RAÄKNELÄRANS GRUNDER
E L L E R
ARITMETIK OCH ALGEBRA
I KORT SYSTEMATISK FRAMSTALLNTHG
A F
EMIL ELMGREN.
II. ALGEBRA
STOCKHOLM,
P . A . N Y M A N S T R Y C K E R I , 1882.
F Ö R O R D .
Hänvisande t i l l förordet i häftet I rörande arbetets allmänna p l a n m. m., v i l l förf. här meddela h v a d särskildt är a t t säga om förelig- gande häfte.
Läran om r o t u t d r a g n i n g u r p o l y n o m är utelemnad, emedan den så godt som a l d r i g h a r någon p r a k t i s k användning. — D i v i s i o n med mång- t e r m i g divisor, som sällan kommer i fråga, är meddelad i ett tillägg.
Någon lära om »imaginära kvantiteter» är ej upptagen. D e t visas endast, h u r u m a n genom den f o r t s a t t a formella behandlingen af ett omöjligt f a l l v i d en andra grads ekvation kommer t i l l den imaginära symbolen. Något v i d a r e anser förf. icke höra t i l l »elementerna», u t a n böra uppskjutas t i l l den högre d e l af algebran, som af h a n d l a r den a l l - männa ekvationsläran m . m .
Beträffande de »irrationella talen» anser förf. den n u b r u k l i g a
»stränga» framställningen l o g i s k t oegentlig, oafsedt svårigheten för ele- ven a t t f a t t a den egentliga p o i n t e n däri. Förf. menar, a t t man härvid- l a g endast h a r a t t i a k t t a g a : 1) a t t när ett i r r . t a l framkommer, visa hur (el. åtminstone att) det k a n beräknas t i l l h v i l k e n önskad noggrann- het som hälst (ex. § 149); 2) a t t ge en t e o r i för räkning m e d närme- värden (kap. 21), däri visas h v i l k e n noggrannhet resultaten af de före- kommande operationerna med närmevärden af uppgifven noggrannhet erhålla, eller åtm. visa a t t en viss f u n k t i o n af ett i r r . t a l k a n beräknas med h u r u stor noggrannhet som önskas*) (ex. § 190); men icke a t t be- visa »räknelagarnes g i l t i g h e t för i r r . tal», något hvars m e n i n g är svår a t t inse, då m a n j u endast k a n räkna med närmevärden, h v i l k a väl äro t a l som andra (§ 150, anm. 1).
Läran om de »negativa kvantiteterna» har förf. sökt befria från mysticism genom a t t förvandla den t i l l h v a d han anser den egentligen vara, en lära om teckenändring i f o r m l e r ( k a p . 16). Det k a n enl. förf.s m e n i n g endast leda t i l l förvillelse a t t t i l l en n y storhet sammanslå 1) en storhet och 2) dess r e l a t i o n t i l l en annan storhet. H u r u den här gifna framställningen tillämpas på geometrien (analyt.), synes lätt af § 270.
Förf. har sökt visa ett sätt a t t framställa logaritmläran, oberoende af potenser (genom a t t lägga funktionsegenskapen X t i l l g r u n d * * ) . Dock lägger förf. ingen synnerlig v i g t härpå, och i n t e t finnes som h i n d r a r a t t läran om potenser tages först, a t t »logaritm» där defi- nieras genom l i k h e t e n X a t t g r u n d f o r m e l n log (16) X logb där härledes, och a t t m a n sedan börjar på § 162. Men förf. anser det för en bestämd fördel, a t t m a n ur denna g r u n d f o r m e l (och icke u r de o l i k a potensformlerna, annat än möjl: som en y t t e r l i g a r e i l l u s t r a t i o n ) härleder de öfriga log.-formlerna, t y härigenom b l i r l o g a r i t m t e o r i e n mera
*) D e t t a följer, för summa, s k i l l n a d , p r o d u k t och k v o t , redan af kap. 8 samt för k v a d r a t r o t e n u r § 146; för en r o t i allmänhet k a n det näppeligen elementärt bevisas.
**) E t t annat sätt är det gamla på a r i t m . och geom. serien grundade (jfr § 200).
helgjuten. För en första öfning i räkning med l o g . är i t e x t e n i n s a t t en treställig t a b e l l . I bokens slut lemnas en fyrställig, som förf. anser tillräcklig för de flesta behof; den utlofvas i § 182 m e d enkel ingång, men u t r y m m e t h a r nödgat oss a t t sätta den med d u b b e l ingång.
S l u t l i g e n h a r förf. sökt a t t ge proportionsläran h v a d han anser för en b e g r i p l i g och i tillämpningar d i r e k t användbar f o r m , genom a t t ute- slutande grunda den på två v a r i a b l a storheter, m e l l a n h v i l k a finnes den r e l a t i o n , som får namn af p r o p o r t i o n a l i t e t . A t t u t r e d a h v a r i denna re- l a t i o n består, är j u s t proportionslärans egentliga innehåll. Förf. anser, a t t det m y c k n a krånglet i den från E u k l i d e s ärfda, om än på ett e l l e r annat sätt modifierade, proportionsläran har sin g r u n d i betraktelsen af f y r a storheter samt i e t t själfgjordt besvär med i r r a t i o n e l l a t a l , h v a r i - genom å ena sidan en mängd bisaker, såsom i n - och k o n v e r t e r i n g , k o m - p o n e r i n g e t c , upptaga u t r y m m e t , och å andra sidan p r o p o r t i o n a l i t e t s - k r i t e r i e t b l i r så s u b t i l t , a t t det alldeles icke k a n b l i t a l om något upptagande af det samma i en åskådlig föreställning, och därför k n a p - past om någon tillämpning af det samma u t o m de e u k l i d i s k a råmär- kena.
Texten är o r d n a d u r systematisk s y n p u n k t : skälen för en sådan o r d n i n g äro angifna i m a t e m a t i s k a kommissionens betänkande s. 17.
N a m d a o r d n i n g är e m e l l e r t i d icke alldeles den samma som den så a t t säga kronologiskt-pedagogiska, den v i anse böra v a r a ungefär följande:
— K a p . 11 (utgörande i n l e d n i n g ) , 12, 13, 14; k a p . 22 t . o. m . § 238 (med p r o b l . ) ; k a p . 15, 16; k a p . 22 f r . o. m . § 239 (med p r o b l . ) ; k a p . 17, 18 (kunna, som ofvan anmärkts, läsas i omvänd o r d n i n g , äfvensom uppskjutas t i l l när som hälst längre f r a m ) ; k a p . 23, 24 (§§ 253—265 m e d p r o b l . k u n n a tagas före k a p . 23); kap. 19, 20, 21 o. 25 k u n n a tagas delvis, när de behöfvas. De flesta torde väl anse den o r d n i n g pedagogiskt bäst, som låter eleven så f o r t som möjligt tillämpa e t t i n h e m t a d t m a t e r i a l .
Väl inseende a t t arbetet äger många brister, b l i r förf. tacksam för hvarje k r i t i k , j u g r u n d l i g a r e desto bättre, som möjligen k a n k o m m a en f r a m t i d a upplaga t i l l godo.
Före bokens användning t o r d e följande
r ä t t e l s e r
göras:sid. 50 r a d 6 står: a stycken n, läs: re stycken a sid. 50 r a d 11 står: E n l i g t § 83, läs: E n l i g t § 86 sid. 56 r a d 8 nedifr. står: m(a-\-V) — c, läs: m(a + b — o) sid. 63 r a d 5 står: Ex. 1. | £ = f = , läs: Ex. 1. | § = J = sid. 66 i m i d t e n står: Ex. 5 02 2500; läs: Ex. 502 = 2500;
sid. 67 nederst (noten oräknad) står: rest 54, läs: rest 34
3
sid. 71 strax ofvan m i d t e n bör stå: V25372 = 29 sid. 93 r a d 6 nedifr. står: log 2891 = , läs: log 2819 = sid. 93 r a d 6 nedifr. står: = 1,4506, läs: = 1,45016 sid. 96 r a d 10 nedifr. står: räckor menas, läs: räcka menas sid. 97 r a d 2 nedifr. står: de 1000 första, läs: de 999 första sid. 103 rad- 10 står: p r o d u k t e n ( ¥ ) , läs: p r o d u k t e n (y) sid. 105 r a d 25 står: äfven b l i r , läs: äfven b l i f v a
E b b e t o r p i September 1881.
E . E .
A L G E B R Å .
90. Algebran är en utvidgning af aritmetiken. M a n be-
traktar här inga särskilda t a l utan endast tecknade räkningar,
hvilka man lär sig att ge en annan och för ett visst ändamål
t. ex. sifferräkning lämplig form utan att förändra deras värde
(det resultat som de gifva). De i den tecknade räkningen före-
kommande talen blifva ej härunder förändrade och kunna därför
vara hvilka som helst. De betecknas därför ock med bokstäfver.
Emellertid behandlas här afven åtskilligt som tillhör sifferräk-
ningen.
Kap. 11. Formler.
91. De i en räkneuppgift ingående kända storheterna äro
af åtskilliga slag och ha oftast i språket särskilda namn (såsom
i en räntefråga: kapital, t i d , ränta o. s. v . ) .
Mellan dessa storheter finnes ett visst samband, med stöd af
hvilket man kan beräkna en af dem, när de öfrigas värden äro
gifna.
I algebran betecknas dessa storheter med vissa tecken, van-
ligen bokstäfver*), och sambandet uttryckes i en uppteckning af
de räkningar, som med de kända storheterna böra vidtagas för
att finna den sökta. E n sådan uppteckning kallas en formel.
Den är en på algebrans teckenspråk skrifven regel.
Eör att besvara en enskild fråga af det slag formeln afser,
har man endast att utbyta storheternas tecken mot deras vär-
den för tillfället samt verkställa den tecknade räkningen.
92. A f algebrans räknetecken känna v i dem som tillhöra de
fyra räknesätten.
*) Dessa k u n n a anses som förkortningar af storheternas namn i språket.
4
