Nyström-Olson. Funktionslära och Analytisk Geometri.

186

gifter i n n e h å l l a a n i m a l i s k a b e s t å n d s d e l a r . F ö r f . u p p v i s a r det fel- a k t i g a i f ö r e s t ä l l n i n g e n o m att e l d s l ä n d a r n e s k u l l e s t å s å s y n n e r - ligen l å g t . M ä r k l i g t är, att m ä n g a s ä r d e l e s p r i m i t i v a k u l t u r e l e - m e n t ä n n u p å t r ä f f a s hos de a m e r i k a n s k a k u l t u r f o l k e n , b l a n d v i l k a förf. n a t u r l i g t v i s l ä n g s t d r ö j e r v i d i n k a s .

D e n n u u t k o m n a f ö r s t a delen k a n b e t r a k t a s s o m e n i n l e d - n i n g till arbetet i det h e l a , v a r s f o r t s ä t t n i n g , s o m motses m e d i n t r e s s e , v ä l k o m m e r att ä g n a s å t S y d a m e r i k a s » L ä n d e r k u n d e » . B o k e n h a r sin g i v n a plats i s k o l b i b l i o t e k e n . Vsbg.

Nyström-Olson. Funktionslära och Analytisk Geometri.

( P . A . N o r s t e d t & S ö n e r ; 2 2 8 s i d . , k l o t b . 6.)

G e n o m f ö r e l i g g a n d e l ä r o b o k h a r för f ö r s t a g å n g e n i S v e r i g e f u n k t i o n s l ä r a n ( l ä r a n o m d e r i v a t a n ) i n o r d n a t s i sitt n a t u r l i g a , o c h p å s a m m a g å n g h i s t o r i s k t g i v n a , s a m m a n h a n g m e d a n a l y t i s k g e o m e t r i . G å n g e n ä r d e n , att f ö r s t ges p u n k t e n s , r ä t a l i n j e n s o c h c i r k e l n s a n a l y t i s k a geometri, d ä r p å d e r i v a t k a l k y l m e d t i l l ä m p n i n g a r p å k u r - v o r m e d n u m e r i s k a e k v a t i o n e r , m e d n å g r a t y p i s k a d i a g r a m , s a m t a l g e b r a i s k a t i l l ä m p n i n g a r av f u n k t i o n s l ä r a n , e n a v d e l n i n g , s o m naturligtvis o c k s å , om l ä r a r e n f i n n e r l ä m p l i g t , k a n framflyttas e l l e r lusas p a r a l l e l l t m e d d e n f ö l j a n d e : a n a l y t i s k b e h a n d l i n g av p a r a b e l n , e l l i p s e n o c h h y p e r b e l n . S o m s ä r s k i l d a v d e l n i n g k o m m a d ä r - efter g e o m e t r i s k a orter. D e l t a k a n j u b e t i n g a s a v , att orts- p r o b l e m i r e g e l ä r o av n å g o t s v å r a r e beskaffenhet, m e n n o g f ö r e f a l l e r det s o m om e n k l a r e ortsuppgifter k u n n a t m e d t a g a s i f ö r e g å e n d e kurs, dels s o m f ö r s t a o r i e n t e r i n g , dels för att be- r e d a n ö d i g o m v ä x l i n g i ö v n i n g s u p p g i f t e r n a . N ä s t a a v d e l n i n g b e h a n d l a r a n d r a g r a d s k u r v o r n a s a l l m ä n n a e g e n s k a p e r , v a r p å k o m m a n å g r a a n v ä n d n i n g a r av p o l ä r a o c h s n e d v i n k l i g a k o o r d i - nater. P l a c e r i n g e n n ä r a b o k e n s slut t o r d e v ä l b e r o p å k u r s - p l a n e n s a n t y d a n , att s å d a n a k o o r d i n a t e r vore för e l e m e n t a r - u n d e r v i s n i n g e n o b e h ö v l i g a . E m e l l e r t i d k a n a n m ä r k a s , att b å d a s l a g e n ge e n e n k l a r e o c h n a t u r l i g a r e l ö s n i n g av en h e l del u p p - gifter; att p o l ä r a k o o r d i n a t e r ge n y t t i g a ö v n i n g a r p å o c h re- k a p i t u l a t i o n e r av d e n f ö r u t g e n o m g å n g n a k u r s e n i t r i g o n o m e t r i , s a m t att formler r ö r a n d e s n e d v i n k l i g a k o o r d i n a t e r bli v ä s e n t l i g e n d e s a m m a s o m f ö r r ä t v i n k l i g a , s å l ä n g e ej v i n k e l f u n k t i o n e r o c h a v s t å n d s b e r ä k n i n g a r i n g å . B l o t t s o m e n v a r n i n g f ö r k o o r d i n a t - s y s t e m e t s m i s s b r u k v i d v i n k e l b e r ä k n i n g a r k a n d å visas, att i r ä t a l i n j e n s e k v . y=kx + l, k i s n e d v i n k l i g a k o o r d i n a t e r ej h a r v ä r d e t

s i n a , te; a . . . . , _^N

t g a u t a n — -: e l l e r (jfr. s i d . 1 7 8 ) . I n ä s t a s m ( y — a ) sm v—cosftga

A N M Ä L N I N G A R O C H R E C E N S I O N E R

I 8

a v d e l n i n g , differentialer o c h i n t e g r a l e r , ges e n k o r t k u r s i inte- g r a l k a l k y l , i n b e r ä k n a t integration g e n o m substitution o c h p a r t i e l l i n t e g r a t i o n . V a d a l l a e l e v e r h ä r a v b ö r a veta ges i kapitlets f ö r s t a paragraf, » y t b e r ä k n i n g a r m e d h j ä l p a v d e r i v a t a n » , v i l k e n , i o c h för a n v ä n d n i n g a r p å a n d r a o m r å d e n , e x e m p e l v i s fysik o c h m e k a n i k , ä v e n k a n g e n o m g å s l å n g t f ö r u t ; den ö v r i g a d e l e n a v k a p i t l e t t o r d e v ä l få r ä k n a s till ö v e r k u r s . Å t m i n s t o n e torde det u n d e r n u v a r a n d e f ö r h å l l a n d e n b l i s ä l l a n m a n h i n n e r g e n o m - g å d e n i k l a s s e n . D e t s a m m a g ä l l e r om d e b å d a s e n a r e p a r a - g r a f e r n a , f u n k t i o n e r s m e d e l v ä r d e n o c h n å g r a t i l l ä m p n i n g a r p å s a n n o l i k h e t s r ä k n i n g , av n ä s t a k a p i t e l , » t i l l ä m p n i n g a r p ä hela k u r s e n » . N o g t ä n k e r j a g p r o b a b i l i t e t s k a l k y l k a n i n t r e s s e r a e l e v e r n a , m e n d e n h ö r till s v å r a r e gebit, s o m hittills, v a d j a g vet, ej varit f ö r e m å l f ö r s v e n s k e l e m e n t a r u n d e r v i s n i n g . B o k e n a v s l u t a s m e d ett k o r t o c h l ä s v ä r t k a p i t e l : » A n m ä r k n i n g a r o c h h i s t o r i s k a n o t i s e r » .

S o m a l l m ä n t o m d ö m e g ä l l e r , att b o k e n ä r mer s t r ä n g t v e t e n s k a p l i g ä n de l ä r o b ö c k e r i ä m n e t , s o m f ö r n ä r v a r a n d e a n - v ä n d a s , m e n ä n d å torde b e r e d a e l e v e r n a m i n d r e s v å r i g h e t e r , detta d e l s p å g r u n d a v k l a r t f r a m s t ä l l n i n g s s ä t t o c h d e l s e m e d a n n y a o m r å d e n f ö r b e r e d a s m e d e n k l a o c h l ä t t f a t t l i g a n u m e r i s k a e x e m p e l . F ö l j a n d e d e t a l j a n m ä r k n i n g a r h o p p a s j a g k u n n a f å an- v ä n d n i n g v i d e n b l i v a n d e n y u p p l a g a . S i d . 1 7 definieras r ä t a l i n j e n s v i n k e l k o e f f i c i e n t s o m t a n g e n t e n för l i n j e n s r i k t n i n g s v i n k e l . D e n v a n l i g a definitionen ä r att v i n k e l k o e f f i c i e n t e n ä r koeffici- e n t e n f ö r x, n ä r e k v a t i o n e n ä r l ö s t m e d a v s e e n d e p å y. A t t d ä r v i d vinkelkoefficienten v i d s n e d v i n k l i g a k o o r d i n a t e r ä v e n b l i r b e r o e n d e av v i n k e l n m e l l a n k o o r d i n a t e r n a ä r i n g e n o l ä g e n h e t ; d ä r e m o t v i n n e s , att d e r i v a t a n b i b e h å l l e r sin k a r a k t ä r i s t i s k a be- t y d e l s e av t a n g e n t e n s vinkelkoefficient ä v e n v i d s n e d v i n k l i g a k o o r d i n a t e r (jfr sid. 4g). U t t r y c k e t e n l i n j e » l u t a r å t h ö g e r » ( s i d . 1 7 , r ä t v i n k l i g a k o o r d i n a t e r ) får v ä l a n s e s definierat a v den e n k l a r e b e s t ä m n i n g e n , att dess v i n k e l m o t pos. A - a x e l n ä r spetsig.

H ä r l e d n i n g e n av r ä t a l i n j e n s n o r m a l f o r m ( s i d . 25) ä r e n k e l o c h g o d ; d o c k s k u l l e j a g f r a m f ö r h ä n v i s n i n g e n till v i n k l a r n a « och?-' i fig. h a f ö r e d r a g i t citat av d e n nyss f ö r u t b e v i s a d e formeln kk, •= — t m e d t i l l ä g g e t att k^l = tg a ä v e n n ä r « slutar i 3':dje e l l e r 4:de k v a d r a n t e n , e n ä r tg ( « ± 1 8 0⁰) = tg a. B e v i s e t b ö r n a t u r l i g t v i s v a r a o b e r o e n d e av l i n j e n s l ä g e , h u r nyttigt som ö v n i n g det ä n m å v a r a att u n d e r s ö k a , h u r s a k e n s t ä l l e r s i g f ö r o l i k a l ä g e n . A l l r a e n k l a s t s t ä l l e r s i g e m e l l e r t i d h ä r l e d n i n g e n m e d a n v ä n d - n i n g av o r t o g o n a l p r o j e k t i o n l ä n g s p av k o o r d i n a t p o l y g o n e n f ö r e n p u n k t (x,y) p å l i n j e n . D ä r v i d f å s d i r e k t e k v . u n d e r f o r m e n

i SS A N M Ä L N I N G A R O C H R E C E N S I O N E R

.r c o s ( — a ) + y c o s (— a + o o ° ) H ä r f ö r s k u l l e fordras e n framfiyttning hit av § 9 0 » O m p r o j e k t i o n e r » ( s i d . 167), n å g o t s o m j a g ej k a n b e t r a k t a s o m c n o l y c k a . E k v a t i o n e n f ö r t a n g e n t e n till e n c i r k e l , d å t a n g e r i n g s p u n k t e n s k o o r d i n a t e r ä r o g i v n a , h ä r l e d e s (sid 3 9 ) m e d e l s d e n ur s y n t e t i s k a g e o m e t r i n b e k a n t a s a t s e n , att r a d i e n till l a n g e r i n g s p u n k t e n ä r v i n k e l r ä t mot t a n g e n t e n . N a t u r - l i g t v i s ä r detta fullt t i l l å t l i g t ; v i l l e m e l l e r t i d p å p e k a , att m a n blott b e h ö v e r r e d u c e r a till n o r m a l f o r m d e n f ö r u t h ä r l e d d a e k v . för c i r k e l t a n g e n t e n m e d given v i n k e l k o e f f i c i e n t f ö r att f å v e t a , att p e r p e n d i k e l n f r å n o r i g o mot t a n g e n t e n ä r r, o c h s å l e d e s c i r k e l t a n g e n t e n s ekv. u n d e r n o r m a l f o r m x cos a +y s i n a — r = o, d ä r a ä r v i n k e l n m e l l a n pos. A - a x e l n o c h r a d i e n till t a n g e i i n g s - p u n k t e n . V i d b e s t ä m n i n g av fe^⁰är det b ä t t r e a n v ä n d a den l i k b e n t a /K O AB i st. f. d e n r ä t v i n k l i g a j \ OCB ( s i d . 72).

M a n f å r d å r e l a t i o n e n 1 > —n- > c o s « . D e l s k o m m a g r ä n s e r n a v a r a n d r a n ä r m a r e , d e l s f å r m a n d i r e k t v e t a , att k u r v a n j» — s i n x ligger u n d e r s i n t a n g e n t i o r i g o för pos. . v - v ä r d e n ; ö v e r d e n - s a m m a f ö r negativa. E x p o n e n t i a l f i i n k t i o n e n s d e r i v a t a b e s t ä m m e s ( s i d . 81) s å , att f ö r s t g e n o m i n s ä t t n i n g a v allt s t ö r r e n u m e r i s k a

mot en b e s t ä m d g r ä n s , d å . v — ' ± ^ > , varefter f ö r f a r e s p å v a n l i g t s ä t t . D å b e r ä k n i n g e n f ö r s t o r a . v - v ä r d e n väl f å r s k e m e d s e r i e - u t v e c k l i n g , torde det v a r a att f ö r e d r a g a att d r ö j a m e d e x p o n e n - t i a l f u n k t i o n e n tills § 5 1 ( B i n o m i a l s e r i e n . F u n k t i o n s s e r i e r ) g e n o m - g å t t s . D e i ö v n i n g s e x e m p e l (338) g i v n a s e r i e r n a f ö r s i n x o c h c o s x k u n n a d ä ge a n l e d n i n g s t u d e r a e n f u n k t i o n , som definieras

x

x*

g e n o m den s t ä n d i g t k o n v e r g e n t a s e r i e n 1 +x+ — H — : + • • • . U p p -

21 31

s ö k a n d e a v l i k a r ö t t e r ( s i d . 95) k a n ofta f å s e n k l a r e ä n m e d E u k l i d e s ' a l g o r i t m g e n o m a n v ä n d n i n g av d e n n ä s t a n s j ä l v k l a r a satsen, att o m f^x) o c h J2{x) h a ett g e m e n s a m t n o l l s t ä l l e , s å m å s t e det ock finnas hos af,(x) + b/.,(x), d ä r a o c h b ä r o k o n - s t a n t e r e l l e r s å d a n a f u n k t i o n e r av x, s o m ej h a n å g o t n o l l s t ä l l e g e m e n s a m t m e d / , ( # ) . e l l e r f»(x). A n v ä n d e s m e t o d e n p å det u t f ö r l i g t b e h a n d l a d e e x e m p l e t , s å far m a n d e n f ö r s t a d i v i s i o n e n s rest 2 7 x^s+ 33jv-f-8. A v d e s s n o l l s t ä l l e n finner m a n l ä t t , att d e t e n k l a r e satisfierar d e n e n k l a r e av u t g å n g s e k v a t i o n e r n a , o c h s å - ledes o c k d e n a n d r a . S i d 1 1 7 s ä g e s : » O m p u n k t e n ( a , b) ligger p å k u r v a n , ligger ä v e n p u n k t e n ( — a , —b) p å k u r v a n » . B e t e c k - n i n g e n (a, l>) b ö r u t b y t a s mot n å g o n a n n a n , t. ex. {xuyt), efter- v å r d e n ( ä n d a till . v = ± 1 0 , 0 0 0 )

A N M Ä L N I N G A R O C H R E C E N S I O N E R

som {a, l>) ej ligger p ä e l l i p s e n p2x2 + «8j », 8 = aso2. 1 ex. 524 (sid 143) u p p g e s en h y p e r b e l s » f o k a l v i d d » till 12. F ö r e n elev, s o m l ä s t optik, ligger det n ä r m a s t till h a n d s alt tro, att fokal- v i d d e n b e t e c k n a r ett av a v s t å n d e n c—a eller r + a i st. f. det a v s e d d a 2c. B ä s t s ä t t a ut, att a v s t å n d e t m e l l a n b r ä n n p u n k t e r n a är 12. S i d 168 r a d 12 h a o r d e n cos. för v i d t r y c k n i n g e n bort- fallit. B e t r ä f f a n d e k o o r d i n a t t r a n s l o r m a t i o n e n ( s i d . 16g) torde det v a r a s k ä l s ä r s k i l t p å p e k a , att f o r m l e r n a g ä l l a ä v e n om d e n y a k o o r d i n a t e r n a (^{x l}, y^l) ä r o n e g a t i v a , e m e d a n e x e m p e l v i s

—.v1 c o s ( « 4- 1 8 o ° ) = xl c o s ce. I det u t r ä k n a d e ex. 2 s i d . 173 be- h a n d l a s en p a r a b e l . D e t k a n f ö r t j ä n a p å p e k a s , att u t t r y c k e t A + 2 Bk - f 4- Ck- ( s i d . 17 2), n ä r JJ*— A £ ' = o, h a r det d u b b l a n o l l s t ä l l e t

k= s o m ger r i k t n i n g e n av p a r a b e l n s a x e l . F . ö . k a n ä v e n

iB

den g e n e r e l l a f o r m e l n tg 2 0f=——— u t l ä s a s av e k v . A + 2 Bk + A C-

+ 6X'³ = o, e n ä r f i g u r a x l a r n a ä r o b i s s e k t r i s e r till a s y m p t o t e r n a ; r e e l l a och o l i k a f ö r h y p e r b e l n , s a m m a n f a l l a n d e m e d v a r a n d r a o c h m e d a x e l r i k t n i n g e n för p a r a b e l n , i m a g i n ä r a f ö r e l l i p s e n . B e t e c k n i n g e n dxi,dxi o. s. v. ( s i d . 185) ä r t v e t y d i g . I d e n be- k a n t a e k v a t i o n e n dsi=dxi + dy* ä r b e t y d e l s e n e n a n n a n ; l i k a s å i d e n v a n l i g a b e t e c k n i n g e n för a n d r a o c h h ö g r e d e r i v a t o r . B ä s t d ä r f ö r att s k r i v a d(x~), o. s. v. S i d . 190 s ä t t e s substitu- t i o n s t e c k n e t efter funktionen i s t ä l l e t för f r a m f ö r , s o m ä r det v a n l i g a , s å l e d e s F{x) / i st. f. / /^(.v). K a n ej se n å g o t s k ä l f ö r

d e n n a f ö r ä n d r i n g .

E x e m p e l s a m l i n g e n ä r , s å v i t t e n h a s t i g ö v e r s i k t gett v i d h a n d e n , god och r i k h a l t i g . R e g i s t r e r a d e ä r o 721 st.; det v e r k - l i g a antalet är b e t y d l i g t s t ö r r e , e m e d a n i m ä n g a fall l i k a r t a d e uppgifter s a m m a n f ö r t s s o m u n d e r a v d e l n i n g a r u n d e r ett g e m e n - s a m t n u m m e r . IL. S.

Karl Modin. Vintergatan, nutida försök att lösa världs- byggnadens gåta.

130

2:25.)

T i t e l n ä r f ö r t r ä n g ; h ä f t e t i n n e h å l l e r , b ö r j a n d e m e d e n i n - l e d n i n g o c h en k o r t h i s t o r i s k å t e r b l i c k , e n i n t r e s s a n t ö v e r b l i c k ö v e r h e l a k o s m o l o g i e n s n u v a r a n d e s t å n d p u n k t . S å l e d e s b e h a n d - las o c k s å k l o t f o r m i g a s t j ä r n h o p a r o c h s p i r a l n e b u l o s o r ; b i l d n i n g a r , s o m o t v i v e l a k t i g t befinna s i g l å n g t u t a n f ö r V i n t e r g a t a n .

E t t p a r s m ä r r e a n m ä r k n i n g a r . S i d . 20: » O m det vore s å , att ljuset f r å n a v l ä g s n a s o l a r u t s l ä c k t e s , b o r d e naturligtvis V i n -

b b

a a