Linj¨art oberoende vektorer v1

KARL JONSSON

Nyckelord och inneh˚all

• Komplexa vektorrum U och underrum V ⊂ U .

• Linj¨ara h¨oljet: V = span(v₁, v₂, . . . , v_N).

• Antal dimensioner p˚a ett vektorrum: ¨andligt el- ler o¨andligt.

• Linj¨art oberoende vektorer v1, . . . , vN.

• Inre produkt, (u|v).

• Norm av en vektor, kuk =p(u|u).

• Lebesgue-integrerbara funktioner L²(I, w).

• Ortogonal och ortonormerad m¨angd {ϕk}^N_k=1.

• Gram-Schmidt’s ON-process.

• Komplett ON-system {ϕ_k}^∞_k=1.

• Projektion p˚a underrum. Minimera residual.

Inofficiella ”m˚al”

Det ¨ar bra om du

(M1) vet att ett komplext vektorrum U best˚ar av vektorer u som kan multipliceras med komplexa tal α ∈ C, s˚a att αu₁∈ U samt ¨aven adderas med varandra, allts˚a u₁+ u₂ ∈ U om u₁, u₂ ∈ U . (M2) vektorerna u1, . . . , un ¨ar linj¨art oberoende in U om och endast om

α1u1+ . . . + αnun= 0 =⇒ α1= . . . = αn= 0. (1) (M3) vet att det finns komplexa vektorrum som ¨ar ¨andligtdimensionella (t.ex. Cⁿ) samt de som ¨ar

o¨andligtdimensionella (t.ex. L²(I, w).)

(M4) vet att villkoren f¨or en inre produkt (u|v) (d¨ar (u|v) ∈ C f¨or u, v ∈ U ) p˚a ett komplext vektorrum U ¨ar

(a) Hermitesk symmetri: (u|v) = (v|u).

(b) Linearitet i f¨orsta argumentet: (αu + βv|w) = α(u|w) + β(v|w), f¨or alla α, β ∈ C, samt u, v, w, ∈ U .

(c) Positivitet: (u|u) ¨ar reellt och (u|u) ≥ 0 f¨or alla u ∈ U . (d) Definit: (u|u) = 0 om och endast om u = 0.

(M5) vet att en inre produkt (u|v) ger upphov till en norm, “ett s¨att att m¨ata l¨angden av vektorer ”, genom

kuk ≡p

(u|u), (2)

vilken bland annat uppfyller att kuk ≥ 0, kuk = 0 omm u = 0, kαuk = |α| kuk (d¨ar α ∈ C och u ∈ U ), samt triangelolikheten ku + vk ≤ kuk + kvk. Med denna norm s˚a f˚ar vi ¨aven ett s¨att att m¨ata avst˚andet d(u, v) mellan tv˚a vektorer u, v ∈ U genom

d(u, v) ≡ ku − vk. (3)

(M6) vet att ett exempel p˚a ett ¨andligtdimensionellt komplext vektorrum ¨ar Cⁿ, listor av n-stycken komplexa tal, under komponentvis addition. Detta rum kan utrustas med den inre produkten

(u|v) = u1v1+ u2v2+ . . . + unvn. (4) (M7) vet att inre produkten i rummet L²(I, w) (det o¨andligtdimensionella komplexa vektorrum

som best˚ar av funktioner f : I → C s˚adana att integralen ´

I|f (x)|²w(x) dx < ∞) definieras av integralen

(u|v) ≡ ˆ

I

u(x)v(x)w(x) dx, (5)

Institutionen f¨or matematik, KTH, SE-100 44, Stockholm, Sweden E-mail address: karljo@kth.se.

Date: 7 december 2017.

1

d¨ar I ⊂ R ¨ar ett intervall och w : I → R en positiv kontinuerlig reellv¨ard funktion.

(M8) vet att ett underrum V till ett komplext vektorrum U ¨ar en delm¨angd som ¨ar sluten under addition och skal¨ar-multiplikation. Vet att enkla exempel p˚a underrum ¨ar de som sp¨anns upp av

¨andligt m˚anga vektorer

V = span({ϕ_k}^N_k=1) ≡ {α1ϕ1+ . . . + αNϕN : αi ∈ C} ⊂ U. (6) (M9) vet att en ortogonal bas {ϕ_k}^N_k=1 till ett underrum ¨ar s˚adan att (ϕ_k|ϕ_j) = 0 om j 6= k

(ortonormal om ¨aven (ϕ_k|ϕ_k) = 1, vilket ¨ar det samma som att kϕ_kk = 1).

(M10) kan anv¨anda i ber¨akningar att den ortogonala projektionen proj_V(u) p˚a ett ¨andligtdimen- sionellt underrum V = span({ϕ_k}^N_k=1) ⊂ U som sp¨anns upp av en ortogonal bas {ϕ_k}^N_k=1 ges av

proj_V(u) ≡ (u|ϕ1)ϕ1

kϕ₁k² + ... + (u|ϕN)ϕN

kϕ_Nk² . (7)

(M11) vet att givet en ortonormal (ON) bas {ϕ_k}^N_k=1 s˚a blir projektionsformeln

proj_V(u) = (u|ϕ1)ϕ1+ . . . + (u|ϕN)ϕN (8) och vi har “Pythagoras-sats”

kproj_V(u)k² = |(u|ϕ₁)|²+ . . . + |(u|ϕ_N)|² (9) samt att

kproj_V(u)k² ≡ |(u|ϕ₁)|²+ . . . + |(u|ϕN)|²≤ kan ’motiveras’ geometriskt genom att rita bild



≤ kuk² (10) och l˚ater vi N → ∞ s˚a f˚ar vi Bessels olikhet

∞

X

k=1

|(u|ϕ_k)|² ≤ kuk². (11)

(M12) vet att den vektor i underrummet V som ligger n¨armast u ¨ar proj_V(u), med andra ord har vi allts˚a att

minv∈V ku − vk = ku − proj_V(u)k, (12)

detta ¨ar “b¨asta-approximation-i-norm egenskapen” hos projektionen samt kan anv¨anda detta f¨or att minimerar vissa typer av integraler.

(M13) kan anv¨anda Gram-Schmidts ortogonaliseringsprocess f¨or att g˚a fr˚an en icke-ortogonal upp- s¨attning vektorer {f_k}^N_k=1till en ortonormal s˚adan {e_k}^N_k=1, med hj¨alp av hj¨alpvektorerna v_ioch f¨oljande steg,

v₁ = f₁ (13)

e1= v1/kv1k (14)

v2 = f2− proj_e1(f2), (15)

e2= v2/kv2k (16)

v₃= f₃− proj_e

1(f₃) − proj_e2(f₃) (17)

e₃= v₃/kv₃k (18)

etc. (19)

(M14) vet att om vi har ett ortogonalt system med o¨andligt m˚anga vektorer (ϕ_k)^∞_k=1 s˚a s¨ags detta vara komplett om det f¨or alla u ∈ U g¨aller att

u − (u|ϕ₁)ϕ₁

kϕ₁k² + ... + (u|ϕ_N)ϕ_N kϕ_Nk²



→ 0 d˚a N → ∞, (20)

och man kan i detta fall skriva, d¨ar likhet betyder konvergens i norm, u =

∞

X

k=1

(u|ϕ_k)

kϕ_kk²ϕ_k. (21)

(M15) kan anv¨anda Parsevals formler dvs om {ϕ_k}^∞_k=1 ¨ar ett komplett ortogonalt system s˚a g¨aller f¨or alla u, v ∈ U att

(u|v) =

∞

X

k=1

(u|ϕ_k)(ϕ_k|v) kϕ_kk² =

∞

X

k=1

(u|ϕ_k)(v|ϕ_k)

kϕ_kk² (22)

samt att detta ger att vi kan ber¨akna normen av u mha Fourierkoefficienterna (u|ϕ_k) kuk²= (u|u) =

∞

X

k=1

|(u|ϕ_k)|²

kϕ_kk² . (23)

(M16) vet att {e^imt}_m∈Z ¨ar ett komplett ortogonalt system i L²(−π, π) samt kan relatera detta till L²-konvergens av Fourierserier.

Obs! Detta ¨ar ett f¨ors¨ok att bryta ned kursm˚alen i mindre och mer konkreta bitar. M˚alen ovan ¨ar inte officiella f¨or kursen, utan ett f¨orslag till hur man kan t¨anka.

Exempel och uppgifter (U1) ¨Ar funktionerna

1, x, x², . . . , xⁿ, e^x, cos x samt sin x, linj¨art beroende eller oberoende i vektorrummet C(0, 1)?

G¨or f¨oljande:

(a) Vad betyder linj¨art beroende alternativt oberoende?

(b) B¨orja med funktionerna 1 och x. Beroende? Hur gjorde vi i f¨orsta delkursen f¨or att kolla detta?

(c) Testa med x och x². Oberoende?

(d) Testa nu med 1, x samt x². Oberoende? Hur g¨or man nu?

(e) Testa med e^x, cos x samt sin x. Ber¨akna determinant?

(f) F¨ors¨ok koppla ihop resultaten ovan.

Antag att

α₀+ α₁x + . . . + α_nxⁿ+ β₁e^x+ β₂cos x + β₃sin x = 0. (24) Kan vi visa att alla koefficienter ¨ar 0 s˚a ¨ar vi klara. B¨orja med ett enklare specialfall f¨or att f˚a en id´e om hur vi kan g¨ora. Ta bara vektorerna 1,x, samt x² vilket och antag

α0+ α1x + α2x² = 0. (25)

En id´e ¨ar att f¨ors¨oka f˚a fram fler ekvationer ur ekvationen ovan. Tips! Derivera, ger oss

α1+ 2α2x = 0. (26)

och en g˚ang till

2α2= 0. (27)

Detta ¨ar nu ett linj¨art system f¨or varje x-v¨arde som kan skrivas





1 x x² 0 1 2x

0 0 2







 α0

α₁ α2



=



 0 0 0



. (28)

och s¨atter vi x = 0 s˚a f˚ar vi





1 0 0 0 1 0 0 0 2







 α0

α₁ α2



=



 0 0 0



. (29)

med l¨osningen α0 = α1= α2 = 0.

G¨or vi motsvarande f¨or alla funktioner s˚a f˚ar vi



























1 x x² · · · xⁿ e^x cos x sin x

0 1 2x · · · nxⁿ⁻¹ e^x − sin x cos x

0 0 2 · · · n(n − 1)xⁿ⁻² e^x − cos x − sin x

... ... ... . .. ... ... ... ...

0 0 0 · · · n! e^x ±(cos x eller sin x) ∓(cos x eller sin x) 0 0 0 · · · 0 e^x ±(cos x eller sin x) ∓(cos x eller sin x) 0 0 0 · · · 0 e^x ±(cos x eller sin x) ∓(cos x eller sin x) 0 0 0 · · · 0 e^x ±(cos x eller sin x) ∓(cos x eller sin x)











































 α₀

... αn

β₁ β2

β₃



















=





 0

... 0





. (30)

Kan vi t.ex. bevisa att determinanten av matrisen ¨ar 6= 0 s˚a ¨ar vi klara. Matrisen som vi har

¨

ar p˚a formen

A B

0 D



(31) d¨ar A ¨ar en n × n-matris, D ¨ar en 3 × 3-matris, B ¨ar en n × 3-matris och 0 en 3 × n-matris (fylld med nollor). Vi skulle kunna f¨ors¨oka ber¨akna determinanten av denna block-matris (matris som

¨ar uppbyggd av mindre matriser), det visar sig att det finns en formel f¨or detta n¨amligen detA B

0 D



= det(A) det(D). (32)

Vi ser att A ¨ar en ¨overtriangul¨ar matris, d˚a ¨ar determinanten samma sak som produkten av elementen p˚a diagonalen, dvs 6= 0. Vad ¨ar determinanten av D om vi s¨atter x = 0? D kommer att ha n˚agon av formerna





1 1 0

1 0 1

1 −1 0



,





1 0 1

1 −1 0

1 0 −1



,





1 −1 0

1 0 −1

1 1 0



,





1 0 −1

1 1 0

1 0 1



, (33)

d¨ar alla har nollskild determinant. Vilket g¨or att vi ¨ar klara.

(U2) Ber¨akna den inre produkten i rummet L²(−1, 1) mellan funktionerna f (x) = x + 2 och g(x) = ix + x². Ber¨akna ¨aven l¨angden av vektorerna f respektive g i detta vektorrum. Best¨am den vektor i underrummet V = span(ix + x²) som ligger n¨armast vektorn f (x).

Inre produkten blir

(x + 2|ix + x²) = ˆ ₁

−1

(x + 2)ix + x²dx = ˆ ₁

−1

(x + 2)(−ix + x²) dx (34)

= . . . = ˆ ₁

−1

−ix²+ 2x²dx = 2

3(2 − i) (35)

l¨angderna f˚ar vi genom

kx + 2k²= (x + 2|x + 2) = ˆ ₁

−1

(x + 2)²dx = ˆ ₁

−1

x²+ 4x + 4 dx = 2

3+ 8 = 26

3 . (36)

allts˚a kx + 2k =p26/3. Vidare kix + x²k² = (ix + x²|ix + x²) =

ˆ ₁

−1

(ix + x²)ix + x²dx = ˆ ₁

−1

x⁴+ x²dx = 2 5 +2

3 = 16

15 (37)

allts˚a

kix + x²k = 4/√

15. (38)

Den efters¨okta vektorn ¨ar projektionen av vektorn f p˚a underrumet V = span(ix + x²). En ortonomerad bas till detta rum blir kan vi ta som √

15(ix + x²)/4. Allts˚a kan vi anv¨anda projektionsformeln p˚a detta underrum

proj_span(ix+x2)(x + 2) = (x + 2|

√15

4 (ix + x²))

√15

4 (ix + x²) = (39)

15

16(x + 2|(ix + x²))(ix + x²) = (40) 15

16 2

3(2 − i)(ix + x²) = (41) 5

4(2 − i)(ix + x²) (42)

(U3) Ortogonalisera f¨oljande upps¨attningar av vektorer (a) (1, 2, 3), (3, 1, 4) och (2, 1, 1) i C³.

(b) 1, x, samt x² i C(−1, 1).

(c) e^−x, xe^−x, och x²e^−x i C(0, ∞).

Svar:a) (1, 2, 3), (5, −4, 1), (1, 1, −1), b) 1, x, x − 1/3.

(U4) Anv¨and Gram-Schmidts ortogonaliseringsprocess f¨or att skapa en ortonormal bas i underrummet av C(0, 1) (med inre produkten (u|v) =´₁

0 u(x)v(x) dx) som sp¨anns upp av polynomen 1, x och x².

Svar: v₀ = 1, ϕ₀ = 1, v₁ = x − 1/2, ϕ₁ = √

12(x − 1/2), v₂ = x² − x + 1/6 samt ϕ₂ = 6√

5(x²− x + 1/6))

(U5) Best¨am det polynom p(x) av grad h¨ogst 1 som minimerar integralen I =

ˆ ₂

0

|e^x− p(x)|²dx. (43)

N˚agra steg f¨or att f¨orst˚a uppgiften:

(a) Rita ut funktionen e^x i en graf d¨ar x g˚ar mellan 0 och 2.

(b) Rita ut linjen y = e´₂ ² ≈ 7.39 i samma graf (i detta fall ¨ar p(x) = e²). F¨orklara vad I =

0 |e^x− p(x)|²dx ber¨aknar i figuren. Ber¨akna detta tal. (Svar: (−1 + 4e²+ e⁴)/2 ≈ 41.577).

(c) Samma steg som ovan men byt ut p(x) mot x+1. Vad blir I? (Svar: 49/6−4e²+e⁴/2 ≈ 5.9095) S¨amre eller b¨attre?

(d) Skissa det p(x) som ¨ar svaret p˚a fr˚agan.

(e) Finn en ON-bas f¨or underrummet span(1, x) := {a + bx : a, b ∈ C} ⊂ C(0, 2). Vad kan detta vara bra f¨or?

(f) Anv¨and projektion p˚a V = span(1, x) f¨or att best¨amma p(x). F¨orklara varf¨or detta funkar.

(Svar: p(x) = 3x + (e²− 7)/2).

(U6) Best¨am a, b och c som minimerar integralen I =

ˆ _π/2

−π/2

| sin x − (a + bx + cx²)|²cos x dx. (44) N˚agra steg f¨or att f¨orst˚a uppgiften:

(a) Vad ¨ar det f¨or kvalitativ skillnad p˚a denna uppgift och (U5)?

(b) Rita ut en funktion cos x p˚a intervallet −π/2 till π/2.

(c) I en annan graf, rakt under den f¨orsta, rita ut sin x.

(d) I den undre grafen, skissa ut en parabel som du b¨ast tycker approximerar sin x.

(e) F¨argl¨agg arean mellan approximationen och sin x.

(f) Hur f¨orh˚aller sig dessa tv˚a bilder till integralen I? Varf¨or kallas cos x f¨or en viktfunktion?

(g) Analytiskt: finn en ON-bas i rummet L²(−π/2, π/2, cos x) och anv¨and projektionssatsen.

(Svar: p(x) = π/(2π²− 16)x.)

(U7) L˚at f (x) vara en reellv¨ard och kontinuerlig p˚a intervallet [0, π] med f (0) = f (π) = 0 samt att f⁰ ∈ L²(0, π). Bevisa att kf k²_L2(0,π) ≤ kf⁰k²_L2(0,π). F¨or vilka funktioner g¨aller likhet i uttrycket?

Tips: Utvidga f till en udda funktion och t¨ank p˚a att Fouriersystemet ¨ar komplett . . .

L˚at oss utvidga f till en udda funktion p˚a intervallet (−π, π) och sedan s˚a utvecklar vi den- na funktion till en 2π-periodisk funktion. Vi ber¨aknar fourier-koefficienterna f¨or denna funktion.

Eftersom f ¨ar udda s˚a kommer endast sin-termerna att ¨overleva, vi f˚ar b_n= 2

period ˆ

period

f (x) sin(n 2π

periodx) dx = 1 π

ˆ _π

−π

f (x) sin(nx) dx = (45)

=

 j¨amn integrand symmetriskt intervall



= 2 π

ˆ _π

0

f (x) sin(nx) dx, (46) allts˚a

f (x) ∼X

n≥1

bnsin(nx). (47)

Eftersom vi inte har f ’s utseende s˚a kan vi inte g˚a l¨angre ¨an s˚a. Detta ¨ar en projektionsformel med basvektorer sin(nx). Vi skriver om den p˚a f¨oljande s¨att:

f (x) ∼X

n≥1

√πb_n r1

π sin(nx), (48)

ty d˚a g¨aller att basvektorerna ϕn(x) = q1

π sin(nx) har l¨angd 1 i rummet L²(−π, π).

Vi f¨ors¨oker se om vi kan ber¨akna Fourierkoefficienterna f¨or f⁰. Vi har att om f ¨ar en udda funktion s˚a kommer dess derivata vara en j¨amn funktion, ty

f⁰(−x) = lim

h→0

f (−x + h) − f (−x)

h = lim

h→0

f (−(x − h)) − f (−x)

h (49)

= lim

h→0

−f (x − h) + f (x)

h = lim

h→0

f (x) − f (x − h)

h = f⁰(x) (50)

Vi f˚ar allts˚a endast att cos-termerna ¨overlever i Fourierserien f¨or f⁰, allts˚a An= 2

period ˆ

period

f⁰(x) cos(n 2π

periodx) dx = 1 π

ˆ _π

−π

f⁰(x) cos(nx) dx = (51)

=

 j¨amn integrand symmetriskt intervall



= 2 π

ˆ π 0

f⁰(x) cos(nx) dx (52)

= [f (x) cos(nx)]^π₀ + n ˆ _π

0

f (x) sin(nx) dx (53)

= n ˆ _π

0

f (x) sin(nx) dx = nb_n (54) d¨ar vi anv¨ant antagandet om randv¨ardena f¨or f . F¨or n = 0 s˚a blir A₀= 0, allts˚a

f⁰(x) ∼X

n≥1

√πnbn

√1

πcos(nx). (55)

Ett s¨att att t¨anka h¨ar ¨ar f¨oljande: vi har betraktat rummet L²(−π, π) och ber¨aknat projektionen av f och f⁰ p˚a det underrum som sp¨anns upp av vektorerna 1, cos(x), sin(x), cos(2x), sin(2x), . . ..

S˚a koefficienterna f¨or f ¨ar bn som endast h¨anger ihop med sin-termerna. Vi vet enligt parsevals formel s˚aledes att f¨oljande g¨aller

ˆ _π

−π

|f (x)|²dx =X

n≥1

|√

πb_n|²= πX

n≥1

|b_n|² (56)

samt ˆ _π

−π

|f⁰(x)|²dx =X

n≥1

|√

πnb_n|² = πX

n≥1

n²|b_n|² (57)

men eftersom

πX

n≥1

|b_n|²≤ πX

n≥1

n²|b_n|² (58)

s˚a g¨aller att

ˆ _π

−π

|f (x)|²dx ≤ ˆ _π

−π

|f⁰(x)|²dx (59)

ekvivalent med

2 ˆ _π

0

|f (x)|²dx ≤ 2 ˆ _π

0

|f⁰(x)|²dx (60)

ekvivalent med ˆ _π

0

|f (x)|²dx ≤ ˆ _π

0

|f⁰(x)|²dx. (61)

Vilket var det vi skulle visa.

N¨ar g¨aller likhet? Vi ser direkt att det g¨aller f¨or funktionen f (x) = 0. G¨aller det f¨or n˚agon annan? Vi ser fr˚an ekvation (58) att om denna likhet ska g¨alla s˚a tvingas |b_n| = 0 f¨or alla n ≥ 2.

Men f¨or b₁ ges inget villkor. Allts˚a, de funktioner som uppfyller likheten ¨ar p˚a formen

f (x) = b1sin(x), (62)

d¨ar b1 ¨ar ett godtyckligt tal.