ALGEBRA OCH FUNKTIONER

lena Alfredsson kajsa bråting patrik erixon hans heikne

kurs 3c blå lärobok

natur & kultur

5000 ^Matematik

NATUR & KULTUR

Box 27 323, 102 54 Stockholm

Kundtjänst: Tel 08-453 85 00, order@nok.se Redaktion: Tel 08-453 86 00, info@nok.se www.nok.se

Order och distribution: Förlagssystem, Box 30 195, 104 25 Stockholm

Tel 08-657 95 00, order@forlagssystem.se www.fsbutiken.se

Projektledare: Irene Bonde

Textredaktör: Mats Karlsson/Devella HB Bildredaktör: Erica Högsborn

Grafisk form och omslag: Graffoto AB och Åsa Lundbom Layout: Måns Björkman/Typ & Design och

Mats Karlsson/Devella HB Sättning: Måns Björkman/Typ & Design och

Mats Karlsson/Devella HB

Kopieringsförbud!

Detta verk är skyddat av upphovsrättslagen! Kopiering är förbjuden, utöver lärares begränsade rätt att kopiera för undervisningsbruk enligt avtal med Bonus Presskopia och den mycket begränsade rätten till kopiering för privat bruk.

Den som bryter mot lagen om upphovsrätt kan åtalas av allmän åklagare och dömas till böter eller fängelse i upp till två år samt bli skyldig att erlägga ersättning till upphovsman/rättsinnehavare.

© 2012 Lena Alfredsson, Lars-Eric Björk, Hans Brolin, Kajsa Bråting, Patrik Erixon, Hans Heikne, Anna Palbom och Natur & Kultur, Stockholm

Tryckt i Lettland 2012 Första utgåvans första tryckning ISBN 978-91-27-42628-3

Välkommen till Matematik 5000

Matematik 5000 är en läroboksserie för gymnasie- skolan och vuxenutbildningen. Den är inriktad på färdigheter, förståelse, kommunikation och problemlösning och erbjuder stora möjligheter till en varierad undervisning.

Matematik 5000 ger eleverna goda förutsättning- ar att utveckla de förmågor och nå de kunskaps- mål som beskrivs i den nya ämnesplanen.

Denna bok, Kurs 3c Blå lärobok, riktar sig till elever som studerar på teknikprogrammet eller naturvetenskapsprogrammet.

Hur är boken upplagd?

• Teoriavsnitten utgår ofta från konkreta exempel som framställs och förklaras på ett sätt som ger eleverna möjlighet att förstå och upptäcka matematiken.

Teorin avslutas med flera lösta exempel som belyser det viktigaste.

Därefter kommer övningsuppgifter i tre nivåer, a, b och c, i stigande svårighetsgrad.

• Aktiviteterna ger stora möjligheter att variera undervisningen. De finns i fyra olika kategorier:

Upptäck, Undersök, Diskutera och Laborera.

De flesta är avsedda för arbete i grupp. I varje kapitel finns dessutom en kort Inledande aktivi- tet som introducerar delar av kapitlets innehåll.

• I Teman finns teori och uppgifter anpassade till naturvetenskapsprogrammet och teknik- programmet och i Historik, med tillhörande uppgifter, sätts matematiken in i ett historiskt sammanhang.

• På många sidor blandas uppgifter av standard- karaktär med uppgifter som kräver matematisk problemlösning.

Varje kapitel avslutas med:

• En Aktivitet som uppmuntrar till kommunika- tion: Sant eller falskt?

• En kort Sammanfattning av kapitlet.

• Kan du det här? och Diagnos som tillsammans ger eleverna en god möjlighet till egen kunskaps- kontroll. I Kan du det här? kan eleverna i par eller smågrupper värdera sina kunskaper om matematiska begrepp och strategier och i Diagnos kan de enskilt testa sina grund- läggande kunskaper.

• Om en elev behöver repetera delar av kapitlet finns Repetitionsuppgifter i slutet av boken.

Repetitionsuppgifterna är texten till de lösta uppgifterna i bokens teoriavsnitt.

• Två olika varianter av Blandade övningar av- slutar varje kapitel. Den första innehåller endast uppgifter från det aktuella kapitlet. Den andra innehåller även uppgifter från tidigare kapitel.

Blandade övningar består av tre delar: Utan räknare, Med räknare och Utredande uppgifter.

I Svarsdelen finns ledtrådar till många uppgifter.

Till läroboken finns en lärarhandledning med kommentarer, ytterligare aktiviteter och övnings- uppgifter samt en provbank.

Med Matematik 5000 inbjuder vi lärare och elev- er till en variation av arbetssätt och arbetsformer och erbjuder många olika möjligheter för eleverna att utveckla sina matematiska förmågor.

Mer information om läromedlet och digitalt material finns på www.nok.se/matematik5000

Lycka till med matematiken!

önskar Hans, Kajsa, Lena och Patrik

Innehåll

1. Algebra och funktioner 6 Centralt innehåll 6

Inledande aktivitet: Vilka uttryck är lika? 7 1.1 Algebra och polynom 8

Polynom och räkneregler 8 Potenser 12

Kvadratrötter och absolutbelopp 14 Ekvationer 17

Polynom i faktorform 22

Aktivitet: Upptäck – Pascals triangel 24 1.2 Rationella uttryck 26

Vad menas med ett rationellt uttryck? 26 Förlängning och förkortning 28 Addition och subtraktion 33 Multiplikation och division 38 1.3 Funktioner 40

Inledning 40

Historik: Hur funktionsbegreppet utvecklats 42 Räta linjens ekvation 43

Andragradsfunktioner 46

Exponentialfunktioner och potensfunktioner 50 Aktivitet: Laborera – Pendeln 54

Aktivitet: Diskutera – Sant eller falskt? 55 Sammanfattning 1 56

Kan du det här? 1 58 Diagnos 1 59

Blandade övningar kapitel 1 60

2. Förändringshastigheter och derivator 64 Centralt innehåll 64

Inledande aktivitet: Hastighet och lutning 65 2.1 Ändringskvoter och begreppet derivata 66 Ändringskvoter 66

Begreppet derivata 71

2.2 Gränsvärde och derivatans definition 77 Gränsvärde 77

Derivatans definition 80 2.3 Deriveringsregler I 83

Derivatan av polynom 83 Tema: Hastighet och acceleration 90

Aktivitet: Laborera – Kvadratiska pappskivor 92 Derivatan av potensfunktioner 93

Historik – Tangenter och derivata 96 Aktivitet: Undersök – Det märkliga talet e 97 2.4 Deriveringsregler II 98

Derivatan av exponentialfunktionen y = e ^kx 98 Naturliga logaritmer 102

Derivatan av exponentialfunktionen y = a ^x 105 Tillämpningar och problemlösning 107 2.5 Grafisk och numerisk derivering 111

Olika differenskvoter 111

Grafritande räknare och derivators värde 114 Aktivitet: Diskutera – Sant eller falskt? 117 Sammanfattning 2 118

Kan du det här? 2 120 Diagnos 2 121

Blandade övningar kapitel 2 122 Blandade övningar kapitel 1–2 125

3. Kurvor, derivator och integraler 128 Centralt innehåll 128

Inledande aktivitet: Max och min 129 3.1 Vad säger förstaderivatan om grafen? 130 Inledning 130

Extrempunkter och extremvärden 131 Växande och avtagande 133

Förstaderivatan och grafen 136 Skissa grafer 140

Historik – Matematik till och från Sverige 143 Största och minsta värde 144

3.2 Derivator och tillämpningar 147 Polynomfunktioner 147

Potensfunktioner 154 Andraderivatan 157

Andraderivatan och grafen 158

Aktivitet: Laborera – Vem tillverkar största lådan? 161 Grafritande räknare 162

Tillämpningar och problemlösning 164 Aktivitet: Undersök – Funktioner och derivator 168

Kan alla funktioner deriveras? 170 Aktivitet: Undersök – Antiderivata 172 3.3 Från derivata till funktion 173

Primitiva funktioner 173

Primitiva funktioner med villkor 176 3.4 Integraler 178

Inledning 178

Aktiviet: Undersök – Finn arean 181 Integralberäkning med primitiv funktion 182

Tillämpningar och problemlösning 186 Aktivitet: Diskutera – Sant eller falskt? 191 Sammanfattning 3 192

Kan du det här? 3 194 Diagnos 3 195

Blandade övningar kapitel 3 196 Blandade övningar kapitel 1–3 199

4. Trigonometri 204 Centralt innehåll 204 Inledande aktivitet:

Trigonometri i rätvinkliga trianglar 205 4.1 Från rätvinkliga till godtyckliga trianglar 206 Trigonometri i rätvinkliga trianglar 206

Två speciella trianglar 209 Cirkelns ekvation 210

Godtyckliga trianglar 211

Aktivitet: Undersök - Enhetscirkeln 212 4.2 Triangelsatserna 216

Areasatsen 216 Sinussatsen 219

När ger sinussatsen två fall? 221 Cosinussatsen 226

Tillämpningar och problemlösning 231 Aktivitet: Laborera – Avståndsmätning 234 Historik – Trigonometri och geodesi 235

Aktivitet: Diskutera – Sant eller falskt? 236 Sammanfattning 4 237

Kan du det här? 4 238 Diagnos 4 239

Blandade övningar kapitel 4 240 Blandade övningar kapitel 1–4 242

Repetitionsuppgifter 246 Svar, ledtrådar och lösningar 252 Register 286

I kapitel 3 ska vi arbeta med area, omkrets och volym, skala och likformighet samt trigonometri.

ALGEBRA OCH FUNKTIONER

1

Centralt innehåll

✱ hantering av algebraiska uttryck och ekvationer.

✱ generalisering av aritmetikens lagar och begreppet absolutbelopp.

✱ begreppen polynom och rationellt uttryck.

✱ kontinuerlig och diskret funktion.

✱ polynom-, potens- och exponential- funktioner.

1 1 1

15343274

894789475849 777 7547 112 894789475849

55 482398678567

23 887 6744

VILKA UTTRYCK ÄR LIKA?

Dela ett A4-papper så du får 16 papperlappar. På lapparna skriver du följande matematiska uttryck (ett uttryck per lapp).

Gruppera lapparna så att de uttryck som är lika hamnar i samma grupp.

Inledande aktivitet

1

x² + 1

2

(2x – 1)²

3

(x – 1)²

4

(2x)² – 1²

5

1 – 2x + x²

6

x² – x

7

4x² – 1

8

(x + 1)(x – 1)

9

3 – 2(1 – x²) – x²

10

x + x + 1

11

–x(1 – x)

12

4x² – 4x + 1

13

– (1 – x² )

14

(2x + 1)(2x – 1)

15

x ² – 1

16

(x + 1)²

1.1 Algebra och polynom

Polynom och räkneregler

Exempel I många situationer kan vi använda enkla polynom som matematiska modeller. Bollens bana i figuren är en parabel och kan beskrivas av sambandet

y (x) = 2,15 + 2,1x – 0,41x²

Högerledet är ett polynom som består av tre termer, en konstantterm och två variabeltermer.

Kontrollera sambandet genom att sätta in de värden som visas i figuren!

polynom Ett polynom är en summa av termer av typen a ∙ x ⁿ, där x är en variabel, exponenten n ett naturligt tal och a en konstant som ofta kallas koefficient. Varje polynom kan skrivas

a₀ + a₁x + a₂x² + a₃x³ + . . . + a_nxⁿ =

∑

n ^akxk k = 0

gradtal Den största exponenten i ett polynom i en variabel anger polynomets gradtal.

y(x) = 2,15 + 2,1x – 0,41x² är ett exempel på ett andragradspolynom.

x²y² + 2x³ +5xy är ett polynom i två variabler x och y. Polynomets gradtal är 4. Gradtalet ges av den term som har den största sammanlagda exponenten.

Polynom av första graden skrivs ofta p(x) = ax + b.

Polynom av andra graden skrivs ofta p(x) = ax² + bx + c.

Summan, differensen och produkten av två polynom är också ett polynom.

Vi repeterar några regler och lagar som kan användas vid räkning med polynom. I reglerna och lagarna nedan kan bokstäverna a, b , c och d representera ett tal, en variabel eller ett polynom med flera termer.

Parentesreglerna

(a + b) + (c – d ) = a + b + c – d (a + b) – (c + d ) = a + b – c – d (a + b) – (c – d ) = a + b – c + d Distributiva lagen

a(b + c) = ab + ac

(a + b)(c + d ) = ac + ad + bc + bd Konjugatregeln

(a + b)(a – b) = a² – b² Kvadreringsreglerna (a + b)² = a² + 2ab + b² (a – b)² = a² – 2ab + b²

1101

1102

Har du en avancerad räknare som kan göra algebraiska förenklingar och lösa ekvationer? Använd den gärna för kontroll, men lös först uppgiften utan räknare.

Ge exempel på ett fjärdegradspolynom med tre termer.

Den största exponenten ska vara 4.

T ex p (x) = x⁴ + 5x² – 4 eller p (x) = 2x⁴ – x³ + 10x

Förenkla x + (2x + 5)² – 4(x + 3)(x – 3).

x + (2x + 5)² – 4(x + 3)(x – 3) = Utveckla med kvadrerings- och konjugatregel.

= x + (4x² + 20x + 25) – 4(x² – 9) = multiplicera in i parentes.

= x + 4x² + 20x + 25 – 4x² + 36 = ^förenkla.

= 21x + 61

1103 Enligt en modell växer en bakteriekultur enligt formeln N(x) = 2 500 + 350x + 25x²

där N(x) är antalet bakterier x minuter efter försökets början.

Beräkna och tolka N(5) – N(4).

N(4) = 2 500 + 350 ∙ 4 + 25 ∙ 4² = 4 300 efter 4 minuter fi nns det 4 300 bakterier.

N(5) = 2 500 + 350 ∙ 5 + 25 ∙ 5² = 4 875 efter 5 minuter fi nns det 4 875 bakterier.

N(5) – N(4) = 4 875 – 4 300 = 575 ≈ 580

Antalet bakterier ökar med cirka 580 under den femte minuten.

1104 Utveckla och förenkla

a) 4x + 2(2x – 3) c) (x + 3)(2x + 4) b) 6a – 2(11 – 7a) d) (y – 4)(2 – y) 1105 Utveckla med konjugatregeln

a) ( x – 4)(x + 4) b) (7 – 2a)(7 + 2a) 1106 Utveckla med kvadreringsreglerna

a) (a + 5)² c) (3x + 4)² b) (x – 9)² d) (5 – 6y)²

1107 Diagonalerna i figuren har samma summa som kolumnen i mitten.

Vad ska stå i A och B?

6(a – b + 1) a – b

2a – 4

A B

3(b – a)

b – a

1108 Ge ett exempel på ett andragradspolynom med

a) tre termer b) två termer.

1109 Om biljettpriset till en tennismatch är p kr uppskattar man att antalet åskådare N( p) kan beräknas med

N( p) = 3 000 – 20p

Beräkna N(140) och tolka resultatet i ord.

1110 Beräkna värdet för uttrycket 2(a – 2)² – 2a (a – 3) om a = 4 a) före förenkling

b) efter förenkling.

1111 Utveckla och förenkla a) 5x² – 4(2x – 3)(x – 5) b) 3(a – b)² – 2(a – b)² c) (x – 2)³

d) (x – 1)x + (x² – 2x – 4)(x + 1)

1112 p( x) är ett tredjegradspolynom. Vilken grad får det polynom som bildas då p (x)

a) adderas med x² b) multipliceras med x² ? Motivera dina svar.

1113 Konstreproduktioner AB producerar högst 30 målningar per vecka. Om firman en vecka producerar x målningar, räknar man med följande kostnader och intäkter:

Kostnad i kr: K( x) = 5 000 + 80x + 10x² Intäkt i kr: I ( x) = x(1 200 – 20x) Om intäkterna är större än kostnaden gör företaget en vinst.

Ställ upp och förenkla ett uttryck för vinsten, V( x).

1114 Bollens höjd y m över golvet vid ett straffkast i basket kan beräknas med formeln

y(x) = 2,15 + 2,1x – 0,41x²

där x m avståndet från utkastet räknat längs golvet.

Beräkna och tolka y (2,5) – y (2,0).

1115 Utveckla och förenkla a) 2x(x + y) – 2y(x – y) b) 2 x + 1

2



2 – 2 x – 1 2



2

c) 2x(x + y)² – 2y(x – y)² 1116 Utveckla och förenkla

a) (2a + 5)³

b) (a + b + 5)(a – b – 5)

1117 Kostnaden K kr att producera x tröjor är K( x) = 800 + 15 x + 0,3 x ²

Vinsten vid försäljning av x tröjor är V( x) kr.

Ställ upp och förenkla ett uttryck för vinsten då tröjorna säljs för 90 kr/st.

1118 Elleholms Finmekaniska tillverkar detaljer till en fiskerulle. Firmans totala kostnad K kr för att producera x detaljer uppskattas till K(x) = 16 000 + 50x + 0,2x².

Ställ upp ett uttryck för hur kostnaden ändras om produktionen höjs från x detaljer till (x + 1) detaljer.

1119 I en stugby finns 60 stugor att hyra. Ägaren har upptäckt att hon får alla stugor uthyrda om hon tar 3 000 kr för en vecka, och för varje hundralapp som hon ökar hyran med förlorar hon en hyresgäst.

Ställ upp ett uttryck för hur den totala intäkten beror av en höjning med x hundralappar och undersök vad den maximala intäkten är.

1120 p(a + 1) = a² + 2a + 1. Bestäm p(x).

1121 Bestäm det andragradspolynom p(x) sådant att p(–1) = 0, p(0) = 5 och p(2) = –3.

Potenser

Vi repeterar och utvidgar några lagar och definitioner för potenser.

Potenslagarna

Definitioner

1122

1123

För reella exponenter x och y med samma positiva bas a gäller a ^x a ^y = a ^{x + y} a ^x

a ^y = a ^{x – y} (a^x)^y = a^xy

För positiva baser a och b med samma reella exponent x gäller a ^x b ^x = (a b)^x a^x

b^x = a b



x

a ⁰ = 1 a^–x = 1

a^x a ≠ 0

Basen är positiv och exponenten är ett reellt tal.

Förenkla med potenslagarna

a) 2x

4

3 · x^{– 13} b) 16⁵

8⁵ c) (–3a^–3)² a^–4 a) 2x⁴³ · x^–13 = 2x^{43+ –13} = 2x^{43 – 13} = 2x³³ = 2x¹ = 2x

b) 16⁵ 8⁵ = 16

8

5 = 2⁵ = 32 eller 16⁵

8⁵ = (2 · 8)⁵

8⁵ = 2⁵ · 8⁵

8⁵ = 2⁵ = 32 c) (–3a^–3)²

a^–4 = (–3)² · a^{–3 · 2} a^–4 = 9a ^–6

a ^–4 = 9a ^{–6 – (–4)} = 9a ^{–6 + 4} = 9a ^–2 = 9 a²

a) Utveckla (3^x + 3^–x )²

b) Bryt ut 2^x ur 2 ^{x + h} – 2^x, dvs skriv i faktorform.

c) Lös ekvationen 2 ^x–1 = 4 ⁷

a) (3^x + 3^–x )² = (3^x)² + 2 · 3^x · 3^–x + (3^–x )² =

= 3^2x + 2 · 3⁰ + 3^–2x = 3^2x + 2 + 3^–2x b) 2^{x + h} – 2^x = 2^x · 2^h – 2^x = 2^x (2^h – 1)

c) 2 ^x–1 = 4 ⁷ ⇒2 ^x–1 = (2²)⁷ ⇒ x – 1 = 2 · 7 ⇒ x = 15

1124 Skriv som en enda potens a) x ⁷ ∙ x ^–2 d) a⁵

a^–3 b) x⁶

x⁸ e) (b²)^–4 c) (4^x )³ f) b^–3

b

1125 Vilka av förenklingarna är felaktiga?

Förklara vad som är fel.

a) 1

3 · 3 · 3 · 3 förenklas till 3 ^–4 b) 5 + 5 + 5 + 5 förenklas till 5 ⁴ c) (3x)⁰ + 3x ⁰ förenklas till 4 d) (4a)³ förenklas till 12a³ e) 2 ∙ 2³ förenklas till 4³ 1126 Förenkla

a) (2 ∙ x ⁴ )³ + 2 ∙ (x ⁴ )³ b) 2a

b²



2

c) x

1 2 · x

1 3

d) x

m 2

x

m 3

1127 Låt y = 2 ²⁰ och bestäm

a) hälften av y b) en fjärdedel av y.

1128 Förenkla a) (2ab)³

2ab^–3 c)

(

^2x

)

^–3

b) 4a³b^–2(3a)²

3a^–4b d)

(

^1x

)

^–n

1129 Förenkla

a) 3 ∙ 10 ^–a ∙ 3 ∙ 10 ^–a b) 3 ∙ 10 ^–a + 3 ∙ 10 ^–a c) (3^x + 3^x)² d) (3^x + 3^x + 3^x)²

1130 Uttrycket 3⁴

3⁴ kan användas för att motivera att a ⁰ = 1 och uttrycket 3⁴

3⁷ för att motivera a^–n = 1

aⁿ Förklara hur.

1131 Förenkla a) (5 ^x + 5^–x )² b) a ^x (a^3x + 2a^–x ) 1132 Lös ekvationen

a) 2^{5x – 2} = 2^x b) 2^{5x – 2} = 4^x c) 3^2x = 1

27 d) 2^3x ∙ 2^–5 = 2^x

1133 Bryt ut och skriv i faktorform a) x ²x ^a – 3x ^a

b) a^{3 + h} – a³ c) a^{2 n} + a ⁿ 1134 Förenkla

a) 3^{3 + 2x} + 3^2x

3^{2 + x} – 3^x b) 2^{3x + 4} – 16 2^6x – 2^3x 1135 Bestäm talet x

a) 2⁵⁹ + 2⁵⁸ = x ∙ 2⁵⁸ b) 4² · 4

1 2

4 · 4⁰ = 2^x c) 2 ^{x + 58} · 2 ^{x – 58} = 2⁵⁹ d) 9^{7+ x}

3^{7 + x} = 1 9 1136 Förenkla

a) 3^a+1 · 3²

3³ c) 3^{n + 1} · 9 ⁿ 27 ^{2n / 3} b) (x^2m)³ · x ^–n

x^{2m + n} d) 16^{3n / 4} · 4^{n + 1} 8^{5n / 3}

Kvadratrötter och absolutbelopp

Vi repeterar och utvidgar några lagar och definitioner om kvadratrötter.

Definition

Lägg märke till följande:

1 Kvadratroten ur ett tal är enligt definitionen ett positivt tal.

√

25 står alltså bara för det positiva talet 5.

2 Ekvationen x² = 25 har däremot två lösningar.

De är x₁ =

√

25 = 5 och x₂ = –

√

25 = –5. Vi skriver detta x = ±5 3 –

√

25 är inte detsamma som

√

^–25

–

√

25 = –5 , medan beräkningen

√

–25 inte kan göras med reella tal.

Sambandet a

1

2 =

√

a ger tillsammans med potenslagarna a ^x b ^x = (ab)^x och a^x

b^x = a b

x följande lagar.

Lagar för kvadratrötter

1137

1138

Med kvadratroten ur a menas det positiva tal, vars kvadrat är a.

(√a )² = √a · √a = a a ≥ 0

√a · √b = √ab a ≥ 0 b ≥ 0

√a

√b =

√

^ab a ≥ 0 b > 0

Beräkna utan räknare

a)

√

^{25 +}

√

^{2 ·}

√

^{50 b) 912 + 4 –0,5}

a)

√

^{25 +}

√

^{2 ·}

√

^{50 = 5 +}

√

2 · 50 = 5 +

√

100 = 5 + 10 = 15 b) 9

1

2 + 4^–0,5 =

√

^{9 + 1}₄0,5 = 3 + 1

√

^{4 = 3 + 12 = 3,5}

Visa att 1

√

^{2 =}

√

²

2

√

1^{2 = 1 ·}

√

²

√

^{2 ·}

√

^{2 =}

√

²

2

Exempel 1 Om x > 0 så gäller likheten

√

^{x2 = x.}

T ex

√

^{52 =}

√

^{25 = 5.}

Om x är ett negativt tal så gäller däremot likheten

√

^{x2 = –x}

T ex

√

^{(–5)2 =}

√

25 = 5 = –(–5)

absolutbelopp Detta kan uttryckas med hjälp av begreppet absolutbeloppet av x, som skrivs |x|.

Sammanfattning

Exempel 2 Absolutbeloppet av ett reellt tal kan definieras som talets avstånd till origo.

Absolutbeloppet av 5 skrivs |5|och är lika med 5.

Absolutbeloppet av –5 skrivs |–5| och är också lika med 5.

| x – y| kan tolkas som avståndet mellan punkterna x och y.

1139

1140

√

x ² =

|

^x

|

^{= }



x om x ≥ 0 –x om x < 0

|x| = |x − 0|

x 0 y

|x − y| = |y − x|



            

Beräkna

a) |6| + |– 4| – |–7| b)

√

^(–15)2

a) |6| + |– 4| – |–7| = 6 + 4 – 7 = 3 b)

√

^(–15)2 = |–15| = 15

Lös ekvationen |x – 3| = 4.

Vi söker punkter med avståndet 4 till punkten 3.

Ekvationens lösning är x = –1 och x = 7.

0 1 2 3 4 5 6 7 8

−1

−2

 ⁴⁴

Arbeta utan räknare.

1141 Beräkna

a)

√

^{4 +}

√

^{9 c)}

√

^{2 ·}

√

⁸

b)

√

^{4 ·}

√

^{9 d) (}

√

^{2)2 +}

√

^{8 ·}

√

⁸

1142 Skriv som en potens med basen 10 a)

√

^{10 c) 10}

√

¹⁰

b) 1

√

^{10 d ) 110}

√

¹⁰

1143 Beräkna

a) 100^0,5 c) 100^–0,5 b)

√

^{10 ·}

√

^{10 d )}

√

^{5 ·}

√

²⁰

1144 Beräkna

a) |–5| + |–2| b) |–5| – |–2|

1145 Beräkna

a)

√

^{(–3)2 c)}

√

^{4 · 108}

b)

√

^{32 + 42 d)}

√

^{9 · 10–2}

1146 Bestäm den exakta lösningen till ekvationen a) x²= 10 c) x² + 2² = 3²

b) 2x² = 10 d ) x² 2 = 5²

1147 Om du vet att

√

7 ≈ 2,646 vad är då a)

√

^{700 b)}

√

^{70 000?}

1148 Visa att

a) 2

√

^{3 =}

√

^{12 b)}

√

³²

4 =

√

²

1149 Förenkla så långt som möjligt a)

√

^{3 ·}

√

^{3 ·}

√

³

√

^{3 +}

√

^{3 +}

√

³

b) x

√

^{x + x}

√

^x

√

^{x ·}

√

^x

1150 Det finns två tal x för vilka gäller att

|x – 5| = 15 Vilka tal är det?

1151 Lös ekvationen

a) |x – 1| = 1 b) |x| = 2

1152 För vilka x gäller olikheten |x – 7| < 2 ? 1153 Beskriv intervallet 7 ≤ x ≤ 13 med hjälp av

absolutbelopp.

1154 Skriv ett uttryck för triangelns tredje sida.

a)

b)

1155 Utveckla och förenkla a) (

√

^{a +}

√

^{b) (}

√

^{a –}

√

^b)

b) (

√

^{x + h +}

√

^{x ) (}

√

^{x + h –}

√

^{x )}

c) (

√

^{a +}

√

^{b)2 – (}

√

^{a + b)2}

1156 Bestäm exponenten x a)

√

^ab

√

^{ab = abx}

b)

√

^ab

^√

^{a b}

^√

^{ab = abx}

a

a

2a

a

Ekvationer

Exempel Formeln s = v₀t + at² beskriver sambandet mellan 2 sträcka, begynnelsehastighet, acceleration och tid.

◗

◗ Vilken är accelerationen om hastigheten är 15 m/s, tiden 4,0 s och sträckan 100 m?

Svaret får vi med hjälp av förstagradsekvationen 100 = 15 · 4 + a · 4²

2

◗

◗ Vilken är tiden om hastigheten är 15 m/s, accelerationen 4,0 m/s² och sträckan 100 m?

Svaret får vi med hjälp av andragradsekvationen 100 = 15t + 4t²

2

Vi repeterar några lösningsmetoder för ekvationer.

Lösningsformeln

Andragradsekvationen saknar reella rötter om

(

2^p

)

² – q < 0, dvs om vi får ett negativt tal under rottecknet.

1157

Ekvationen x² + px + q = 0 har lösningarna x = – p2 ±

√ (

^2p

)

^{2 – q}

Lös ekvationen 3x² + 9x – 12 = 0 utan räknare.

Vi dividerar först med 3 och använder sedan lösningsformeln.

3x² + 9x – 12 = 0 x² + 3x – 4 = 0

x = – 3

2 ±

√

^{322 + 4}

x = – 3

2 ±

√

^{94 + 164}

x = – 3 2 ± 5

2

x1 = 1 x2 = – 4

1158

Om en produkt är noll, måste minst en faktor vara noll. Detta kan vi ibland använda för att lösa ekvationer. Förutsättningen är att ekvationen kan skrivas så att det ena ledet är noll och det andra ledet kan faktoriseras.

Metoden kallas nollproduktmetoden.

1159

1160

Lös ekvationen 6(x – 1)² = 30

Vi kan lösa ekvationen genom att utveckla kvadraten, skriva om ekvationen och använda lösningsformeln, men det finns en enklare metod.

Vi dividerar först med 6 och drar sedan kvadratroten ur båda leden.

6(x – 1)² = 30 (x – 1)² = 5

x – 1 = ±

√

⁵

x = 1 ±

√

⁵

x1 = 1 +

√

5 eller x1 ≈ 3,236 x2 = 1 –

√

5 eller x2 ≈ –1,236 kvadratrotsmetoden

nollproduktmetoden

Lös ekvationen 5x(2x – 12)(3x + 15) = 0 5x(2x – 12)(3x + 15) = 0

1. 5x = 0 vilket ger x = 0 2. (2x – 12) = 0 vilket ger x = 6 3. (3x + 15) = 0 vilket ger x = – 5 x1 = 0 x2 = 6 x3 = – 5

Lös ekvationen x³ – 2x² – 3x = 0 x³ – 2x² – 3x = 0

Vi faktoriserar VL genom att bryta ut x.

x(x² – 2x – 3) = 0 1. x = 0

2. x² – 2x – 3 = 0 och lösningsformeln ger x = 1 ±

√

^{1 + 3}

x = 1 ± 2

x₁ = 0 x₂ = 3 x₃ = – 1

Lös ekvationerna.

1161 a) 3x + 2 = 5x – 3 b) 3x² = 15 c) x(x + 5) = 0 d) x² – 4x + 3 = 0 1162 a) 3x(2x – 8) = 0

b) x²+ 10x= 0 c) (z – 4)² = 64 d) x²+ 8x – 9 = 0 1163 a) 3x² – 18 = x²

b) (z – 1)(z – 2) = (z – 3)(z – 4) c) 8x²– 8x + 2= 0

1164 a) 2t²+ 40t + 34 = 0 b) 3x² + 12x = 36 c) (x + 3)(x – 2) = 7 1165 a) 4(x + 7)² = 36

b) 4x² = 2x

c) (x +3)(x – 4)(2x + 1) = 0 1166 (Tal 1)² – (Tal 2)² = 14

Tal 1 är 2 större än Tal 2.

Vilka är talen?

1167 Lös ekvationerna och besvara frågorna från det inledande exemplet på förra uppslaget.

a) 100 = 15 · 4 + a · 4² 2 b) 100 = 15t + 4t²

2 , t > 0

1168 Ge ett exempel på hur en andragrads- ekvation kan se ut om lösningarna är a) x = 2 och x = –2

b) x = 0 och x = 8 c) x = 1

2 och x = 1 d) icke-reella. 3

1169 Den totala kostnaden K kronor för att producera x detaljer i en mekanisk verkstad kan beskrivas med

K(x) = 16 000 + 50x + 0,2x²

a) Beräkna kostnaden för att producera 450 detaljer.

b) Hur många detaljer kan produceras för 100 000 kr?

1170 Lös ekvationen a) x³ – 4x = 0 b) x³ – 8x² + 15x = 0 c) 4(3 – 3x)(8 – 2x²) = 0

1171 Ekvationen x²(4x + 5a) = 0 har lösningarna x = 0 och x = 2.

Vilket värde har a?

1172 En bakteriekultur tillväxer enligt formeln N( x) = 2 500 + 350x + 25x²

där N( x) är antalet bakterier x minuter efter försökets början.

Hur lång tid tar det innan antalet bakterier har fördubblats?

1173 Lös ekvationen

a) x² (x + 1) – 64(x + 1) = 0 b) (x³ – 3x²) – (2x – 6) = 0

1174 I ekvationen 4x² – (2 – k)² = 0 är k en konstant.

Lös ekvationen. Svara på så enkel form som möjligt.

Nya typer av ekvationer kan vi ibland omforma och lösa med kända metoder. Ett sätt att omforma en ekvation är att ersätta ett uttryck med ett annat, enklare uttryck. Vi gör en substitution.

1175

1176 substitution

Lös ekvationen x⁴ – 8x² – 9 = 0

Vi ersätter x² med t. Då kan x⁴ ersättas med t² och vi får andragradsekvationen t² – 8t – 9 = 0

t = 4 ±

√

^{16 + 9}

t = 4 ± 5

t1 = 9 och t2 = –1 Vi får x² = 9 och x² = –1

Ekvationen x² = 9 har lösningen x = ±3

Ekvationen x² = –1 saknar reell lösning (men de komplexa

rötterna är x = ±i )

Svar: Ekvationen x ⁴ – 8x² – 9 = 0 har den reella lösningen x = ±3

Lös ekvationen

a) (x² – 2)² – 16(x² – 2) + 28 = 0 b) x +

√

^{x = 12}

a) Sätt x² – 2 = t b) Sätt

√

x = t Då blir x = t². t² – 16t + 28 = 0 t² + t – 12 = 0

t = 8 ±

√

^{64 – 28} t = – 1

2 ±

√

^{14 + 12}

t = 8 ±

√

36 t = – 1

2 ±

√

^{14 + 484}

t = 8 ± 6 t = – 1 2 ± 7

2 t1 = 14 t2= 2 t1 = 3 t2 = – 4 x² – 2 = 14 x² – 2 = 2

√

^{x = 3}

√

^{x = – 4}

x² = 16 x²= 4 x = 9 Saknar lösning.

x = ± 4 x = ± 2

Svar: a) Lösningarna är –4, –2, 2 och 4.

b) Lösningen är 9.

√x är positivt.

rotekvation Ekvationer där den obekanta förekommer under ett rottecken kallas rotekvationer. Rotekvationer kan lösas med hjälp av kvadrering, vilket dock kan ge falska rötter.

1177 Lös ekvationen

√

x – 3 = 5 – x

Vi kvadrerar båda leden, löser andragradsekvationen och prövar lösningen.

√

x – 3 = 5 – x x – 3 = (5 – x)² x – 3 = 25 – 10x + x² x² – 11x + 28 = 0 x = 5,5 ±

√

^{30,25 – 28}

x = 5,5 ± 1,5

x₁ = 4 x₂ = 7

Prövning i den ursprungliga ekvationen:

x = 4: VL =

√

4 – 3 = 1 HL = 5 – 4 = 1 VL = HL

x = 7: VL =

√

7 – 3 = 2 HL = 5 – 7 = –2 VL ≠ HL Falsk rot!

En grafisk jämförelse mellan den ursprungliga och den kvadrerade ekvationen visar tydligt att antalet rötter är olika.

Svar: Ekvationen

√

x – 3 = 5 – x har lösningen x = 4.

Lös ekvationerna.

1178 a) x⁴ – 2x² – 8 = 0 b) x⁴ – 2x² – 3 = 0

1179 a) (x + 4)² – 16(x + 4) + 63 = 0 b) (x² + 5)² – 15(x² + 5) + 54 = 0 1180 Du har ekvationen

√

^{x + 2 = x}

a) Kvadrera båda leden och skriv resultatet som en andragradsekvation.

b) Vilka rötter har ekvationen i a)?

c) Pröva rötterna i den ursprungliga ekvationen. Duger båda rötterna?

d) Vilken lösning har ekvationen

√

^{x + 2 = x?}

1181 Bestäm med två decimalers noggrannhet rötterna till följande ekvationer.

a) x⁴ – 14 x² + 44 = 0 b) x⁴ – 6x² – 1 = 0

1182 Lös ekvationen 13

√

^{x = x + 36}

a) genom kvadrering och prövning b) genom att sätta

√

^{x = t}

Lös ekvationerna

1183 a) x²(x + 1) – 64(x + 1) = 0 b)

√

3x – 2 + 2 – x = 0 1184 a) x – 5

√

^{x + 4 = 0}

b) (x + 1) – 27

√

x + 1 + 170 = 0

c) (x² + 2x – 3)² + 2(x² + 2x – 3) – 3 = 0

Polynom i faktorform

Vi har tidigare använt två metoder för att faktorisera polynom.

1. Utbrytning av största möjliga faktor, t ex 4x² + 12x = 4x ∙ x + 4x ∙ 3 = 4x(x + 3) 5(x + 2) – x(x + 2) = (x + 2)(5– x)

2. ”Omvänd” användning av konjugatregeln och kvadreringsreglerna, t ex 4x² – 25 = (2x)² – 5² = (2x + 5)(2x – 5)

x² – 6x + 9 = x² – 2 ∙ 3x + 3² = (x – 3)² Vi ska nu visa en tredje metod.

Ett nollställe till ett polynom p(x) är ett tal a sådant att p(a) = 0.

Om vi har ett polynom i faktorform, t ex p(x) = (x + 2)(5 – x), så kan vi bestämma polynomets nollställen. Polynomet p(x) = (x + 2)(5 – x) har nollställena –2 och 5.

från nollställen Omvänt så kan vi faktorisera ett polynom om vi vet samtliga nollställen.

till faktorform Vill vi faktorisera polynomet p(x) = x² + 2x – 15 så börjar vi med att lösa ekvationen x² + 2x – 15 = 0 med lösningsformeln. Rötterna är –5 och 3.

p(x) = x² + 2x – 15 = (x – (–5))(x – 3) = (x + 5)(x – 3)

Om vi vill så kan vi kontrollera resultatet genom att multiplicera parenteserna.

Ett polynom som saknar nollställen kan inte faktoriseras.

1185

1186 nollställe

Ett andragradspolynom p (x) med nollställena a och b kan skrivas p (x) = k (x – a)(x – b)

där k är en konstant.

Faktorisera 18x² + 12x + 2

Vi bryter ut 2 och använder 1:a kvadreringsregeln ”omvänt”.

18x² + 12x + 2 = 2(9x² + 6x + 1) = 2(3x + 1)²

Faktorisera (x + 1)² – 4y²

Vi använder konjugatregeln ”omvänt”.

(x + 1)² – 4y² = (x + 1)² – (2y)² = (x + 1 + 2y)(x + 1 – 2y) Andragradspolynom

i faktorform

1187 Faktorisera polynomet p( x) = – 4x² + 24x – 32

Vi löser ekvationen p( x) = 0 genom att bryta ut – 4 och använda lösningsformeln.

p( x) = – 4x² + 24x – 32 = – 4(x² – 6x + 8) x² – 6x + 8 = 0

x = 3 ±

√

^{9 – 8}

x₁ = 4 x2 = 2 p( x) = – 4(x – 4)(x – 2)

1188 Bryt ut så mycket som möjligt.

a) 5x + 25x³ c) 24h + 4h² b) 4h + 8h² + 12 d) 6hx + 3h²x 1189 Faktorisera med konjugat- eller

kvadreringsregel

a) x²– 49 c) 81x² – 16 y² b) x² – 6x + 9 d) 16x² + 8x + 1 1190 Ange polynomets nollställen,

dvs lös ekvationen p( x) = 0.

a) p( x) = (x + 3)(x – 10) b) p( x) = 5x(x – 4) 1191 Du vet att polynomet

f ( x) = x² – 12x + 35 har nollställena 5 och 7.

Skriv f( x) i faktorform.

1192 Skriv i faktorform a) p( x) = x² – 10x + 16 b) g( x) = x² – 5x + 6 1193 Faktorisera polynomen

a) h(x) = 4x² – 24x + 32 b) p(z) = 6 + 3z – 3z² c) p( x) = 2x² – 18

1194 Tobbe och Carro ska skriva polynomet p( x) = 3x² – 24x + 21 i faktorform.

Tobbe får p(x) = 3(x + 1)(x + 7) Carro får p( x) = (x – 1)(x – 7) Båda har gjort fel.

Förklara vilka fel de gjort.

1195 Skriv två olika polynom som båda har nollställena –10 och 20.

1196 Skriv i faktorform a) f (t) = 4t – 4t² – 1 b) h(x) = 4x² + 4x + 4 c) p(x) = –3x² – 2x + 1

1197 Ett andragradspolynom p(x) har nollställena 1 och 4 och p(0) = –2.

Är det sant att p(0) = p(6)?

Motivera ditt svar.

1198 Tredjegradspolynomet p( x) = x³ + ax² + bx + c har nollställena –3, 1 och 5.

Bestäm a, b och c.

1199 Finn nollställena till polynomet p(x) = x² – (a + b)x + ab och försök tolka resultatet.

Aktivitet ✽

^Upptäck

1 Skriv (x + y)² som ett polynom.

2 Skriv (x + y)³ som ett polynom. Du kan använda sambandet (x + y)³ = (x + y)(x + y)² =

= (x + y)(x² + 2 xy + y²).

3 Skriv (x + y)⁴ som ett polynom.

4 Studera resultatet i uppgift 1, 2 och 3.

Jämför exponenten i (x + y)ⁿ med a) antal termer i polynomet.

Vad upptäcker du?

b) gradtalet för varje term i polynomet.

Vad upptäcker du?

Pascals triangel

Ett polynom är en summa av termer där termernas exponenter är naturliga tal.

x ² y + 2 x ² + x y är ett tredjegradspolynom i två variabler x och y. Gradtalet ges av den term som har den största sammanlagda exponenten.

Tabellen nedan visar en del av Pascals triangel. Blaise Pascal (1623 – 1662) var en fransk matematiker, vetenskapsman och filosof som bland annat utvecklade talteorin.

Siffrorna i de färgade kvadraterna är koefficienterna till de olika variabeltermerna då vi utvecklar (a + b)ⁿ.

Den översta raden ger (a + b)⁰ = 1 Den andra raden ger (a + b)¹ = a + b

Den tredje raden ger (a + b)² = a² + 2ab + b²

1

2

1

1 1

1

a + b

a

²

+ ab + b

²

a

²

b + ab

²

+ b

³

a

³

+

5 a) Skriv av triangeln ovan och fyll i koefficienterna i den fjärde raden.

b) Utöka triangeln med en femte rad som visar utvecklingen av (a + b)⁴. c) Förklara hur du kan finna koefficienterna

i en rad med hjälp koefficienterna i raden ovanför.

6 a) Vilket gradtal får varje term då (a + b)⁵ utvecklas och skrivs som ett polynom?

b) Skriv nästa rad i Pascals triangel.

c) Utveckla (a + b)⁵ d ) Utveckla (a + b)⁶

7 a) Jämför den andra koefficienten i varje rad med exponenten i (a + b)ⁿ.

Vad upptäcker du?

b) Utgå från det mönster som du har upptäckt.

Vilka är de två första termerna i utvecklingen av (a + b)¹⁰?

8 Kan vi använda Pascals triangel för att utveckla (a – b)², (a – b)³, ... ?

Vad blir det för skillnad?

1.2 Rationella uttryck

Vad menas med ett rationellt uttryck?

rationellt tal En kvot av två heltal a

b där b ≠ 0 kallar vi ett rationellt tal.

Exempel på rationella tal är 5

7 och – 13 9

rationellt uttryck Ett rationellt uttryck definieras som en kvot av två polynom p(x) q(x) Exempel på rationella uttryck är x + 5

x och x² + 4x + 2 x – 2

Ett rationellt uttryck är inte definierat då nämnaren är lika med noll.

1201 Kostnaden K (x) i tusental kr för ett företag att avlägsna x % av förbränningsgasernas föroreningar kan uppskattas vara K (x) = 50 x

100 – x

a) Beräkna och tolka K (90).

b) Ange definitionsmängden, dvs tillåtna värden på x.

a) K (90) = 50 · 90

100 – 90 = 450

Det kostar 450 000 kr att ta bort 90 % av föroreningarna.

b) 0 ≤ x < 100, K (x) är inte definierad för x = 100.

1202 För vilka x-värden är uttrycket inte definierat?

a) 5x – 1

2 x b) 5x

2 x + 4 c) 2x

x² + 1 d) x² – 10 x² – 12 x + 35 a) När x = 0.

b) När 2x + 4 = 0 dvs då x = –2.

c) x² + 1 kan inte bli noll. Uttrycket är definierat för alla värden på x.

d) x² – 12x + 35 = 0 x = 6 ±

√

^{36 – 35}

Uttrycket är inte definierat då x = 5 och x = 7.

1203 Du har uttrycket G(x) = x + 7 2x – 8 a) Beräkna G(5).

b) För vilket x-värde är nämnaren lika med noll?

1204 Du har uttrycket G(x) = x² + 3x – 2 3x + 6 a) Beräkna G(2).

b) För vilket värde på x är uttrycket ej definierat?

c) Är det sant att G(–3) < G(2)?

Motivera ditt svar.

1205 Då Lena försöker beräkna värdet av uttrycket 2xy

x + 2y för x = 6 och y = –3 med sin räknare visas ”ERROR” i räknarens fönster. Förklara varför.

1206 För vilka variabelvärden är uttrycken inte definierade?

a) x – 6

2 x² + 10 x c) x – 6 2 x² + 10x + 12 b) x – 6

2 x² + 10 d) 2 x – 10 2 x ³ – 50 x

1207 Skriv ett rationellt uttryck som a) inte är definierat för x = 7 b) antar värdet 0 för x = 7 c) inte är definierat för x = ± 3 d) är definierat för alla x.

1208 För en lastbil kan bränsleförbrukningen i liter/km beräknas med formeln

G(x) = 1

250 2 500 x + x

där x är hastigheten i km/h.

a) Hur mycket kostar en färd på 100 mil, om bränslet kostar 16 kr/l och hastigheten är 100 km/h?

b) Hur långt kommer vi på samma mängd bränsle, om hastigheten är 50 km/h?

1209 Uttrycket f (x) = 2 x³ + A

3x² kan användas för att beräkna ett närmevärde till

√

^A,

om x är ett lämpligt startvärde.

Sätt A = 10.

a) Beräkna f (2). Hur nära

√

10 är det?

b) Beräkna f ( f (2)). Hur nära

√

10 är det?

3

3 3