(Semestrální práce z p ř edm ě tu APR) WAVELET TOOLBOX

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE Fakulta elektrotechnická, K315

Technická 2, Praha 6 - Dejvice

WAVELET TOOLBOX

(Semestrální práce z předmětu APR)

Lenka Beranová 5.ročník

1 HISTORIE

Z historického hlediska je vlnková transformace (Wavelet transform; WT) poměrně novou metodou zpracování signálu. V mnoha případech je nejvýznamnější informace skryta ve frekvenč- ním obsahu signálu, které lze získat například aplikací Fourierovy transformace (19.století; Joseph Fourier). Jak bude ukázáno dále, není tato metoda zdaleka metodou nejdokonalejší. Proto se hledalo jiné lepší řešení.

První zmínka o "vlnkách" spadá do roku 1909. Autorem tezí, v nichž se objevila poprvé, byl Alfred Haar. První nástin algoritmu nalézáme až v pracích Jeana Morleta. O rozšíření této teorie se nejvíce se zasloužil Y. Mayer a autorem dnes používaného algoritmu je Stephene Mallat (1988).

V současné době je vlnková transformace známa po celém světě.

3

2 FOURIEROVA TRANSFORMACE

Chceme-li získat informace nečitelné ze signálu v nezpracovaném stavu, je třeba signál upravit. Nejefektivnější metodou úpravy signálu je aplikace matematické transformace.

Signály lze podle změny frekvenčního složení v čase rozdělit na signály stacionární (kon- stantní frekvence) a nestacionární (frekvence se v čase mění). Lze odvodit, že stacionární signály patří mezi signály náhodné, jejichž statistické vlastnosti se s časem nemění. Při analýze nám stačí znát pouze frekvence obsažené v signálu. U signálů, u nichž se frekvenční složky s časem mění, nich nás zajímá nejenom frekvenční obsah, ale také délka trvání konkrétní složky (čas). Jedná se většinou o přechodné jevy nebo průběhy zahrnující různé náhlé zlomy, změny frekvencí nebo am- plitudové skoky.

Standardně, měříme-li nějaký signál, měříme ho jako funkci času. Jinými slovy zjišťujeme jak se mění měřená veličina (amplituda) v čase. Jak je uvedeno výše, zajímá nás často informace skrytá ve frekvenčním obsahu signálu. U stacionárních signálů s výhodou využíváme Fourierovy transformace (FT).

U nestacionárních signálů aplikací FT však ztrácíme časovou informaci. Pro zachování ča- sové informace se používá Fourierova transformace s oknem (Short-time Fourier Transform;

STFT, v literatuře také označovaná jako windowed Fourier transform, krátkodobá FT, Gaborova transformace). Aplikace STFT na signál vypadá tak, že signál rozsekáme na intervaly, v nichž lze považovat signál za stacionární. Signál v každém intervalu pak násobíme časovou okénkovou funkcí (w, časové okénko) a provedeme FT. Dostaneme tak dvojrozměrný signál času a frekvence.

Místo v 2D zobrazujeme pak signál v 3D. Nezávisle proměnnými jsou frekvence a čas a závisle proměnnou je amplituda.

V tomto případě jsme závislí na volbě časového okénka w. Použijeme-li nekonečně dlouhé okénko, získáme vynikající sice frekvenční rozlišitelnost, ale časová informace se bude blížit nulo- vé hodnotě. Naopak, použití krátkého okénka znamená dobrou časovou rozlišitelnost, ale špatnou rozlišitelnost frekvenční. Proto vždy musíme dospět ke kompromisu mezi přesností určení frekven- ce a času, tedy nalézt optimální šířku okénka. Ta je po celou dobu výpočtu konstantní.

To je hlavní rozdíl mezi STFT a vlnkovou transformací (WT). WT nám totiž umožňuje pou- žít pro lepší zpracování široké časové okénko na vysoké frekvence a úzké časové okénko na nízké frekvence (obr.1).

t f

t f

Obrázek 1 Porovnání rozlišitelnosti WT (vlevo) a STFT (vpravo)

3 VLNKOVÁ TRANSFORMACE

3.1 Jednoduchý princip

Aplikaci algoritmu WT si lze představit následujícím způsobem. Mějme signál obsahující složky do 50Hz. Tento signál nejdříve rozdělíme na dva s užšími frekvenčními pásmy (např. 0- 25Hz a 25-50Hz). K tomu lze použít filtry typu dolní a horní propust. Potom stejný postup apliku- jeme buď na oba nebo pouze na jeden z nově vzniklých signálů. Obvykle dále dělíme signál dol- nofrekvenční části (tj. v našem případě 0-25Hz). Takto postupujeme, dokud signál nedosáhne pře- dem určené krajní hladiny. Tento postup nazýváme dekompozice. Oproti STFT není po násobení signálu okénkem počítána transformace a šířka okénka, jak již bylo uvedeno výše, se mění s vý- počtem transformace každé spektrální složky.

Těmito operacemi získáme svazky signálů, které reprezentují ten samý signál v různých frekvenčních pásmech. Víme jaká sada odpovídá jakému frekvenčnímu pásmu a tak můžeme tyto sady nakreslit do 3-D grafu, který má na jedné ose čas, na druhé frekvenci a na třetí amplitudu (po- dobně jako u STFT).

Pro porovnání jsou na obrázku uvedeny oba způsoby analýzy signálu (obr.2 a obr.3).

Obrázek 2 3D obrázek WT Obrázek 3 3D obrázek STFT

Frekvenční osa u WT je obvykle značena jako měřítko (scale), jehož význam bude vysvětlen později. Je třeba si prozatím jen uvědomit, že měřítko je nepřímo úměrné frekvenci (vysoká hodno- ta měřítka reprezentuje nízké frekvence a naopak).

Problém neurčitosti WT obchází tím, že vyšší frekvence jsou lépe rozlišeny časově a nižší

KOEFICIENTY AMPLITUD

FREKVENCE (Hz)

MĚŘÍTKO ČAS (s) ČAS (s)

5

3.2 Mateční vlnky

Aplikací FT či STFT rozkládáme analyzovaný signál na kosinusoidy či jejich kousky. Co nám vznikne po aplikaci WT? Americký matematik Gilbert Strang se v ve svém článku z r. 1994 snaží dokázat, že rozklad na vlnky vystihuje celý nezkreslený signál. WT využívá široké spektrum matečních vlnek. Většina z nic (jak je vidět níže, obr.4 až obr.11) má své pojmenování podle svého tvůrce či tvaru. Variabilita vlnek umožňuje WT překlenutí se přes problémy STFT a následné pou- žití WT pro analýzu nestacionárních signálů.

Haar

K Haarovi se váží první zmínky o WT vůbec. Proto je Haarova vlnka tvarově nejjednodušší (obr.4). Je nespojitá a její průběh připomíná skokovou funkci. Reprezentuje tu samou vlnku jako Daubichies db1.

Obrázek 4 Haarova vlnka

Daubechies a Coiflets

Autorem těchto matečních vlnek je, jak název napovídá, Ingrid Daubechies. Vlnky skupiny Daubechies (obr.5) se značí písmeny dbN, kde N je číslo blíže určující vlnku, takové její „příjme- ní“. Vlnky jsou spojité a ortonormální.

Vlnky Coiflets (obr.6) jsou podobné. Byly odvozeny na žádost R. Coifmana.

Obrázek 5 Vlnky skupiny Daubechies

Obrázek 6 Vlnky skupiny Coiflets

Biorthogonal

Skupina těchto vlnek nám umožňuje odvodit důležité vlastnosti, které potřebujeme pro re- konstrukci signálu či obrazu. Místo jedné jednoduché vlnky používáme dvě vlnky, jednu pro roz- klad a druhou pro rekonstrukci signálu (obr.7).

7

Symlets

Vlnky skupiny Symlets jsou přibližně symetrické vlnky (obr.8) a jsou modifikacemi db skupiny. Vlastnosti těchto dvou skupin jsou podobné. Autorem je opět I. Daubechies.

Obrázek 8 Vlnky skupiny Symlets

Morlet

Morletova vlnka nemá škálovací (měřítkovou) funkci, ale je explicitní. (Obrázek 9)

Mexican Hat

Mateční vlnka Mexican Hat (obr.10) je první derivací Gaussovy funkce. Název vlnky je odvozen od jejího tvaru. Nemá škálovací funkci.

Meyer

Vlnková a škálovací funkce Meyerovy vlnky jsou definovány ve frekvenční oblasti. Průběh vlnky je ukázán na obr.11.

Obrázek 9 Morletova vlnka Obrázek 10 Mexican Hat Obrázek 11 Meyerova vlnka

Pro analýzu signálu vybereme vlnku podobného tvaru a její variace (změněné měřítko, růz- né posunutí oproti signálu) porovnáváme s průběhem analyzovaného signálu. Vysoké hodnoty mě- řítka (nízké frekvence) zachycují větší části signálu a malé hodnoty měřítka (vysoké frekvence) určují detaily signálu. Význam měřítka u WT je podobný jako význam měřítka mapy. Změna mě- řítka odpovídá roztahování, zvětšení měřítka, či smršťování vlnky, zmenšení měřítka (obr.12).

Obrázek 12 Vlnka Mexican Hat v různém měřítku

3.3 Koeficienty

Spojitá vlnková transformace (Continuous Wavelet Transform; CWT) je definována jako časový integrál součinu analyzované funkce x(t) a mateční vlnky (transformující funkce) Ψ(τ,s,t), kde τ je proměnné posunutí a s proměnné měřítko. Definice CWT je zároveň i vztahem pro její koeficienty. Aplikací CWT tedy získáme řadu koeficientů vyjadřujících podobnost signálu a vlnky. Tyto koeficienty jsou zároveň i funkcí posunutí (polohy) a měřítka. Měřítko a posunutí vlnky může nabývat jakékoli hodnoty. Dostáváme tak časově-měřítkovou reprezentaci signálu. Jak již bylo zmíněno výše, mateční vlnku vybíráme podle tvaru průběhu analyzovaného signálu.

Algoritmus CWT je následující:

1. Zvolená vlnka se umístí na počátek signálu a spočte se koeficient CWT.

2. Vlnka se posune o předem určený krok doprava a spočítá se koeficient.

3. Tento postup se opakuje až do dosažení konce signálu.

4. Změníme měřítko vlnky (roztáhneme nebo smrštíme) a opakujeme kroky 1 až 3.

5. Krok 4 opakujeme pro všechna zvolená měřítka.

Jak je ukázáno výše na obrázku 2, lze tyto hodnoty vynést do 3D grafu. Obvyklejší je však použití 2D grafu. Nezávisle proměnnou je čas nebo posunutí, závisle proměnnou měřítko a úroveň hodnoty koeficientů je vyjádřena odstínem použité barvy, příp. odstínem šedí. Měřítko, podle něhož lze odhadnout hodnotu vynesených koeficientů bývá uvedeno v legendě. Není-li uvedeno jinak, tmavší barva znamená vyšší hodnotu koeficientů CWT (obr.13).

Obrázek 13 Způsoby zobrazení koeficientů v 2D (vlevo) a 3D (vpravo)

3.4 Diskrétní vlnková transformace

9

vat tím, že signál převzorkujeme. To znamená, že například vynecháme každý druhý prvek signálu.

Tento proces se nazývá decimace (oversampling). Je však třeba vzít v úvahu, že při tomto postupu může dojít k jevu zvanému překrývání spekter (aliasing). Zabránit mu lze použitím vhodných filtrů.

Aplikací filtrace získáme koeficienty aproximace 1. řádu kA1 a koeficienty detailu 1. řádu kD1. Budeme-li pokračovat, dostaneme se ke koeficientům aproximací a detailů vyšších řádů. Při každém dalším řádu této operace se zdvojnásobuje měřítko (při prvním řádu máme měřítko 2¹, při n-tém řádu 2ⁿ). Na konci tohoto pyramidálního algoritmu získáme vlnkový rozkladový strom (wave- let decomposition tree) (obrázek 15).

Příklad takovéhoto rozkladu signálu je na obrázku 14.

0 5 10 s

0 5 10 ca4

-5 0 5 cd4

-5 0 5 cd3

-5 0 5 cd2

0 50 100 150 200 250 300 350 400

-5 0 5 cd1

Obrázek 14 Rozklad signálu do čtvrtého řádu

Pro rekonstrukci signálu se v případě CWT i DWT používá inverzní WT. Podmínkou přesné rekonstrukce je zamezení ztrát důležitých informací obsažených v signálu.

3.5 Vlnkové svazky

Vlnková svazková transformace (Wavelet Packet Transform; WPT) je zobecněním vlnkové transformace. Narozdíl od WT je do vyšších řádů rozkládána aproximace i detail.

Porovnání obou postupů je patrné z obrázku 15.

s

d1 a1

d2 a2

d3 a3

s

da1

aa2 ad2 dd1

daa3

aaa3 ada3 dda3 aad3 dad3 add3 ddd3 d1

a1

b) a)

Obrázek 15 Rozkladové stromy: a) WT, b) WPT

3.6 Matematický popis WT

• Vztah pro koeficienty CWT: CWT s

s x t t

s dt

( , )τ ( ) ^* τ

=  −

 

−∞ 

∫

1 Ψ

• Vztah pro rekonstrukci signálu: x t

C CWT s

s s t

s d ds

( )= ( , )  −

 

−∞ 

∞

−∞

∞

∫

1

∫

Ψ 2

τ

τ τ

• Vztah pro DWT: DWT s x n g_{j k} n a b k j k

n

j j

( , )τ = ( ) _, ( ) = , = , ∈ , ∈

∑

N Z

2 2 , kde

^{gj k, ( )n =2−2jg}

(

)

CWT je transformace, která nahrazuje funkci jedné proměnné f(t) funkcí dvou proměnných CWT(τ,s).

Literatura