Empirisk bestämning av nollföljdsimpedans hos transformatorer med utdragen deltalindning

INOM

EXAMENSARBETE ELEKTROTEKNIK, AVANCERAD NIVÅ, 30 HP

STOCKHOLM SVERIGE 2020 ,

Empirisk bestämning av nollföljdsimpedans hos

transformatorer med utdragen deltalindning

CARMEN DAHLIN

KTH

SKOLAN FÖR ELEKTROTEKNIK OCH DATAVETENSKAP

Empirisk bestämning av nollföljdsimpedans hos transformatorer med utdragen deltalindning

CARMEN DAHLIN

Civilingenjör i Elektroteknik Datum: 6 maj 2020

Akademisk handledare: Nathaniel Taylor Industriell handledare: Niclas Schönborg Examinator: Hans Edin

Skolan för Elektroteknik och Datavetenskap Uppdragsgivare: Svenska kraftnät

Engelsk titel: Empirical determination of the zero sequence

impedance of transformers with accessible delta-winding

iii

Förord

Den här avhandlingen har gjorts på uppdrag från Svenska kraftnät (Svk) på avdelningen för

nätteknik/ställverk och primärapparater. Författaren vill därför tacka handledaren Niclas

Schönborg (Svk) för den handledningen och stödet som tillgodosetts för att genomföra

arbetet. Författaren vill även tacka examinatorn Hans Edin (KTH) för kontaktskapandet

med Svk och möjligheten att utföra examensarbetet.

Sammanfattning

Huvudändamålet med avhandlingen är att genom tillgänglig data, empiriskt bestämma kvoten mellan noll- och plusföljdsimpedansen hos olika transformatortyper med utdragen

∆-lindning, d.v.s. när ∆-lindning är belastad. Anledningar till att använda en ∆-lindning kan t.ex. var för att tillgodose en specifik fasförskjutning i spänningen mellan primär- och sekundärsidan, eller för att det är ekonomiskt vid hög ström och låg spänning. Avhand- lingen behandlar även beroende av lindningskopplarläge, transformatorkonstruktion och kopplingsart (autokopplat och fullindat) och undersöker om variationer går att relatera till fabrikat, typbeteckning, tillverkningsår, märkeffekt och märkspänning.

Information om kvoten mellan noll- och plusföljdsimpedansen används för att t.ex. beräkna felströmmar, vilket är viktigt för att ställa in skyddssystem. En transformators sekvensim- pedanser bestäms vanligen efter tillverkningen genom ett antal tester. Dock saknar ett antal transformatorer i elnätet data om nollföljdsimpedansen och det är p.g.a. detta som den här avhandlingen genomförts, då nödvändiga prov inte kan genomföras när transformatorn är i drift.

Datan har delats in i sex grupper: shuntreaktorer, tvålindningstransformatorer med en

∆-lindning, trelindningstransformatorer med en ∆-lindning, trelindningstransformatorer med två ∆-lindningar, tvålindningstransformatorer med kortsluten Y-lindning och utan ∆- lindning och trelindningstransformatorer med kortsluten Y-lindning och utan ∆-lindning.

För att analysera den tillgängliga datan har en algoritm skapats i MATLAB för att finna möjliga korrelationer. Samband har modellerats linjärt och presenterats visuellt och nume- riskt med tillhörande prediktionsintervall för att kunna användas i framtida nätberäkning- ar. Medelvärdet och konfidensintervallet av kvoten mellan noll- och plusföljdsimpedansen, samt kvoten mellan noll- och plusföljdsresistansen har beräknats för varje grupp, beroende på det antalet kärnben transformatorn har.

De viktigaste resultaten inkluderar medelvärdet (och konfidensintervallet) för kvoten mel-

lan noll- och plusföljdsimpedansen, samt för kvoten mellan noll- och plusföljdsresistansen

för fem- och trebenta transformatorer. Vidare upptäcktes korrelationer för kvoten mel-

lan noll- och plusföljdsimpedansen och lindningskopplarläget. Dessutom observerades att

kvoten mellan noll- och plusföljdsresistansen har stigit med tiden, medan kvoten mellan

noll- och plusföljdsresistansen har avtagit. Detta gäller framförallt tvålindningstransforma-

torer med en ∆-lindning. Dessutom upptäcktes en korrelation mellan nollföljdsresistan-

sen och plusföljdsimpedansen där datapunkterna delat upp sig i två grupper, där den ena

gruppen samlats runt fembenta transformatorer. En möjlig förklaring är att dessa trans-

formatorer kan vara utrustade med magnetiska shuntar, men detta gick inte att undersöka

vidare i denna studie.

v

Abstract

The main goal of the thesis is through available data, empirically determine the ratio be- tween the zero and positive-sequence impedance of different transformers with accessible

∆-winding, i.e. when the ∆-winding is loaded. Reasons for using a ∆-winding could for example be to generate a specific phase shift in the voltage between the primary and secondary side, or because it is economical at high current and low voltage. The the- sis also include an analysis on dependencies to tap-position, transformer construction and connection type (auto connected or fully wound), as well as if variations can be related to manufacture, type denotation, production year, rated power and rated voltage.

Information of the ratio between the zero- and positive-sequence impedance are used to calculate, for example, fault currents and are important when setting the protection sys- tem. A transformer’s sequence impedance is usually determined at the end of production through a number of tests. However, there are several transformers in the power system without information of the zero-sequence impedance and thus, this thesis has been per- formed since necessary tests cannot be performed when the transformer is in operation.

The data has been divided into six groups: shunt reactors, two-winding transformers with a ∆-winding, three-winding transformers with one ∆-winding, three-winding transform- ers with two ∆-windings, two-winding transformers with shorted Y-winding and without a ∆-winding and three-winding transformers with shorted Y-winding and without a ∆- winding.

To analyse the available data, an algorithm has been created in MATLAB to find possible correlations. Relations has been linear modelled and are presented visually and numeri- cally with prediction intervals to be used in future network calculations. The mean and the confidence interval of the ratio between the zero- and positive-sequence impedance, as well as the ratio between the zero- and positive-sequence resistance has been calculated for each group, depending on the number of core legs of the transformer.

The most important results include the mean (and the confidence interval) for the ratio

between the zero- and positive-sequence impedance, as well as the ratio between the zero-

and positive-sequence resistance for transformers with three and five legs. A correlation

was found for the ratio between the zero- and positive-sequence impedance and the tap-

position. Furthermore, it was found that the ratio between the zero- and positive-sequence

impedance has had an upgoing trend over the years, while the ratio between the zero- and

positive-sequence resistance has had a downwards trend. This is especially true for two-

winding transformers with an ∆-winding. Following, a correlation was found between

the zero-sequence resistance and the positive-sequence impedance, where the data points

were divided into two groups, where one of them was gathered around transformers with

five-leg core. A possible explanation could be that these transformers are equipped with

magnetic shunts. However, this was not possible to investigate in this study.

Nomenklatur viii

1 Introduktion 1

1.1 Bakgrund . . . . 1

1.2 Mål . . . . 2

1.3 Metod . . . . 2

1.4 Rapportstruktur . . . . 3

2 Teoretiskt ramverk 4 2.1 Transformatorer . . . . 4

2.1.1 Ideala transformatorer . . . . 6

2.1.2 Verkliga transformatorer . . . . 7

2.1.3 Konstruktion . . . . 9

2.1.4 Kopplingsarter . . . . 11

2.1.5 Autokopplade transformatorer . . . . 13

2.2 Shuntreaktorer . . . . 14

2.3 Asymmetriska fel . . . . 15

2.3.1 Symmetriska komponenter . . . . 16

2.4 Sekvensdiagram . . . . 19

2.4.1 Fullindade tvålindningstransformatorer . . . . 19

2.4.2 Fullindade trelindningstransformatorer . . . . 21

2.4.3 Autokopplade transformatorer . . . . 24

2.5 Fabriksprov . . . . 26

3 Metod 27 3.1 Filtrering . . . . 27

3.2 Linjär regression . . . . 28

3.2.1 Öka tillförlitligheten . . . . 28

3.3 Validering av modellen . . . . 29

3.3.1 Determinationskoefficienten R

. . . . 29

3.3.2 Kvadratiskt medelvärdesfel (RMSE) . . . . 30

vi

INNEHÅLL vii

3.3.3 Konfidensintervall . . . . 31

3.3.4 Prediktionsintervall . . . . 31

4 Fallstudie 32 5 Resultat 35 5.1 Kvoten mellan noll- och plusföljdsimpedansen . . . . 35

5.1.1 Korrelation till transformatoregenskaper . . . . 36

5.1.2 Korrelation mellan lindningar . . . . 42

5.1.3 Korrelation av kopplingslägen . . . . 45

5.2 Nollföljdsresistansen . . . . 52

6 Diskussion 58 6.1 Tillförlitlighet av modellerna . . . . 58

6.1.1 Mängden data . . . . 58

6.1.2 Val av modell . . . . 59

6.1.3 Prediktionsmodeller . . . . 59

6.2 Kvoten mellan noll- och plusföljdsimpedansen . . . . 60

6.2.1 Korrelation till transformatoregenskaper . . . . 60

6.2.2 Korrelation mellan lindningar . . . . 61

6.2.3 Korrelation av kopplingslägen . . . . 62

6.3 Nollföljdresistansen . . . . 62

6.3.1 Korrelation till transformatoregenskaper . . . . 62

6.3.2 Korrelation mellan R

och Z

. . . . 63

6.4 Etiskt och hållbarhetsperspektiv . . . . 64

6.4.1 Alternativa metoder . . . . 65

6.5 Framtida arbete . . . . 65

7 Slutsatser 66 Litteratur 68 A Diagram och tabeller 70 A.1 Kvoten mellan noll- och plusföljdsimpedansen . . . . 71

A.2 Korrelation mellan lindningar . . . . 76

A.3 Korrelation av kopplingslägen . . . . 78

A.4 Nollföljdsresistansen . . . . 83

B MATLAB kod 91 B.1 main.m . . . . 91

B.2 manufac.m . . . . 92

B.3 ratio.m . . . . 95

B.4 zerores.m . . . 105

B.5 minmax.m . . . 117

B.6 diffwind.m . . . 122

B.7 meanval.m . . . 125

B.8 legs.m . . . 125

B.9 connD.m . . . 126

B.10 connY.m . . . 126

B.11 volt.m . . . 127

B.12 pow.m . . . 127

B.13 production.m . . . 128

Nomenklatur

Förkortningar

AN0 Autokopplad lindning med utdragen nollpunkt D01 ∆-lindad lindning med 30

fasförskjutning D05 ∆-lindad lindning med 150

fasförskjutning D11 ∆-lindad lindning med 330

fasförskjutning emk Elektromotorisk kraft

mmk Magnetomotorisk kraft RMSE Kvadratiskt medelvärdefel SF

Svavelhexafluorid

Svk Svenska kraftnät

T3 Trebent kärnkonstruktion VSR Variabel shunt-reaktor

Y0 Y-kopplad, fullindad, lindning utan utdragen nollpunkt Y3 Fembent kärnkonstruktion

YN0 Y-kopplad, fullindad, lindning med utdragen nollpunkt Symboler

α Fasförsjutningen, α = e

R ¯

Justerade determinationskoefficienten

¯

y Medelvärdet av den observerade datan ˆ

y Linjärisering av den observerade datan κ Transformatorns omsättning

ix

R Reluktans, [A/Vs]

µ

Permeabilitet i vakuum = 4π · 10

Vs/Am µ

Relativ permeabilitet

Φ Magnetiskt flöde, [Wb]

Φ

Kärnans magnetiska flöde, [Wb]

Ψ

Sammanlänkade flödet för lindning n = 1, 2, 3, [Wb]

σ Standardavvikelsen hos observationerna A

Kärnarean, [m

]

a

Kvoten mellan noll- och plusföljdsimpedansen för lindning n = 1, 2, 3 B Magnetisk flödestäthet, [T]

B

Kärnans magnetiska flödestäthet, [T]

ci Konfidensintervallet av observationerna H Magnetisk fältstyrka, [A/m]

H

Koercivitetskraft, [A/m]

I

Strömmen i fas h = a, b, c, [A]

I

Magnetiseringsströmmen, [A]

I

Strömmen i lindning n = 1, 2, 3, [A]

J Strömtätheten, [A/m

] K Kopplingskoefficienten

l

Flödes medellängd genom kärnan, [m]

L

Induktansen för lindning n = 1, 2, 3, [H]

N

Antalet varv i lindning n = 1, 2, 3 n

Antalet observationer

p Antalet regressionskefficienter P

Nollföljdseffekten, [W]

p

Riktningskoefficient vid linjär kurvanpassning

p

Konstantterm (skärningspunkt) vid linjär kurvanpassning

P

Belastningsförlusten, [W]

NOMENKLATUR xi

R Autokopplingsfaktorn R

Determinationskoefficienten

r

Resedualen av den observerade datan i R

Magnetiseringsresistans, [Ω]

R

Lindningsresistansen för lindning n = 1, 2, 3, [Ω]

S

Nominella effekten, [VA]

SS

Reseduala kvadratiska summan SS

Totala kvadratiska summan

U

Spänningen över lindning n = 2, 3 överreducerat till primärsidan, [V]

U

Spänningen i fas h = a, b, c, [V]

u

Kortslutningsspänningen, [%]

U

Spänningen över lindning n = 1, 2, 3, [V]

U

Uppmätta spänningen vid kortslutningsprovet, [V]

U

Nominella spänningen, [V]

X Reaktans, [Ω]

X

Magnetiseringsreaktans, [Ω]

X

Läckimpedansen, [Ω]

y

Värdet hos den observerade datan i

z Ett tabellvärde som beror på det önskade konfidensintervallet

Z

Kortslutningsimpedansen på transformatorsida n = 2, 3 överreducerad till pri- märsidan, [Ω]

Z

Magnetiseringsimpedansen (eller tomgångsimpedansen) , [Ω]

Z

Noll- (i = 0), plus- (i = 1) och minusföljdsimpedans (i = 2), [Ω]

Z

Impedansen hos lindning n = 1, 2, 3, [Ω]

Z

Jordningsimpedansen mellan jord och en lindnings jordpunkt n = 1, 2, 3, [Ω]

Z

Läckimpedansen mellan lindning n och lindning m, [Ω]

Z

Standardiserat värde av den observerade datan

Kapitel 1

Introduktion

Elnätet består av tre olika delar: stamnät, regionnät och lokalnät med fallande spänningsni- våer. Svenska kraftnät (Svk) är den myndighet som ansvarar för Sveriges stamnät, vilket är den delen av nätet som knyter ihop produktionsanläggningar med regionnätet vid hög spänning. Det möjliggör transmission över långa sträckor, från norra delarna av Sverige där en stor del av produktionen sker, till Sveriges södra delar där en majoritet av konsum- tionen sker. Transformatorer är en viktig del av detta då transformatorer kan omvandla den elektriska energin mellan olika spänningsnivåer. Detta möjliggör en kostnadseffektiv produktion, transmission och konsumtion, vid de mest gynnsamma spänningsnivåerna [1].

1.1 Bakgrund

Transformatorer fungerar som än länk mellan olika elnät med samma frekvens, oberoende av spänningsnivåer och fasvinklar [1]. Olika fel kan ske i elnätet och majoriteten av dessa är asymmetriska. För att beräkna felströmmar i ett obalanserat system så finns det matema- tiska verktyg för att modellera ett obalanserat system. Asymmetri i ett trefassystem beror inte enbart på asymmetriska fel utan kan även bero på att lasterna är ojämnt fördelade mellan faserna.

Symmetriska komponenter är ett matematiskt verktyg som kan användas för att represen- tera ett asymmetriskt system. De symmetriska komponenterna som används är nollföljd, plusföljd (positiv fasföljd) och minusföljd (negativ fasföljd) där, för en transformator, plus- följden och minusföljden är densamma. Detta verktyg används för att förenkla beräkningar av obalanserade fasförhållanden och möjliggör kunskap om t.ex. felströmmar, vilket är vik- tig information för hög säkerhet och tillförlitlighet. För att kunna bestämma följden för hela systemet krävs det kunskap om alla komponenters sekvensimpedanser. En transformators sekvensimpedanser bestäms vanligen efter att tillverkningen är klar genom ett antal tester.

Dock saknar ett antal transformatorer i elnätet data om nollföljdsimpedansen. För de trans-

1

formatorer som saknar data så approximeras nollföljdsimpedanserna för nätberäkningar.

För att öka tillförlitligheten av nätberäkningar så har Svk gett ett uppdrag för att skapa modeller från tillgänglig data för att bestämma nollföljdsimpedansen beroende på olika egenskaper hos transformatorer. Duenas [2] och Gerlitz [3] har tidigare utfört arbete på Svk för att bestämma nollföljdsimpedansen beroende på olika transformatoregenskaper.

I den här avhandlingen ska kvoten mellan nollföljdsimpedansen och plusföljdsimpedan- sen för transformatorer med utdragen ∆-lindning bestämmas empiriskt. Vidare skall det undersökas hur denna kvot kan variera beroende av andra faktorer, som t.ex. fabrikat och märkeffekt. Kvoten mellan nollföljdsimpedansen och plusföljdsimpedansen är ett mått på systemets jordningseffektivitet, vilket är något som kan variera över systemet [4]. De fram- tagna resultaten kommer sedan att användas i Svks nätberäkningar.

1.2 Mål

Målet med projektet är att genom tillgänglig, empirisk data bestämma kvoten mellan noll- följdsimpedansen och plusföljdsimpedansen (angivet som a

, a

och a

i den internationel- la standarden IEC 60076-8 [5, s. 41]) hos olika transformatorer med utdragen ∆-lindning.

Dessutom ska nollföljdsimpedansens realdel bestämmas, samt beroende av lindningskopp- larläge och kopplingsart (autokopplat och fullindat) utredas.

1.3 Metod

För att analysera tillgänglig data i form av transformatoregenskaper, samt sekvensimpedan- ser och sekvensresistanser, ska en algoritm skapas för att estimera de olika kvoterna för olika transformatorer med utdragen ∆-lindning, d.v.s. då ∆-lindningen går att belasta. Da- tan delas in i sex kategorier enligt tabell 1.1, där det ska undersökas om variationer i dessa grupper går att relatera till t.ex. typbeteckning, tillverkningsår, märkeffekt och märkspän- ning. Kvoterna ska bestämmas genom tillgänglig data hos ett relativt stort antal befintliga transformatorer.

Tabell 1.1: Gruppuppdelningen av datan.

Grupp 1 Shuntreaktorer 51 st

Grupp 2 Tvålindningstransformatorer med 1 ∆-lindning 602 st Grupp 3 Trelindningstransformatorer med 1 ∆-lindning 193 st Grupp 4 Trelindningstransformatorer med 2 ∆-lindningar 139 st Grupp 5 Tvålindningstransformatorer med kortsluten

Y-lindning, utan ∆-lindning 143 st

Grupp 6 Trelindningstransformatorer med kortsluten

Y-lindning, utan ∆-lindning 4 st

KAPITEL 1. INTRODUKTION 3

1.4 Rapportstruktur

Rapporten börjar med kapitel 1, vilket ger en introduktion till projektet och specificerar

vad som ska göras, hur och varför det är viktigt. Därefter kommer en teoretisk bakgrund

i kapitel 2 som beskriver transformatorer, samt vad sekvensimpedanser är och hur dessa

modelleras. Metoden beskrivs i kapitel 3, där algoritmen för estimering av kvoten mellan

nollföljdsimpedansen och plusföljdsimpedansen motiveras. Den tillgängliga datan presen-

teras i kapitel 4. Sedan presenteras de erhållna resultaten i kapitel 5, som leder till diskus-

sionen i kapitel 6. Rapporten avslutas med en kort slutsats av projektet i kapitel 7.

Teoretiskt ramverk

I det här kapitlet presenteras hur transformatorer och shuntreaktorer fungerar, och hur dess olika egenskaper påverkar sekvensimpedanserna, som används för att modellera asymmet- riska förhållanden i trefassystem. Vidare förklaras hur symmetriska komponenter repre- senterar felströmmar och hur sekvensdiagram ser ut för olika kopplingsarter.

2.1 Transformatorer

En transformator är en statisk apparat som genom induktion kan överföra elektrisk energi mellan två kretsar. Det finns olika typer av transformatorer, som har olika krav. Exem- pelvis har mättransformatorer krav på en korrekt avbildning av antingen strömmen eller spänningen men har inga krav på effektverkningsgraden. Transformatorer avsedda för sig- nalöverföring har istället krav på att mottagarkretsen ska leverera maximal effekt från en given källa. Den här avhandlingen fokuserar på krafttransformatorer (se figur 2.1) som arbetar vid konstant driftfrekvens och har krav på att med hög verkningsgrad överföra växelströmseffekt och bibehålla konstant spänning vid varierande belastning. Från ett be- lastningsperspektiv ska även krafttransformatorn verka som en spänningskälla där den inre serieimpedansen är låg [6].

Elektriska strömmar genererar magnetfält när de går genom en ledare, men behöver tidsva- riation för att överföra elektromagnetisk energi. Det magnetiska fältet kan beräknas genom Ampéres lag, som beskriver magnetfältet, beroende av totala strömmen i den omslutna vägen [8] enligt

I

H · dl = Z

A

J · dA = N I (2.1)

I ekvation (2.1) är N antalet ledare, eller för transformatorer, antalet varv runt det mag- netiska materialet (se figur 2.2). H är den magnetiska fältstyrkan, I är strömmen genom

4

KAPITEL 2. TEORETISKT RAMVERK 5

Figur 2.1: Transformator från ABB [7].

ledarna och J är strömtätheten. Produkten N I kallas oftast för amperevarv, men kan också kallas magnetomotorisk kraft (mmk).

De flesta transformatorer består av två lindningar, med en primär- och sekundärlindning, men det finns också transformatorer med tre (tertiärlindning) eller fler lindningar. Trans- formatorer är uppbyggda på ett sätt som gör att flödet som uppstår från en krets inducerar en spänning i en sekundär krets som den primära kretsen är magnetiskt kopplad med. För att minimera magnetiseringsströmmen, så behövs en låg reluktans (R) för det magnetiska flödet. Därmed är lindningarna arrangerade runt ett material med ferromagnetiska egen- skaper och en hög permeabilitet som leder magnetiskt flöde med litet motstånd. Med en högre permeabilitet på materialet ökar det magnetiska flödet Φ

utan att öka antalet am- perevarv [1, 8], se figur 2.2.

Figur 2.2: Principiell transformator-uppbyggnad.

Till skillnad från figur 2.2 så ligger i verkligheten primär- och sekundärlindningen på sam-

ma ben. För transformatorer som arbetar med väldigt hög spänning är det fördelaktigt om

högspänningslindningen ligger utanför lågspänningslindningen, samt är uppdelade i två parallella delar som börjar på delen med högst potential. Det gör att högspänningslind- ningen har en lägre isolationspåkänning runt oket [1].

Genom att integrera en lindningskopplare (tap changer) i transformatorn kan man under drift ändra antalet lindningsvarv. Detta är en viktig egenskap då lasten förändras, och i sin tur spänningen. Genom att förändra varvomsättningen kan man bibehålla konstant spän- ning över lasten.

2.1.1 Ideala transformatorer

En ideal transformator antas sakna förluster och spänningsfall. Det som karaktäriserar transformatorn är dess omsättning mellan spänning och ström, som är omvänd mellan transformatorns primär- och sekundärsida. Produkten av ström och spänning (effekten) bibehålls på primär- och sekundärsidan, då det inte finns några förluster [6]. Vidare antas att kärnan har en oändlig permeabilitet och att det därmed inte finns några magnetise- ringsförluster, vilket ger ett linjärt sammanband mellan flödestätheten och magnetfältet [8]. Detta diskuteras ytterligare i avsnitt 2.1.2.

I en tvålindningstransformator, där lindningen på primärsidan omsluter kärnan och är spän- ningssatt med spänningen U

, skapas ett sammanlänkat flöde Ψ

där flödet Φ beror på antalet lindade varv N

[8], d.v.s.

U

= dΨ

dt = N

dΦ

dt (2.2)

I en ideal transformator som antas sakna förluster (och därmed läckflöde) så måste flödet genom primär- och sekundärsidan vara lika. Genom det sammanlänkade flödet på sekun- därsidan Ψ

induceras en spänning över den sekundära lindningen [8], vilket ger

U

= dΨ

dt = N

dΦ

dt (2.3)

Genom ekvation (2.2) och (2.3) fås spänningsförhållandet mellan primär- och sekundärsi- dan enligt

U

N

= U

N

(2.4)

Kopplas en belastning in på sekundärsidan bildas strömmen I

genom den sekundära lind- ningen. Eftersom permeabiliteten antas oändlig kan ekvation (2.1) skrivas som

I

H · dl = N

I

− N

I

= 0 (2.5) vilket i sin tur ger strömförhållandet för en transformator

N

I

= N

I

(2.6)

KAPITEL 2. TEORETISKT RAMVERK 7

Detta förhållande kallas amperevarvsbalans och via ekvation (2.4) och (2.6) fås

U

I

= U

I

(2.7)

d.v.s. in- och uteffekten är lika i en ideal transformator då förluster antas saknas. För att förenkla spänningsberäkningar av en transformator kan man överreducera primärsidans impedans till sekundärsidan och vice versa. Om transformatorn antas vara belastad med impedansen

Z ¯

= U ¯

I ¯

(2.8)

där ett streck ovanför storheten anger att den är komplex, kan man med ekvation (2.4) och (2.6) uttrycka belastningen som

U ¯

N

N

= ¯ Z

N

N

I ¯

⇒ ¯ U

= ¯ Z

 N

N



I ¯

= ¯ Z

I ¯

(2.9)

vilket ger den sekundära impedansen, överreduceras till primärsidan Z ¯

=  N

N



Z ¯

(2.10)

Ifall den primära impedansen är

Z ¯

= U ¯

I ¯

(2.11)

fås istället den primära impedansen, överreducerad till sekundärsidan Z ¯

=  N

N



Z ¯

(2.12)

2.1.2 Verkliga transformatorer

För att kunna modellera en verklig transformator, går det inte att bortse från förlusterna på det sätt som gjordes i avsnitt 2.1.1. Några av de olika förlusterna som finns i en verklig transformator, ska presenteras i detta avsnitt.

En av de förlusterna som uppkommer i en transformator härrör från läckflödet. Detta flö- de skapas då den primära och sekundära lindningarna måste vara fysiskt separerade, då de båda ledningarna inte kan vara placerade på samma plats. Det gör att strömmen i de båda kretsarna skapar ett magnetiskt fält i och mellan ledarna och därmed ”läcker” ut [1].

Lindningarna bidrar också till förluster p.g.a. lindningsresistansen.

Kärnan orsakar också förluster som kallas magnetiseringsförluster. Rent järn har en mätt-

nadspunkt runt 2.12 T, vilket är ett av de hösta värdena för alla grundämnen. Andra fördelar

med järn är att det har en låg koercivitetskraft (H

) och låga magnetiseringsförluster. Ko- ercivitetskraften är den magnetiska fältstyrka som fordras för att avmagnetisera kärnma- terialet, d.v.s. pressa ner den kvarvarande magnetismen remanensen till noll. Vidare finns det rikligt med järn och det är relativt billigt att förfina. För att uppnå givna krav måste järnet bli legerat, behandlat och specialformat. Magnetiseringsförlusterna som järnet har, består främst av hysteresförluster och virvelströmförluster. Hysteresförlusterna är ett mått på den energi som krävs för att magnetisera kärnmaterialet [1] och hänger samman med att ferromagnetiska material har ett starkt olinjärt sammanband mellan flödestätheten B och fältstyrkan H [8]. Flödestätheten och fältstyrkans olinjära sammanband illustreras i figur 2.3 som visar remanensen. Illustrativt så ges hysteresförlusterna av den inneslutna arean av BH-kurvan. Virvelströmsförlusterna beror i sin tur på de strömmar som det tidsberoende magnetiska flödet skapar [1].

Figur 2.3: Teoretisk BH-kurva för ett ferromagetiskt material.

En tvålindningstransformator modelleras med dess förluster enligt figur 2.4. I figuren re- presenterar R

och R

lindningsresistanserna, X

magnetiseringsinduktansen, samt R

kärnans magnetiseringsresistansen. Fortsättningsvis så representerar Z

läckimpedansen [8] givet av

Z

= R

+ jX

(2.13)

i figur 2.4. En låg reaktans är fördelaktigt för nätstabilitet och lastberoende spänningsfall, men nackdelen är att dess förmåga att begränsa kortslutningsströmmar minskar. Trans- formatorer måste vara byggda för att kunna klara av kortslutningsströmmar över några få cykler [1].

Magnetiseringsinduktansen hos kärnan kan härledas från kärnans flödestäthet B

(rema- nens) som bestäms av dess area A

och flöde Φ

B

= Φ

A

(2.14)

KAPITEL 2. TEORETISKT RAMVERK 9

Figur 2.4: Ekvivalent schema för en tvålindningstransformator.

Remanensen är den kvarvarande magnetiska flödestätheten efter att H-fältet gått ner till noll. Koercivitetskraften H

är det H-fält som fordras för att avmagnetisera materialet.

Med hjälp av Amperes lag kan man teckna sambandet

N

I

= H

l

(2.15)

där l

är flödets medelväg genom kärnan och I

är magnetiseringsströmmen genom pri- märlindningen. Antas linjäritet i kärnan kan man använda relationen B = µ

µ

H och utveckla ekvation (2.15), vilket ger

Ψ

= N

Φ

= N

B

A

= N

µ

µ

A

l

I

= L

I

(2.16) där L

är magnetiseringsinduktansen. Sålunda blir magnetiseringsinduktansen

L

= N

µ

µ

A

l

(2.17)

För krafttransformatorer är magnetiseringsströmmen oftast bara någon enstaka procent av märkströmmen. Därmed är det inte alltid nödvändigt att inkludera magnetiseringsström- men i beräkningar. Däremot, för trefastransformatorer enligt konstruktionen given i figur 2.5a, är inte flödesvägen genom benen lika för alla faserna. Detta leder till att magnetise- ringsströmmen blir osymmetrisk, vilket kan förstås utifrån att flödets medelväg är olika lång för de olika benen.

2.1.3 Konstruktion

Det finns två typer av transformatorndesign: kärnkonstruktion (core type) och mantelkon-

struktion (shell type). I allmänhet kan man säga att för kärnkonstruktion ser det ut som

att lindningarna omsluter kärnan, medan vid mantelkonstruktion verkar kärnan omslu-

ta lindningarna [1], se figur 2.5. Den vanligaste kärntypen för trefastransformatorer är den

trebenta kärnkonstruktioner där de tre benen står parallellt med varandra, ihopkopplade på

benens undersida och ovansida med horisontella ok [5], se figur 2.5a. I Sverige är trans-

formatorer av mantelkonstruktion mycket ovanliga.

(a) Kärnkonstruktion (b) Mantelkonstruktion

Figur 2.5: Exempel på två transformatorkonstruktioner [5].

Som tidigare nämnts så består en transformator av strömledare, lindade runt ett ferro- magnetiskt material för att inducera ett magnetfält genom materialet och därmed över- föra elektrisk energi från en krets till en annan. Strömledarna består av ett material med låg resistans, såsom koppar eller aluminium. Ledarna kan arrangeras på flera olika sätt (lindningstyper), t.ex. lagerlindningar, spiralformade lindningar, skivlindningar och foli- elindningar. Det som avgör vilken lindningstyp som används, beror i huvudsak på hur många lindningsvarv som behövs för att uppnå önskad styrka på magnetfältet, och hur stor strömmen är i lindningarna. På ABB i Ludvika används lagerlindningar framförallt till små eller medelstora transformatorer, men kan även användas i större transformato- rer för reglerlindningarna, men då används bara ett lager. Spiralformade lindningar kan ses som en variant av flerlagerslindningar, men med mellanrum mellan varje varv/tråd i lindningen. Spiralformade lindningar utvecklades för lindningar med hög ström, för att minska virvelströmsförlusterna. Skivlindningar används för lindningar med ett högt antal varv och en jämförelsevis låg ström. Ett viktigt användningsområde för skivlindningar är då lindningarna utsätts för hög varvspänning. Folielindningar är fördelaktiga för att minska produktionskostnaden då en ökad volym ska tillverkas [1].

Lindningskopplarens reglerlindning är fysiskt separerad [5] på transformatorn och består oftast av spiralformade lindningar eller lagerlindningar. För att skapa en jämn ampere- varvsbalans över benet så behöver varven mellan två steg vara jämt fördelade över lind- ningshöjden [1].

I en transformator består isolering och mekaniska stöd av cellulosamaterial som t.ex. pap- per eller presspan. Nedbrytningen av cellulosa är framförallt beroende av temperaturen.

Nedbrytningen påverkar inte de dielektriska egenskaperna särskilt, men minskar den me-

kaniska styvheten. Fukthalten måste hållas så låg som möjligt, under 1 %. Som jämförelse

kan nämnas att fukthalten på vanligt papper ligger runt 5 %. Isolervätskan består ofta av

mineralolja, men luft kan användas för enheter med låg spänning. För högre spänningar

kan SF

också användas [1].

KAPITEL 2. TEORETISKT RAMVERK 11

Magnetiska shuntar

I en transformator går majoriteten av det magnetiska flödet genom järnkärnan som har en hög permeabilitet. Det magnetiska läckfältet som uppstår i en transformator orsakar förluster. Det magnetiska läckfältet utgör grunden för läckreaktansen och används bl.a.

för att begränsa kortslutningsströmmen i elnätet. För att kontrollera läckflödet som bildas i lindningarna och minska tillsatsförlusterna kan magnetiska shuntar användas (se figur 2.6) [9].

Figur 2.6: Exempel på magnetiska shuntar [9].

2.1.4 Kopplingsarter

I trefassystem är faserna fysiskt sammankopplade, antingen i en gemensam punkt för alla tre faserna (stjärna/Y-koppling) eller två faser tillsammans i tre punkter (∆/D-koppling), se figur 2.7. I en Y-kopplad lindning är fasströmmen lika stor som linjeströmmen och spän- ningen över lindningarna är lika med huvudspänningen dividerat med

√ 3. I en ∆-kopplad lindning är fasströmmen lika med linjeströmmen dividerat med

√ 3 och spänningen över lindningarna är lika med huvudspänningen [1]. Exempel på andra kopplingstyper är Z- koppling (zig-zag), V-koppling, T-koppling, o.s.v. [5].

Fördelar med Y-kopplade lindningar enligt [5] är:

• Mer ekonomiska för högspänningslindningar.

• Har en tillgänglig neutral-punkt.

• Tillåter direkt jordning eller jordning genom en impedans.

• Tillåter en minskad isolationsnivå vid nolländen.

• Tillåter lindningskopplaren att ligga vid nolländen.

• Tillåter enfasbelastning där ström går genom nollan.

Figur 2.7: Olika kopplingstyper för transformatorer [10].

Fördelar med ∆-kopplade lindningar enligt [5] är:

• Mer ekonomiska vid hög ström och låg spänning.

• Kan tillgodose en specifik fasförskjutning i spänningen mellan primär- och sekun- därsidan.

• I kombination med Y-koppling kan nollföljdsimpedansen minskas.

• Kan kompensera för övertoner av nollföljdskaraktär.

Fördelar med Z-kopplade lindningar enligt [5] är:

• Låg nollföljdsimpedans.

• Ökar spänningsbalansen i systemet då lasten inte är jämnt fördelade mellan faserna.

Det är vanligt att en transformator är Y-kopplad på högspänningssidan och ∆-kopplad på

lågspänningssidan, t.ex. för aggregattransformatorer som utför aggregatberäkningar såsom

addition och medelvärde.

KAPITEL 2. TEORETISKT RAMVERK 13

2.1.5 Autokopplade transformatorer

De kopplingsarter som hittills nämnts är fullindade kopplingstyper, d.v.s. primär- och se- kundärlindningen är galvaniskt isolerade från varandra. Det finns även autokopplade (spar- kopplade) transformatorer, vilket innebär att låg- och högspänningen är seriekopplade i varje fas (se figur 2.8). Autokopplade transformatorer måste i praktiken vara YY-kopplade för att ha en gemensam nod [1] och släpper därför direkt igenom en nollföljdsström. Au- tokopplade transformatorer är fysiskt mindre och har mindre förluster än transformatorer med separata lindningar även om de har samma märkeffekt.

Figur 2.8: Linjediagram för en auto-kopplad transformator [5].

2.2 Shuntreaktorer

En shuntreaktor har en liknande struktur som en transformator men består bara av en lind- ning. Vanligen består shuntreaktorer av järnkärnor med integrerade luftgap för att få en lagom stor reaktans och för att kärnan inte signifikant ska mättas och bibehålla ett linjärt beteende [11].

Figur 2.9: Principbild av enfas shuntreaktor med luftgap [12].

Shuntreaktorers uppgift är att absorbera reaktiv effekt och därmed öka energieffektiviteten,

samt minska energiförluster i nätet. Komponenten används i huvudsak för att kompensera

för den reaktiva effekt som bildas i långa, lågt lastade, högspänningsledningar och i ka-

belsystem. Shuntreaktorer hjälper till att hålla spänningen inom önskade nivåer, vilket i sin

tur bidrar till en ökad spänningsstabilitet i systemet [13]. För att justera mängden absorbe-

rad reaktiv effekt (då lasten varierar över längre tidsintervall) kan shuntreaktorn inkludera

en lindningskopplare. Denna reaktortyp kallas variabel shuntreaktor (VSR). Shuntreakto-

rer kan kopplas in i nätet direkt till en ledning, eller via en tertiärlindning på en trelindad

transformator [14].

KAPITEL 2. TEORETISKT RAMVERK 15

2.3 Asymmetriska fel

I elnätet kan flera olika typer av fel inträffa och dessa är antingen symmetriska eller asym- metriska, men majoriteten av felen är asymmetriska. Felen kan kategoriseras som seriefel eller shuntfel. Seriefel (öppen krets) uppstår när obalanserade serieimpedanser uppstår längs en ledning och strömmens väg har brutits. Dessa fel är ofta orsakade av en bruten ledning. Shuntfel uppstår vanligen i distributionssystem och kan i sin tur delas upp i fyra kategorier: fas-till-jordfel, fas-till-fasfel, tvåfas-till-jordfel och trefas-till-jordfel (se figur 2.10). Enligt [15] är 70 % fas-till-jordfel, 15 % fas-till-fasfel, 10 % är tvåfas-till-jordfel och endast 5 % är trefas-till-jordfel (d.v.s. ett symmetriskt fel).

(a) Fas-till-jordfel (b) Fas-till-fasfel

(c) Tvåfas-till-jordfel (d) Trefas-till-jordfel

Figur 2.10: Olika typer av shuntfel [15].

2.3.1 Symmetriska komponenter

I ett trefassystem kan de tre faserna ha en ojämnt fördelad last mellan faserna, d.v.s. obalan- serad impedans. Detta kommer resultera i att strömmen i de tre faserna inte längre kommer vara lika stor och en ström genom jordledaren kommer uppstå. Det är möjligt att dela upp de givna fasströmmarna i tre komponenter: nollföljd (0), plusföljd (1) och minusföljd (2), se figur 2.11.

(a) Strömmen av ett asymmetriskt system

(b) Plusföljd (c) Minusföljd (d) Nollföljd

Figur 2.11: Obalanserade fasströmmar [10].

Följdkomponenter är ett artificiellt och matematiskt verktyg för att analysera elkraftsystem genom att representera obalanserade trefassystem med separata, balanserade systemvekto- rer med 120

fasrelation. Genom att använda symmetriska komponenter förenklas beräk- ning av obalanserade fasförhållanden, då fasförhållande och amplitud enkelt kan beräknas med vektoraddition [4]. Som figur 2.11 visar, kan fasströmmarna ( I ¯

, I ¯

och I ¯

) delas in i nollföljd, plusföljd och minusföljd enligt

I ¯

= ¯ I

+ ¯ I

+ ¯ I

I ¯

= α

I ¯

+ α ¯ I

+ ¯ I

I ¯

= α ¯ I

+ α

I ¯

+ ¯ I

(2.18)

KAPITEL 2. TEORETISKT RAMVERK 17

där α = e

. De tre fasernas kan formuleras med en transformationsmatris T för de symmetriska komponenterna enligt

T =





1 1 1

α

α 1 α α

1



 (2.19)

Ett obalanserat elnät kan representeras av plus-, minus- och nollföljdsnätverk, där plusfölj- den beskriver det balanserade systemet. I sekvensnätverk är plusföljdsimpedanserna och minusföljdsimpedanserna identiska för statiska komponenter, så som transformatorer och ledningar, men är olika i roterande maskiner. Vidare är det enbart plusföljdsnätverket som producerar elektromotorisk kraft (emk) i källspänningarna som är kopplade till elnätet. Det finns därmed ingen spänningskälla i minusföljdsnätverket och nollföljdsnätverket, dessa består enbart av impedanser. Detta illustreras i figur 2.12 där Z ¯

och Z ¯

är plus och minus Thévenin-impedansen till punkten p. Dessa kan antas vara lika i högspännings- system som domineras av den reaktiva impedansen från ledningar och transformatorer.

U ¯

är Thévenin-spänningen från källspänningarna, sedd från punkten p. Figur 2.12 kan beskrivas matematiskt som

U ¯

= ¯ U

− ¯ Z

I ¯

(2.20)

U ¯

= 0 − ¯ Z

I ¯

(2.21) U ¯

= 0 − ¯ Z

I ¯

(2.22)

(a) Plusföljdssystem. (b) Minusföljdssystem. (c) Nollföljdssystem.

Figur 2.12: Thévenin-ekvivalent sedd från punkten p i ett nätverk [10].

Nollföljdskomponenter

Nollföljdsimpedansen hos en transformator beror i huvudsak av kopplingsarten men även på kärntypen. I en transformator existerar bara nollföljdsimpedansen för Y- och Z-kopplade lindningar, och inte för ∆-kopplade lindningar, eftersom det inte finns någon neutralpunkt [1, 5].

Om nollföljd uppstår i spänningen skapas även nollföljd i flödet. Det leder i en trebent kärna till att flödet i oket lämnar kärnan och måste sluta sig i luften utanför kärnan och lindningarna [6]. Genom luften kommer flödet möta en hög reluktans, vilket skapar en låg spänning mellan fasuttagen och nollan, vilket leder till en relativt låg nollföljdsimpedans.

I en fembent kärna (samt mantelkonstruktion) kan flödet sluta sig genom de yttre benen, vilka kan anses som nästan reluktansfria då kärnan inte är mättad. Det gör att även små strömmar skapar en relativt hög spänning mellan fasuttagen och nollan, vilket leder till en hög nollföljdsimpedans [1, 5]. Nollföljdsspänning uppstår då en av faserna faller bort, antingen genom avbrott eller kortslutning [6].

I ∆-kopplade transformatorer utgör ∆-kopplade lindningar en kortslutning för nollföljds-

spänningen som induceras i trefaslindningarna. Detta skapar en motgående ström (i ∆-

lindningen) till den ström som matas in i transformatorn. Den totala nollföljdsimpedansen

blir då kvoten mellan den applicerade spänningen och strömmen som matas in i transfor-

matorn [1].

KAPITEL 2. TEORETISKT RAMVERK 19

2.4 Sekvensdiagram

Sekvensdiagram är impedansmodeller för att analysera felförhållanden. Transformatorer kan representeras med plus-, minus- och nollföljdsdiagram [16]. Transformatorns plus- och minusföljdskomponenter bestäms av tomgångs- och kortslutningsimpedanserna [5].

I ett tidigare arbete [3] uppmärksammas en stigande trend (över tiden) av tomgångsim- pedansen, och därför en högre nollföljdsimpedans. I följande avsnitt är diagrammen här- ledda från [16]. Eftersom avhandlingen analyserar transformatorer med kärnkonstruktion (bara en transformator är av mantelkonstruktion) kommer denna kärntyp vara den enda som behandlas i detta avsnitt. Sekvensdiagrammen som presenteras gäller för både tre- och fembenta transformatorer.

2.4.1 Fullindade tvålindningstransformatorer

För att representera ett sekvensnätverk så görs fyra antaganden. Det första är att lindning 1 och 2 befinner sig på samma ben. Vidare är Z

läckimpedansen mellan lindning 1 och 2, som vanligen anges i Ω eller procent. För att modellera magnetiseringsströmmen Z

(tomgångsimpedansen) antas magnetiseringsimpedansen vara identisk för båda lindning- arna och definieras som förhållandet mellan lindning n:s symmetriska trefasspänning och ström, d.v.s. V

/I

. Slutligen är transformatorns omsättning κ (alt. n), definierad enligt [16] som

κ = N

N

(2.23)

I de fall där magnetiseringsimpedansen kan försummas blir transformatorns omsättning lika med spänningsförhållandet

κ = U

U

(2.24)

d.v.s. samma som i ekvation (2.4). Spänningen över lindning 1 och 2 kan skrivas som U

= I

(R

+ jωL

) + I

· jωM

(2.25) U

= I

(R

+ jωL

) + I

· jωM

(2.26) där den ömsesidiga induktansen är

M

= K p

L

L

(2.27)

och L

och L

är självinduktansen hos lindning 1 och 2, samt K är kopplingskoefficienten, där K = 1 anger perfekt koppling. Ifall magnetiseringsströmmen kan försummas gäller även

κ · I

+ I

= 0 (2.28)

Detta ger ett uttryck för plus- och minusföljdsschemat sett från lindning 1 enligt U

− U

= I

R

+ κ

R

+ jω L

+ κ

L

− 2κM



(2.29)

där uttrycket inom hakparenteserna anger läckimpedansen Z

. Transformatorn kan där- med representeras av sekvensdiagram, där plus- och minusföljdsdiagrammet ges i figur 2.13, där U

= κU

är sekundärspänningen överreducerad till primärsidan.

Figur 2.13: Plus- och minusföljdsdiagram för en fullindad tvålindningstransformator.

Nollföljdsimpedansen beror på transformatorns inre och yttre kopplingar, vilka nämns i avsnitt 2.1.4. I figurerna anger Z

jordningsimpedansen mellan jord och lindning n. Om t.ex. lindning n är direktjordad blir Z

= 0 och om istället lindning n är isolerad gäller att Z

→ ∞. Utifrån [16], fås nollföljdsdiagrammet för en YY-koppling i figur 2.14 och en Y∆-koppling i figur 2.15.

Figur 2.14: Nollföljdsdiagram för en YY-koppling.

Figur 2.15: Nollföljdsdiagram för en Y∆-koppling.

KAPITEL 2. TEORETISKT RAMVERK 21

2.4.2 Fullindade trelindningstransformatorer

För trelindningstransformatorer så gäller liknande antagande som för tvålindningstrans- formator. Lindningarna 1, 2 och 3 har alla sin lindning på samma ben. Z

, Z

och Z

är läckimpedansen mellan de tre olika lindningarna. Transformatorns omsättningar ges av [16] enligt

κ

= U

U

= N

N

(2.30)

κ

= U

U

= N

N

(2.31)

då magnetiseringsimpedansen kan försummas. Nedan så erhålls de överreducerade spän- ningarna och strömmarna på lindningssida 1

U

= κ

U

, I

= I

κ

(2.32)

U

= κ

U

, I

= I

κ

(2.33)

Då magnetiseringsimpedanserna antas gå mot oändligheten fås

N

I

+ N

I

+ N

I

= 0 (2.34)

I

+ I

+ I

= 0 (2.35)

Spänningen över vardera lindningen är

U

= I

(R

+ jωL

) + I

· jωM

+ I

· jωM

(2.36) U

= I

· jωM

+ I

(R

+ jωL

) + I

· jωM

(2.37) U

= I

· jωM

+ I

· jωM

+ I

(R

+ jωL

) (2.38) där M fås på samma sätt som beskrivs i ekvation (2.27). Genom ekvation (2.36) – (2.38) kan spänningsfallet över de olika lindningarna beskrivas. För att få spänningsfallen sett från lindning 1 så appliceras ekvation (2.32), (2.33) och (2.35), vilket ger

U

− U

=I

(R

+ jω (L

− κ

M

− κ

M

+ κ

κ

M

))

− I

κ

R

+ jω κ

L

− κ

M

+ κ

M

− κ

κ

M

(2.39)

U

− U

=I

(R

+ jω (L

− κ

M

− κ

M

+ κ

κ

M

))

− I

κ

R

+ jω κ

L

− κ

M

+ κ

M

− κ

κ

M

(2.40) U

− U

=I

κ

R

+ jω κ

L

− κ

M

+ κ

M

− κ

κ

M

− I

κ

R

+ jω κ

L

− κ

M

+ κ

M

− κ

κ

M

(2.41) Från ekvationerna ovan fås impedansen för de tre lindningarna enligt

Z

= R

+ jω (L

− κ

M

− κ

M

+ κ

κ

M

) (2.42) Z

= κ

R

+ jω κ

L

− κ

M

+ κ

M

− κ

κ

M

(2.43) Z

= κ

R

+ jω κ

L

− κ

M

+ κ

M

− κ

κ

M

(2.44)

vilket ger

U

− U

=I

Z

− I

Z

(2.45) U

− U

=I

Z

− I

Z

(2.46) U

− U

=I

Z

− I

Z

(2.47) Läckimpedansen kan skrivas som

Z

= Z

+ Z

(2.48)

Z

= Z

+ Z

(2.49)

Z

= Z

+ Z

(2.50)

I figur 2.16 visas plus- och minusföljdsmodellen för en trelindningstransformator.

Figur 2.16: Sekvensdiagram för plus- och minusföljd av en fullisolerad trelindningstrans- formator.

Vidare ges nollföljdsdiagrammet för transformatorer med olika kopplingsarter. Figur 2.17

visar en YYY-kopplad transformator, figur 2.18 visar en YY∆-kopplad transformator och

figur 2.19 visar en Y∆∆-kopplad transformator.

KAPITEL 2. TEORETISKT RAMVERK 23

Figur 2.17: Nollföljdsdiagram för en YYY-koppling.

Figur 2.18: Nollföljdsdiagram för en YY∆-koppling.

Figur 2.19: Nollföljdsdiagram för en Y∆∆-koppling.

2.4.3 Autokopplade transformatorer

För en autokopplad transformator gäller samma sekvensdiagram för plus- och minusfölj- den som är angivet i avsnitt 2.4.1 för tvålindande (se figur 2.13) och i avsnitt 2.4.2 för trelindade (se figur 2.16) fullindade transformatorer. Som nämndes i avsnitt 2.1.4 måste autokopplade transformatorer vara YY-kopplade, vilket gör att Y∆- och Y∆∆-kopplade transformatorer utgår. Däremot finns YY-, YYY- och YY∆-autokopplade transformatorer, där nollföljdsdiagrammet för en YY-autokopplad visas i figur 2.20, en YYY-autokopplad i figur 2.21 och en YY∆-kopplad i figur 2.22. I figurerna är Z

jordimpedansen i de au- tokopplade lindningarnas gemensamma nollpunkt och autokopplingsfaktorn R bestäms enligt

R = U

− U

U

(2.51)

Figur 2.20: Nollföljdsdiagram för en YY-autokoppling, även kallas Yauto.

Fallet givet i figur 2.21 förutsätter att autokopplingspunkten är direktjordad, medan den

fullindade tertiärlindningen kan vara jordad via en impedans.

KAPITEL 2. TEORETISKT RAMVERK 25

Figur 2.21: Nollföljdsdiagram för en YYY-autokoppling där lindning 1 och 2 är autokopp- lade och lindning 3 är fullindad, även kallad YautoY.

Figur 2.22: Nollföljdsdiagram för en YY∆-autokoppling, även kallad Yauto∆.

2.5 Fabriksprov

När en transformator har tillverkats måste den gå igenom flera tester för att godkännas. De prov som är intressanta för denna studie att undersöka är den procentuella kortslutnings- impedansen, belastningsförlusten P

, nollföljdsimpedansen och nollföljdsförlusten.

Vid ett kortslutningsprov bestäms både belastningsförlusterna och kortslutningsimpedan- sen för transformatorn vid nominell frekvens och ström. Transformatorn matas på pri- märsidan, medan sekundärsidan hålls kortsluten, varvid mätningar utförs för varje lind- ningspar separat då lindningskopplaren ställs in i min-, huvud- och maxläge [17]. Med uppmätta effekt- (P

) och spänningsvärden (U

) kan den procentuella kortslutningsspän- ningen beräknas enligt

u

= 100 · U

U

[%] (2.52)

Ur detta kan man beräkna plusföljdsimpedansen och plusföljdsresistansen enligt Z

= u

100 U

S

[Ω] (2.53)

R

= P

S

U

S

[Ω] (2.54)

vilket ger plusföljdsreaktansen X

=

q

Z

− R

≈ Z

då Z

>> R

(2.55) Nollföljdsimpedansen kan beräknas genom

Z

= 3 U

I

[Ω] (2.56)

där U

är fas-till-jordspänningen och I

är nollpunktsströmmen som fås vid mätning. Där- efter kan nollföljdsresistansen beräknas enligt

R

= P

3

1

I

[Ω] (2.57)

där P

är den uppmätta förlustutvecklingen vid nollföljdsprovet. Slutligen kan man beräkna nollföljdsreaktansen enligt

X

= q

Z

− R

(2.58)

Kapitel 3 Metod

Som nämndes i avsnitt 1.2 är målet med avhandlingen att:

• Bestämma kvoten mellan noll- och plusföljdsimpedansen för de olika grupperna givna i tabell 1.1.

• Bestämma nollföljdsimpedansens realdel för de olika grupperna i tabell 1.1.

• Utreda kvoten mellan noll- och plusföljdsimpedansens beroende av lindningskopp- lingsläge och korrelationer mellan transformatorns olika lindningar.

• Undersöka om variationer går att relatera till olika transformatoregenskaper, såsom märkspänning, märkeffekt, tillverkare, tillverkningsår, kopplingsart och konstruk- tion.

Avsikten med metoden är att skapa en strategi för att uppfylla ovannämnda mål. Den till- gängliga datan presenteras i avsnitt 4 och anger antalet transformatorer i de olika grupper- na, samt aktuell konstruktion och kopplingsart. Antalet transformatorer av de olika tillver- karna, samt när transformatorerna tillverkades, presenteras även i detta avsnitt.

3.1 Filtrering

Datan från Svk tillhandahölls i en Excel-fil, där information om bland annat grupp, kon- struktion, kopplingsart, tillverkare, tillverkningsår, märkspänning och märkeffekt var gi- ven. Excel-filen gav även information om transformatorns lindningars uppmätta sekven- simpedanser och sekvensresistanser (nollföljd dividerat med plusföljd). Datakvalitén un- dersöktes och i de fall det inte var möjligt att korrigera eller förklara starkt avvikande kvoter mellan noll- och plusföljdsimpedansen, uteslöts data. Efter korrigeringen av avvi- kande kvoter var det två datapunkter som uteslöts, där en av dessa tillhandahöll information

27

om lindningskopplarläge. För beräkningar av kvoten mellan noll- och plusföljdsresistan- sen var det tre transformatorer med avvikande värden som också uteslöts, en från grupp 3 och två från grupp 5. Vidare saknade 15 transformatorer mätvärden för kvoten mellan noll- och plusföljdsimpedansen och ca 30 % saknade mätvärden för lindningskopplarläge, vilket kan bero på avsaknad av lindningskopplare.

3.2 Linjär regression

Modelleringen skapades genom linjär regression då en snabb analys av datan visar en linjär karaktäristik, samt förenklar analys mellan modellerna. Linjär regressionen använder minsta kvadratmetoden som går ut på att minimera

no

X

i=1

(y

− ˆ y

)

(3.1)

där n

är antalet observationer, y

är det observerade värdet och ˆ y är linjäriseringen av den observerade datan. Då MATLAB används för att analysera data, linjäriserades data genom funktionen fit som bland annat beräknar p

och p

i den linjära ekvationen

ˆ

y(x) = p

x + p

(3.2)

och ger information om modellens goodness of fit, d.v.s. hur god modellens anpassnings- grad är. Analysen av datan utfördes iterativt och fokuserade på de beroende som gav tydlig korrelation. Därmed utfördes inte modellering av kluster utan tydlig korrelation.

3.2.1 Öka tillförlitligheten

Minsta kvadratmetoden är känslig för avvikande värden då felet kvadreras. Därmed är det väsentligt att öka tillförlitligheteten av modellerna. I den här avhandlingen har två metoder undersökts: robustifering genom inbyggda funktioner och genom att exkludera avvikande värden.

Robustifiering

Modellens tillförlitlighet ökades genom att inkludera robusthet till modellen. MATLAB funktionen fit tillgodoser robusthet genom LAR (den minsta absoluta restmetoden) och Bisquare (bisquare viktmetoden). I den minsta absoluta restmetoden minimeras den abso- luta skillnaden av resedualerna så att extremvärdena har en mindre påverkan på modellen.

Bisquare viktmetoden fungerar genom att minimera den viktade kvadratiska summan (sum

of squares) där vikten beror på hur långt varje datapunkten ligger från den anpassade lin-

jära modellen. Det gör att punkter nära modellen får en högre vikt än punkter som ligger

långt borta från modellen.

KAPITEL 3. METOD 29

Sammanfattningsvis så antar LAR att alla punkter är lika viktiga även om de avviker från mängden och används vanligtvis då datamängden har få avvikelser. Då Bisquare används antas datan innehålla störningar och då man inte vill att störningarna ska påverka mo- dellen ges de en lägre vikt. Då datan som undersöktes i den här avhandlingen antas vara normalfördelad så används bisquare viktmetoden. För att säkerhetsställa detta antagande så skapades histogram av resedualerna från de skapade modellerna (se figur A.7 och A.9).

Filtrering av avvikande värden

Tillförlitligheten hos den linjära modellen kan också ökas genom att exkludera avvikande värden. Z

standardisering är en vanlig metod inom statistisk analys [18] som beräknas enligt

Z

= y

− ¯ y

σ (3.3)

där ¯ y är observationernas medelvärde och σ är standardavvikelsen hos observationerna.

Enligt [18] är en observation ett avvikande värde ifall |Z

| > 3.

Val av metod

De olika metoderna undersöktes och visas i figur A.6 och A.8 där inverkan av lindnings- kopplingsläge undersöktes. I sin helhet gav inkludering av robusthet genom bisquare vikt- metod en högre tillförlitlighet än att exkludera avvikande data (något att observera är att de avvikande värdena även gavs en lägre vikt i robustifieringsmetoden). Metoden som användes för att undersöka tillförlitligheten ges i nästa avsnitt.

3.3 Validering av modellen

För att undersöka modellernas tillförlitlighet och validera modellerna användes determi- nationskoefficienten R

och det kvadratiska medelvärdesfelet (RMSE). Determinations- koefficienten och det kvadratiska medelvärdesfelet är båda tillgodosedda genom MAT- LAB’s fit-funktion för att bestämma anpassningsgraden av de framtagna modellerna. Kon- fidensintervall och prediktionsintervall användes också för att bedöma tillförlitligheten, där smala intervall betyder en högre säkerhet hos modellen.

3.3.1 Determinationskoefficienten R ²

Determinationskoefficienten, angivet som R

, ger ett värde mellan 0 och 1. Modellen för-

klarar variationerna i datan då värdet är nära 1. För att beräkna determinationskoefficienten

krävs kunskap om den observerade datans medelvärde (¯ y) och de reseduala värdena (r

).