Matematik. Lena Alfredsson Sanna Bodemyr Hans Heikne. Vux. 1abc. Natur & Kultur

(1)

Lena Alfredsson • Sanna Bodemyr • Hans Heikne

Natur & Kultur

Matematik

5000

1abc ^Vux

(2)

Kopieringsförbud! Detta verk är skyddat av upphovsrättslagen!

Kopiering är förbjuden, utöver lärares begränsade rätt att kopiera för undervisningsbruk enligt avtal med Bonus Copyright Access och den mycket begränsade rätten till kopiering för privat bruk.

Den som bryter mot lagen om upphovsrätt kan åtalas av allmän åklagare och dömas till böter eller fängelse i upp till två år samt bli skyldig att erlägga ersättning till upphovsman/rättsinnehavare.

och Natur & Kultur, Stockholm Tryckt i Lettland 2022

Första upplagans första tryckning ISBN 978-91-27-46177-2 NATUR & KULTUR

Box 27 323, 102 54 Stockholm

Kundservice: Tel 08-453 87 00, kundservice@nok.se nok.se

Order och distribution: Förlagssystem, Box 30 195, 104 25 Stockholm

Tel 08-657 95 00, order@forlagssystem.se fsbutiken.se

Varje gång du väljer förlaget Natur & Kultur är du med och bidrar till något större. Vi är en oberoende stiftelse som ska göra skillnad i samhället. Förutom att inspirera till läsande och lärande stärker vi röster i det demokratiska samtalet genom priser, stipendier och stöd. Vi ger ordet till fler.

Projektledare: Henrik Moberg

Textredaktörer: Olof Edblom, Fredrik Höglund Bildredaktör: Martina Mälarstedt/Sanna Bilder Grafisk form: Åsa Lundbom

Layout och sättning: Mats Karlsson/Devella HB

Omslag: Maria Sundberg/Art by Sundberg och Åsa Lundbom

Kap 0 Vux 1abc_211229.indd 2

Kap 0 Vux 1abc_211229.indd 2 2021-12-29 12:132021-12-29 12:13

(3)

Matematik 5000 1abc VUX

Fullt utbyggd kommer serien att omfatta följande komplement till läroboken:

• Webbaserad lärarhandledning.

• Digitalt extramaterial med ledtrådar och lösningar till bokens uppgifter.

• Digitalbok.

Välkommen till Matematik 5000

Matematik 5000+ Vux 1abc riktar sig till dig som studerar inom vuxenutbildningen. Med den här boken kan du välja vilken av kurserna 1a, 1b eller 1c som du ska läsa.

• Kapitel 1, 2, 3 och 4 motsvarar kurs 1b.

• Kapitel 1, 2, 3, 4 och 5 motsvarar kurs 1c.

• I kurs 1a ingår det mesta i kapitel 1, 2, 3 och 4.

De sidor som inte ingår i kurs 1a är markerade med gul färg och texten .

De uppgifter som inte ingår är gulmarkerade.

I Skolverkets kommentar till ämnesplanen står att inom vuxen- utbildning finns inte karaktärsämnen som innehållet i kurserna kan kopplas till. I stället rekommenderar Skolverket att undervisningen kan ta utgångspunkt i elevernas mål med studierna eller inriktas mot sådant som är särskilt användbart i vardagslivet.

De delar i boken som för kurs 1a svarar mot detta är markerade med gulvita ränder och texten . Exempel på detta är Moms, Index, Krediter och avgifter, Pythagoras sats och Trigonometri.

Vår förhoppning är att Matematik 5000

⁺

ska inspirera och stötta dig på bästa sätt genom din matematikutbildning.

Lycka till!

Författarna

INGÅR INTE I KURS 1a

VALBART I KURS 1a

(4)

4 KAPITELSTART

TEORI OCH LÖSTA UPPGIFTER

ÖVNINGSUPPGIFTER

Varje kapitel har följande innehåll och struktur

I början av varje kapitel presenteras de delar av kursens centrala innehåll som ingår i kapitlet.

En kort och förenklad beskrivning av detta ges i Med andra ord.

Den inledande aktiviteten är tänkt som en start på kapitlets första lektion.

Teorin är skriven så att du ska kunna upptäcka och förstå matematiken.

Det viktigaste i teorin belyses med en eller flera lösta uppgifter. I dessa finns ofta en förklarande text.

I slutet av boken finns repetitionsuppgifter.

De är identiska med bokens lösta uppgifter.

Övningsuppgifterna i boken är indelade i tre nivåer som är markerade med

1 2 3

. Nivåerna är inte kopplade till betygsstegen, men de visar en ökad svårighetsgrad.

Uppgifter med en ram runt uppgiftsnumret får du lösa med hjälp av ett digitalt verktyg (räknare/dator).

Uppgifter som saknar ram ska du försöka lösa utan digitalt verktyg.

Algebraisk lösning betyder att du får använda en räknare, men inte ett grafritande eller ekvationslösande verktyg.

I slutet av boken finns svar till alla uppgifter. Till en del uppgifter finns även en motivering, ledtråd eller lösning.

Centralt innehåll Med andra ord

Inledande aktivitet

x y

4:e kvadranten 1:a kvadranten 2:a kvadranten

3:e kvadranten

Koordinatsystem

För att beskriva läget eller positionen av en punkt i ett plan behövs två koordinataxlar, en x-axel och en y-axel.

2327

Faktorisera genom att bryta ut en gemensam faktor.

a) 2x + 6

REPETITIONSUPPGIFTER 2327 Faktorisera genom att bryta ut en gemensam faktor.

a) 2x + 6

a) 2x + 6 = 2 · x + 2 · 3 = 2(x + 3)

2 är en gemensam faktor.

SVAR

3452 Vilka av följande tal ingår i värdemängden om y = 8 – x och –2 < x ≤ 4?

–3 1 4 5,5 10

3535 Helen köpte aktier för 2 500 kr och tänkte sälja dem efter tre månader.

Värdet på aktierna var då 1 600 kr.

Hur stor var den genomsnittliga minskningen per månad?

3535 Minskningen var 14 % per år.

Ledtråd:

Lös ekvationen 2 500 · x³ = 1 600 x är en förändringsfaktor.

Kap 0 Vux 1abc_211229.indd 4 2021-12-29 12:132021-12-29 12:13

(5)

VARIATION I UNDERVISNINGEN

För att variera undervisningen och för att utveckla dina matematiska förmågor varvas bokens teoriavsnitt med olika aktiviteter. Till vissa aktiviteter behöver du digitala verktyg som t.ex. GeoGebra, Excel eller liknande.

Teman i denna bok har teori och uppgifter som främst är kopplade till ekonomi, samhälle och estetiska ämnen. Det finns även några teman med uppgifter från högskoleprov.

I historiken med tillhörande uppgifter sätts matematiken in i ett historiskt sammanhang.

Sant eller falskt är en aktivitet som är tänkt att genomföras i par eller grupp. Den ger dig möjlighet att träna din resonemangs- och kommunikationsförmåga.

Här finns en kort sammanfattning av kapitlets viktigaste innehåll.

Kan du det här? är en lista med viktiga begrepp och procedurer som du behöver kunna.

Här kan du testa dig själv och dina grundläggande kunskaper med hjälp av uppgifter som behandlar kapitlets viktigaste begrepp och procedurer.

Blandade övningar finns i två varianter. Den första innehåller endast uppgifter från det aktuella kapitlet.

Den andra innehåller även uppgifter från tidigare kapitel.

Historik

Algebra genom tiderna

Tema

Algebra

högskoleprov

Aktivitet

Vilka uttryck är lika?

Sant eller falskt?

Sammanfattning 4 Kan du det här?

Testa dig själv 4

Blandade övningar 4 Blandade övningar 1–4

BEGREPP PROCEDUR

KAPITELSLUT

(6)

6

INNEHÅLL

Innehåll

1. Aritmetik och algebra 8

Inledande aktivitet: Lägga tal 9 1.1 Repetition av räkneregler 10

Prioriteringsregler 10 Negativa tal 13

1.2 Repetition av bråk och decimaltal 17 Tal i bråkform 17

Aktivitet: Minsta gemensamma nämnare (MGN) och primtal 21

Addition och subtraktion av tal i bråkform 22 Historik: Historiska bråk 24

Multiplikation och division av tal i bråkform 25 Tema: Aritmetik 28

Tal i decimalform och avrundning 29 Aktivitet: Värdet av ett algebraiskt uttryck 33 1.3 Uttryck och ekvationer 34

Algebraiska uttryck 34

Aktivitet: Vilka uttryck är lika? 38 Linjära ekvationer 39

Aktivitet: Ekvationsbilder 43

Ekvationer med flera variabeltermer 44 Historik: Algebra genom tiderna 48 1.4 Mer om uttryck och ekvationer 49

Multiplicera in i parenteser 49

Uttryck och ekvationer med parenteser 52 Uttryck, ekvationer och bråk 55

Tillämpningar och problemlösning 59 1.5 Procent och förändringsfaktor 64

Repetition av procentberäkningar 64 Tema: Gyllene snittet 68

Förändringsfaktor 70 Tema: Moms 74

Procentuella förändringar och jämförelser 76 Procentuella förändringar i flera steg 79 Aktivitet: Sant eller falskt? 83 Sammanfattning 1 84 Kan du det här? 86 Testa dig själv 1 87 Blandade övningar 1 88

2. Potenser och formler 92

Inledande aktivitet: Vika papper 93 2.1 Potenser 94

Potenslagar 94 Exponenten noll och negativa exponenter 98 Aktivitet: Vilka är lika? 102

Mer om potenser och potenslagar 103 2.2 Potensekvationer 105

Kvadratrötter och ekvationen x² = a 105 Tema: Potenser 109

Potensekvationen xⁿ = a 110

Ekvationslösning med digitalt verktyg 114 2.3 Uttryck och formler 116

Multiplikation av uttryck 116 Faktorisera 120

Aktivitet: Förenkla med digitalt verktyg 123 Använda och tolka formler 124

Lösa ut ur formler 128 Tema: Algebra 130

2.4 Algebra och geometriska formler 131 Repetition av prefix och enhetsbyten 131 Formler för area och omkrets 134 Formler för volym 137

2.5 Mönster och generella samband 140 Upptäcka och beskriva mönster 140

Upptäcka och uttrycka generella samband 143 Aktivitet: Det är inte bara svaret som räknas! 148 Aktivitet: Sant eller falskt? 149

Sammanfattning 2 150 Kan du det här? 152 Testa dig själv 2 153 Blandade övningar 2 154 Blandade övningar 1–2 157

3. Funktioner 160

Inledande aktivitet: Hitta regeln 161 3.1 Grafer och funktioner 162

Koordinatsystem 162 Historik: René Descartes 162

Funktion – formel, värdetabell och graf 166 Aktivitet: Graf, formel, tabell och beskrivning 170 Rita grafer med digitala verktyg 172

Räta linjer i vardagliga sammanhang 174 Aktivitet: Räta linjer med grafritande verktyg 178 3.2 Räta linjens ekvation 179

Avläsa k-värde och m-värde 179 Beräkna k-värdet och rita linjer 184 Bestäm räta linjens ekvation 188 Parallella linjer 191

Olika former för räta linjens ekvation 193

Kap 0 Vux 1abc_211229.indd 6 2021-12-29 12:132021-12-29 12:13

(7)

3.3 Olikheter 196 Intervall 196 Linjära olikheter 199 Tema: Olikheter 202

3.4 Funktioner och skrivsättet f(x) 203 Skrivsättet f(x) 203

Tema: Funktioner 207

Grafisk lösning av ekvationer och olikheter 208 Aktivitet: Tårtljus 212

Definitionsmängd och värdemängd 213 3.5 Olika typer av funktioner 216

Linjära funktioner 216

Aktivitet: Exponentialfunktioner y = C · a^x 220 Exponentialfunktioner 221

Potensfunktioner 225

Aktivitet: Para ihop formel och graf 230 Matematiska modeller

– egenskaper och begränsningar 231 Aktivitet: Sant eller falskt? 237 Sammanfattning 3 238 Kan du det här? 240 Testa dig själv 3 241 Blandade övningar 3 242 Blandade övningar 1–3 246

5. Trigonometri och vektorer 322

Inledande aktivitet: Tangens för en vinkel 323 5.1 Trigonometri (Valbart i kurs 1a) 324

Beräkna sträckor med tangens 324 Beräkna vinklar med tangens 327 Sinus och cosinus 329

Sträckor och vinklar i koordinatsystem 333 5.2 Vektorer (Valbart i kurs 1a) 336

Vad är en vektor? 336

Aktivitet: Vektorer med digitala verktyg 340 Beräkningar med vektorer 341

Vektorer i koordinatform 344 Sammanfattning 5 347 Kan du det här? 348 Testa dig själv 3 349 Blandade övningar 5 350 Programmering:

En problemlösningsstrategi med programmering 352 Reaktionssträcka 353

Procentuella förändringar 355 Ekvationslösning 357 Funktion, graf och area 359 Kasta fyra tärningar 361 Pythagoreiska tripplar 363

Blandade övningar 1–2, kurs 1a 365 Blandade övningar 3, kurs 1a 369 Blandade övningar 1–3, kurs 1a 372 4.4 Statistik 294

Stickprov och urvalsmetoder 294 Signifikans och felkällor 298 Aktivitet: Ett modellförsök av en väljarundersökning 303

Aktivitet: Finns det några samband i clementiner? 304 Korrelation och kausalitet 305

Tema: Statistik med Gapminder 310 Aktivitet: Sant eller falskt? 311 Sammanfattning 4 312 Kan du det här? 314 Testa dig själv 4 315 Blandade övningar 4 316 Blandade övningar 1–4 318

4. Sannolikhet och statistik 250

Inledande aktivitet: Hur stor är chansen? 251 4.1 Repetition av sannolikhet 252

Sannolikheten för en händelse 252 Sannolikhet och relativ frekvens 256 4.2 Slumpförsök i flera steg 258

Försök med två föremål 258 Träddiagram 261

Aktivitet: Lika eller olika färg? 265 Beroende händelser 266 Aktivitet: Byta eller inte byta? 268 Komplementhändelse 269 Historik: Tärningsspel och sannolikhetens födelse 271 Tema: Sannolikhet 272 4.3 Matematik och ekonomi 273

Repetition av procent och procentenheter 273 Index 275

Lån, ränta och amortering 280

Tema: Vinst, förlust och vinstmarginal 283 En introduktion till kalkylprogram 284 Lån, ränta och amortering

med kalkylprogram 286 Tema: Krediter och avgifter 290