en primitiv funktion till

INTEGRALER AV NÅGRA ELEMENTÄRA FUNKTIONER VARIABELBYTE ( SUBSTITUTION)

============================================================

PRIMITIV FUNKTION OCH ( OBESTÄMDA) INTEGRALER

Om

F'(x)= f(x)

kallas

F(x)

en primitiv funktion till

f(x)

.

∫

^{f(x)dx def}

⁼

^F(x)+C

, där C är ett godtyckligt konstant tal, ( dvs ∫

^f(x)dx

, betecknar alla primitiva funktioner till

f(x)

).

∫

^f(x)dxkallas obestämd integral ( integral utan givna gränser) medan

∫

^b

a

dx x

f( ) är en bestämd integral, dvs integral med nedre gränsen a och övre gränsen b.

Exempel

C x dx

x = +

∫

^{cos( ) sin( )}

( eftersom

(sin(x)+C)'=cosx

)

C

e dx e^x = ^x +

∫ ( eftersom ( e

^x

)' = e

^x

)

RÄKNEREGLER

∫

∫

^{af(x)dx=a f(x)dx}

( a konstant)

∫

∫

∫

^{[f(x)+g(x)]dx= f(x)dx+ g(x)dx}

∫

∫

∫

∫

^{[c1f1(x)+c2f2(x)++cn fn(x)]dx=c1 f1(x)dx+c2 f2(x)dx++cn fn(x)dx}

( c

₁

, c

₂

,  konstanter) , c

_n

1 av 6

Några viktiga elementära integraler ( som vi ska kunna utan till när vi löser svårare integraler)

∫

^adx=ax+C ( a konstant)

∫

_cos^dx2 _x ^=tanx+C

∫

^dx=x+C

∫

_sin^dx2_x ^=−cotx+C

∫

^xndx=_n^xn₊⁺¹₁^{+C om n≠−1}

∫

₋ ^{= x+C}

x

dx arcsin

1 ²

C x xdx

dx

x =

∫

= +

∫

^{−1 1 ln| |}

∫

₊ ^{= x+C}

x

dx arctan

2 1

∫

^{exdx=ex +C}

∫

₊ ^{= x+ x +a +C}

a x

dx ln| ² |

2

∫

^axdx=_ln^ax_a^+C

∫

^{sinxdx=−cosx+C}

∫

^{cosxdx=sinx+C}

Uppgift 1. Beräkna integraler

a)

∫ ^{[ 11 x}

⁴

^{+ 3 x + 5 +}

¹⁰

^x

³

⁺ _x ⁵

¹³

^{+ 3} _x ^{+ 8 sin x + 9 cos x + e}

^x

^{+ 4}

^x

^{] dx}

b)

∫ ^{− +} ₊ ⁺ ₋ ⁺ ₋ ^dx

x x x

x

x ]

5 8 1

8 1

9 sin

3 cos

[ 1

2 2 2

2 2

c)

∫ ^{( 1 +} _x ^x

³

⁾

²

^dx

Svar:

a)

x x x x x e C

x x

x + − + +

_x

+

^x

+

+ − +

+

+

⁻

4 ln sin 4

9 cos 8

|

| ln ) 3 12 5 ( 10 / 5 13 3 2

11 5

12 10

/ 13 2

5

b)

tan x + 3 cot x + 9 arctan x + 8 arcsin x + 8 ln | x + x

²

− 5 | + C

c)

x x C

x dx

x x x

x dx x dx x

x

x = + + = + + = + + +

+ ∫ ∫

∫ ^{( 1}

³

⁾

²

^{1 2}

^{3 6}

^{[ 1 2}

^{2 5}

^{] ln | | 2} ₃

³

₆

⁶

2 av 6

VARIABELBYTE

Enligt kedjeregeln för sammansatta funktioner har vi [ f ( u ( x )]' = f ' ( u ( x )) ⋅ u ' ( x )

Därför

∫ f ^{' [} u ⁽ x ^)] ⋅ u ^{' (} x ⁾ dx = f ⁽ u ⁽ x ⁾⁾ + C

Till exempel

C e

dx

xe

^x

=

^x

+

∫ ^cos

^{sin sin} eftersom

( e

^sinx

+ C ) ′ = cos xe

^sinx

Vi formaliserar detta genom substitutionsmetoden ( variabelbyte) som är en omvänd version av kedjeregeln. När vi beräknar en obestämd integral ∫

^f(x)dx

med hjälp av

substitutionsmetoden inför vi en ny variabel ( t ex: t) genom ett samband )

( ) ( x v t

u =

(*) och därmed

dt

t v dx x

u ' ( ) = ' ( )

(**)

Med hjälp av (*) och (**) eliminerar vi både x och dx och får en integral med t –variabel (målet är att få en enklare integral i andra variabel).

Notera att differentialen till en uttryck f(x), definieras på följande sätt:

dx x f x f

d ( ( )) = ' ( )

Exempel1 a) Om

f ( x ) = x

³

+ sin x

så är differentialen

d ( f ( x )) = ( 3 x

²

+ cos x ) dx

Exempel1 b) Om

g ( t ) = t

³

+ e

^t

+ ln t

så är differentialen

dt

e t t t

g

d

^t

1 )

3 ( )) (

( =

²

+ +

Exempel 2. Beräkna

∫ ^e

^{3x 4+}

^dx

.

Lösning: Vi använder substitutionen: 3x+ 4=t och beräknar differentialer av båda leden:

dt dx 1

3 =

Här av dx dt 3

=1 .

Vi måste eliminera både x och dx i integralen:

∫ ^e

^{3x 4+}

^dx = ∫ ^e

^t

¹ ₃ ^{dt = 1} ₃ ^e

^t

^{+ C}

( vi substituerar tillbaka 3x+ 4=t)

C

e

^x

+

=

^{3 +4}

3 1

Svar:

∫ ^e

^{3x 4+}

^dx

⁼ ₃ ^{1 e}

^3x+4

^{+ C}

3 av 6

Uppgift 1. Beräkna

∫

^{sin(4x+ dx9) .}

Lösning:

∫

^{sin(4x+ dx9)}

∫

^⋅

= t dt

4 sin 1

C t +

−

= cos

4 1

C x + +

−

= cos( 4 9 ) 4

1

Svar:

∫

^{sin(4x+ dx9)}

^{= −} ₄ ^{1 cos( 4 x + 9 ) + C}

Uppgift 2. Beräkna

∫

^{cos(5x+ dx4) .}

Lösning:

∫

^{cos(5x+ dx4)}

∫

^⋅

= t dt

5

cos 1

= sin t + C 5

1

C x + +

= sin( 5 4 ) 5

1

Svar:

∫

^{cos(5x+ dx4)}

⁼ ₅ ^{1 sin( 5 x + 4 ) + C}

Anmärkning: På samma sätt beräknar vi följande integraler, för a≠0

C

a e dx

e

^ax+b

=

^ax+b

+

∫ ¹

∫

^{sin(ax+b)dx=−1}_a^cos(ax+b)+C

∫

^{cos(ax+b)dx=1}_a^sin(ax+b)+C

C b a ax

bdx

ax = + +

∫

¹+ ^{1ln| |}

∫

_x^2dx_+a^{2 =}_a^1arctan_a^x+C

Det är nyttigt att kunna utan till ovanstående integraler.

Substitution: 4x+ 9=t

dt dx dt

dx 4

1 1

4 = ⇒ =

Substitution: 5x+ 4=t

dt dx dt

dx 5

1 1

5 = ⇒ =

4 av 6

Uppgift 3. Beräkna

∫ ^{cos( x ) e}

^2+3sinx

^dx

^.

Lösning:

∫ ^{cos( x ) e}

^2+3sinx

^dx

∫ ^e

^t

¹ ₃ ^dt

C e

^t

+

= 3 1

C e

^x

+

=

^{2+ sin3}

3 1

Svar:

∫ ^cos( x ⁾ e

^2+3sinx

dx = ¹ ₃ e

^2+3sinx

+ C

Uppgift 4. Beräkna

∫ ^{( x + 2 ) 2 x + 3 dx}

^.

Lösning:

∫

^(t2₂^{−3+2)t⋅tdt}

Förenklar integranden

∫ ^{( t} ₂

⁴

^{+ t} ₂

²

^{) dt}

t C t + +

= 10 6

3 5

( byter t mot x:

t = 2 x + 3

)

x C

x + +

+ +

= 6

) 3 2 ( 10

) 3 2

(

^{5 3}

Svar:

∫

^{(x+2) 2x+3dx=( 2x}₁₀^{+3)5+( 2x}₆^+3)3+C

Substitution: 2+ sin3 x=t

dt dx x dt

xdx 3

cos 1 1

cos

3 = ⇒ =

{ lägg märke till att vi ersätter hela uttrycket

cos x dx

på en gång

med

dt

3 1

}

Substitution:

2 x + 3 = t

² ⇒ [

2

2

− 3

= t

x

och

2 x + 3 = t

_]

[differential av vänsterledet)= differential av högerledet ] ger:

) ( ) 3 2

( x d t

²

d + =

_dvs

tdt dx tdt

dx= 2 ⇒ =

2

5 av 6

Uppgift 5.

Beräkna nedanstående integraler:

Integral (Tipps) substitution Svar

1

∫ ^x

²

^e

^2+x3

^dx

^{2+ x3 = t}

dt dx

x 1

3 ² =

e

^+x

+ C 3

2 3

2

∫ ^(sin

³

^{x + 5 sin}

⁴

^{x ) cos xdx sin x = t}

dt dx

x =

cos ^{x C}

x +

⁵

+

4

4 sin sin

3

∫ ^ln

⁴

^{x +} _x ^{2 ln}

⁸

^{x dx ln x = t}

dt x dx = 1

x C

x + +

9 2 ln 5

ln

^{5 9}

4

∫ _x

²

^x _{+ 5} ^dx

²

^x

^xdx2

^{+ 5}

⁼

⁼

^1dt

^t

^{x2 + 5+C}

5

∫ ^{x x}

²

^{− dx 4}

²

^x

^xdx2

^{− 4}

=

⁼

^1dt

^t ( x

²

− 4 )

^3/2

+ C

3 1

6

∫ _{1 +} ^e

^x

_e

^x

^{dx 1 e}

^x

^{+ dx e}

^x

^{= = dt t ln( 1 + ) e}

^x

^{+ C}

7

∫ _{1 +} ^x

⁴

_x

⁵

^{dx 5 1 x +}

⁴

^{dx x}

⁵

^{= = dt t 1 5 ln | 1 + x}

⁵

^{| + C}

8

∫ _{1 +} ^x _x

⁴

^dx

^2xdx

^x

²

⁼

⁼

^t

^dt

^{1 2 arctan( x}

²

^{) + C}

9

∫ ^cos

⁵

^xdx

^Först:

^∫

^cos5xdx

∫

= cos

⁴

x cos xdx

∫ ⁻

= ( 1 sin

²

x )

²

cos xdx

substitution

t x = sin

dt dx

x =

cos

5 sin 3 2sin sin

5

3x x

x− +

+C

6 av 6