avs minst 17 po¨ ang p˚ a del 1. Svaren f¨ or del 1 ska fyllas i p˚ a det blad som bifogas tentamen. Det ifyllda svarsbladet skall l¨ aggas f¨ orst om du l¨ amnar in l¨ osningar och bifogas oavsett om du l¨ amnat in l¨ osningar eller ej. Om inte det ifyllda svarsbladet l¨ amnas in bed¨ oms tentamen som underk¨ and.

P˚ a den andra delen, som g¨ aller tentamen f¨ or ¨ overbetyg, ska fullst¨ andiga l¨ osningar l¨ amnas in. T¨ ank p˚ a att redovisa dina l¨ osningar p˚ a ett klart och tydligt s¨ att och motivera resonemangen. Vid bed¨ omningen av l¨ osningarna l¨ aggs stor vikt vid hur l¨ osningarna ¨ ar motiverade och redovisade. F¨ or betyg 4 kr¨ avs godk¨ ant p˚ a den f¨ orsta obligatoriska delen samt minst 13 po¨ ang fr˚ an den andra delen f¨ or ¨ overbetyg. F¨ or betyg 5 kr¨ avs godk¨ ant p˚ a den f¨ orsta obligatoriska delen samt minst 23 po¨ ang fr˚ an den andra delen f¨ or ¨ overbetyg.

OBS! Det g˚ ar inte att kompensera underk¨ ant p˚ a den f¨ orsta korta delen av tentamen med po¨ ang p˚ a den andra delen.

Ange p˚ a tentamensomslaget om du har l¨ amnat in l¨ osningar p˚ a del 2 genom att kryssa f¨ or de sista tre uppgifterna.

Om du plussar f¨ or ¨ overbetyg s˚ a skriv detta p˚ a tentamensomslaget.

LYCKA TILL!

1. Att en slumpm¨ assigt utvald student betalar sina r¨ akningar genom n˚ agon internetbank har visat sig ske med sannolikheten 0.40. Att tr¨ affa en student som har en mobiltelefon sker med sannolikheten 0.61.

Sannolikheten att en student b˚ ade har mobiltelefon och betalar sina r¨ akningar genom en internetbank ¨ ar 0.35. En slumpm¨ assigt vald stu- dent har mobiltelefon. Hur stor ¨ ar sannolikheten att han ocks˚ a betalar

r¨ akningarna genom en internetbank? (2p)

2. Antalet trasiga pixlar p˚ a en s˚ a kallad LED-tv av ett visst m¨ arke har en Poissonf¨ ordelning med v¨ antev¨ ardet 2.1. Ber¨ akna sannolikheten att en tv-apparat av den aktuella typen inte har n˚ agra trasiga pixlar. (2p) 3. En partikel utf¨ or slumvandring p˚ a (dom positiva och negativa) helta-

len. Partikeln startar p˚ a talet 0 och hoppar sedan ett steg varje sekund.

Hoppet g¨ ors i negativ respektive positiv riktning med sannolikhet 0.5.

Vad ¨ ar sannolikheten att partikeln befinner sig p˚ a talet 2 efter 10 se- kunder? Ledning: Att partikeln befinner sig t.ex. p˚ a talet 6 efter 10 sekunder ¨ ar samma sak som att exakt 8 av dom 10 hoppen sker i

positiv rikning. (3p)

4. Den stokastiska variabeln ξ har frekvensfunktionen

f (x) =

( ce ^−x/5 om 0 ≤ x ≤ 3, 0 annars,

d¨ ar c ¨ ar en viss konstant.

(a) Best¨ am konstanten c. (1p)

(b) Best¨ am medianen i f¨ ordelningen f¨ or ξ. (2p)

5. Om ξ 1 , ξ 2 , ξ 3 , ξ 4 , ξ 5 ¨ ar oberoende och Exp(λ)-f¨ ordelade s˚ a har summan ξ = ξ ₁ + ξ ₂ + ξ ₃ + ξ ₄ + ξ ₅

en s˚ a kallad Γ(5, λ)-f¨ ordelning (uttalas ”gamma-f¨ ordelning”). Dess fre- kvensfunktion ges av

f (x) = λ ⁵

24 x ⁴ e ^−λx , x > 0.

Best¨ am v¨ antev¨ arde och varians i Γ(5, λ)-f¨ ordelningen. (2p) 6. Majas och Joels utgifter f¨ or kursmaterial (enhet: kr) under en m˚ anad

kan ses som oberoende stokastiska variabler. Majas utgifter/m˚ anad kan antas vara normalf¨ ordelade med v¨ antev¨ arde 420 kr och standar- davvikelse 30 kr och Joels utgifter/m˚ anad kan antas vara normalf¨ ordelade med v¨ antev¨ arde 340 kr och standardavvikelse 25 kr. Vad ¨ ar sannolik- heten att Joels utgifter ¨ overstiger Majas under en slumpm¨ assigt vald

m˚ anad? (2p)

7. En ingenj¨ or anv¨ ander tv˚ a h¨ ogprecisionsinstrument f¨ or att best¨ amma vikten hos en viss typ av komponenter. Hon misst¨ anker att instrument 1 i genomsnitt visar en h¨ ogre vikt ¨ an instrument 2. F¨ or att unders¨ oka om misstanken st¨ ammer v¨ aljer hon ut en enda komponent och g¨ or sedan 12 m¨ atningar p˚ a den komponenten, 6 med det f¨ osta instrumentet och 6 med det andra. Resultatet i gram ges nedan:

M¨ atning nr 1 2 3 4 5 6 7

Instrument 1 12.22 12.18 12.24 12.41 12.30 12.36 12.35 Instrument 2 12.17 12.31 12.38 12.39 12.39 12.33 12.36 Ber¨ akna ett l¨ ampligt 99% konfidensintervall f¨ or den genomsnittliga skillnaden (instrument 1 - instrument 2) mellan instumenten under rimliga normalf¨ ordelningsantaganden. Svara med den nedre gr¨ ansen.

R¨ aknehj¨ alp: ¯ x 1 = 12.2943, s 1 = 0, 0840, ¯ x 2 = 12.3329, s 2 = 0.0780.

F¨ or differensserien g¨ aller ¯ z = −0.0386, s _z = 0.0797. (2p) 8. ¹ En l¨ akare vill veta om en ny medicin i genomsnitt har en postiv

effekt p˚ a patienters h¨ alsa. Han hittar en studie gjord p˚ a 12 patienter d¨ ar man dragit slutsatsen att medicinen i genomsnitt har en positiv effekt. De faktiska m¨ atv¨ ardena framg˚ ar inte, man har endast angivit (med +) om medicinen gett avsedd effekt:

Patient nr 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Resultat + + - + + + - + + + + +

I studien anv¨ ands antalet + tecken f¨ or att testa H 0 : “ingen genomsnittlig effekt” mot H ₁ : positiv effekt i genomsnitt”. Beslutsregeln definiera- des: ”F¨ orkasta H ₀ om antalet + tecken ¨ ar minst 9”.

Vilken signifikansniv˚ a har det test som anv¨ ants i studien? (2p) 9. En forskare misst¨ anker att tv˚ a slumpvariablers standardavvikelser, σ 1

och σ ₂ , inte ¨ ar lika stora. F¨ or att testa H ₀ :”slumpvariablerna har samma standardavvikelser” p˚ a 5 % signifikansniv˚ a v¨ aljer hon att utg˚ a fr˚ an ett 95 % konfidensintervall f¨ or β, d¨ ar β betecknar kvoten σ 1 /σ 2 . Vilket av f¨ oljande p˚ ast˚ aenden st¨ ammer? En l¨ amplig beslutsregel ges av. . .

1 ”H ₀ f¨ orkastas om talet 0 t¨ acks av konfidensintervallet”.

2 ”H ₀ f¨ orkastas om talet 0 inte t¨ acks av konfidensintervallet”.

3 ”H 0 f¨ orkastas om talet 1 t¨ acks av konfidensintervallet.”

4 ”H ₀ f¨ orkastas om talet 1 inte t¨ acks av konfidensintervallet.”

5 ”H ₀ f¨ orkastas om β t¨ acks av konfidensintervallet.”

6 ”H 0 f¨ orkastas om β inte t¨ acks av konfidensintervallet.”

(2p) 10. Vid en unders¨ okning studerades hur Y =den totala glassf¨ ors¨ aljningen

(kkr per dag) i en kiosk kunde relateras till X 1 =utomhustemperaturen och X ₂ =kioskens placering. Dom tv˚ a placeringarna som unders¨ oktes

1

Uppgiften har f¨ ortydligats efter att tentamen avslutats.

kodades X 2 = 0 respektive X 2 = 1. Resultatet av en regressionsanalys f¨ or 20 glassk¨ op redovisas i tabell 1.

(a) Best¨ am det predikterade v¨ ardet av f¨ ors¨ aljningen p˚ a placering 0

vid temperaturen 24 grader. (1p)

(b) F¨ or att unders¨ oka om placeringen p˚ averkar f¨ ors¨ aljningen skall ett test p˚ a 1% signifikansniv˚ a genomf¨ oras genom att ber¨ akna v¨ ardet p˚ a en l¨ amplig t-kvot och j¨ amf¨ ora denna med ett visst tal.

Vad ¨ ar v¨ ardet p˚ a t-kvoten? Kan man p˚ ast˚ a att placeringen p˚ averkar f¨ ors¨ aljningen p˚ a 1% signifikansniv˚ a?

F¨ or 2 po¨ ang kr¨ avs b˚ ade t-kvoten och r¨ att svar (ange JA eller NEJ

p˚ a svarsbladet). (2p)

(c) Vad ¨ ar den genomsnittliga f¨ or¨ andingen av f¨ ors¨ aljningen p˚ a pla- cering 1 om temperaturen ¨ okar med 3 grader? Besvara fr˚ agan genom att ber¨ akna ett 99%-igt konfidensintervall. Redovisa den

undre gr¨ ansen. (2p)

Tabell 1: Regression Analysis: Y versus X1; X2 The regression equation is

Y = - 42,8 + 2,66 X1 + 15,0 X2

Predictor Coef SE Coef T P

Constant -42,84 10,23 ? ?

Temp 2,6607 0,4520 ? ?

Placering 15,004 1,360 ? ?

S = 3,03949 R-Sq = ?% R-Sq(adj) = ?%

Analysis of Variance

Source DF SS MS F P

Regression 2 ? ? ? ?

Residual Error 17 157,05 ?

Total 19 1575,09

Slut p˚ a del 1. Gl¨ om inte att bifoga svarsbladet med tentan!

Tabell f¨ or svar till del 1

Riv ut och l¨ agg svarsbladet f¨ orst i tentamen

Namn: . . . . Personnummer: . . . .

Sannolikheter skall anges i decimalform dom ett tal mellan 0 och 1.

Fr˚ aga Svar Po¨ ang

1 Sannolikhet (tre decimaler) 0.574 2

2 Sannolikhet (tre decimaler) 0.122 2

3 Sannolikhet (tre decimaler) 0.205 3

4 a Konstanten c (tv˚ a decimaler) 0.44 1

b Median (tv˚ a decimaler) 1.28 2

5 V¨ antev¨ arde 5/λ 1

Varians 5/λ ² 1

6 Sannolikhet (tre decimaler) 0.020 2

7 Nedre gr¨ ans (fyra decimaler) -0,1709 2

8 Signifikansniv˚ a (fyra decimaler) 0.0730 2

9 1,2,3,4,5 eller 6 4 2

10 a Predikterat v¨ arde (tv˚ a decimaler) 21.04 1 b t-kvot (fyra decimaler) 11.0324

“JA” eller “NEJ” JA 2

c Nedre gr¨ ans (fyra decimaler) 4.0524 2

Totalt antal po¨ ang 25

Vid bed¨ omningen av l¨ osningarna av uppgifterna i del 2 l¨ aggs stor vikt vid hur l¨ osningarna ¨ ar motiverade och redovisade. T¨ ank p˚ a att noga redovisa inf¨ orda beteckningar och eventuella antaganden.

11. Vad ¨ ar sannolikheten att partiken fr˚ an uppgift 3 befinner sig mellan

talen -50 och 50 efter 10 minuter? (10p)

L¨ osningsskiss Positionen efter 600 sekunder ¨ ar 2ξ − 600, d¨ ar ξ=antal steg i positiv riktning ∈ Bin(600, 0.5) ' N (300, 12.25) enligt centrala gr¨ ansv¨ ardessatsen. Att partiken befinner sig mellan talen -50 och 50 efter 600 sekunder ¨ ar samma sak som att −25 ≤ ξ − 300 ≤ 25, d¨ ar ξ − 300 ∈' N (0, 12.25). Sannolikheten ¨ ar ca 0.4.

12. Tv˚ a personer, A och B, skall m¨ ata en ok¨ and fysikalisk konstant θ. De g¨ or en m¨ atning var med olika metoder som b˚ ada ¨ ar v¨ antev¨ ardesriktiga.

De stokastiska variablerna ξ ₁ och ξ ₂ som betecknar m¨ atv¨ ardet fr˚ an A respektive B kan antas vara oberoende, d¨ ar V (ξ 1 ) = σ ² _A och V (ξ 2 ) = σ _B ² ¨ ar k¨ anda. Som skattning av θ t¨ anker man anv¨ anda en linj¨ ar kom- bination

η = c 1 ξ 1 + c 2 ξ 2 .

(a) H¨ arled ett villkor som konstanterna c ₁ och c ₂ m˚ aste uppfylla f¨ or att η ska vara en v¨ antev¨ ardesriktig skattning av θ. (5p) (b) Visa att den v¨ antev¨ ardesriktiga linj¨ arkombination som har b¨ ast

precision, dvs minst varians, ges av σ _B ²

σ _A ² + σ _B ² ξ ₁ + σ _A ² σ _A ² + σ ² _B ξ ₂ .

(7p) L¨ osningsskiss

(a) Enligt Sats 5A har vi E(η) = (c ₁ +c ₂ )θ. S˚ a det kr¨ avs att c ₁ +c ₂ = 1. Om villkoret ¨ ar uppfyllt ¨ ar η v¨ antev¨ ardesriktig.

(b) Villkoret c 1 + c 2 = 1 kan skrivas c 2 = 1 − c 1 . L˚ at d¨ arf¨ or c 1 = c och betrakta cξ 1 + (1 − c)ξ 2 . Variansen ¨ ar (Sats 5A)

c ² σ ² _A + (1 − c) ² σ ² _B .

Man kan t.ex. derivera f¨ or att f˚ a att uttrycket minimeras d˚ a c =

σ

σ

+σ

.

13. ² L¨ akaren fr˚ an uppgift 8 genomf¨ or en egen studie p˚ a 20 personer, som var och en provar medicinen. En normalf¨ ordelningsplot ¨ over de 20 differenserna z i = x i −y _i , d¨ ar y i ¨ ar h¨ alsan (i kodade enheter) f¨ or person nummer i efter behandling med medicinen, gav f¨ oljande resultat. F¨ or att testa

H ₀ : “ingen genomsnittlig effekt” mot H ₁ : “positiv genomsnitt effekt”

2

Uppgiften har f¨ ortydligats efter att tentamen avslutats.

Figur 1: Normalf¨ ordelningsplot

p˚ a 5 % signifikansniv˚ a v¨ aljer han mellan tv˚ a test. Det f¨ orsta testet baseras p˚ a d, d¨ ar d ¨ ar antalet negativa differenser. Det andra testet baseras p˚ a kvoten

t = z ¯ s _z / √

20 ,

d¨ ar s z ¨ ar stickprovsstandardavvikelsen f¨ or z 1 , . . . , z 20 .

Vilket test b¨ or l¨ akaren v¨ alja och varf¨ or? Diskutera (kortfattat men

tydligt) vilka konsekvenser ett felaktigt metodval medf¨ or. (8p)

L¨ osningsskiss Eftersom v¨ ardena tycks vara normalf¨ ordelade s˚ a b¨ or

han v¨ alja t-testet. Det ¨ ar m¨ ojligt att v¨ alja testet som baseras p˚ a d

eftersom vi har observationer fr˚ an en kontinuerlig f¨ ordelning. Men pre-

cisionen f¨ or det testet (dvs styrkan) kommer att bli s¨ amre.