MATEMATIK Hj¨ alpmedel: Inga

MATEMATIK Hj¨ alpmedel: Inga

Chalmers tekniska h¨ ogskola Datum: 2013-01-17 kl. 08.30–12.30

Tentamen Telefonvakt: Dawan Mustafa

tel. 0703-088304

TMV036 Analys och Linj¨ ar Algebra K Kf Bt, del C

Tentan r¨ attas och bed¨ oms anonymt. Skriv tentamenskoden tydligt p˚ a placeringlista och samtliga inl¨ amnade papper. Fyll i omslaget ordentligt.

Betygsgr¨ anser: 20 - 29 p. ger betyget 3, 30 - 39 p. ger betyget 4 och 40 eller mer betyget 5. (Bonuspo¨ ang fr˚ an duggor 11/12 inkluderas.)

Resultat meddelas via Ladok senast ca. tre veckor efter tentamenstillf¨ allet. D¨ arefter kan tentorna granskas och h¨ amtas p˚ a MV:s exp. ¨ oppen alla vardagar 9-13.

1. (a) Skissa ytan (3p)

S = {(x, y, z) ∈ R

: x

+ 4z

= 4, 0 ≤ y ≤ 3}.

(b) L˚ at z vara en funktion av tv˚ a variabler s˚ adan att z(x, y) = 1

√ xy g ( x

y )

, x > 0, (3p) y > 0, f¨ or n˚ agon differentierbar funktion g. Visa d˚ a att z uppfyller differen- tialekvationen x ∂z

∂x + y ∂z

∂y + z = 0.

2. L˚ at f (x, y) = xy sin x.

(a) I vilken riktning v¨ axer f snabbast i punkten (π/2, 1)? (2p) (b) Ber¨ akna riktningsderivatan av f i punkten (π/2, 1) i riktningen v = [

−3 4 ]

(2p) (c) Best¨ am tangentplanet till ytan z = f (x, y) i den punkten p˚ a ytan d¨ ar x = π/2 (2p)

och y = 1.

3. (a) Ber¨ akna dubbelintegralen ∫ ∫ (3p)

D

e

dxdy d¨ ar D ¨ ar omr˚ adet: 0 < x < 1, 0 < y < x.

(b) Ber¨ akna volymen av kroppen K: x

+ y

≤ 4, 0 ≤ z ≤ xy + 3. (3p)

4. Best¨ am st¨ orsta och minsta v¨ arde av funktionen f (x, y) = 2x

+y

−y p˚acirkelskivan (6p) x

+ y

≤ 1.

5. Matrisen A =



 



1 1 1 1

1 1 −1 −1

1 −1 1 −1

1 −1 −1 1



 

 har egenv¨ardena −2, och 2. Best¨am A:s egen- (6p)

vektorer samt projektionen av vektorn v = [

1 1 1 1 ]

p˚ a egenrummet till egenv¨ ardet −2.

Var god v¨ and!

6. (a) Formulera Greens formel. (2p) (b) Rita i grova drag med angivande av orientering kurvan (2p)

{ x = t

y = t(1 − t

) − 1 ≤ t ≤ 1.

(c) Ber¨ akna arean av det omr˚ adet kurvan i (a) omslutar. (3p)

7. Avg¨ or om f¨ oljande ekvationssytem har n˚ agon l¨ osning: (6p) { x

+ 3x + y

+ 3y = 4

2x

+ 2y

= 1

Tips: Unders¨ ok st¨ orsta och minsta v¨ arde av funktionen x

+ 3x + y

+ 3y under bivillkoret 2x

+ 2y

= 1.

8. (a) Bevisa f¨ oljande Pythagoras sats: Om u

, u

, . . . , u

¨ ar parvis ortogonala vek- (3p) torer i R

s˚ a

||u

+ u

. . . + u

||

= ||u

||

+ ||u

||

+ . . . + ||u

||

. Det blir po¨ angavdrag om du skriver ner beviset bara i fall n = 2.

(b) Antag att u

, u

, . . . , u

¨ ar en ortonormerad m¨ angd av vektorer i R

. Visa att (4p) om a ∈ R

s˚ a

(a · u

)

+ (a · u

)

+ . . . + (a · u

)

≤ ||a||

med likheten om och endast om m = n. Motivera v¨ al.

Lycka till!

Lyudmila T