Vridmoment (= kraftmoment, eng. Torque)

b

Verkningslinje q

lj𝝉

1

Def.: Vridmomentets belopp är produkten av kraften och kraftens hävarm (momentarm):

 = ሜ𝑭 𝑏 = ሜ𝑭 lj𝒓 sin 𝜃

Obs. att vi kan representera vridmomentet som en vektor: Def.: lj𝝉 = lj𝒓 × ሜ𝑭.

Vinkelrät mot planet där lj𝒓 och ሜ𝑭 ligger,

riktning enligt skruvregeln. Se figur till höger.

Vridmoment (= kraftmoment, eng. Torque)

Hävarm = vinkelräta avståndet mellan kraftens verkningslinje och vridningspunkten O.

𝜽 ෡

ො𝒓

Fq

q

 = ^

Dela upp kraften polärt i radiell och tangentiell riktning : Antag först att en partikel med massa m utför en cirkulär rotation (fastsatt på en viktlös stav med längden r). Antag att en nettokraft ሜ𝑭 verkar på partikeln. Newton II:

ሜ𝑭 = 𝐹_𝑟ො𝒓 + 𝐹_𝜃𝜽෡

ሜ𝑭 = 𝑚 lj𝒂

𝜏

= 𝑚𝑟

ሷ𝜃 = 𝐼

= 𝑚𝑟

= 𝐼

𝜃 = 𝐼 ሷ

𝛼

vinkelacceleration tröghetsmoment

Vridmoment och vinkelacceleration ("Newton II för rotation")

lj𝝉 = lj𝒓 × ሜ𝑭 = 𝑟ො𝒓 × (𝐹_𝑟ො𝒓 + 𝐹_𝜃෡𝜽) = 𝑟𝐹_𝜃ො𝒛 = 𝜏_𝑧ො𝒛 Vi får vridmomentet:

Vridmomentet mot vridningsplanet

⊥

Vridmomentet är produkten av tröghetsmomentet och vinkelaccelerationen.

𝜏_𝑧 = 𝑟𝐹_𝜃 = 𝑁𝑒𝑤𝑡𝑜𝑛 𝐼𝐼 = 𝑟(𝑚𝑎_𝜃) = 𝑟𝑚(2 ሶ𝑟 ሶ𝜃 + 𝑟 ሷ𝜃) = ሶ𝑟 = 0 = 𝑚𝑟² ሷ𝜃

𝑎_𝜃 från PH. lj𝒂 = 𝑎_𝑟ො𝒓 + 𝑎_𝜃𝜽 = ( ሷ𝑟 − 𝑟 ሶ𝜃෡ ²)ො𝒓 + (2 ሶ𝑟 ሶ𝜃 + 𝑟 ሷ𝜃)෡𝜽

(YF kap. 10.2)

Om vi har ett partikelsystem får vi summera vridmomenten från alla partiklar:

Vridmoment och vinkelacceleration för stel kropp

𝜏_{𝑧,𝑡𝑜𝑡} = ෍ 𝜏_𝑧,𝑖 = ෍ 𝑚_𝑖𝑟_𝑖² ሷ𝜃_𝑖

Antag att alla partiklar har samma vinkelacceleration (stel kropp):

𝜏

= ෍ 𝑚

𝑟

ሷ𝜃

= ෍ 𝑚

𝑟

ሷ𝜃 = 𝐼𝛼

kropp Stel

dm R

I

stem Partikelsy

r m I

I

I I

i

i i tot

z





=

=

=

=

2 2 ,

: smomentet är tröghet

Där

 q

 ^{ }

För en stel kropp gäller alltid att hela kroppen har samma vinkelacceleration runt vridningsaxeln. Vidare övergår summeringen till en integral.

F₁

F₂

F_i F_n r_n

r₁ r_i

r₂ lj𝝉_𝑡𝑜𝑡

Newton II för rotation

(YF kap. 10.2)

4

Jämviktsvillkor för stel kropp

Det förekommer ofta situationer där man önskar bestämma vilka villkor som måste uppfyllas för att en fast kropp skall förbli stillastående, dvs. befinna sig i jämvikt. Den här delen av mekaniken kallas statik.

För att uppfylla kraven för såväl translationsjämvikt som rotationsjämvikt krävs att såväl summan av alla krafter = 0 som summan av alla vridmoment = 0.

෍

𝑖

ሜ𝑭_𝑖 = 0

෍

𝑖

𝐹_𝑖𝑥 = 0 ෍

𝑖

𝐹_𝑖𝑦 = 0 ෍

𝑖

𝐹_𝑖𝑧 = 0

෍

𝑖

lj𝝉_𝑖 = 0

෍

𝑖

𝜏_𝑖𝑥 = 0 ෍

𝑖

𝜏_𝑖𝑦 = 0 ෍

𝑖

𝜏_𝑖𝑧 = 0

Friktionen vid A är försumbar. W=40N.

Hur stor friktionskraft F₁ krävs för att stegen ska stå kvar mot väggen?

(Typiskt statikproblem)

(YF kap. 11.1-11.3)

(Jfr. YF Example 11.3 och Le 8, uppg.5)

Friktionen vid A är försumbar. W

= 40 N. Hur stor friktionskraft F₁ krävs för att stegen ska stå kvar mot väggen? Stegens längd l.

1. Sätt ut krafter som påverkar stegen

2. Välj vridningspunkt där den okända kraften verkar (vridning runt B)

𝑭ഥ₁ 1. σ_𝑖 ሜ𝑭_𝑖 = 0

ෝ𝒙 − led: −𝐹₁ + 𝐹₃ = 0 ⇒ 𝐹₁ = 𝐹₃ (1)

ෝ

𝒚 − led: 𝐹₂ − 𝑊 = 0 2. σ_𝑖 lj𝝉_𝑖 = 0

Valt vridning runt B ⇒ lj𝒓_𝑩 = 𝟎 ⇒ σ_𝑖 lj𝝉_𝑖 = lj𝒓_𝐴 × ሜ𝑭₃ + lj𝒓_𝐶 × ሜ𝑾 =

𝑙 − cos 𝛼 ෝ𝒙 + sin 𝛼 ෝ𝒚 × 𝐹₃ෝ𝒙 + 𝑙

2 − cos 𝛼 ෝ𝒙 + sin 𝛼 ෝ𝒚 × (−𝑊ෝ𝒚)

= 𝑙(−𝐹₃ sin 𝛼 + 𝑊

2 cos 𝛼)ො𝒛 = 0

⇒ −𝐹₃ sin 𝛼 + 𝑊

2 cos 𝛼 = 0 1 i 2 : 𝐹₁ = 𝑊

2

cos 𝛼

sin 𝛼 = 40 2

1

tan 60° = 11.5 𝑁 Svar: ሜ𝑭₁ = −11.5 ෝ𝒙 𝑁

ෝ 𝒙

ෝ𝒚

ො𝒛

Lösning:

Masscentrums rörelse relativt observatören

Kinetiska energin relativt masscentrum

= 0, ty ෍

𝑖

𝑚_𝑖 lj𝒗_𝑖 = 𝑀 lj𝒗_𝐶𝑀

= 1

2𝑀𝑣_𝐶𝑀²

Betrakta kroppen som ett partikelsystem med n partiklar:

Massor: m₁, m₂... m_n

Lägesvektorer: lj𝒓₁, lj𝒓₂, … , lj𝒓_𝑛 Hastigheter: lj𝒗₁ , lj𝒗₂, … , lj𝒗_𝑛

Varje rörelse för en stel kropp kan representeras som en kombination av:

- Translationsrörelse för masscentrum

- Rotationsrörelse runt en axel genom masscentrum.

Hastighet rel. masscentrum

Kombinerad translation och rotation

Masscentrums hastighet

(YF kap. 10.3)

Skriv partikel i’s hastighet som: lj𝒗_𝑖 = lj𝒗_𝐶𝑀 + ( lj𝒗_𝑖 − lj𝒗_𝐶𝑀) Den totala kinetiska energin hos systemet ges då av 𝐸_𝑘 = ¹

2σ_𝑖𝑚_𝑖𝑣_𝑖²= ¹

2σ_𝑖𝑚_𝑖 lj𝒗_𝐶𝑀 + ( lj𝒗_𝑖 − lj𝒗_𝐶𝑀) ²

= 1 2෍

𝑖

𝑚_𝑖𝑣_𝐶𝑀² + 1 2෍

𝑖

𝑚_𝑖( lj𝒗_𝑖 − lj𝒗_𝐶𝑀)² + lj𝒗_𝐶𝑀 ⋅ ෍

𝑖

𝑚_𝑖( lj𝒗_𝑖 − lj𝒗_𝐶𝑀)

En stel kropps kinetiska energi kommer då att bestå av translationskinetisk energi för masscentrum, 𝐸k, trans = ¹₂𝑀𝑣_𝐶𝑀² och rotationskinetisk energi runt

masscentrum: 𝐸k, rot = ¹₂𝐼_𝐶𝑀𝜔².

Totala mekaniska energin :

E bevaras om externa krafter konservativa.

𝐸 = 𝐸_𝑘 + 𝐸_{𝑝,𝑒𝑥𝑡} = 1

2𝑀𝑣_𝐶𝑀² + 1

2𝐼_𝐶𝑀𝜔² + 𝐸_{𝑝,𝑒𝑥𝑡}

Translations- och rotationskinetisk energi för stel kropp

7

Vi har alltså visat allmänt: 𝐸_𝑘 = ¹

2𝑀𝑣_𝐶𝑀² +¹

2σ_𝑖 𝑚_𝑖( lj𝒗_𝑖 − lj𝒗_𝐶𝑀)²

(YF kap. 10.3)

8

Rullning utan glidning

Rullningsvillkor:

R

Kan betraktas som rotationsaxel

lj𝒗_𝐶𝑀 = 𝑅𝜔 lj𝒔 = 𝑅𝜃

lj𝒗_𝐶𝑀 = 𝑅 𝑑𝜃

𝑑𝑡 = 𝑅𝜔 lj𝒂_𝐶𝑀 = 𝑅 𝑑²𝜃

𝑑𝑡² = 𝑅𝛼

OBS! Vid rullning utan glidning är kontaktpunkten P:s momentana hastighet 0 !!

(YF kap. 10.3)

lj𝒗_𝑇 = 2𝑅𝜔

= 2 lj𝒗_𝐶𝑀

9

Ex.: En stel kropp med tröghetsmoment I, massa M och radie R rullar utan att glida nedför ett lutande plan.

Bestäm dess hastighet när den kommer ner (dvs när dess masscentrum färdats höjden h i vertikalled)!

Använd energiprincipen!



Övn. 1: Ett homogent klot, en homogen cylinder och en ring med samma radie tävlar! Vem vinner?

Övn.2: Lös problemet med hjälp av de dynamiska sambanden för kraft och vridmoment i stället!

(YF Example 10.5)

ሜ𝑭

= 𝑀 ⋅ lj𝒂

𝜏

= 𝐼

𝛼

10

Ex.: Jojo! Beräkna masscentrums acceleration om jojon är en

homogen cylinder med radie R.

Antag att snöret inte töjs, inte glider gentemot cylindern, och att fria änden hålls fix.

(YF Example 10.5)

ሜ𝑭

= 𝑀 ⋅ lj𝒂

𝜏

= 𝐼

𝛼