Anmälningar och recensioner.

r 4 4 A D O I . F SÖDERI.UNT)

G r u p p 4. I m å n av plats kunna ä v e n intagas ett fåtal elever, om vilka o s ä k e r h e t råder i allt utom folkskolans kurs- fordringar.

D å emellertid inga prov eller rekommendationer för barn i åldern 11—'13 år kunna v a r a s ä k r a som prognos, och d å d ä r j ä m t e ä v e n andra än s, k. l ä s b e g å v n i n g a r b e h ö v a h ö g r e bildning än folkskolans, och d å en viss r ö r l i g h e t i utbildnings- m ö j l i g h e t e r b ö r erbjudas, borde varje realskola i n n e h å l l a minst en praktisk linje vid sidan om den rent teoretiska. M a n vet aldrig, v a d det kan bli av ett barn, om inte flera m ö j l i g h e t e r ö p p n a s med avseende p å bl. a. arbetstakt, l ä r o s ä t t , ä m n e s v a l , p r ö v n i n g s s ä t t och kamratlig m i l j ö . L å t oss därför få prak- tiska ungdomsskolor i samma byggnad som den nuvarande realskolan är inhyst i !

G e o m e t r i u n d e r v i s n i n g e n s m e t o d i k . Av A n t o n B o k e l i d .

D å undertecknad för m å n g a år sedan s å s o m ä m n e s l ä r a r e vid en kommunal samskola fick till å l i g g a n d e bl. a. att un- dervisa i geometri i anslutning till L a u r i n s l ä r o b o k , v ä c k t e l ä r o b o k e n ifråga mitt livliga ogillande. J a g hade läst E u k l i d c s efter B r o m a n och gamle S t r ö m e r och kunde i c k e e r k ä n n a n å g o t annat än E u k l i d e s ' v a c k r a tankebyggnader s å s o m geo- metri. Snart nog fann j a g emellertid, att j u s t de delar av l ä r o b o k e n , som b ä s t ö v e r e n s s t ä m d e m e d min uppfattning om geometri, voro s v å r t i l l g ä n g l i g a för l ä r j u n g a r n a , medan dessa med l ä t t h e t t i l l ä g n a d e sig s å d a n a satser (t. ex. satserna rö- rande trianglars kongruens), som L a u r i n framställt p å sitt eget sätt. D e t visade sig, att m å n g a av dem — huvud- sakligen flickor — trots omsorgsfull analys av enkla bevis icke kunde reproducera t a n k e f ö l j d e n i dessa, utan envist för-

s ö k t e å t e r g i v a dem ur minnet, och slutligen efter m å n g a miss- lyckanden grepos av en m i s s t r ö s t a n , s o m det kostade m y c k e n m ö d a att ö v e r v i n n a . O m de mer eller mindre verksamt fingo deltaga i konstruktionen av en geometrisk bild, kunde de d ä r e m o t redan genom uppbyggandet av figuren f ö r v ä r v a ganska god k ä n n e d o m om dess egenskaper. J a g s ö k t e efter orsakssammanhanget och fann, att barnens f ö r e s t ä l l n i n g a r ä r o s å starkt beroende av minnesbilder, att de blott med s v å r i g h e t k u n n a uppfatta beskrivningar o c h j ä m f ö r e l s e r , om dessa icke h a v a s t ö d i deras egna erfarenheter. Undantagen ä r o icke flera ä n a l t de blott b e k r ä f t a regeln.

T i l l belysande av dessa iakttagelser vill j a g a n f ö r a föl- jande konkreta exempel.

1. O m m a n inför n y b ö r j a r e i geometri uppritar en cirkel p å tavlan och upplyser, att denna linje u t g ö r sammanfatt- ningen av alla de punkter, som h a v a ett givet a v s t å n d till en given punkt, finner man att å h ö r a r n a icke fatta denna u p p l y s n i n g s i n n e b ö r d . Ingen får av den n å g o n insikt o m cirkelns egenskaper. O r d e n kunna i n l ä r a s , men de giva blott en minneskunskap, som snart f ö r s v i n n e r . O m man d ä r e m o t m ä r k e r ut ett antal punkter på, inom o c h utom cirkeln, inser varje l ä r j u n g e utan s v å r i g h e t , s å v ä l att a v s t å n d e t till medel- punkten från en punkt på cirkeln är lika m e d radien, s o m att varje annan punkt antingen h a r ett s t ö r r e eller ock ett mindre m e d e l p u n k t s a v s t ä n d . D ä r e f t e r å t e r s t å r endast, att i ord u t t r y c k a , v a d v a r och en redan vet o m cirkellinjen. P å detta s ä t t blir definitionen, v a d den b ö r v a r a , en samman- fattning av v a d erfarenheten lärt.

2. O m man uppritar t v å trianglar ABC oc\\ DEF p å tavlan och meddelar, att vinkeln D är l i k a med vinkeln A, sidan DE lika m e d sidan AB o c h sidan DF lika m e d sidan AC\ samt att trianglarna p å grund h ä r a v kunna visas vara kongruenta, hava dessa upplysningar ingen konkret i n n e b ö r d för n y b ö r j a r e . O m m a n d ä r e m o t först ritar eller låter rita en g o d t y c k l i g

A N T O N B O K E L I D

triangel ABC p å tavlan och d ä r e f t e r konstruerar eller låter konstruera en n y triangel DEF, i vilken en vinkel g ö r e s l i k a m e d vinkeln A och de omfattande sidorna l i k a med AB och AC, visar det sig, att de flesta s j ä l v a finna ut, b å d e att den ena triangeln k a n l ä g g a s p å den andra, s å att figurerna helt och h å l l e t t ä c k a varandra, och hur de skola l ä g g a s för att detta skall inträffa. D ä r e f t e r å t e r s t å r endast att i ord uttala den erfarenhet u n d e r s ö k n i n g e n givit till resultat.

M e d dessa e x e m p e l torde j a g h a v a t i l l r ä c k l i g t understrukit min uppfattning, att den uppgift å s k å d n i n g e n har att fylla vid k u n s k a p s t i l l ä g n a n d e t icke är mindre v ä s e n t l i g , n ä r det g ä l l e r undervisning i geometri, ä n när det är fråga om under- v i s n i n g i andra ä m n e n .

D e n n a å s i k t i n n e h å l l e r ingenting m ä r k v ä r d i g t i och för sig. Ingen lärare i f r å g a s ä t t e r , att undervisningen i natur- vetenskap i realskolan skall meddelas p ä teoretisk v ä g . Ingen lärare f ö r s ö k e r formulera en abstrakt regel utan att först h a v a grundligt f ö r b e r e t t den m e d konkret material. A r det d å rimligt att f ö r v ä n t a , att barn i realskolan helt utan s t ö d av praktiskt f ö r a r b e t e skola kunna uppfatta och t i l l ä m p a de f u l l ä n d a t logiska men p ä grund d ä r a v synnerligen abstrakta problemen och teoremen hos E u k l i d e s . O m o c k s å den geo- metriska logikens s k ö n h e t är uppenbar för den j ä m f ö r e l s e v i s ringa del av de v u x n a , som är t r ä n a d i abstrakt t ä n k a n d e , k a n den k n a p p a s t fattas av n å g o n annan av de u p p v ä x a n d e i realskolans å l d e r s s t a d i e r ä n den, s o m av naturen blivit ut- rustad med s ä r s k i l d a f ö r u t s ä t t n i n g a r .

A l l t s e d a n j a g k o m till denna ö v e r t y g e l s e , har j a g i allt- j ä m t v ä x a n d e omfattning t i l l ä m p a t den i de n y s s a n f ö r d a exemplen skisserade heuristiska metoden. J a g har, med andra ord sagt, s ö k t b y g g a upp geometriskt vetande p å rent synte- tisk v ä g med h j ä l p av manuellt arbete, å s k å d n i n g o c h logiska slutledningar ur redan v u n n a erfarenheter. F ö r egen del har j a g funnit denna metod ä n d a m å l s e n l i g , ty den har gjort mitt

arbete v ä s e n t l i g t lättare o c h givit m ä r k b a r t b ä t t r e resultat.

D å j a g därför ansett, att den kunde vara av intresse ä v e n för andra lärare, i synnerhet o m de p å grund av g ä l l a n d e timplan m å s t e s ö k a n y a v ä g a r för att p å de få veckotimmar, som s t å geometriundcrvisningen till buds, n å ett tillfredsstäl- lande resultat, har j a g samlat mina erfarenheter o c h utbyggt dem till en l ä r o b o k i geometri för realskolan, som utkom för ett år sedan. J a g kan a l l t s å b e t r ä f f a n d e den n ä r m a r e ut- formningen av mina i d é e r h ä n v i s a till denna. Cirkeln spelar däri en f r a m t r ä d a n d e roll s å s o m bevismateriel o c h konstruk- tionsmedel, varför det m å h ä n d a kan vara l ä m p l i g t att h ä r r e d o g ö r a för den g r u n d l ä g g a n d e f r a m s t ä l l n i n g e n av läran om densamma, d å denna f r a m s t ä l l n i n g följer de principer för vilka j a g tidigare redogjort. L ä r a n om cirkeln har j a g p å - b ö r j a t i inledningskapitlet m e d f ö l j a n d e uppgift:

» M ä r k ut en punkt O , s ä t t passarspetsen i denna och rita m e d passarpennan en s a m m a n h ä n g a n d e kroklinje. D e n linje, som p å detta s ä t t e r h å l l e s är en cirkellinje (cirkel)', och punkten O är dess medelpunkt (centrum).»

D ä r p å har j a g p å liknande s ä t t med s t ö d av figurer, som l ä r j u n g a r n a skola teckna, redogjort för ö v r i g a b e n ä m n i n g a r s å s o m b å g e , sektor, segment m. fl. Sedan har j a g m e d h j ä l p av en ny uppgift, satt l ä r j u n g a r n a i tillfälle att uttryckligen fastslå, att alla punkter p å cirkeln hava s a m m a medelpunkts- a v s t å n d , och att detta a v s t å n d är dess radie, och slutligen visat, huru ett flertal enkla konstruktionsuppgifter, s å s o m delning av en s t r ä c k a , konstruktion av normaler m. fl. l ö s a s med h j ä l p av cirkellinjer.

D å cirkeln i den egentliga geometrien åter upptagits till behandling, har j a g först konstaterat, att m e d e l p u n k t s a v s t å n d e t för en punkt inom densamma är mindre än radien (sats 1, sid. 23) och för en punkt u t a n f ö r den s t ö r r e ä n radien (sats 2).

D ä r e f t e r har j a g fastslagit (sats 3), att det av de a n f ö r d a u n d e r s ö k n i n g a r n a f r a m g å r , att en punkt ligger på, inom eller

I I —

37332.

A N T O N B O K E L I D

utom en given cirkel allteftersom dess m e d e l p u n k t s a v s t å n d är lika med radien, mindre ä n radien eller s t ö r r e ä n denna.

Slutligen har j a g meddelat, att cirkeln p å grund av de n ä m n d a egenskaperna s ä g e s v a r a geometriska orten för punkter, s o m h a v a ett givet a v s t å n d till en given punkt och s å l u n d a , p ä s a m m a g å n g s o m j a g f u l l s t ä n d i g t definierat d e n s a m m a , be- gagnat tillfället att införa begreppet geometrisk ort.

I anslutning till det nu a n f ö r d a b ö r det uttryckligen fram- h å l l a s , att den traditionella metoden börjar m e d den abstrakta definitionen, s o m i min f r a m s t ä l l n i n g framkommit som resultat av en u n d e r s ö k n i n g . J a g kan icke finna annat ä n att det gamla genom m å n g a generationer n e d ä r v d a t i l l v ä g a g å n g s - s ä t t e t är felaktigt ur undervisningssynpunkt. D e t kan i c k e v a r a riktigt, att en f r a m s t ä l l n i n g , som har till uppgift att i l ä r j u n g a r n a s medvetande s k a p a ett nytt begrepp, tager detta begrepp till u t g å n g s p u n k t . S å l å n g t j a g har m i g bekant, är det o c k s å blott i geometriundervisningen denna metod an- v ä n d e s . D e t är v ä l t. c x . f u l l s t ä n d i g t o t ä n k b a r t , att en kemi- lärare skulle k u n n a b ö r j a f r a m s t ä l l n i n g e n av kemiens lag om de konstanta viktsproportionerna m e d denna l a g s j ä l v för att sedan ö v e r g å till t i l l ä m p n i n g a r , som avse att fästa den i minnet. Resultatet av en s å d a n undervisning blir blott en ordkunskap, ty f ö r e s t ä l l n i n g a r n a skapas icke av orden utan k o m m a frän l ä r j u n g a r n a s j ä l v a . D e n korta vandringen från varseblivning till varseblivning måste f ö r e t a g a s , och den s o m tror, att » o m v ä g e n » vållar t i d s f ö r l u s t m å p r ö v a , om i c k e denna f ö r l u s t blir en vinst, d å man tar h ä n s y n till de memo- reringar, som faktiskt sparas, o c h till det n y f ö r v ä r v a d e ve- tandets v ä s e n t l i g t h ö g r e v ä r d e . T a g e r man i betraktande det geometriska l ä r o s t o f f e t s egenart, b ö r m a n dessutom k o m m a i h å g , att det är s å l å n g t ifrån att det abstrakta infinner sig av sig s j ä l v i barnens t a n k e v ä r l d , att om det konkreta k a n anses i n f ö r l i v a t med deras vetande genom en eller ett par

v a r s e b l i v n i n g a r e r f o r d r a s d e t e n h e l s e r i e e r f a r e n h e t e r a v e n o c h s a m m a a r t , o m d e s k o l a b i l d a e t t a b s t r a k t b e g r e p p .

M e n i n g a r n a o m d e n e u k l i d e i s k a m e t o d e n s förtjänster o c h fel äro m y c k e t d e l a d e . J a g är i c k e e n s a m o m m i n m e n i n g , m e n d e n d e l a s i n g a l u n d a a v a l l a geometrilärare, e l l e r e n s a v flertalet. M å n g a a n s e E u k l i d e s v a r a d e t o u p p h i n n e l i g a i d e a l e t ä v e n i m e t o d i s k t a v s e e n d e , o c h för d e m är v a r j e a n n a t f r a m - ställningssätt e n s t y g g e l s e , v i l k e n d e r e d a n på förhand för- d ö m a s å s o m o l o g i s k o c h o r e d i g . A n d r a äro v i s s e r l i g e n i c k e n ö j d a m e d d e n g a m l a m e t o d e n m e n h a v a i c k e f u n n i t n å g o n a n n a n v a r a bättre o c h b l i därför k v a r v i d d e t s o m är. A t t å s t a d k o m m a e n f u l l g o d lösning a v g e o m e t r i u n d e r v i s n i n g e n s a k t u e l l a p r o b l e m är i n g a l u n d a lätt, a t t f i n n a e n , s o m t i l l f r e d s - ställer a l l a är o m ö j l i g t .

P å e n a n n a n p u n k t t o r d e f u l l e n i g h e t råda, n ä m l i g e n i fråga o m o m d e t r e s u l t a t , s o m r e a l s k o l a n s g e o m e t r i u n d e r v i s - n i n g förmår u p p n å . D e t lär i c k e f i n n a s n å g o n , s o m a n s e r d e t t a r e s u l t a t tillfredsställande, o c h i s y n n e r h e t e n l i g t d e r a s m e n i n g , s o m h a a t t i g y m n a s i e t tillämpa o c h p å b y g g a r e a l s k o l e k u n - s k a p e r n a , g ö r s i g b e h o v e t a v e n förbättring s t a r k t g ä l l a n d e . D e t är i c k e o s a n n o l i k t , a t t d e u n d e r d e n ä r m a s t e åren k o m m a a t t f i n n a d e t t a b e h o v ännu b e s t ä m d a r e framträda. D e t är g i v e t , a t t j a g i d e n r e d a n föreslagna o m l ä g g n i n g e n a v f r a m - s t ä l l n i n g s m e t o d e n s e r d e t främsta m e d l e t t i l l förbättrande a v k u n s k a p e r n a s a r t , m e n j a g a n s e r m i g b ö r a framhålla, a t t ä v e n a n d r a m ö j l i g h e t e r f i n n a s , b å d e när d e t gäller a t t h ö j a d e r a s k v a l i t e t o c h a t t ö k a d e r a s o m f a t t n i n g .

E n u t v ä g e r b j u d e r s i g i e t t bättre u t n y t t j a n d e a v d e p r a k - t i s k a mätnings- o c h k o n s t r u k t i o n s u p p g i f t e r n a i k l a s s e r n a 2⁵ o c h i⁴. D e s s a ö v n i n g a r h a v a s o m b e k a n t t i l l u p p g i f t a t t b i b r i n g a lärjungarna f ö r t r o g e n h e t m e d d e g e o m e t r i s k a f u n d a - m e n t a l b e g r e p p e n , såsom räta l i n j e n o c h p l a n e t , o l i k a s l a g a v v i n k l a r , t r i a n g l a r o c h p a r a l l e l l o g r a m m e r , c i r k l a r o c h c i r k e l - s e k t o r e r , o c h a t t d ä r i g e n o m g ö r a d e flesta d e f i n i t i o n e r över-

' 5 ° A N T O N B O K E L I D

f l ö d i g a . V i l l man n å ett s å d a n t m å l , m å s t e man a n s l å g a n s k a m å n g a undervisningstimmar ( f ö r s l a g s v i s 12 ä 15) å t denna undervisning och icke i n s k r ä n k a sig till att å t m ä t n i n g a r och ritningar offra n å g r a lektioner, som man t y c k e r s i g ha kunnat a n v ä n d a b ä t t r e . E n y t l i g g e n o m g ä n g av det omfattande stoffet är för ö v r i g t s ä m r e ä n ingen alls, å t m i n s t o n e för s å vitt läraren tror sig ha å s t a d k o m m i t n å g o t annat ä n de mer eller mindre lyckade konstruktionerna i l ä r j u n g a r n a s h ä f t e n . M e n matematiktimmar ä r o dyrbara i realskolan, och det är a n g e l ä g e t att v ä l tillvarataga dem. Ä v e n för den förbere- dande geometriundervisningen b ö r det därför finnas en ordentlig plan, s å att l ä r j u n g a r n a s alla erfarenheter kunna omsorgsfullt t i l l g o d o g ö r a s . Med inledningskapitlet i den tidigare n ä m n d a l ä r o b o k e n har j a g s ö k t å s t a d k o m m a ett s å d a n t medel till effektivisering av undervisningen i fråga. J a g tillåter mig därför att ä n n u en g å n g h ä n v i s a till denna och vill här blott i s t ö r s t a korthet r e d o g ö r a för kapitlets struktur i metodiskt av- seende. H u v u d i n n e h å l l e t u t g ö r e s av ett antal enkla uppgifter av den art, som ovan angavs i samband med r e d o g ö r e l s e n för den metodiska behandlingen av cirkeln och dessa ä r o av- sedda att i f r ä m s t a rummet fylla ö v n i n g a r n a s s ä r s k i l d a ä n d a - m å l enligt de metodiska anvisningarna. D e s s u t o m skola de enligt mitt f ö r m e n a n d e å s t a d k o m m a den fond av minnes- bilder, vilken ä n d a frän början skall g ö r a det geometriska vetandet till n å g o t annat än ordkunskap, J a g har emellertid o c k s å medtagit n å g r a satser, s o m ä r o s å enkla, att deras sanning o s ö k t f r a m g å r av l ä r j u n g a r n a s eget arbete. D e er- farenheter deras u n d e r s ö k n i n g a r giva till resultat, har j a g dessutom s ö k t fixera med h j ä l p av sammanfattande minnes- ord, s o m motsvara den egentliga geometriens satser och ä r o formulerade p ä s a m m a s ä t t s o m dessa. U t a n l ä s n i n g av dessa minnesord torde icke b ö r a f ö r e k o m m a , men med en eller annan repetition i l ä m p l i g t sammanhang skola de g ö r a s a m m a gagn som satserna och hopfoga iakttagelserna till en p å l i t l i g

grundval för den f ö l j a n d e geometriundervisningen. D e t torde icke desto mindre bli n ö d v ä n d i g t , att l ä r j u n g a r n a anskaffa l ä r o b o k , o m allt skall medhinnas p å den tid, som rimligen kan a n s l å s för ä n d a m å l e t . S k a l l läraren l ä m n a anvisningar för allt och l ä r j u n g a r n a teckna sig till minnes, vad de b ö r a tillvarataga, skulle denna tid icke r ä c k a till. O m de k u n n a t i l l g o d o g ö r a sig den handledning en l ä r o b o k ger, kommer läraren d ä r e m o t att fa tid ö v r i g för den individuella hand- ledning, utan vilken n å g r a av dem skulle bli h o p p l ö s t efter kamraterna p å grund av d å l i g t handlag för a n v ä n d n i n g av ritinstrument eller a l l m ä n o f ö r e t a g s a m h e t .

E n annan del av l ä r o s t o f f e t , som för n ä r v a r a n d e fordrar sin s ä r s k i l d a u p p m ä r k s a m h e t , bilda de satser, s o m m å s t e

medtagas, utan att man bevisar dem i egentlig mening. D e t är av icke ringa v i k t , att ä v e n de v ä l tillvaratagas. I en ny upplaga av en ä l d r e l ä r o b o k , h a å t s k i l l i g a satser a n f ö r t s p å s å s ä t t , att deras ordalydelse meddelats j ä m t e m ö j l i g a s t kort-

fattade p å p e k a n d e , att deras sanning inses genom å s k å d n i n g . F i g u r saknas emellertid, varför icke n å g o t som helst b e l ä g g för p å s t å e n d e t s riktighet f ö r e b r a g t s . A v vad j a g förut anfört torde f r a m g å , att j a g finner dessa satser bli till f ö g a gagn för undervisningen. D å orden icke ä r o uttryck för resultatet av n å g o n tankeverksamhet och inga f ö r e s t ä l l n i n g a r om kon- kreta fall ä r o k n u t n a till dem, k u n n a de icke hos l ä r j u n g a r n a å s t a d k o m m a n å g o n tankebana, s o m kan f ö r a n l e d a reproduk- tion av t a n k e f ö l j d e n , än mindre tjäna s å s o m underlag för en s j ä l v s t ä n d i g s å d a n . D å memoreringar dessutom i deras före- s t ä l l n i n g s v ä r l d blott kan å s t a d k o m m a ett svagt s p å r , som l ä t t u t p l å n a s av n y a intryck, blir det sammanhang i läro- g å n g e n , vilket dessa satser ä r o avsedda att s ä k e r s t ä l l a , blott skenbart. E n l i g t min mening b ö r varje sats, s o m skall b y g g a s p å å s k å d n i n g e n , s å h ä r l e d a s att den kommer att f r a m s t å som en sanning i sig s j ä l v , icke blott som ett av lärare och läro- bok u p p s t ä l l t kategoriskt p å s t å e n d e . F ö r att v i s a hur en sats

A N T O N B O K E L I D

kan bli resultat av slutledningar, som hava en figur till under- lag, vill j a g a n f ö r a en h ä r l e d n i n g , som å t e r f i n n e s p å sid. 3 2 i min l ä r o b o k .

» T e c k n a en vinkel ABC (fig. 3 5 ) , dela den mitt itu och drag från en godtyckligt vald punkt P p å halveringslinjen normalen PX till vinkelbenet AB. V i v i k a bilden utefter AB. D å faller vinkelbenet B A utefter vinkelbcnet .#67 (sats 5, sid. 2 2 ) och punkten X i en punkt V p å den senare linjen.

Det är uppenbart, att s t r ä c k a n PY är normal till vinkelbenct B C, och att denna normal är lika med normalen PX. D å punkten P var godtyckligt vald kunna vi därför u p p s t ä l l a f ö l j a n d e s a t s :

O m en punkt ligger p å halveringslinjen till en given vinkel, s å har den lika a v s t å n d till b å d a v i n k e l b e n e n . »

P ä liknande s ä t t har j a g h ä r l e t t de flesta satser av ifråga- varande kategori. D e ö v r i g a hava f r a m g å t t ur enkla beräk- ningar och konstruktioner. J a g tillåter mig att anföra exempel ä v e n p å denna art av h ä r l e d n i n g (s. 21 i l ä r o b o k e n ) .

»Övningsuppgift. T e c k n a t v å räta linjer AB och CD (fig. 18), som s k ä r a varandra under a) 55 , b) 9 0 , c) 115 vinkel. S ä t t därefter med h j ä l p av g r a d s k i v a n i punkten D vid linjen CD en vinkel, som är likbelägen med vinkeln B'CD och lika stor som denna. A n g i v storleken av alla ö v r i g a vinklar, som de tre linjerna bilda med varandra.

A v dessa konstruktioner och b e r ä k n i n g a r f r a m g å r riktig- heten av f ö l j a n d e p å s t å e n d e :

O m t v å räta linjer s k ä r a en tredje och med denna bilda t v å lika stora, l i k b e l ä g n a vinklar, s å ä r o ä v e n ö v r i g a likbe- l ä g n a vinklar lika stora, alla v ä x e l v i n k l a r äro lika stora och alla n ä r l i g g a n d e vinklar s u p p l e m e n t ä r a . »

D e t b ö r m å h ä n d a här p å p e k a s , att satserna om sidovinklar och korsvinklar behandlats redan i inledningskapitlet (sid. 14).

D e t förtjänar ä v e n f r a m h å l l a s , att det konkreta material, p å vilket den nyss a n f ö r d a satsen grundats, e r h å l l i t s med h j ä l p

av en övningsuppgift. J a g vill i detta s a m m a n h a n g p å p e k a , att ä v e n om ö v n i n g s u p p g i f t e r n a ä r o avsedda att u t g ö r a till- l ä m p n i n g a r av det redan g e n o m g å n g n a , b ö r a de v ä l j a s i c k e blott m e d tanke p ä den sats, dit de h ö r a . H ä n s y n b å d e k a n o c h b ö r tagas till deras a n v ä n d b a r h e t för s ä r s k i l d a ä n d a - m å l , till deras betydelse för den f ö l j a n d e geometriundervis- ningen och för planimetrien.

Med allt det nu sagda har j a g ingalunda velat p å s t å , att den euklideiska geometrien kan m e d h ä n s y n till sitt ä n d a m å l av n å g o t annat e r s ä t t a s . J a g vill uttryckligen f r a m h å l l a , att det är mot metoden j a g riktat kritik. Ingen kan bestrida, att en f r a m s t ä l l n i n g , som s k a l l a n v ä n d a s vid undervisning av barn, m å s t e taga h ä n s y n till det vetande barnen tidigare in- h ä m t a t , till deras f ö r m å g a att fatta och till deras s ä t t att lära, och ingen kan p å s t å , att euklideiska metoden i detta avseende fyller kraven. M e d all sin abstrakthet o c h sin konst- lade r e d o g ö r e l s e för ä v e n enkla fakta har den träffande karakteriserats s å s o m en sista rest av medeltida skolastik i modern undervisningsteknik, och det m å s t e betecknas s å s o m a n m ä r k n i n g s v ä r t , att den kunnat leva k v a r s å l ä n g e . G å n g p å g å n g har f r å g a n om geometriundervisningens gestaltning upptagits till behandling, men n å g o t annat resultat ä n att det b ö r bli v i d det gamla har ä n n u icke u p p n å t t s tack vare R u k l i d e s a n h ä n g a r n a s envisa — för att i c k e s ä g a blinda — m o t s t å n d . D e t är s ä k e r l i g e n att v ä n t a alltför m y c k e t , o m j a g hoppas att dessa rader s k o l a föra diskussionen vidare, men om de v i s a s i g ha en s å d a n verkan, skall j a g finna m i g rikligen l ö n a d för m ö d a n .

Anmälningar och recensioner.

A . G i e r o w , G . H e l l s t é n o c h S . M a l m b e r g : A r b e t s s k o l a

— A r b e t s g l ä d j e . I I . C . W . G l e e r u p s f ö r l a g .