SYMMETRISKA MATRISER

SYMMETRISKA MATRISER

Definition 1. (Symmetrisk matris) En kvadratisk matris kallas symmetrisk om

A A^T =

Vi upprepar definitionen av en ortogonal matris Definition 1. ( Ortogonal matris )

En kvadratisk matris kallas ortogonal om

I AA A

A^T = ^T = d v s om A^T = A⁻¹ .

Egenskaper för symmetriska matriser

Vi har visat tidigare i kursen att en matris är diagonaliserbar om och endast om matrisen har n st linjäroberoende egenvektorer (kolla stencilen "Diagonalisering av en kvadratisk matris"). Man kan visa att detta krav är uppfyllt för en symmetrisk matris.

En symmetrisk matris är alltid diagonaliserbar. Dessutom kan vi välja ortonormerade egenvektorer. Här följer några satser om diagonaliserbarhet av symetriska matriser.

Sats 1 . (Egenvärden till symetriska matriser) För en symetrisk matris A gäller följande:

a) Alla egenvärden till A är reella tal.

b) Egenvektorer från olika egenrum är ortogonala.

Bevis för b delen.

Bevis 1. Låt λ1 och λ2 vara två olika egenvärden med motsvarande egenvektorerv och ₁ v . Vi visar först att 2 λ₁(v  ⋅₁ v₂)₌λ₂₍v  ⋅₁ v_2):

Vi har

2 1 2

1 1 2 1

1(v ⋅v )=(λ v )⋅v =(Av )⋅v

λ

=

=

=(Av₁)^Tv₂ v₁^TA^Tv₂ (A är en symetrisk matris) =v₁^TAv₂ = v₁^Tλ₂v₂ =λ₂₍v  ⋅₁ v₂₎

Vi har bevisat att λ₁(v  ⋅₁ v₂)₌λ₂₍v  ⋅₁ v₂₎. Härav följer )

( _{1 2}

1 v  ⋅v

λ _–λ_{2(v } ⋅_{1 v2)} =0 eller 0

) )(

(λ₁−λ₂ v ₁⋅v₂ = _(*)

Eftersom λ₁≠λ₂ implicerar (*) att v ₁⋅v₂ =0, dvs att egenvektorer från olika egenrum är ortogonala.

Bevis 2. (Alternativt bevis)

Vi beräknar (v1)^TAv2på två sätt och därför resultat måste vara lika:

I) (v1)^T Av2 =(v1)^T(Av2)=(v1)^Tλ2v2 =λ2(v1)^T v2 =λ2(v1⋅v2) (*) II) (v₁)^TAv₂ = ( A symmetrisk dvs A=A^T )

) ( )

( ) ( )

(v₁ ^TA^T v₂ = Av₁ ^Tv₂ = ₁v₁ ^T v₂ = ₁v₁^T v₂ = ₁ v₁⋅v₂

= λ λ λ _(**)

Därför λ₂(v  ⋅₁ v₂) ₌ λ_{1(v } ⋅_{1 v2)} eller ekvivalent 0

) )(

(λ₂−λ₁ v ₁⋅v₂ = (***)

Enligt antagande λ₂≠ och första faktorn i (***) är inte 0. Därför måste andra faktorn I λ₁ (***) vara 0 dvs (v ₁⋅v₂)=0

Sats 2. ( Spektralsatsen om ortogonal diagonalisering av en symmetrisk matris) Låt A vara en ortogonalt diagonaliserbar matris dvs det finns en ortogonal matris P och en diagonalmatris D sådana att A=PDP⁻¹ .

Då är A en symmetrisk matris.

Bevis: Anta A=PDP⁻¹. Eftersom P^T =P⁻¹ ( ortogonal matris) har vi att PDPT

A = (*)

Om vi transponerar båda leden i (*) får vi

( ) ( )

^{= = = ⇒}

= PDP P D P PDP A

A^{T T T T T T T T} A är en symmetrisk matris. (V. S.B.)

Satsen om egenvärden till och diagonalisering av en symetrisk reell matris kallas spektralsatsen.

Sats 3. ( Spektralsatsen om ortogonal diagonalisering av en symmetrisk matris) En symetrisk matris A är ortogonalt diagonaliserbar dvs det finns en ortogonal matris P och en diagonalmatris D sådana att

1

=PDP−

A

eller A =PDP^T ( eftersom P^T =P⁻¹ för en ortogonal matris).

Eftersom kolonner i en ortogonal matris P bildar en ortonormerad bas ( ON bas) i Rⁿ kan vi uttrycka satser 2 och 3 på följande sätt:

Sats 4. (symmetrisk matris och ortonormerade egenvätorer )

( En kvadratisk matrisen av typ n × är symmetrisk.) ⇔ (Man kan bilda en ON bas till n Rⁿ av matrisens egenvektorer.)

En direkt påföljd av sats 3 (eller 4) år att dim(E_λi)= den algebraiska multipliciteten för λi, för varje egenvärde som hör till en symmetrisk matris A.

Hur bestämmer man en ortogonal matris P som diagonaliserar en symmetrisk matris A?

För att bestämma en ortogonal matris P som diagonaliserar A gör vi enligt följande.

1. Vi bestämmer som vanligt egenvärden och egenvektorer till matrisen A.

2. Vi normerar de egenvektorer som hör till egenvärden vars algebr. multiplicitet är 1.

(Egenvektorer som hör till olika egenvärden är redan ortogonala mot varandra enlig sats 1.)

3. Om ett egenvärde λ_i har den algebraiska multipliciteten m>1 då är dim(E_λi)= den algebraiska multipliciteten för λ_i. De basvektorer som spänner upp egenrummet E_λi ortonormerar vi med Gram-Schmidt metoden. På detta sätt får vi en ortonormerad bas för

E_λi.

4. De ortonormerade basvektorer i 2 och 3 bildar kolonner i P.

Uppgift 1. Låt A= � 1 1/2

1/2 1 �. Bestäm en ortogonal matris som diagonaliserar A.

Lösning:

Vi bestämmer egenvärden, egenvektorer och därefter ortonormerar vektorerna.

𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑(𝐴𝐴 − 𝜆𝜆𝜆𝜆) = 0 ⇒ �(1 − 𝜆𝜆) 1/2

1/2 (1 − 𝜆𝜆)� = 0 ⇒ (1 − 𝜆𝜆)²− 1/4 = 0 ⇒ (1 − 𝜆𝜆)² = 1/4 ⇒ 1 − 𝜆𝜆 = ±1/2 𝜆𝜆1 = 3/2 och 𝜆𝜆2 = 1/2

Motsvarande egenvektorer är

𝑣𝑣⃗₁ = �11� 𝑜𝑜𝑜𝑜ℎ 𝑣𝑣⃗² = � 1−1�

Vektorerna är ortogonala.

Vi normerar vektorer och bildar P

𝑢𝑢�⃗₁ = 1

|𝑣𝑣⃗₁| 𝑣𝑣⃗¹ = �1/√2

1/√2� 𝑜𝑜𝑜𝑜ℎ 𝑢𝑢�⃗₂ = 1

|𝑣𝑣⃗₂| 𝑣𝑣⃗² = � 1/√2

−1/√2� Därmed är

𝑃𝑃 = �1/√2 1/√2 1/√2 −1/√2�

en ortogonal matris som diagonaliserar A dvs som uppfyller 𝐴𝐴 = 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃⁻¹ eller ekvivalent 𝐴𝐴 = 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃^𝑇𝑇 ( eller 𝑃𝑃^𝑇𝑇𝐴𝐴𝑃𝑃 = 𝑃𝑃).

Uppgift 2. ( Ortogonalt diagonalisering av en symmetrisk matris med en dubbelrot)

Låt A = �2 1 1 1 2 1

1 1 2�. Bestäm en ortogonal matris P som diagonaliserar A.

Lösning:

Vi bestämmer egenvärden, egenvektorer och därefter ortonormerar vektorerna.

𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑(𝐴𝐴 − 𝜆𝜆𝜆𝜆) = 0 ⇒ −𝜆𝜆³+ 6𝜆𝜆²− 9𝜆𝜆 + 4 = 0

För att finna en heltalslösning ( om en sådan finns) testar vi faktorer av 4 (konstant term i slutet av ekvationen) ,

dvs vi testar om det finns en lösning bland 1, -1, 2, –2 , 4,–4 och finner att 𝜆𝜆₁ = 1 är en lösning.

Polynomdivision (−𝜆𝜆³+ 6𝜆𝜆²− 9𝜆𝜆 + 4)/(𝜆𝜆 − 1) = −𝜆𝜆²+ 5𝜆𝜆 − 4.

Från ekvationen −𝜆𝜆²+ 5𝜆𝜆 − 4 = 0 får vi två lösningar till 𝜆𝜆₂ = 1 𝑜𝑜𝑜𝑜ℎ 𝜆𝜆₃ = 4 . Därmed har vi en dubbelrot 𝜆𝜆_1,2 = 1 och 𝜆𝜆₃ = 4

i) Substitutionen 𝜆𝜆 = 1 i (𝐴𝐴 − 𝜆𝜆𝜆𝜆)𝑣𝑣⃗ = 0�⃗ ger två oberoende (men inte ortogonala) vektorer 𝑣𝑣⃗1 = �−1

01 � och 𝑣𝑣⃗2 = �−1 10 �.

Vi ortoganaliserar de med hjälp av Gram-Schmidts metod och får en ny bas med ortogonala vektorer för egenrum som hör till 𝜆𝜆 = 1

𝑢𝑢�⃗₁ = 𝑣𝑣⃗₁ = �−1

01 � och 𝑢𝑢�⃗₂ = �−1/2

−1/21 �. ( Vi kan istället använda 2𝑢𝑢�⃗₂ = �−1

−12 � som är också ortogonal mot 𝑢𝑢�⃗₁ )

ii) Den egenvektor som tillhör egenvärdet 𝜆𝜆 = 4 är

𝑣𝑣⃗₃ = �1 11�

och är redan ortogonal mot alla vektorer i det första egenrummet (Egenvektorer för en symmetrisk matris från olika egenrum är ortogonala ).

Alltså har vi en bas med ortogonala vektorer

�−1

01 � , �−1

−12 � och �1 11�.

För att få en ORTONORMERAD bas delar vi varje vektor med dess längd. Därefter bildar vi 𝑃𝑃 = �−1/√2 −1/√6 1/√3

0 2/√6 1/√3

1/√2 −1/√6 1/√3

� som ortogonalt diagonaliserar A.

Uppgift 3. En matris har komplexa egenvärden 𝜆𝜆1 = 2 + 𝑖𝑖 och 𝜆𝜆2 = 2 − 𝑖𝑖.

Är matrisen symmetrisk ?

Svar. Nej. En symmetrisk matris har reella egenvärden.

Uppgift 4. Kan man bestämma en symmetrisk matris av typ 2×2 som har a) egenvärden 𝜆𝜆1 = 3 och 𝜆𝜆2 = 2

med motsvarande egenvektorer 𝑣𝑣⃗₁ = �11� 𝑜𝑜𝑜𝑜ℎ 𝑣𝑣⃗² = �12�

b) egenvärden 𝜆𝜆1 = 3 och 𝜆𝜆2 = 2

med motsvarande egenvektorer 𝑣𝑣⃗₁ = �−21 � 𝑜𝑜𝑜𝑜ℎ 𝑣𝑣⃗² = �12�

c) ett egenvärde 𝜆𝜆1 = 5 med den algebraiska multipliciteten 2.

med motsvarande egenvektorer 𝑣𝑣⃗₁ = �11� 𝑜𝑜𝑜𝑜ℎ 𝑣𝑣⃗² = �12�

d) ett egenvärde 𝜆𝜆1 = 5 med den algebraiska multipliciteten 2.

med motsvarande egenrummet 𝐸𝐸_𝜆𝜆1 = 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(�11�) ? Lösning:

Vi använder Sats 1 och undersöker om vi kan bilda en bas av ortonormerade egenvektorer.

a) Nej. Egenvektorer för en symmetrisk matris från olika egenrum måste vara ortogonala (Sats2) . I vårt fall 𝑣𝑣⃗1 = �11� och 𝑣𝑣⃗² = �12� som tillhör olika egenvärden 𝜆𝜆₁ = 3, 𝜆𝜆₂ = 2 är inte ortogonala.

Anmärkning: Matrisen

𝐴𝐴 = 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃⁻¹= 



 



 −

=



 





−

 −



 







 





1 2

1 4 1 1

1 2 2 0

0 3 2 1

1

1 ,

som har givna egenvärden och egenvektorer , är diagonaliserbar men inte symmetrisk.

b) Ja. Matrisen har 2 ortogonala vektorer (som vi kan normera, om vi vill) och därför, enligt Sats 1. är matrisen symmetrisk:

(Matrisen är symmetrisk.) ⇔(Vi kan bilda en ON bas av matrisens egenvektorer.)

Vi kan även bestämma A:

𝐴𝐴 = 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃⁻¹= 



 





−

= −



 





−

−

⋅ −

⋅ −



 







 



−

11 2

2 14 5 1 2 1

1 2 ) 5 (

1 2 0

0 3 2 1

1

2 ,

c) Ja. Den karakteristiska ekvationen har en dubbelrot 𝜆𝜆1 = 5 med motsvarande egenvektorer 𝑣𝑣⃗1 = �11� 𝑜𝑜𝑜𝑜ℎ 𝑣𝑣⃗² = �12� som vi kan ortonormera , t ex med Gram- Schmidt metoden, och bilda en ON bas som består av egenvektorer.

(Vi kan bilda en ON bas av matrisens egenvektorer.)⇔( Matrisen är symmetrisk.) Anmärkning 1: Vi har inte krav i vår uppgift att bestämma en ON bas. Om vi vill endast bestämma A som har givna egenvektorer/ egenvärden kan vi räkna direkt , (utan att normera egenvektorer)

𝐴𝐴 = 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃⁻¹= 



 



=



 





−

 −



 







 





5 0

0 5 1 1

1 2 5 0

0 5 2 1

1

1 ,

Anmärkning 2: Lägg märke till att alla vektorer i R² förutom 0

är egenvektorer eftersom 𝐸𝐸𝜆𝜆₁ = 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(�11�,�1

har dimension 2 och därmed spänner upp hela rummet R2�) ² .

d) Nej. Matrisen är inte alls diagonaliserbar ( endast en oberoende egenvektor ).

Uppgift 5. Bestäm en symmetrisk matris av typ 2×2 som har ett egenvärde 𝜆𝜆1 = 1 med motsvarande egenvektor 



 



= 1 1

v1 och ett

egenvärde 𝜆𝜆2 = 2 . (Tips: Bestäm först en egenvektor v som svarar mot 𝜆𝜆2 2.)

Lösning: Egenvektorer som tillhör olika egenvärden ( dvs som tillhör olika egenrum) är ortogonala, därmed är v ortogonal mot ₂ v . Beteckna ₁ 



 



= y

v₂ x . Från v ₁⋅v₂ =0har vi

x+y=0 och x= –y. Därmed är 



 



−

t

t ortogonal mot 



 



 1

1 för varje t.



 



= 1 1 v1



 



=−

1 1 v2

Vi väljer en vektor för v t ex ₂ 



 



=−

1 1

v2 och bildar matrisen P= 



 



 −

1 1

1

1 . Då är



 





= −

−

1 1

1 1 2

1 1

P . Slutligen har vi

1

=PDP−

A



 





−

= −



 





−

= −



 





 −



 



 −

=



 





 −



 







 



 −

= 1/2 3/2

2 / 1 2 / 3 3

1 1 3 2 1 1 1

1 1 2 1

2 1 2 1 1 1

1 1 2 0

0 1 1 1

1 1 2 1

Svar: 



 





−

= −

2 / 3 2 / 1

2 / 1 2 / A 3

Uppgift 6. Kan man bestämma en symmetrisk matris av typ 3×3 som har egenvärden 𝜆𝜆1 = 3 och 𝜆𝜆2,3 = 2 , (dvs en dubbel rot 𝜆𝜆 = 2 )

med motsvarande egenrum 𝜆𝜆 = 3, 𝐸𝐸_(𝜆𝜆=3) = 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 �−2

02 � ,

𝜆𝜆 = 2 (𝑑𝑑𝑢𝑢𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑟𝑟𝑜𝑜𝑑𝑑), 𝐸𝐸(𝜆𝜆=2) = 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(�−1

−12 � , �0 20� ).

Svar: Ja.

1. Först: Matrisen A, av typ 3×3, har tre linjärt oberoende ( kontrollera själv) egenvärden och därmed är matrisen diagonaliserbar.

2. Egenvektorer som tillhör olika egenvärden ( dvs som tillhör olika egenrum) är ortogonala:

För 𝑣𝑣⃗₁ = �−2

02 � från 𝐸𝐸_(𝜆𝜆=3) och 𝑣𝑣⃗₂ = �−1

−12 �, 𝑣𝑣⃗₃ = �0

20� från 𝐸𝐸_(𝜆𝜆=2) gäller 𝑣𝑣⃗₁∙ 𝑣𝑣⃗₂ = 0 och 𝑣𝑣⃗₁∙ 𝑣𝑣⃗₃ = 0 .

3. Två basvektorer 𝑣𝑣⃗₂, 𝑣𝑣⃗₃ ( som inte är ortogonala men tillhör samma egenrum) från underrummet 𝐸𝐸_(𝜆𝜆=2) = 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(�−1

−12 � , �0

20� ) kan vi ortogonalisera och även ortonormera ( Gram_Schmidt). På detta sätt får vi en bas med tre ON egenvektorer som betyder att matrisen A, av typ 3×3, är ortogonal diagonaliserbar och därmed symmetrisk.

Uppgift 7. Kan man bestämma en symmetrisk matris av typ 3×3 som har egenvärden 𝜆𝜆₁ = 3 och 𝜆𝜆_2,3 = 2 , (dvs en dubbel rot 𝜆𝜆 = 2 )

med motsvarande egenrum 𝜆𝜆 = 3, 𝐸𝐸_(𝜆𝜆=3) = 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 �−2

02 � , 𝜆𝜆 = 2 (𝑑𝑑𝑢𝑢𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑟𝑟𝑜𝑜𝑑𝑑), 𝐸𝐸(𝜆𝜆=2) = 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(�−1

−12 � , �0 11� ).

Svar: Nej . Egenvektorer för en symmetrisk matris som tillhör olika egenvärden ( dvs som tillhör olika egenrum) måste vara ortogonala men i vårt fall

𝑣𝑣⃗₁ = �−2

02 � från egenrummet 𝐸𝐸_(𝜆𝜆=3) och 𝑣𝑣⃗₃ = �0

11� från egenrummet 𝐸𝐸_(𝜆𝜆=2) är INTE ortogonala.

Uppgift 8. Bestäm en symmetrisk 3×3-matris A med följande två egenskaper:

1. Matrisen har ett egenvärde 𝜆𝜆 = 3 med den algebraiska multipliciteten =2.

Motsvarande egenvektorer "ligger i " planet ( dvs är parallella med planet) 0

3

2 − =

− y z

x

2. Matrisen har ett egenvärde 𝜆𝜆 = 1 med den algebraiska multipliciteten = 1.

Lösning: Två egenvektorer från egenrummet 𝐸𝐸₃ som svarar mot 𝜆𝜆 = 3 bestämmer vi genom att välja två linjärt oberoende vektorer som ligger i planet

0 3

2 − =

− y z

x Punkten O(0,0,0) ligger i planet.

Om vi t ex väljer z =0 , y=1 får vi x=2 och punkten M(2,1,0)

Om vi t ex väljer y =0 , z=1 får vi x=3 och punkten N(3,0,1) som ligger i planet.

Därmed har vi två linjärt oberoende ( kolla själv) vektorer 𝑣𝑣⃗1 = 𝑂𝑂𝑂𝑂������⃗ = �2

10� och 𝑣𝑣⃗2 = 𝑂𝑂𝑂𝑂������⃗ = �3 01�

som ligger i planet och är därmed egenvektorer för matrisen A.

För att få en symmetrisk matris måste vi välja den tredje egenvektor ortogonal mot de första två (Egenvektorer för en symmetrisk matris från olika egenrum måste vara ortogonala (Sats2))

Vi kan till exempel välja en vektor som är parallell med 𝑣𝑣⃗₁× 𝑣𝑣⃗₂.

𝑣𝑣⃗₃ = 𝑣𝑣⃗₁ × 𝑣𝑣⃗₂ = � 1

−2−3� Låt P vara matrisen vars kollon är 𝑣𝑣⃗₁, 𝑣𝑣⃗₂, 𝑣𝑣⃗₃

𝑃𝑃 = �2 3 1 1 0 −2 0 1 −3� Vi beräknar 𝑃𝑃⁻¹= ₁₄¹ �2 10 −6

3 −6 5

1 −2 −3� och A=PDP⁻¹ = ¹₇ �20 2 3

2 17 −6

3 −6 12� .

Anmärkning: Vi skulle få samma svar om vi först bestämde en ON bas av egenvektorer. Denna metod skulle kräva lite mer beräkning.

Svar:

𝐴𝐴 = 1 7 �

20 2 3

2 17 −6

3 −6 12�

Uppgift 9. Bestäm en symmetrisk 3×3-matris A med följande två egenskaper:

1. Matrisen har ett egenvärde 𝜆𝜆 = 2 med den algebraiska multipliciteten =1.

Motsvarande egenvektorer "ligger på " linjen ( dvs är parallella med linjen)

�𝑥𝑥

𝑦𝑦𝑧𝑧� = t �2 21�

2. Matrisen har ett egenvärde 𝜆𝜆 = 5 med den algebraiska multipliciteten = 2.

Lösning: Vi ska bestämma tre linjärt oberoende egenvektorer men de som ligger i olika egenrum måste vara ortogonala.

En egenvektor som tillhör 𝐸𝐸_(𝜆𝜆=2) är 𝑣𝑣⃗₁ = �2

21� ( lijens riktningsvektor)

Vi väljer två linjärt oberoende egenvektorer 𝑣𝑣⃗₂, 𝑣𝑣⃗₃ som tillhör 𝐸𝐸_(𝜆𝜆=5) .

De två måste vara vinkelrätta mot 𝑣𝑣⃗1 ( I en symmetrisk matris är egenvektorer från olika egenrum ortogonala )

Vi kan välja t ex 𝑣𝑣⃗2 = � 2

−20 � och 𝑣𝑣⃗3 = � 1

−20 �. De är linjärt oberoende och dessutom vinkelräta mot 𝑣𝑣⃗₁.

𝑣𝑣⃗1 ∙ 𝑣𝑣⃗2 = 0, 𝑣𝑣⃗1∙ 𝑣𝑣⃗3 = 0

Anmärkning: Vektorerna 𝑣𝑣⃗2 och 𝑣𝑣⃗₃ behöver inte vara ortogonala sinsemellan eftersom de tillhör samma egenrum, men självklart, om vi vill, kan vi ortonormera de. Detta är onödigt i den här uppgiften)

Låt P vara matrisen vars kollon är 𝑣𝑣⃗₁, 𝑣𝑣⃗₂, 𝑣𝑣⃗₃

𝑃𝑃 = �2 2 1

2 −2 0

1 0 −2�

Vi beräknar 𝑃𝑃⁻¹= ₁₈¹ �4 4 2

4 −5 2

2 2 −8� och A=PDP⁻¹ = ¹₃ �11 −4 −2

−4 11 −2

−2 −2 14� Svar: 𝐴𝐴 = ¹₃ �11 −4 −2

−4 11 −2

−2 −2 14�

Låt A vara en symmetrisk matris med givna egenvärden λ_1,λ_k−1,λ_k. Om

motsvarande egenrum E_λ1,E_λk−1 är givna ( alla förutom E_λk ) då kan vi bestämma E_λk genom att utnyttja följande fakta :

1. en symmetrisk matris är diagonaliserbar, därmed )=

dim(E_λi den algebraiska multipliciteten för λ_i ( för en symmetrisk matris) 2. egenvektorer för en symmetrisk matris som hör till olika egenvärden är ortogonala

Uppgift 10. Låt A vara en symmetrisk matris av typ 3×3 som har en enkel rot λ_1med motsvarande egenrummet

































=

1 2 1

1 span

Eλ och en dubbelrot λ_2.

a) Bestäm E b) Bestäm A om λ2 λ_{1=0 och} λ₂ =₁ Lösning: Vi använder fakta att

1. en symmetrisk matris är diagonaliserbar (därmed har vår matris 3 linjärt oberoende egenvektorer) och

2. att egenvektorer som hör till olika egenvärden är ortogonala.

Därför har E dimension 2 och vektorer som ligger i λ₂ E är ortogonala mot λ₂















 1 2 1

.

Låt

















= z y x

v vara en godtycklig vektor i E . Då gäller λ₂

0 1 2 1

=

















⋅















 z y x

dvsx+2y+z=0.

Ekvationen x+2y+z=0 har två fria variabler y=s och z=t. Härav x=−2s−t =0och därför















−

+















−

=















− −

=

















1 0 1 0

1 2 2

2

t s

t s

t s

z y x

Därmed är































−















−

=

1 0 1 , 0 1 2

2 span

E_λ .

b) Vi har tre linjärt oberoende egenvektorer och kan bilda















 − −

=

1 0 1

0 1 2

1 2 1

P .

Först beräknar vi

















−

−

−

−

− =

5 2 1

2 2 2

1 2 1 6 1

P 1 (kontrollera själv)

och slutligen

















−

−

−

−

−

−

=

= ⁻

5 2 1

2 2 2

1 2 5 6 1 PDP 1

A .

Uppgift 11. ( Jämför upp 9 ten 5 maj 2014) Låt A vara en symmetrisk matris av typ

4×4 som har en enkel rot λ₁med motsvarande egenrummet





































=

0 0 1 1

1 span

Eλ , en

enkel rot λ₂ med motsvarande egenrummet





































=

2 1 0 0

2 span

Eλ och en dubbelrot λ3.

Bestäm E λ3

Lösning: Vi använder fakta att

1. en symmetrisk matris är diagonaliserbar (därmed har vår matris 4 linjärt oberoende egenvektorer) och

2. att egenvektorer som hör till olika egenvärden är ortogonala.

Därför har E dimension 2 och vektorer som ligger i λ₃ E är ortogonala mot λ₃

















0 0 1 1

och

mot

















2 1 0 0

. Alltså, för en godtyckligt vektor

















w z y x

i E har vi λ₃

ekv 1: 0

0 0 1 1

=

















⋅

















w z y x

och ekv 2: 0 2 1 0 0

=

















⋅

















w z y x

som ger systemet

0 2

0

= +

= +

w z

y

x . Två fria variabler y=s och w=t . Lösningen x −= s, y = , s z=−2t, w =t kan vi skriva på formen















 + −















−

=

















−

−

=

















1 2 0 0

0 0 1 1

2 s t

t t s

s

w z y x

. Alltså är





































 −















−

=

1 2 0 0 , 0 0 1 1

3 span

E_λ .

==========================================================

Några teoretiska uppgifter.

I nedanstående uppgifter använder vi att skalärprodukten u  ⋅ (= uv v  ⋅ ) kan skrivas som matrisprodukten u^Tv (=u^Tv).

T1. Låt A vara en symmetrisk matris av typ n × . Låt u och v vara två n n-dimensionella kolonnvektorer. Då är A och vu A också kolonnvektorer.

Visa att Au⋅v=u⋅Av för alla u och v i Rⁿ . Bevis:

v A u v A u v

A u v u A ukt matrisprod v

u

A⋅=( )=( )^T=^{T T}=(Asymmetrisk) = ^T = ⋅  V.S.B.

===========================================

I följande uppgifter använder vi komplexa tal. Här är kort sammanfattning om grundläggande räknelagar.

Om z=a+bi och a ∈,b R då gäller:

a kallas realdelen av z och betecknas Re(z) b kallas imaginärdelen avz och betecknas Im(z)

bi

a − kallas konjugatet till z och betecknas z

2

2 b

a + kallas absolutbeloppet av z och betecknas | z|

Följande relationer används vid olika beräkningar:

2 2 2 2

) 2

)(

(a+bi a−bi =a −b i =a +b Med andra ord: z =⋅z | z|²

z

z = om och endast om z är ett reellt tal.

Räknelagar för komplexkonjugering w

z w z+ )= +

( , (z⋅w)=z⋅w,

w z wz =



 





Exempel 1. Låt z=−5−3i. Bestäm Re(z), Im(z), z , | z|och z ⋅ z Lösning: Re(z)=−5, Im(z)=−3, z =−5+3i,

34 )

3 ( ) 5 (

|

|z = − ²+ − ² = ,

34 9 25 9

25 ) 3 5 )(

3 5

(− − − + = − ² = + =

=

⋅z i i i

z .

Exempel 2. Låt z₁ =−2−3i och z₂ =−1+2i. Beräkna a) z + b) ₁ z₂ z ⋅ och c) ₁ z₂

2

zz 1

Lösning: a) z₁+z₂ =(−2−3i)+(−1+2i)=−3−i

b) z₁⋅z₂ =(−2−3i)(−1+2i)=2+3i−4i−6i² =2+3i−4i+6=8−i

c) i i

i i i i i

i i

i i

i z

z

5 7 5

4 5

7 4 4

1

6 4 3 2 2 1

2 1 2 1

3 2 2 1

3 2

2 2 2

1 = − + =−− +

− + +

= +

−

−

−

⋅− +

−

−

= − +

−

−

=−

Konjugatet till en radvektor v = (z₁,...,z_n) är v = (z₁,...,z_n). På samma sätt definieras konjugatet till en kolonnvektor och konjugatet till en matris.

Om A =[a_ij] är en n × då är m A =[a_ij].

Exempelvis, om 



 





−

−

= +

i i A i

5 5

) 4 3 ( ) 2

( då är 



 



 − +

= i

i A i

5 5

) 4 3 ( ) 2

( .

Det är enkelt att visa att för konjugering av en matrisprodukt gäller AB = AB. ---

T2. Låt A vara en reell kvadratisk matris av typ n × som har ett komplext egenvärde n λ med tillhörande egenvektor v . Visa att λ är också ett egenvärde med tillhörande egenvektor v .

Bevis. Vi konjugerar båda sidor i Av=λv och får

⇒

=

⇒

= v Av v

v

A λ  λ (eftersom A är en reell matris) Av=λv V.S.B ---

Nu kan vi bevisa följande viktiga sats.

T3. Låt A vara en reell symmetrisk matris av typ n × . Visa att alla matrisens n egenvärden är reella tal.

Bevis. Låt λ vara ett egenvärde med tillhörande egenvektor v. Alltså Av=λv. Enligt T2 gäller också Av=λv. Vi ska visa att λ= som betyder att λ λär ett reellt tal.

Vi beräknar

v v v v v A v v

A v v v A v v v

v^T λ ^T  ^T ^{T T} ^T  ^Tλ λ^T λ( )=( ) =( ) = =( Aär symmetrisk )= = = .

Alltså har vi visat att ) ( )

(v^Tv λ v^Tv

λ = (*)

Notera att v är ett reellt tal 0^Tv ≥ (förklara varför). Vektorn v är en egenvektor och därmed skild från 0. Därmed är v^Tv>0. Vi delar (*) med v^Tv>0och får

λ

λ= . Med andra ord är λett reellt tal, V.S.B.

---

Här bevisar vi spektralsatsen för 2x2 matriser.

T4. Låt A vara en reell symetrisk 2x2 matris. Bevisa att A är ortogonalt

diagonaliserbar dvs det finns en ortogonal matris P och en diagonalmatris D sådana att D

AP

P^T = ( eller A=PDP ). ^T Bevis.

Den karakteristiska ekvationen det(A– λI)=0 har två reella (enligt T3) lösningar λ_1och λ2 (det kan hända att λ₁₌λ_{2). Låt} v vara en enhetsegenvektor och w en enhetsvektor i ₁ R² som är ortogonal mot v . Då har ₁ P=[v₁,w] ortonormerade kolonner och är därmed en ortogonalmatris, (dvs P^TP= ). I

För matrisen P^TAPhar vi

 =



 



= ¹ A[v₁,w] w

AP v

P^{T T}_T  



 (Blockmatris-multiplikation)

=



 



=



 



=

w A w v A w

w A v v A w v

A v w A v

T T

T T

T T















 

 



1 1 1 1 1

1 [ , ] (eftersomAv₁=λ₁v₁)

=



 



=



 



=

w A w v w

w A v v v w

A w v w

w A v v v

T T

T T T

T

T T

































1 1

1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

λ λ λ

λ (eftersomv₁^Tv₁ =1 ochw^Tv₁=0)

=



 



=

w A w

w A v

T T







 0

1

λ1

( eftersom, som i T1, v₁^TAw =v₁^TA^Tw =(Av₁)^Tw =λ₁v₁^Tw =0₎



 



=

w A w^T  0

1 0

λ .

Alltså har vi visat att det finns en ortogonal matris P=[v₁,w] och en diagonalmatris



 



=

w A D 0 w_T 

1 0

λ sådana att P^TAP= V.S.B. D

Anmärkning. Med hjälp av matematisk induktion visar vi att spektralsatsen gäller för reella symetriska matriser av typ n × . n

---

Tentamen 6 april 2021. Uppgift 6.