Grafen av en funktion

Analys av

polynomfunktioner

Analys360 (Grundkurs) Instuderingsuppgifter

Dessa övningar är det tänkt du ska göra i anslutning till att du läser huvudtexten. De flesta av övningarna har, om inte lösningar, så i varje fall anvisningar till hur uppgiften kan lösas. Ha dock inte för bråttom att titta på lösningarna – det är inte så man lär sig. Du måste först noga fundera ut vad det du inte förstår.

Glöm inte att hela tiden reflektera kring vad du lär dig. Saker som är svåra att förstå kräver ibland att man tänker under en längre period.

Ibland måste man bara lära sig hur man gör, för att förstå lite senare (när hjärnan fått mer att arbeta med).

Grafen av en funktion

Se till att du vet vad skillnaden mellan en funktion och grafen av en funktion är. När du skisserar grafer ska du inte beräkna funktionens värde i en tabell punkter, utan i väl valda punkter. Ritandet bygger istället på förståelse av hur funktionen ser ut.

Övning 1 Rita graferna av följande tre funktioner

f₁(x) =

(x²+2x då x≤₁

x+_{2 då x}>₁^{, f2}(x) =

(x²+2x då x≤₁ 4x+_{1 då x}>₁^,

f₃(x) =

(x²+_{2x då x}≤₁ 4x−_{1 då x}>1,

Vilka av funktionerna är kontinuerliga? När du vet vad deriverbar betyder, avgör vilka som är deriverbara också.

Övning 2 Sätt f(x) =x²+x+1. Låt y=g(x)vara en ekvation för den räta linje som går genom punkterna(−1, f(−1))och(1, f(1)). Ange ett uttryck för g(x)och rita sedan grafen för f och grafen för g i samma figur. För vilka x är f(x) <g(x)?

Interpolerande polynom

Följ upp exemplet i texten med att göra följande övning.

Övning 3 Rita grafen för polynomet p(x) = −5+8x−_2x²_{och mar-} kera punkterna som bestämde polynomet som ett interpolerande po- lynom.

För övrigt bör man inte lägga någon direkt energi på detta avsnitt.

Derivator och tangenter

Definitionen av derivatan är viktig. Försäkra dig om att du förstår den genom att göra följande övning.

Övning 4 Härled derivatan av funktionen f(x) =x²i punkten x= 2. Vad är A(x)? Härled därefter derivatan i punkten x = 3. Jämför de två kvotfunktionerna, är de samma? Gör sedan detsamma med funktionen g(x) =x³−_2x.

Att förstå vad derivatan betyder är lika viktigt (och kopplat till dess definition, förstås). Följande övning är en illustration.

Övning 5 Till data för en långsamt växande bakteriekultur anpassa- des den empiriska funktionen

N(t) =N₀+52t+2t² (t mäts i timmar),

där N(t)är antalet bakterier per mm²vid tiden t. Bestäm tillväxthas- tigheten efter 5 timmar.

Derivatan av ett polynom är ett polynom och kan deriveras vidare.

Övning 6 Beräkna alla derivator av polynomet p(x) = x⁴+8x³+ 18x²−_15.

Övning 7 Bestäm en ekvation för tangenten till kurvan y = 5x² i punkterna(_{3, 45})_,(−_{2, 20})_och(_{0, 0}). Rita en figur som visar kurvan och dessa tangenter.

Övning 8 Bestäm ekvationer för tangenten och normalen till kurvan y=x⁴+2 i den punkt på kurvan som har x-koordinat 2.

Övning 9 Beräkna derivatan av följande polynom a) x³(x+1)³ b) (x+1)²(x+2)²

genom att använda produktregeln för derivation.

Övning 10 Genomför ett induktionsbevis för att(xⁿ)⁰=nxⁿ⁻¹då n är ett positivt heltal. Vilka derivationsregler måste du använda?

Vad kan vi använda derivatan till?

Övning 11 Rita på fri hand grafen till en funktion som har precis ett lokalt maximum och ett lokalt minimum, men har tre stationära punk- ter.

Övning 12 Undersök vilka implikationer/ekvivalenser som gäller mellan följande fyra uttalanden om en funktion f . Funktionen antas deriverbar i x0.

A : x₀är en stationär punkt för f B : f har lokalt maximum i x₀ C : f har lokalt extremvärde i x0 D : f⁰(x₀) =0.

Medelvärdessatsen är en av analysens viktigaste satser och illustreras i följande övning.

Övning 13 I ett metabolt experiment gäller att mängden M(t)av glu- kos avtar med tiden på ett sätt som väl kan approximeras med funk- tionen

M(t) =4.5−0.003t²,

där t mäts i timmar.

a) Bestäm reaktionshastigheten då t=0 och då t=2, samt den genomsnittliga reaktionshastigheten under intervallet[0, 2]. b) Bestäm ett ξ ∈]_{0, 2}[sådant att M⁰(ξ)är lika med denna ge-

nomsnittliga reaktionshastighet.

c) Rita en figur som illustrerar detta.

Övning 14 Bestäm ξ i intervallet[a, b]så att f(b) −f(a) = f⁰(ξ)(b− a)då f(x) =x³+3x och a= −1, b=2.

Övning 15 Studera Sats 5 och dess bevis. Hur många påståenden finns där? Försäkra dig om att du kan bevisa alla dessa påståenden

"i sömnen". Detsamma gäller Sats 6: kan du på stående fot skriva upp beviset?

Övning 16 Bestäm största och minsta värde till funktionen f i inter- vallet I om

a) f(x) =x²+2x, I= [−2, 1], b) f(x) =6x−x³, I= [0, 2]. Övning 17 Bestäm alla stationära punkter och alla lokala extrem- punkter till funktionen f(x) =x³−_3x.

Att skissera grafer

När man skisserar grafer ingår det i uppgiften att identifiera över vil- ket intervall man ska skissera den. Man kan ju aldrig skissera hela grafen om definitionsmängden är t.ex. alla reella tal. Grafen ska t.ex.

innehålla alla stationära punkter.

Övning 18 Skissera grafen till polynomet 3x⁴+16x³+18x².

I nästa övning ska du förutom skissera kurvan också använda grafen till att visa en olikhet.

Övning 19 Skissera kurvan

y=x⁴−_2x³−_2x²+8

och använd resultetet till att motivera varför

x⁴+8≥_2x³+2x²

för alla x.

Om andraderivatans användning

Avsnittet börjar med att diskutera hur man kan använda andraderiva- tan för att avgöra om en stationär punkt är en lokal extrempunkt eller inte.

Övning 20 Förklara, utan att tjuvtitta i texten, varför det gäller om a är en stationär punkt till f att

a) f⁰⁰(a) <0 ⇒ f har ett lokalt maximum ,

b) f⁰⁰(a) =₀ ⇒ vi kan inte dra några slutsatser om huruvi- da a är en lokal extrempunkt eller inte.

Rita gärna förklarande figurer. Notera att vi antar att andraderivatan är kontinuerlig!

Binomialteoremet är viktigt. Bekanta dig med det med hjälp av Övning 21 Skriv som polynom i x:

a) (₁+x)³ b) (₃−_2x)³ c) (₁+x)⁴

Övning 22 Vad är koefficienten framför x¹³i polynomet(x+1)¹⁵?

Övning 23 Binomialteoremet är formeln

(a+b)ⁿ=

∑

n k

 a^kb^n−k,

men i texten är det formeln

(1+x)ⁿ=

∑

n k

 x^k

som bevisas. Hur får man den förra ur den senare? Utför detaljerna.

Övning 24 Om det gäller att

f⁰(a) =f⁰⁰(a) =0, f⁰⁰⁰(a) 6=0,

vad kan vi då säga om den stationära punkten a till f ?

Övning 25 Skriv polynomet f(x) =x³−_6x²+11x−6 som ett poly- nom kring x=1

Taylorpolynom

Övning 26 Skriv upp Taylorutvecklingen av ordning 2 runt x = 1 för f(x) =x³−_6x²+11x−6. Rita sedan i samma figur ut kurvorna y= f(x)och y= pn(x)för n=0, 1, 2. Beskriv i ord vad det är som karakteriserar de tre sista kurvorna.

Övning 27 Antag att funktionen f är sådan att f(x) =1−3x²+5x⁴−7x⁶+x⁸B(x)

där B är någon funktion som är begränsad i en omgivning av 0. Be- stäm derivatorna f⁰(0)och f⁽⁴⁾(0).

I huvudtexten visas L’Hospitals regel i formen att om f(a) =g(a) =₀ men g⁰(a) 6=0, så gäller att

xlim→a

f(x) g(x) = ^f

0(a) g⁰(a)^.

Använd nu Taylorpolynom till att visa följande variant på detta.

Övning 28 Antag att f och g är sådana att f(a) = f⁰(a) = g(a) = g⁰(a) =0 men g⁰⁰(a) 6=0. Visa att då gäller att

limx→a

f(x) g(x)= ^f

00(a) g⁰⁰(a)^.

Svar och anvisningar

Övning 1 Alla graferna innehåller parabeln y=x²+2x= (x+1)²−₁

och de övriga delarna är räta linjer. Dessa är ritade i figuren nedan.

−2 −1 1 2

−2 2 4 6

8 f1

f2 f3

x y

Vi ser att f₁inte är kontinuerlig i x=1, medan både f2och f3är det.

Dessutom är f3deriverbar i x=_1.

Övning 2 g(x) = 2+x. Den blå kurvan i figuren nedan är an- dragradspolynomets graf.

−2 −1 1 2

−2 2 4 6

x y

Här gäller att f(x) <g(x)då den blå kurvan är under den röda, d.v.s.

då−₁ < x < 1. Ändpunkterna ingår inte, eftersom där är f(x) = g(x).

Övning 3 Punkterna är markerade med röda kryss

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

−2

−1 1 2 3

X

X

X x y

Övning 4 Med f(x)och a=2 har vi att

f(x) −f(2) =x²−₂²= (x+2)(x−₂)

enligt konjugatregeln. Det betyder att A(x) =x+2, som uppenbarli- gen är kontinuerlig då x=2. Eftersom A(2) =4 gäller att f⁰(2) =4.

Om vi i stället tar a=3 får vi

f(x) −f(₃) =x²−₃²= (x+₃)(x−₃)_,

så A(x) = x+3, som är en annan funktion än den för a = 2. Dess värde då x=3 är 6, så vi har att f⁰(3) =6.

Om vi nu byter funktion till f(x) =x³−2x och tar a=2 får vi f(x) −f(2) =x³−_2x− (₂³−₄) =x³−₂³−₂(x−₂)

= (x−2)(x²+2x+4) −2(x−2) = (x²+2x+2)(x−2).

Här har vi använt formeln för den geometriska summan! Vi ser att A(x) = x²+2x+2 och eftersom A(2) = 10 ser vi att f⁰(2) = 10.

Det sista fallet lämnas till läsaren. Vi ser att kvotfunktionen A(x)än i föregående fall.

Övning 5 Tillväxthastigheten efter t timmar ges av N⁰(t) =52+4t, så svaret är N⁰(5) =72 bakterier per mm²och timme.

Övning 6 p⁰(x) = 4x³+24x²+26x, p⁰⁰(x) = 12x²+48x+26, p⁰⁰⁰(x) =24x+48, p⁽⁴⁾(x) =24, p^(k)(x) =0, k≥_5.

Övning 7 Riktningskoefficienten för tangent i den punkt vars x- koordinat är a ges av derivatan av x → _5x²i punkten a, alltså 10a.

Enpunktsformeln för den räta linjen ger oss därför ekvationerna

(3,45) y−₄₅=30(x−₃) ⇔ y=30x−₄₅ (-2,20) y−₂₀= −₂₀(x+₂) ⇔ y= −_20x−₆₀ (0,0) y−₀=0(x−₀) ⇔ y=0

Två av dessa är utritade i figuren. Den tredje är x-axeln.

−₄ −_{2 2 4}

20 40 60 80 100 120

x y

När du ritade tangenterna, ritade du ordentligt ut den räta linjen från dess ekvation, eller ritade du på fri hand så den såg ut att tangera kurvan? Det är det senare som stämmer mest med vad det innebär att skissera kurvor.

Övning 8 Riktningskoefficienten för tangenten i den punkt som har x-koordinat a ges av 4a³, så enpunktsformeln för den räta linjens ek- vation ger att tangenten har ekvationen

y− (₂⁴+2) =4·₂³(x−₂) ⇔ y=32x−_46.

Om tangenten i en punkt har riktningskoefficient k, så är riktnings- koefficienten för normalen lika med−1/k, så enpunktsformeln ger följande ekvation för normalen:

y−18= − ¹

32(x−2) ⇔ y= − ^x 32+²⁸⁹

16

Övning 9 Använd beteckningen D f(x)för derivatan f⁰(x). Då får vi a) D(x³(x+1)³) =D(x³)(x+1)³+x³D((x+1)³) =

3x²(x+1)³+x³3(x+1)²=3x²(x+1)²(x+1+x) =2x²(x+ 1)²(_2x+₁)Lägg märke till hur vi håller resultatet faktoriserat.

Det är ofta, men inte alltid, mycket bättre att göra det än att utveckla resultatet.

b) D((x+1)²(x+2)²) =2(x+1)(x+2)²+ (x+1)²2(x+2) = 2(x+1)(x+2)(2x+3).

Som nämndes i texten är produktregeln inte lika viktig för polynom som allmänt, men det är lika bra att lära sig använda den så snabbt som möjligt!

Anmärkning Är det självklart att derivatan av g(x) = f(x+c)i punk- ten a ges av g⁰(a) = f⁰(a+c)? Om inte går det lätt att bevisa utifrån definitionen.

Övning 10 Att derivatan av x→ x är 1, d.v.s. påståendet för n= 1, följer av att x−a=1· (x−a). Antag nu att formeln gäller för n=k.

Vi ska då visa att den gäller för n=k+1. Men

(x^k+1)⁰= (x·x^k)⁰=1·x^k+x· (x^k)⁰=x^k+x(kx^k−1) = (k+1)x^k

vilket visar att satsen är sann för n=k+1. Enligt induktionsaxiomet är den då sann för alla n.

Övning 11 Du måste rita in en terrasspunkt någonstans.

Övning 12 Vi har att B⇒A, liksom att C⇒A eftersom en stationär punkt kan vara (men behöver inte vara) en lokal extrempunkt. Vidare är det klart att A⇔D, det är bara två sätt att uttrycka samma sak. På samma sätt är B⇒C eftersom ett maximum är ett extremvärde, och det gäller att B⇒D, liksom att C⇒D eftersom vi sett att A⇔_D.

Övning 13 a) Reaktionshasatigheten vid tiden t ges av M⁰(t) =

−0.006t, vilket betyder att reaktionshastigheten då t= 0 är noll och då t = 2 är lika med M⁰(2) = −0.012. Den genom- snittliga reaktionshastigheten under tidsintervallet[0, 2]ges av M(₂) −M(₀)

2−₀ = −_0.012

2 = −0.006.

b) Vi ska lösa ekvationen M⁰(ξ) = −0.006, alltså −_0.006t =

−0.006, vilken uppenbarligen har lösningen ξ=1.

c) Figuren är nedan:

0 0.5 1 1.5 2

4.49 4.49 4.5

x

y

Tangeringspunkten har koordinaten ξ=1. Tangenten har samma rikt- ningskoefficient som den bruna koordan, vilken var den vi räknade ut i a).

Övning 14 Vi ska hitta ξ sådant att

f(2) −f(−1) = f⁰(ξ)(2− (−1)) ⇔ 14− (−4) = (3ξ²+3)3

3ξ²=₆−₃=₃ ⇔ _ξ= ±_1.

Det finns alltså två ställen där tangenten är parallell med kordan mel- lan(−1,−₄)och(2, 14).

Övning 15 Satsen innehåller fyra påståenden:

a) f>0 ⇒ f är strängt växande b) f≥₀ ⇒ f är växande

c) f<0 ⇒ f är strängt avtagande d) f≤₀ ⇒ f är avtagande

Tänk noga igenom att du vet vad skillnaden mellan strängt växan- de (avtagande) och växande (avtagande) är. Rita en funktion som är växande men inte strängt växande. En sådan kan se ut som i figuren nedan:

−3 −2 −1 0 1 2 3

−5 0 5

x

y

Här är derivatan=0 i intervallet(−_{1, 1})_.

Övning 16 För a)-delen är det lättat att kvadratkomplettera uttrycket och rita upp funktionen ifrån det: f(x) = (x+1)²−1.

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1

−1 0 1 2 3

x

y

Från figuren ser vi att det minsta värdet är−1 och antas då x= −1, medan det största värdet är 3 och antas då x =1. För att hitta dessa utan att rita figur behöver vi göra två saker: (1) bestäm de stationära punkterna som ligger i intervallet (här x = −1 och beräkna motsva- rande funktionsvärde (här−1) och (2) Beräkna funktionens värden i ändpunkterna: f(−2) =0 och f(1) =3. Sedan väljer vi ut det största och det minsta av dessa värden.

För att lösa (b) gör vi på det sättet. Vi börjar med att bestämma de stationära punkterna:

f⁰(x) =6−_3x²=3(

√ 2−x)(

√

2+x) =0.

Av dessa tre stationära punkter 0,±√

2 är det endast√

2 som ligger iintervallet(0, 2). Det är därför endast dess värde vi behöver räkna ut. Det är 4√

2. Punkten x=0 ligger inte i intervallet, utan i en änd- punkt. Dess värde ska därför räknas ut i det andra steget, som är att bestämma värdena av funktionen i intervallets ändpunkter. I detta fall f(0) = 0 och f(2) = 12−₈ = 4. Av dessa tre värden är 4√

2 störst, och alltså funktionens största värde, medan 0 är minst, och allt- så funktionens minsta värde.

Vi behöver den inte, men här är en graf över funktionen

0 0.5 1 1.5 2

0 2 4 6

x

y

Övning 17 De stationära punkter bestämmer vi genom att lösa f⁰(x) = 3x²−₃ = 3(x−₁)(x+1) = 0, dvs x = ±1. För att avgö- ra vilken typ de har måste vi göra en teckentabell som i sig utnyttjar Sats 5 i texten:

x: −_{1 1} f⁰(x): + 0 - 0 +

f(x) % 2 & -2 %

Vi ser att x= −1 är ett lokalt maximum och x=1 ett lokalt minimum.

Övning 18 Kalla polynomtet f(x). Eftersom

f⁰(x) =12x³+48x²+36x=12x(x²+4x+3) =12x(x+1)(x+3)

ser vi att vi har tre stationära punkter, x=0, x= −1 och x= −3. Vi får nu följande teckentabell

x: −₃ −_{2 0}

f⁰(x): − 0 + 0 − 0 +

f(x): & −₂₇ % ₅ & ₀ %

Från teckentabellen ser vi att x = −3 och x = 0 är lokala minima, medan x= −1 ett lokalt maximum. Vidare har vi att f(x) →_{∞ när} x→ ±∞, så vi har följande graf:

−4 −3 −2 −1 0 1

−20 0 20 40

x

y

Övning 19 Med f(x) =x⁴−2x³−2x²+8 har vi att

f⁰(x) =4x³−_6x²−_4x=4x(x²−³

2x−₁) =4x(x−₂)(x+¹ 2)

Vi har alltså tre stationära punkter, i x= −1/2, 0, 2. Studerar vi deri- vatan får vi följande teckentabell

x: −¹

2 0 2

f⁰(x): − ₀ + 0 − ₀ +

f(x): & ¹²⁵

16 % ₈ & ₀ %

Vi har därför lokala minima i x = −1/2 och x = 2 och ett lokalt maximum i x=0. Vi kan notera att värdet i x= −1/2 är 7.8125≈_8, så över intervallet−¹

2, 0]är grafen nästan horisontell. Vidare har vi att f(x) →_{∞ då x}→ ±∞, så från analysen följer att det minsta värde f(x)kan anta, är det det antar i det lokala minimum som är minst, och det är f(2) =0.

Det i sin tur betyder att f(x) ≥0 för alla x (och likhet endast då x=2), vilket är olikheten i uppgiften.

−2 −1 0 1 2 3

0 10 20 30

x

y

Övning 20

Övning 21 a) (1+x)³=1+3x+3x²+x³,

b) (3−_2x)³=3³+3·₃²(−2x) +3·₃(−2x)²+ (−2x)³ =27− 54x+36x²−_8x³

c) (1+x)⁴=1+4x+6x²+4x³+x⁴.

Övning 22 15 13



= ^15!

13!(15−₁₃)!= ¹⁵·₁₄ 2 =105.

Övning 23 Sätt x=b/a och multiplicera den ekvationen med aⁿ:

aⁿ(1+^b a)ⁿ=bⁿ

∑

n k

 b^k

a^k ⇔ (a(1+^b a))ⁿ=

∑

n k

 b^kaⁿ

a^k

⇔ (a+b)ⁿ=

∑

n k

 a^n−kb^k.

Övning 24 Från diskussionen i huvudtexten ser vi att vi allmänt kan skriva

f(x) = f(a) +f⁰(a)(x−a) +f⁰⁰(a)(x−a)²

2 +f⁰⁰⁰(a)(x−a)³ 3! +. . . , där . . . betyder termer som består av högre potenser av(x−a)än 3. I vårt fall får vi alltså att

f(x) = f⁰⁰⁰(a)(x−a)³ 3! +. . . ,

där de termer som ingår i . . . är försumbara när x är nära a. Men här kan den andra termen bli både positiv och negativ för x godtyckligt nära a, p.g.a. faktorn(x−a)³som kan anta både positiva och nega- tiva värden godtyckligt nära x = a. Det följer att a måste vara en terrasspunkt!

Övning 25 Vi deriverar:

f⁰(x) =3x²−12x+11, f⁰⁰(x) =6x−12, f⁰⁰⁰(x) =6

medan alla högre derivator är noll. Vi har därför

f(1) =0, f⁰(1) =2, f⁰⁰(1) = −6, f⁰⁰⁰(1) =6

och får därför Taylorpolynomet

f(x) =0+2(x−₁) −6(x−₁)²

2! +6(x−₁)³ 3!

=2(x−₁) −3(x−₁)²+ (x−₁)³. Anmärkning Vi kan notera att detta kan skrivas

(x−₁)(2−₃(x−₁) + (x−₁)²) = (x−₁)(x²−_5x+6)

så metoden ger ett annat sätt att dividera ett polynom med en faktor (x−a).

Övning 26 Taylorutvecklingen av ordning 2 kring x=1 fås ur före- gående övning:

f(x) =p₂(x) +R₃(x),

där

p₂(x) =2(x−1) −3(x−1)², R₃(x) = (x−1)³.

Notera att det inte dyker upp något ξ i resttermen; det är för att vi har ett 3:egradspolynom. Graferna y=2(x−₁)och y=2(x−₁) −3(x− 1)²är ritade nedan, medan y=0 är x-axeln.

0.5 1 1.5 2

−6

−4

−2 2

x y

Vi ser att den blå kurvan är tangenten till kurvan medan den röda kur- van är det andragradspolynom som approximerar grafen till f bäst i punkten x=1.

Övning 27 Enligt entydighetssatsen för Taylorpolynom är polyno- met Taylorpolynomet av ordning 7 till f kring origo (alltså Maclau- rinpolynomet). Det har ingen x-term, alltså är f⁰(0) = 0 medan x⁴- termens koefficient är 5. Därför gäller att

f⁽⁴⁾(₀)

4! =5 ⇒ f⁽⁴⁾(0) =5·₂₄=120.

Övning 28 Enligt Taylors formel kan vi skriva

f(x) =f(a) +f⁰(a)(x−a) +f⁰⁰(a)(x−a)²

2 +Bf(x)(x−a)³

= (x−a)²

2 (f⁰⁰(a) +B_f(x)(x−a)).

och likadant för g. Här är Bf(x)en begränsad funktion. Om vi förkor- tar med(x−a)²/2 betyder detta att vi kan skriva

f(x) g(x) = ^f

00(a) +B_f(x)(x−a) g⁰⁰(a) +B_g(x)(x−a) → ^f

00(a) g⁰⁰(a) då x→_a.