LASTCELL FÖR VRIDMOMENT PÅ LASTBILSHJUL

Kungliga Tekniska Högskolan Examensarbete inom Maskinteknik, grundnivå - Hållfasthetslära

LASTCELL FÖR VRIDMOMENT PÅ LASTBILSHJUL

Khashaiar Noushin och Aleksandar Stjepanetic

Sammanfattning

Scania vill utveckla en lastcell för att mäta belastningarna på lastbilshjul. Av dessa belastningar är vridmomentet av högsta intresse. Förslaget är en insats mellan nav och fälg som med hjälp av töjningsgivare ger töjning- och spänningstillståndet. Inledningsvis finns två modeller, en med bryggor och en homogen ring. Båda modeller studeras, ring-modellen betraktas semi- analytiskt och båda modeller analyseras numeriskt med hjälp av FEM för att bestämma laster från uppmätta töjningar. För ringmodellen fås god överrensstämmelse med FEM-modellen.

En matematisk modell framställdes i form av en överföringsmatris där ett samband mellan uppmätta töjningar och laster etablerades. Matrisen ställs upp ifrån ett linjärt ekvationssystem och kan framställas antingen analytiskt eller numeriskt. Med hjälp av detta undersöktes beräkningarnas känslighet för ett antal felkällor såsom mät- och orienteringsfel hos töjningsgivare. Med integration över ett helt hjulvarv förbättrades mätnoggranheten avsevärt.

Den last som mäts med högst noggrannhet visade sig vara vridmomentet som kan mätas inom

± 1% medan den axiella kraften gav sämst noggrannhet (±3%).

Load cell for torque on truck wheels Abstract

Scania wants to develop a load cell to measure the loads on truck wheels. Of these loads, the torque is of the most interest. The idea is an insertion between the hub and the rim which, with the help of strain gauges, gives the strain- and stress state. Initially, there are two designs, one with bridges and one with a homogeneous ring. Both models are studied, the ring model is analyzed semi- analytically and both models are analyzed numerically using FEM to produce loads from measured strains. The ring model showed considerable agreement with the FEM model.

A mathematical model was developed in the form of a transfer matrix where a relationship between measured strains and loads was established. The matrix is set up from a linear system of equations and can be established either analytically or numerically. Using this, the sensitivity of the calculations for several sources of error was examined such as orientation and measurement errors in strain gauges. With integration over an entire wheel turn, the measurement accuracy was improved significantly. The load measured with the highest accuracy turned out to be precisely the torque which measures within ± 1%, while the axial force gave the worst accuracy (± 3%).

Innehållsförteckning

1. Inledning ... 1

1.1 Bakgrund & Mål ... 1

1.2 Metod ... 1

1.2.1 FEM ... 1

1.3 Avgränsningar ... 1

2. Design ... 2

2.1 Bryggor ... 2

2.2 Ring ... 3

3. Analys ... 4

3.1 Belastningar ... 4

3.2 Spänningar ... 5

3.3 Töjningar ... 6

3.4 Dimensionering ... 7

3.5 A-matrisen... 10

4. FEM-Simulering ... 11

4.1 Modell ... 11

4.2 Numeriskt bestämd A-matris ... 12

4.3 Effektivspänningar ... 13

5. Mätosäkerhet och störningar ... 15

5.1 Felkällor ... 15

5.1.1 Mätfel ... 15

5.1.2 Monteringsfel ... 16

5.1.3 Hjulrotation ... 17

5.1.4 Andra felkällor, ej betraktade ... 18

5.2 Monte Carlo simuleringar ... 19

5.3 Integration ... 21

6. Slutsatser ... 23

7. Diskussion ... 24

Referenser ... 25

Bilagor... 26

B1, Matlab - Parameterlista ... 26

B2, Matlab – Von Mises effektivspänning ... 26

B3, Matlab - Lastcell... 27

B4, Matlab - A-matrisfunktion ... 28

B5, Matlab - Monte Carlo simuleringar ... 28

B6, Matlab - Monte Carlo simuleringar integrerat över ett hjulvarv ... 29

B7, Materialdata ... 30

1

1. Inledning

1.1 Bakgrund och Mål

Lastbilstillverkaren Scania vill utveckla en momentgivare för att mäta vridmomentet på hjulen.

Nuvarande kommersiella designer är dyra och komplicerade [1]. En initial design har framtagits av dem där idéen är en insats mellan nav och fälg som skall analyseras och vidareutvecklas. Förhoppningen här är att utveckla en momentgivare med lägre tillverkningskostnader samt enklare installation än existerande modell. Målet med detta arbete är således att undersöka hållfastheten hos den initiala designen som förses av Scania och sedan utveckla en matematisk modell kring denna för att mäta samtliga belastningar på givaren med fokus på främst vridmomentet kring drivaxeln. Direktivet är att arbeta vidare med dessa frågor med fria händer.

1.2 Metod

Under arbetets gång har inlärd kunskap implementeras från kurser inom hållfasthetslära och FEM som ges av maskinteknikprogrammet på KTH. Med analytiska metoder baserade på grundkursen i hållfasthetslära ställs ett linjärt ekvationssystem upp, detta görs med hjälp av Matlab och ger sambandet mellan laster och töjningar. Denna modell jämförs därefter med hjälp av en FEM-analys vilken även visar hur noggrann den analytiska modellen är.

1.2.1 FEM

Simuleringar görs i Ansys, ett program som implementerar finita elementmetoden. Finita elementmetoden är en numerisk metod som används för att hitta lösningar till partiella differentialekvationer. Genom att modellera designen i Ansys kan mer verklighetstrogna belastningar bestämmas. Dessa används bland annat för att bekräfta rimligheten hos den analytiska modellen.

1.3 Avgränsningar

Scania har specificerat avgränsningar rörande geometri och material [1]. Dimensionerna på lastcellen dikteras av nav, fälg och hjulbultar och kan inte varieras på något sätt då dessa måste få plats runt hjulaxeln samtidigt som det måste monteras innanför fälgen. Även den maximala tjockleken på momentgivaren är bestämd då hjulbasens bredd inte får överskrida en given längd, här 42 mm. Vidare har uppdragsgivaren bestämt det material som skall användas för samtliga beräkningar och simuleringar. Samtliga dimensioneringar görs därmed utifrån givna materialdata och måste anpassas efter materialets hållfasthet. Materialet heter Toolox 40 från SSAB (se vidare bilaga B7) och det är ett konstruktionsstål. Inga utmattningsdata tillhandahålls.

2

2. Design 2.1 Bryggor

Det inledande förslaget som förses av uppdragsgivaren är baserat på två flänsar som är sammanfogade med hjälp av så kallade Iosipescu-bryggor (Figur 1).

Den yttre flänsen (till vänster i figur 1) monteras direkt mot insidan av fälgen medan den inre flänsen (till höger i figur 1) monteras mot navet. Flänsarna monteras med 10 hjulbultar mellan fälgen och ena flänsen och 10 stycken specialbultar för att fästa den inre flänsen i navet. Iosipescu-bryggorna är utformade så att det uppstår ett jämnt skjuvningsfält där tvärsnittsarean är som minst. På sidan av dessa tvärsnitt placeras töjningsgivare som mäter materialets töjning i en riktning. Med ett antal uppmätta töjningar i ringled kan samtliga belastningar mätas oavsett hur momentgivaren är orienterad vid olika tillfällen under drift. Det behöver placeras minst

sex stycken givare för att kunna mäta och beräkna sex snittlaster.

En grundläggande frågeställning med denna modell är huruvida en matematisk modell kan framställas analytiskt. Den enklaste beskrivningen vore att betrakta bryggorna som ett tunnväggigt ringformat rör där tvärsnittsarean sätts till den sammanlagda tvärsnittsarean hos samtliga bryggor. Således åstadkoms lika mycket materialåtgång som för det minsta tvärsnittet i bryggorna, men jämnt fördelat i ringled men med ett mer kontinuerligt utbrett spänningsfält.

Med denna modell baserad på Iosipescu-bryggorna förväntas det uppstå höga spänningskoncentrationer vid infästningarna mellan bryggorna och flänsarna. Det vore önskvärt att minimera dessa koncentrationer genom att antingen ansätta en käl radie vid dimensionsövergången eller ersätta bryggorna helt med en bättre modell.

Det följer även ur samma resonemang att höga effektivspänningarna kommer att erhållas vid den minsta tvärsnittsarean och det är önskvärt att dessa är lägre än vid bryggornas infästning.

Figur 1: Initial design med Iosipescu-bryggor.

3

2.2 Ring

Om Iosipescu-bryggor istället betraktas som ett tunnväggigt rör möjliggörs analytiska beräkningar. Detta gav upphov till idéen att helt ersätta bryggorna med en homogen ring.

Denna ringmodell visas i figur 2.

Denna modell tillåter även mer materialanvändning i ringled om så skulle behövas för ökad hållfasthet.

Samtidigt erhålls det jämnare skjuvningsfält som eftertraktas, men nu i mitten av ringen.

På denna rings yta placeras sedan töjningsgivare på samma sätt och med hjälp av dessa kan belastningar bestämmas med den modell som framställs. Även här placeras minst sex givare för att kunna mäta samtliga tvärsnittsbelastningar. Eftersom ringmodellen har en jämnt fördelad materialåtgång kan även samtliga givare placeras vid samma radiella avstånd från centrum.

Även denna modell betraktas som ett tunnväggigt rör nu

med ännu mer berättigad motivering bakom. Ännu en stor fördel med ring-modellen är den betydligt enklare tillverkningsprocessen då hela momentgivaren enkelt kan svarvas ur ett stycke gods. Detta i motsats till bryggorna med besvärlig montering mellan flänsarna. Det förväntas nu att effektivspänningar där flänsarna sammanfogas med ringen och även i mitten av ringen blir lägre än de motsvarande som fås med bryggmodellen då geometrin bör ge upphov till lägre spänningskoncentrationer och därmed öka hållfastheten.

Med anledning av ovan givna fördelar betraktas ringmodellen analytiskt för att sedan jämföras med bryggmodellen med hjälp av FEM-simuleringar, se kap 4.

Figur 2: Ringbaserad design.

4

3. Analys 3.1 Belastningar

Lastbilshjulets fastsättning (ringen) känner av sex stycken tvärsnittsbelastningar i form av en kraft och ett moment längs vardera koordinatriktningen. Koordinatriktningarna definieras som följande: x-led är lastbilens färdriktning, y-led åt vänster sett från färdriktning och z-led uppåt från markens normalriktning. Samtliga snittlaster redogörs i tabell 1 och illustreras i figur 3.

SNITTLAST BESKRIVNING

𝑭_𝒙 Tvärkraft (driv/broms)

𝑭_𝒚 Normalkraft längs axel (sidokraft) 𝑭_𝒛 Tvärkraft – (pga tyngd)

𝑴_𝒙 Böjande moment (pga normalkraft på däck) 𝑴_𝒚 Vridande moment (kring axelns riktning) 𝑴_𝒛 Böjande moment (normalt försumbart)

Tabell 1: Redogörelse för samtliga tvärsnittsbelastningar.

För att kunna bestämma spänningstillståndet i ringen behöver en parameter införas för att specificera position på ringen. Denna parameter är vinkeln 𝜑 i ringled (Figur 3). Samtliga spänningar behöver ställas upp som en funktion av denna vinkel samt av samtliga snittlaster som påverkar ringen.

Figur 3: a) Vänster hjulnav med verkande snittlaster. b) Snitt av lastcellens ring (navsida) med mått och riktningar.

a) b)

5

3.2 Spänningar

De olika belastningarna ger tillsammans en normalspänning i y-led, 𝜎_𝑦 = 𝜎_𝑦(𝐹_𝑦, 𝑀_𝑥, 𝑀_𝑧) och en skjuvspänning i 𝜑-led, 𝜏_𝜑= 𝜏_𝜑(𝐹_𝑧, 𝐹_𝑥, 𝑀_𝑦). Sedvanliga tvärsnittsstorheter redovisas i tabell 2, se avsnitt om teknisk balkteori i ref [2].

STORHET FÖRKLARING VÄRDE

𝑰_𝒛 Tröghetsmoment, z-axeln 𝜋 ∙ 𝑟³∙ 𝑡

𝑰_𝒙 Tröghetsmoment, x-axeln 𝜋 ∙ 𝑟³∙ 𝑡

𝑾_𝒚 Vridmotstånd, y-axeln 2 ∙ 𝜋 ∙ 𝑟²∙ 𝑡

𝑨 Tvärsnittsarea 2 ∙ 𝜋 ∙ 𝑟 ∙ 𝑡

𝒛 Koordinat längs z-axeln 𝑟 ∙ cos(𝜑)

𝒙 Koordinat längs x-axeln 𝑟 ∙ sin(𝜑)

Tabell 2: Tvärsnittsdata för tunnväggigt rör med förklaringar och numeriska värden, teknisk balkteori [2].

För att beräkna skjuvspänningarna behövs först det statiska areamomentet med avseende på respektive axel för en del som avgränsar undersökt snitt. Ekvation 1 visar beräkningen av det statiska areamomentet för skjuvning i z-axeln, ekvation 2 visar samma beräkningar för x- riktningen, symmetrin utnyttjas för att underlätta beräkningar av integralerna.

𝑆_𝑧 = 2 ∫ 𝑧 𝑑𝐴

𝜑 0

= 2 ∫ 𝑟 ∙ cos(𝜑) ∙ 𝑟 ∙ 𝑡 ∙ 𝑑𝜑

𝜑 0

= 𝑟²∙ 𝑡 ∙ sin(𝜑) (1)

𝑆_𝑥 = 2 ∫ 𝑥 𝑑𝐴

𝜑 0

= 2 ∫ 𝑟 ∙ sin(𝜑) ∙ 𝑟 ∙ 𝑡 ∙ 𝑑𝜑

𝜑 0

= −𝑟²∙ 𝑡 ∙ cos(𝜑) (2) där 𝑟 är radien till mitten av givarens tvärsnitt och t är tjockleken på tvärsnittet.

Skjuvspänningar som funktion av tillhörande laster ges nedan:

𝜏_𝐹𝑧(𝜑) =𝐹_𝑧· 𝑆_𝑧

𝐼_𝑧· 𝑏 (3)

𝜏_𝐹𝑥(𝜑) =𝐹_𝑥· 𝑆_𝑥

𝐼_𝑥· 𝑏 (4)

𝜏_𝑀𝑦 = 𝑀_𝑦

𝑊_𝑦 (5)

där 𝑏 = 2𝑡.

6

Superponering av samtliga skjuvspänningar, ekvation (3 - 5) ger:

𝜏_𝑥𝑧(𝜑) = 𝜏_𝐹𝑧(𝜑) + 𝜏_𝐹𝑥(𝜑) + 𝜏_𝑀𝑦 (6) Vidare beräknas normalspänningar som funktion av tillhörande laster med dess komponenter:

𝜎_𝑦(𝜑) =𝐹_𝑦 𝐴 +𝑀_𝑥

𝐼_𝑥 ∙ 𝑟 ∙ cos(𝜑) +𝑀_𝑧

𝐼_𝑧 ∙ 𝑟 ∙ sin(𝜑) (7)

All tvärsnittsdata framgår ur tabell 2.

Ekvationer (6) och (7) sammanställs på matrisform för spänningstillståndet vid position 𝜑_𝑛:

1

𝑊_𝑦[𝑟 2 cos(𝜑_𝑛) 2 sin(𝜑_𝑛) 0 0 0

0 0 0 −2 𝑟 sin(𝜑_𝑛) −2 𝑟 cos(𝜑_𝑛) 1] ∙

[ 𝐹_𝑦 𝑀_𝑥 𝑀_𝑧 𝐹_𝑧 𝐹_𝑥 𝑀_𝑦]

= [𝜎_𝑦

𝜏_𝑥𝑧] (8a)

Första matrisen ovan benämns 𝑺_𝒏 och med lastvektorn 𝑭 fås då spänningstillståndet 𝝈_𝒏 av matrissambandet:

𝑺_𝒏∙ 𝑭 = 𝝈_𝒏 (8b)

Matrisen 𝑺_𝒏 ger alltså spänningstillståndet på grund av snittlasterna 𝑭 vid position 𝜑_𝑛 längs ringen, där töjningsgivare 𝑛 skall fästas senare.

3.3 Töjningar

Med en matris 𝑺_𝒏 som omvandlar krafter till spänningstillståndet, behövs nu en matris som ger töjningstillståndet 𝜺_𝒏 på samma ställe. Dessa samband ges av Hooke’s generaliserade lag [2]:

1 𝐸[

1 0

−𝑣 0

0 2(1 + 𝑣) ] ∙ [𝜎_𝑦

𝜏_𝑥𝑧] = [ 𝜀_𝑥 𝜀_𝜑

𝛾_𝑥𝑧] (9a)

Denna matris benämns 𝑯 vilket ger följande matrissamband:

𝑯 ∙ 𝝈_𝒏 = 𝜺_𝒏 (9b)

Med töjningstillståndet bestämt för en givarplacering 𝜑_𝑛 behöver varje givares orientering 𝛼_𝑛 definieras för att kunna beräkna töjningen i den givaren:

𝜀_𝑛 = [cos²(𝛼_𝑛) sin²(𝛼_𝑛) sin(2𝛼_𝑛) 2 ] ∙ [

𝜀_𝑥 𝜀_𝜑

𝛾_𝑥𝑧] (10a)

7

Här är 𝜀_𝑛 den normaltöjning som mäts av givare 𝑛. Ekvation (10a) skriven enligt tidigare som ett matrissamband:

𝜀_𝑛 = 𝑻_𝜶𝒏∙ 𝜺_𝒏 (10b)

Ekvation (10b) ger normaltöjningen i en givare placerad med orienteringen 𝛼_𝑛. Under arbetets gång har 𝛼 = ±45° använts för varannan givare [4]. Här är 𝜀_𝑛 ett skalärt värde som beskriver sambandet mellan ringens snittlaster och materialets töjning vid givaren. Beräkningsföljden i ekvationer (8 - 10) upprepas för varje givarsamband med dess respektive position och orientering samlade på matrisform enligt följande:

𝜺 = 𝑻_𝜶𝒏∙ 𝜺_𝒏 = 𝑻_𝜶𝒏∙ 𝑯 ∙ 𝝈_𝒏 = 𝑻_𝜶𝒏∙ 𝑯 ∙ 𝑺_𝒏∙ 𝑭 = 𝑨 ∙ 𝑭 (11) Här är 𝜺 en kolumnvektor med 𝑛 stycken givarvärden, och 𝑨 är den överföringsmatris som ger dessa för ett givet lastfall 𝑭. I detta fall är A-matrisen beräknad för 10 givare placerade med jämn delning och förvald ringtjocklek, medelradie och material. Antalet givare valdes till 1+

på grund av antalet hjulbultar som även dikterar möjligt antal bryggor.

Om, som här, fler än sex givare används blir ekvationssystemet överbestämt, dvs det kan ej inverteras och hanteras därför med hjälp av minsta kvadratmetoden [3] vilken formuleras:

𝑨^𝑻∙ 𝜺 = 𝑨^𝑻∙ 𝑨 ∙ 𝑭 (12)

Då töjningar mäts med töjningsgivarna behöver ekvation (12) inverteras för att slutligen ge lastvektorn:

𝐅 = (𝐀^𝐓∙ 𝐀)⁻¹∙ 𝐀^𝐓 ∙ 𝛆 (13)

från 𝑛 uppmätta givarvärden 𝜺.

3.4 Dimensionering

Det väsentliga för belastningstillståndet i momentgivaren är hur mycket material som är placerat i tvärsnittet i ringled. I initialdesignen med Iosipescu-bryggorna är materialet styckvis placerat med ganska stora inbördes mellanrum. Med ring-modellen distribueras däremot materialet jämnt. Dimensionering görs utifrån endast en parameter för båda modeller.

bryggmodellens minsta tvärsnittsarea styrs av bryggornas bredd i ringled då utrymmet är begränsat i radiell led av flänsarna. Ringmodellens tvärsnittsarea styrs av dess tjocklek.

Lastcellen behöver dimensioneras så att den är tillräckligt hållfast för att klara av belastningarna under drift men samtidigt ge upphov till tillräckligt höga spänningar och därav höga töjningar för att ge goda mätvärden. En minsta ringtjocklek bestäms där

8

maxeffektivspänningen ej överskrider 50% av materialets sträckgräns på 1150 MPa [1]. Von Mises effektivspänning [2] ställs upp från ekvation (6) och (7) som funktion av rådande laster och vinkeln, 𝜑:

𝜎_𝑒(𝜑) = √𝜎_𝑦²(𝜑) + 3 ∙ 𝜏_𝑥𝑧² (𝜑) (14) De här betraktade lastfallen är dels maxbelastningar givna av uppdragsgivaren [1] samt en referenslast som används vid analyser och jämförelse av modeller. Båda redovisas i tabell 3.

LAST MAXIMAL LASTFALL REFERENSLAST

𝑭_𝒙 120 kN 100 kN

𝑭_𝒚 0 N 100 kN

𝑭_𝒛 120 kN 100 kN

𝑴_𝒙 4.06836 kNm 30 kNm

𝑴_𝒚 32 kNm 30 kNm

𝑴_𝒛 0 Nm 0 Nm

Tabell 3: Redogörelse för olika lastfall.

9

Ekvation (14) plottas (se bilaga B1) och visar hur effektivspänningen varierar i ringled med 𝑡_𝑚𝑖𝑛= 1.4 mm, för det maximala lastfallet redovisat i tabell 3. Utskriften redovisas i figur 4.

Figur 4: Von Mises effektivspänning som funktion av vinkeln 𝜑.

Av figur 4 framgår det att den största effektivspänningen (513 MPa) förekommer lokalt i ringen och är betydligt lägre i övrigt. Se bilaga B2 för val av ringtjocklek och medelradie.

10

3.5 A-matrisen

De analytiska beräkningar som utförts resulterade i den så kallade ”A-matrisen” enligt ekvation (11), se bilaga B3. Denna omvandlar de sex belastningarna till töjningar vid varje givare i dess specifika riktning på ringen:

𝑨 = 𝑻_𝜶𝒏∙ 𝑯 ∙ 𝑺_𝒏 (15)

A-matrisen beräknad för 10 givare multiplicerad med faktor 10⁸ redovisas i tabell 4:

𝐹_𝑦 𝑀_𝑥 𝑀_𝑧 𝐹_𝑧 𝐹_𝑥 𝑀_𝑦

0,10 1,10 0 0 -0,76 1,97

0,10 0,86 0,62 0,45 0,62 -1,97

0,10 0,33 1,01 -0,73 -0,24 1,97

0,10 -0,33 1,01 0,73 -0,24 -1,97

0,10 -0,86 0,62 -0,45 0,62 1,97

0,10 -1,10 0 0 -0,77 -1,97

0,10 -0,86 -0,62 0,45 0,62 1,97

0,10 -0,33 -1,01 -0,73 -0,24 -1,97

0,10 0,33 -1,01 0,73 -0,24 1,97

0,10 0,86 -0,62 -0,45 0,62 -1,97

Tabell 4: A-matris beräknad för 10 töjningsgivare med tillhörande laster, multiplicerad med faktor 10⁸.

Genom att utnyttja de olika stegen i framställningen av A-matrisen kan olika mätfel och andra felkällor undersökas. Denna modell möjliggör även jämförelser och utvärdering av hur de analytiska beräkningarna jämför med en FEM-modell av faktiska geometrin.

11

4. FEM-Simulering 4.1 Modellering

Då A-matrisen är analytiskt beräknad med en förenklad matematisk modell är det av intresse att jämföra denna modell med en FEM-modell. För att beräkna A-matrisens element numeriskt, ges samtliga laster beloppet 1 N respektive 1 Nm en åt gången medan de andra sätts lika med noll. Med dessa laster införda behöver sedan normaltöjningarna på varje töjningsgivares placering avläsas. För varje last ger dessa motsvarande kolumner i A-matrisen.

För att praktiskt applicera lasterna på rätt ställen i modellen konstrueras en stel krans, syftet med denna är att applicera de belastningar momentgivaren kommer att känna av i tvärsnittsregionen via samtliga bultar. Kransen och dess applicering visas i figur 5.

För att utföra FEM-analysen behöver även randvillkor införas, dessa införs i form av rumsfixa placeringar av de mindre bulthålen där momentgivaren monteras till navet (visas i figur 5).

Momentgivaren ges linjärelastiska egenskaper i enighet med materialet medan kransen modelleras som en stel kropp för att försumma eventuell inverkan av dess geometri. Krafter och moment placeras på inre tvärytan av det skaft som sticker fram i mitten av ringen och ligger i samma plan som mätområdet.

Figur 5: a) Krans konstruerad för att simulera belastning av hjulbultar. b) Snittvy av kransens applikation (den tunnväggiga ringen syns mellan flänsarna.

b) a)

12

4.2 Numeriskt bestämd A-matris

I FEM-modellen kan endast töjningstillståndet i det givna koordinatsystemet avläsas, därmed måste ekvation (10a) fortfarande beräknas analytiskt för att erhålla motsvarande kolumner i A- matrisen. Tabell 5 visar matrisen både analytiskt beräknad såväl som numeriskt.

𝐹_𝑦 𝑀_𝑥 𝑀_𝑧 𝐹_𝑧 𝐹_𝑥 𝑀_𝑦

0,10 0,14 1,10 1,42 0 0 0 0 -0,76 -0,74 1,97 2,03 0,10 0,14 0,86 1,40 0,62 0,73 0,45 0,44 0,62 0,58 -1,97 -2,02 0,10 0,14 0,33 0,44 1,01 1,36 -0,73 -0,69 -0,24 -0,24 1,97 2,03 0,10 0,14 -0,33 -0,44 1,01 1,35 0,73 0,69 -0,24 -0,24 -1,97 -2,02 0,10 0,14 -0,86 -1,14 0,62 (0,11) -0,45 -0,45 0,62 0,59 1,97 2,03 0,10 0,14 -1,10 -1,41 0 0 0 0 -0,77 -0,74 -1,97 -2,03 0,10 0,14 -0,86 -1,15 -0,62 -0,71 0,45 0,42 0,62 0,60 1,97 2,03 0,10 0,14 -0,33 -0,45 -1,01 -1,35 -0,73 -0,71 -0,24 -0,20 -1,97 -2,02 0,10 0,14 0,33 0,42 -1,01 -1,35 0,73 0,71 -0,24 -0,19 1,97 2,03 0,10 0,14 0,86 1,16 -0,62 ^(-0,17) -0,45 -0,41 0,62 0,61 -1,97 -2,02

Tabell 5: Jämförelse mellan analytisk (röd) och numerisk (blå) A-matris (multiplicerad med en faktor 10⁸).

Ur tabellen ovan observeras att trots mindre/större avvikelser i numeriska värden erhåller samtliga element korrekt tecken och förväntade värden blir noll i båda fallen. Tabell 6 visar, i procent, hur den analytiskt beräknade matrisen förhåller sig till den numeriskt beräknade.

𝐹_𝑦 𝑀_𝑥 𝑀_𝑧 𝐹_𝑧 𝐹_𝑥 𝑀_𝑦

76% 75% - - 104% 97%

76% 61% 86% 102% 106% 98%

76% 74% 74% 104% 98% 97%

76% 74% 75% 104% 100% 98%

76% 75% (593%) 100% 104% 97%

74% 75% - - 103% 97%

76% 75% 87% 107% 102% 97%

76% 73% 75% 102% 116% 98%

76% 78% 75% 103% 125% 97%

76% 74% (358%) 110% 100% 98%

Tabell 6: Förhållanden mellan analytiskt- och numeriskt beräknad A-matris, två (fetade) värden är tveksamma.

Två FEM-beräknade värden (fetade) avviker avsevärt och bör behandlas med skepsis. Ingen förklaring eller felkälla kunde fastställas.

13

4.3 Effektivspänningar

Figur 6 redovisar fördelningen av Von Mises effektivspänning för ring-modellen, simuleringen är utförd med det maximala lastfallet (redovisat i tabell 3), även elementindelning framgår.

I detta fall fås en högre effektivspänning vid övergången mellan ringen och flänsarna, korrekt jämförelse kräver att effektivspänningen i ringens mitt betraktas. Detta kunde här ej genomföras med tillräcklig noggrannhet på grund av elementstorlek och antal frihetsgrader. Den valda kälradien (1 mm) mellan flänsen och ringen minskar dessa spänningskoncentrationer men de eliminerar dem inte fullständigt. Den maximala effektivspänningen (366 MPa) ges just vid övergången. Själva flänsarna påverkas inte märkvärdigt utan högsta belastningarna fås vid ringen.

Figur 6: Effektivspänningar i Ring-modellen, maximalt lastfall.

14

Även bryggmodellen reflekterar de förväntade effektivspänningarna som tidigare nämnts.

Precis som med ring-modellen förblir flänsarna förhållandevis opåverkade medan den högsta påkänningen uppstår i bryggorna. Svårigheten med denna modell är att det uppstår spänningskoncentrationer både där bryggorna fästs vid flänsarna samt i mitten av själva bryggorna. Figur 7 visar fördelningen av effektivspänningar i bryggmodellen, det framgår även att den största påkänningen (376 MPa) inte uppstår i bryggornas minsta tvärsnittsyta, som vore önskvärt, utan i infästningen mellan bryggorna och flänsarna.

Figur 7: Effektivspänningar i bryggmodellen, maximalt lastfall.

15

5. Mätosäkerhet och störningar 5.1 Felkällor

Man bör beakta ett antal felkällor vid mätningar och beräkningen av belastningar. Olika metoder appliceras här främst med hjälp av den analytiska beskrivningen i A-matrisen för att undersöka känsligheten för och påverkan av sådana fel.

5.1.1 Mätfel

Ett fel som betraktas här är om töjningsgivarna skulle visa något felaktiga värden. En rimlig uppskattning om hur precisa värden som ges av en i fältet applicerad töjningsgivare är inom

±2% [4]. Denna mätosäkerhet kan exempelvis bero på givarnas kvalitet, hur väl de limmats på plats, variationer i elektriskt motstånd vid lödningar mm.

För att bestämma en töjningsvektor används referenslastfallet (tabell 3). Denna beräknade töjningsvektor 𝜺 ges sedan mindre avvikelser med hjälp av felfaktorer, 𝐟_mf, här med en jämn sannolikhetsfördelning i intervallet [0.98 1.02]. De bildar en vektor med samma längd som antalet givare.

Töjningsvektorn förändras med ovannämnda felfaktor:

𝛆_mf = 𝛆 ∙ 𝐟_mf (16)

Kraftvektorn beräknas nu med ekvation (13). Beräkningarna inverteras alltså för att erhålla ett något felaktigt lastfall. Den lastvektorn jämförs sedan med originalet för att uppskatta följderna av felet. Beräkningsföljden som redovisas i ekvation (11) utförs med slumpmässigt (simulerade) mätfel. Ekvation (10) används för att beräkna en töjningsvektor med hjälp av referenslastfallet i tabell 3.

16 5.1.2 Monteringsfel

Ett vanligt fel som anses vara svårt att undvika är att givare monteras i något fel riktning, det vill säga orienteringen av givaren blir inte exakt föreskriven vinkel (𝛼_𝑛 = ±45°). Då samtliga töjningsgivare monteras på för hand och är förhållandevis små i storleken är det svårt att placera dessa med exakt vinkel, särskilt eftersom placeringsytan är en smal ring. Det anses vara rimligt att förvänta sig en skillnad inom ±1° på grund av den mänskliga faktorn [4]. Även dessa felfaktorer resulterar i avvikande uppmätta och beräknade laster som ger mätosäkerheter.

Sådana fel undersökes genom att beräkna två olika A-matriser, en korrekt och en med en något avvikande orientering. Felen analyseras återigen med hjälp av den matematiska modell som sammanfattas i A-matrisen. Under delstegen där A-matrisen beräknas i ekvation (11) införs en T-matris som är associerad med givarorientering. Dessa fel simuleras med hjälp av denna matris 𝐓_Of. Vid beräkning av töjningsvärden med hjälp av ekvationsföljderna används dock en T-matris där varje givare getts ett jämnt fördelat slumpmässigt mindre vinkelfel, −1° ≤ ∆𝛼 ≤ 1°, infört:

𝐓_Of = 𝐓(α + ∆𝛼) (17)

A-matrisen ändras därmed:

𝐀_Of= 𝐓_Of∙ 𝐇 ∙ 𝐒 (18)

Kraftvektorn beräknas nu med ekvation (13), men med den nominella A-matrisen som ges av ekvation (15). Resultatet blir en något felaktig lastvektor som slutligen jämförs med referenslastvektorn för att kvantifiera felet. Dessa vinkelfel är dock inte kända och vid beräkning av lasterna man vill mäta används den nominella A-matrisen från ekvation (15). På samma vis som innan beräknas en töjningsvektor med ekvation (11) och referenslasten i tabell 3.

17 5.1.3 Hjulrotation

Då hjulet står i sin nominella position mäter givarna idealt den pålagda lastvektorn. Hjulet roterar dock i drift så att samtliga givare skiftar position och en ny mätning ger en annan lastvektor om lastcellen innehåller eventuella felkällor. Dessa mätfel kan minimeras genom att bestämma ett integrerat medelvärde över hjulets hela varv. Integrationen görs genom att mäta en lastvektor i den nominella positionen enligt tidigare (kap 3). Sedan ökas givarpositionen 𝜑_𝑛 med ytterligare en hjulrotationsvinkel 𝜔:

𝜔 = 2𝜋

𝑁_𝜔 (19)

En ny lastvektor mäts och processen upprepas 𝑁_𝜔 = 18 gånger tills hjulet har roterat ett helt varv.

Beräkningarna i ekvation (11) utförs nu på snarlikt vis som tidigare felkällor. Initialt skapas en tom lastvektor för att sedan summera mätningarna i denna. Med ekvation (13) beräknas lastvektorn för hjulets nominella position, sedan roteras hjulet:

𝜑_𝑛+1 = 𝜑_𝑛+𝜔 (20)

Samtliga 𝑁_𝜔 mätningar adderas:

𝑭_𝟎 = 𝑭_𝟎+ 𝑭_𝑛 (21)

Ett integrerat medelvärde beräknas till slut:

𝑭_𝑰𝒏𝒕 = 𝑭_𝟎

𝑁_𝜔 (22)

Denna jämförs med både referenslaster och momentana (icke integrerade) värden i kap 5.2.

18 5.1.4 Andra felkällor, ej betraktade

Utöver ovan redovisade felkällor som betraktats med matematiska metoder identifieras även andra potentiella orsaker bakom eventuella mätfel:

• Elbrus, signalöverföring: Under mätningens gång kan besvärliga störningar uppstå i signalöverföringen från töjningsgivarna till terminalen som ska tyda dess värden. Detta på grund av att sladdarna och/eller kontakter orsakar mer/mindre resistans i kretsen.

Även detta är en felkälla som kan evalueras med hjälp av A-matrisen på liknande vis som mätfel utvärderats under rubrik 5.1.1.

• Felplacering: Givare kan även placeras på fel ställen, det vill säga de placeras inte på rätt ställe på hjulet, antingen genom att de förskjuts axiellt eller genom att vinkeln 𝜑_𝑛 som anger dess position inte stämmer. Med hjälp av den matris i följden av A-matrisen som anger position, 𝑺_𝒏, kan även detta fel simuleras och undersökas på samma vis som orienteringsfel under rubrik 5.1.2.

19

5.2 Monte Carlo simuleringar

Monte Carlo simulering är en metod för att undersöka och simulera komplexa system samt utvärdera sannolikhetsfördelningar med osäkra indata. Sannolikhetsfördelningen ger en uppskattning av hur avvikande laster den matematiska modellen förväntas ge samt hur sannolika dessa avvikelser är. Metoden används här för att numeriskt bestämma sannolikhetsfördelningen hos de returnerade lasterna (som förväntas avvika från inmatade referenslaster). Slumpmässiga felfaktorer genereras och implementeras för att undersöka hur dessa påverkar systemet. Monte Carlo simuleringar har under projektet använts för att simulera slumpmässiga fysikaliska fenomen, här med både monteringsfel och mätfel (mätbrus).

Metoden implementeras genom att skapa en slinga i Matlab (se bilaga B5) som med varje iteration ansätter ett slumpmässigt fel till specifika parametrar och sedan fortsätter med beräkningen så som beskrivits i kap 5.1. Resultaten av Monte Carlo simuleringar presenteras grafiskt i form av histogram där ordinatan anger hur många simuleringar som har utförts och utfallit inom varje intervall medan abskissan visar beräknat värde för respektive last av varje sådan simulering. En kurva som representerar Gaussfördelning med samma väntevärde och standardavvikelse införs även för respektive last som jämförelse. De viktigaste resultaten anses vara lasternas standardavvikelser, dessa beräknas med samma program i Matlab och redovisas med tabeller nedan.

LAST NOMINELL LAST STANDARDAVVIKELSER

𝑴_𝒛 0 kNm 479 Nm -

𝑴_𝒚 30 kNm 184 Nm 0,62 %

𝑭_𝒙 100 kN 679 N 0,67 %

𝑭_𝒛 100 kN 667 N 0,67 %

𝑴_𝒙 30 kNm 492 Nm 1,64 %

𝑭_𝒚 100 kN 3560 N 3,56 %

Tabell 7: Standardavvikelser i laster och procent från referenslaster av 50 000 Monte Carlo simuleringar för slumpmässiga fel i både mätvärde och givarorientering.

Tabell 7 visar standardavvikelser för samtliga laster efter 50 000 simuleringar. Vridmomentet 𝑀_𝑦 har lägst procentuell standardavvikelse, dvs den förhåller sig till referenslasten med högst noggrannhet. Den känsligaste lasten med högst mätosäkerhet är normalkraften 𝐹_𝑦. En procentuell standardavvikelse för böjmomentet 𝑀_𝑧 kan ej beräknas här då referenslasten varit 0 𝑁𝑚.

20

Figur 8 och 9 visar histogram av samma simuleringar för vridmomentet och normalkraften:

Figur 8a: Histogram uppmätta (beräknade) vridmoment med mätfel och orienteringsfel från 50 000 Monte Carlo simuleringar. Nominellt pålagt moment är 30 kNm (Röd kurva är en anpassad Gaussfördelning).

Figur 8b: Histogram uppmätta (beräknade) vridmoment med mätfel och orienteringsfel från 50 000 Monte Carlo simuleringar. Nominellt pålagd kraft är 100 kN (Röd kurva är en anpassad Gaussfördelning).

21

5.3 Integration

Integrationsmetoden utförs enligt kapitel 5.1.3 för att öka modellens måttnoggranhet (se bilaga B6), nedan visas standardavvikelser i procent innan och efter integration över en hjulrotation:

LAST FÖRE EFTER KVOT

𝑴_𝒛 - - -

𝑴_𝒚 0,62 % 0,34 % 0,55

𝑭_𝒙 0,67 % 0,56 % 0,84

𝑭_𝒛 0,67 % 0,27 % 0,40

𝑴_𝒙 1,64 % 1,21 % 0,74

𝑭_𝒚 3,56 % 1,21 % 0,34

Tabell 8: Relativa standardavvikelser för lasterna från 50 000 simuleringar innan och efter integration över hjulvarvet samt kvot efter/före.

Motsvarande histogram för normalkraften 𝑀_𝑦 och vridmomentet 𝐹_𝑦 ges i figurer 10 och 11:

Figur 9a: Histogram över uppmätta (beräknade) vridmoment med mätfel och orienteringsfel från 50 000 Monte Carlo simuleringar med värden integrerade över ett varv. Nominellt pålagt moment är 30 kNm.

(Röd kurva är en anpassad Gaussfördelning)

22

Figur 9b: Histogram uppmätta (beräknade) vridmoment med mätfel och orienteringsfel från 50 000 Monte Carlo simuleringar med värden integrerade över ett varv. Nominellt pålagd kraft är 100 kN.

(Röd kurva är en anpassad Gaussfördelning)

Histogrammen ovan visar samma resultat som tabellen, standardavvikelsen i figurer 9a respektive 9b är mindre än motsvarande i figurer 8a respektive 8b. Detta betyder att uppmätta värden är fördelade över ett mindre intervall (dvs de resulterade mätosäkerheterna minskats i motsvarande grad).

23

6. Slutsatser

Med hjälp av töjningsgivare monterade på övergångspartiet mellan två flänsar kan snittlasterna mätas. Lastcellen består av minst sex givare för att kunna lösa ett linjärt ekvationssystem med sex obekanta laster. Fler givare ger bättre noggrannare mätvärden och under detta arbetes gång har modellen betraktats med 10 stycken. Två modeller har studerats, en given av Scania baserad på bryggor mellan flänsarna och en egen modell med en homogen ring. Det är önskvärt att uppnå förhållandevis höga spänningar, och därmed höga töjningar, i mätområdet för att erhålla goda mätvärden. Samtidigt måste konstruktionen förhålla med god marginal till tillåtna vad berör effektivspänningar i materialet. Det är vidare önskvärt att förhöjda spänningar på grund av anvisningar på andra ställen blir lägre. Detta kan styras med hjälp av godstjocklek och kälradier.

En förenklad modell ställs upp semi-analytiskt med hjälp av Matlab, vilken ger goda approximativa värden. Den matematiska modellen kan enkelt anpassas till olika materialegenskaper (Elasticitetsmodul, Poissons tal) samt geometri som ringtjocklek 𝑡 och radier 𝑟. Modellen resulterar i en överföringsmatris som bildar ett samband mellan belastningar som verkar på tvärsnittet och töjningsvektorn (ges av töjningsgivare). Matrisen kallas för ”A-matrisen”. Med matrisen studeras modellens känslighet och mätosäkerhet med hjälp av Monte Carlo simuleringar.

A-matrisen tas fram numeriskt med FEM för ringmodeller genom att sätta på en last åt gången och extrahera motsvarande kolumner i matrisen. Ringmodellen ger anmärkningsvärt bra överenskommelse med FEM/Matlab. Ringmodellen är betydligt enklare att tillverka än designen med bryggor. Lastcellen kan enkelt svarvas ur ett stycke gods. Den ger även lägre effektivspänningar än bryggmodellen när den belastas med en referenslast.

Inverkan av ett antal felkällor studeras (mätfel, orienteringsfel, hjulrotation). Integration över ett varv minskar mätosäkerheten i vridmomentet till mindre än hälften. Föreslagen konfiguration ger bäst mätnoggrannhet för det vridande momentet, medan den mätta axiella kraftens noggrannhet är lägst.

24

7. Diskussion

Förslag på vidare arbete ges främst för ring-modellen. Vid betraktande av effektivspänningar i FEM behövs en finare mesh (elementuppdelning) än den som tillåtits av studentmjukvaran. En uppdelning i mindre element kommer att ge bättre noggrannhet av spänningar och töjningar.

De högsta spänningarna för ringmodellen ges fortfarande i kritiska områden, inte i mätområdet utan i fästet mellan ring och fläns där spänningarna, vid skarpa övergångar, uppgår till oändligheten. Även för bryggmodellen ges de högsta spänningarna i mätområdet samt vid infästningar mellan bryggor och flänsar.

Den matematiska modell som utvecklats underlättar utvärderingen av eventuella felkällor. Ett antal av dessa fel har betraktats. Andra fel som eventuellt kan uppstå i praktiken har listats och kan delvis analyseras på liknande vis med hjälp av de metoder som redovisats. En A-matris för bryggmodellen skulle kunna framställas ur FEM och med hjälp av denna kan även felkällorna utvärderas på samma vis för även denna modell.

Under arbetets gång har haveri på grund av utmattning inte studerats, vidare arbete bör främst utföras inom just detta område. Om tjockleken på ringen visar sig vara för liten kan den enkelt ändras och här utförd analys kan enkelt upprepas för annan geometri.

Arbete som inte gjorts under utveckling av lastcellen är sådant som kommer efter den analytiska och numeriska modelleringen. Ingen praktisk uppsättning har testats och ingen prototyp har heller konstruerats. Inga mätningar har gjorts på liknande vis och därmed har inte heller givare och elektronisk utrustning undersökts. Beträffande tillverkningen av lastcellen har ett förslag givits på svarvning ur ett stycke gods för att hål sedan borras däri för hjulbultar.

Tillverkningsmetoderna är dock inte beaktade bortom övergripande metoder. Alla dessa aspekter är av intresse för fortsatt utveckling.

25

Referenser

[1] Privat kommunikation, Jukka Hyttinen, Scania

[2] Alfredsson, Bo. 2016. Handbok och formelsamling i Hållfasthetslära.

Stockholm. Instant Book AB.

[3] Anton, Howard. 2002. Contemporary Linear Algebra.

Illinois, John Wiley & Sons Inc

[4] Privat kommunikation, Jonas Neumeister, KTH, Hållfasthetslära

26

Bilagor

B1, Matlab - Von Mises effektivspänning

B2, Matlab – Parameterlista

27

B3, Matlab - Lastcell

28

B4, Matlab - A-matrisfunktion

B5, Matlab - Monte Carlo simuleringar

29

B6, Matlab - Monte Carlo simuleringar integrerat över ett hjulvarv

30

B7, Materialdata

31