SKLADOVÁNÍ PLYNU

Fakulta mechatroniky, informatiky a mezioborových studií

Studijní program: N 3901 – Aplikované vˇedy v inženýrství Studijní obor: 3901T025 – Pˇrírodovˇedné inženýrství

P ROCESY GEOMECHANIKY V ÚLOHÁCH PODZEMNÍHO

SKLADOVÁNÍ PLYNU

G EOMECHANICAL PROCESSES IN UNDERGROUUND GAS STORAGE

PROBLEMS

D IPLOMOVÁ PRÁCE

Autor: Bc. Filip Zelinka

Vedoucí práce: Doc. Ing. Otto Severýn, Ph.D.

Konzultant: Doc. Ing. Milan Hokr, Ph.D.

V Liberci 20. 5. 2011

Originál zadání práce Obsahuje zadání práce s originálem podpis˚u (vedoucí ústavu a dˇekan fakulty). Zadání DP a BP je oboustranné, v pˇrípadˇe jednostranného tisku se poˇcítá jako jediná stránka (ˇcíslo 2), v pˇrípadˇe oboustranného tisku je poˇcítáme jako dvˇe strany (3 a 4).

Prohlášení

Byl jsem seznámen s tím, že na mou diplomovou práci se plnˇe vztahuje zákon ˇc. 121/2000 Sb., o právu autorském, zejména § 60 – školní dílo.

Beru na vˇedomí, že Technická univerzita v Liberci (TUL) nezasahuje do mých au- torských práv užitím mé diplomové práce pro vnitˇrní potˇrebu TUL.

Užiji-li diplomovou práci nebo poskytnu-li licenci k jejímu využití, jsem si vˇedom povinnosti informovat o této skuteˇcnosti TUL; v tomto pˇrípadˇe má TUL právo ode mne požadovat úhradu náklad˚u, které vynaložila na vytvoˇrení díla, až do jejich skuteˇcné výše.

Diplomovou práci jsem vypracoval samostatnˇe s použitím uvedené literatury a na zák- ladˇe konzultací s vedoucím diplomové práce a konzultantem.

Datum: 20.5. 2011

Podpis:

Na tomto místˇe bych chtˇel podˇekovat Doc. Ing. Ottovi Severýnovi, Ph.D. za odborné vedení diplomové práce, za cenné informace a pˇripomínky, bez nichž by práci nebylo možné napsat. Dále dˇekuji spoleˇcnosti RWE Gas Storage, s.r.o. za to, že jsem mohl být souˇcástí jejího stipendijního programu. Na závˇer bych rád podˇekoval mým blízkým za podporu poskytovanou nejen pˇri psaní této práce, ale po celou dobu mého studia.

Dˇekuji.

Abstrakt

Tato diplomová práce se zabývá modelováním geomechanických proces˚u v podzem- ních zásobnících plynu. Práce je rozdˇelena do pˇeti kapitol.

V první kapitole jsou uvedeny nˇekteré ze základních vlastností hornin a tekutin.

Jsou zde zmínˇeny geomechanické vztahy a vztahy popisující proudˇení kapaliny porézním prostˇredím.

Druhá kapitola je vˇenována podzemním zásobník˚um plynu. Jsou zde uvedeny jejich typy a využití. Je zde popsána jejich struktura a obecné požadavky, které musí každý podzemní zásobník plynu splˇnovat.

Tˇretí kapitola je vˇenována struˇcnému popisu použitého softwaru, program˚um Eclipse a Petrel.

Ve ˇctvrté kapitole jsou uvedeny modelové úlohy, které sloužily k seznámení se s výše uvedenými programy. Byly na nich testovány dva typy geometrie (radiální, kartézská) a dva možné zp˚usoby jak definovat kapalinu (blackiol, kompozit). Tyto poznatky pak byli zúroˇceny v modelu uvedeném v následující kapitole.

Tím byl model podzemního zásobníku plynu aquiferového typu, na kterém byla ovˇeˇrována tˇesnost nadložní vrstvy pˇri r˚uzných tˇežebních/vtláˇcecích výkonech. Získané výsledky, byly shrnuty a vyhodnoceny v závˇereˇcné ˇcásti práce.

Klíˇcová slova

podzemní zásobník plynu, aquifer, geomechanika, Eclipse

This dissertation deals with modeling of geomechanical processes in underground storage of gas. The structure of this work is divided into five chapters.

In the first chapter is some basic properties of rocks and fluids. Geomechanical relation- ships and relationships that describes a multi phase flow in porous medium.

The second chapter is devoted to the underground storage of gas, its types and uses. It de- scribes the structure and general requirements that must meet each underground storage of gas. In the third chapter is describe use software. Programs Eclipse and Petrel.

The fourth chapter describes the models that were used for learning with programs. They were tested two types of geometry (radial and cartesian) and two possible ways to define a fluid (blackiol, composite). These knowlege were then used in the following chapter.

This was the underground gas storage of aquifers model. And was tested the tightness layers in overburden. The results were summarized and evaluated in the final part.

Keywords

underground gas storage, aqufer, geomechanics, Eclipse

Obsah

Prohlášení iii

Abstrakt v

Abstrakt vi

Seznam obrázk ˚u xi

1 Fyzikální vlastnosti a vztahy užívané v geomechanice 2

1.1 Vlastnosti hornin . . . 2

1.1.1 Porozita . . . 3

1.1.2 Saturace. . . 3

1.1.3 Hustota . . . 3

1.1.4 Objemová hmotnost . . . 3

1.1.5 Koeficient hydraulické vodivosti . . . 4

1.1.6 Propustnost . . . 4

1.2 Vlastnosti tekutin . . . 5

1.2.1 Idéální kapalina . . . 6

1.2.2 Skuteˇcná kapalina . . . 6

1.2.3 Ideální plyn . . . 7

1.2.4 Stavová rovnice ideálního plynu . . . 7

1.2.5 Stavová rovnice reálného plynu . . . 7

1.3 Proudˇení tekutin . . . 10

1.3.1 Darcyho zákon . . . 10

1.3.2 Popis proudˇení v prostoru . . . 11

1.3.3 Rovnice proudˇení plynu . . . 16

1.4 Dvoufázové proudˇení . . . 17

1.5.1 Napˇetí . . . 19

1.5.2 Deformace tˇelesa . . . 22

1.5.3 Hook˚uv zákon . . . 24

1.5.4 Obecný Hook˚uv zákon . . . 25

1.5.5 Efektivní napˇetí . . . 26

1.6 Jednofázové proudˇení v deformovatelném prostˇredí . . . 28

2 Podzemní zásobníky plynu 31 2.1 Motivace skladování zemního plynu . . . 31

3 Použitý software 38 3.1 Eclipse. . . 38

3.2 Petrel . . . 47

4 Úlohy v programu Eclipse 48 4.1 Souˇradné systémy v Eclipse . . . 48

4.1.1 Kartézský model . . . 48

4.1.2 Radiální model . . . 51

4.2 Modely tekutiny v Eclipse . . . 54

4.2.1 Kompozitní model . . . 54

4.2.2 Blackoil model . . . 58

5 Modelování tˇesnosti PZP 61 5.1 Model PZP . . . 61

5.2 Lokální zjemnˇení sítˇe . . . 65

5.3 Simulace tˇežebního cyklu v PZP . . . 66

5.4 Limity horniny . . . 69

A Pˇríloha 73

B Pˇríloha 74

Literatura a Zdroje 78

Obsah pˇriloženého DVD 80

1.1 Rozložení fází ve vzorku [8] . . . 2

1.2 a) efektivní a b) relativní propustnosti v závislosti na vodní saturaci. . . . 5

1.3 Kritický bod . . . 6

1.4 Darcyho experiment . . . 11

1.5 Elementární objem . . . 12

1.6 Vývoj kapilárního tlaku . . . 18

1.7 Rez tˇelesemˇ . . . 20

1.8 Složky napˇetí v tˇelese . . . 21

1.9 Tenzor deformace . . . 23

1.10 Tlaková zkouška vzorku horniny [8] . . . 24

1.11 Rozložení napˇetí v plnˇe saturované horninˇe [6] . . . 26

1.12 Rozložení napˇetí v horninˇe [6] . . . 27

2.1 Roˇcní spotˇreba zemního plynu . . . 32

2.2 Porézní zásobník plynu . . . 33

2.3 Rozmístˇení sond. . . 34

2.4 Pracovní tlaky [18] . . . 36

3.1 Radiální geometrie . . . 41

3.2 Cást PRT souboruˇ . . . 46

3.3 Hlavní okno programu Petrel . . . 47

4.1 Geometrie modelu v kartézském souˇradném systému . . . 49

4.2 Geometrie modelu v radiálním souˇradném systému . . . 53

4.3 Porovnání vývoje tlak˚u v radiálním a kartézském modelu 75 m od sondy . 53 4.4 Porovnání saturací vodou v radiálním a kartézském modelu 75 m od sondy 54 4.5 Modelová oblast. . . 57

4.6 Tlak v kompozitním modelu po 14 dnech vtláˇcení, výkon sondy 3000 m³/den . . . 57

4.7 Tlak v kompozitním modelu po 14 dnech tˇežby, výkon sondy 1000 m³/den 58

4.8 Srovnání vývoje tlaku v elementu i=5, j=1, k=1 . . . 60

5.1 Napojení aquiferu k modelu . . . 63

5.2 Saturace modelové oblasti vodou . . . 64

5.3 Vývoj podílu plynu v nadloží . . . 64

5.4 Lokální zjemnˇení sítˇe . . . 66

5.5 Vývoj tlaku v ˇcase pro element i=8, j=8 ,k=2. . . 67

5.6 Vývoj saturace horniny plynem v ˇcase, pro element i=8, j=8 ,k=2 . . . 68

5.7 Vývoj absolutní hodnoty normálového napˇetí p˚usobícího v ose z . . . 68

5.8 Vývoj tlak˚u v ˇcase, pro element i=8, j=8 ,k=2 . . . 70

5.9 Vývoj relativní propustnosti horniny v ˇcase, pro element i=8, j=8 ,k=2 . . 71

V_p objem pór˚u [m³]

V_T celkový objem [m³]

s saturace [/]

V_α objem dané fáze ve vzorku [m³]

p tlak [P a, bar]

u Darcyho rychlost [m/s]

v rychlost [m/s]

q hmotnostní tok [kg/s]

I jednotková matice D elastická matice

T teplota [K]

n látkové množství [mol]

R univerzální plynová konstanta [8, 314J K⁻¹mol⁻¹]

z kompresibilní faktor [-]

V_m molární objem [m³]

V objem [m³]

m hmotnost [kg]

g tíhové zrychlení [m/s²]

W celková tíha vzorku [N ]

k propustnost [Darcy = 0, 98692· 10⁻¹²m²]

K koeficient hydraulické vodivosti [m/s]

c stlaˇcitelnost kapaliny [P a⁻¹]

h piezometrická výška [m]

Q proteklé množství [m³/s]

M molární hmotnost [kg/mol]

l, x délka vzorku [m]

w posunutí [m]

S plocha vzorku [m²]

T_σ tenzor napˇetí [P a]

T_ε tenzor pˇretvoˇrení

E Young˚uv modul pružnosti [P a]

µ Poissonovo ˇcíslo [/]

G Modul pružnosti ve smyku [P a]

σ⁰ efektivní napˇetí [P a]

ρ hustota [kg/m³]

φ porozita

γ objemová hmotnost [N/m³]

f obecné napˇetí [P a]

σ normálové napˇetí [P a]

τ smykové napˇetí [P a]

ε délkové pˇretvoˇrení

ϕ, ϑ, Θ zkos, oznaˇcení úhlu [rad, ^◦] µ_D dynamická viskozita [P a· s]

Φ pseudotlak [P a]

Použité zkratky

PZP podzemní zásobník plynu

Úvod

Historie skladování plynu je pomˇernˇe dlouhá. U zrodu tohoto odvˇetví byl Francouz L.

A. Lavoisierem, který v roce 1781, vynalezl plynojem. První podzemní zásobník plynu byl vytvoˇren v roce 1916 ve státˇe New York, USA. A tím byl stanoven nový smˇer, jímž se skadování plynu bude ubírat. V 50. letech 20. století již bylo na svˇetˇe nˇekolik podzem- ních zásobník˚u a stavˇely se další. Množily se však pˇrípady, kdy po zahájení zkušebního provozu byla objevena netˇesnost izolátoru, horniny, která obklopuje vlastní ložiskový prostor a vtláˇcený plyn unikal do okolí. V nˇekterých pˇrípadech zdroj ztrát nebyl nikdy lokalizován. Pokud se ho však podaˇrilo urˇcit, bylo nutné použít na odstranˇení této netˇes- nosti dosti nákladné technologie, jako je napˇríklad odizolování dané oblasti vodní pastí.

Dalším úskalím bylo stanovení maximálního a minimálního ložiskového tlaku tak, aby bylo možné do horniny vpravit co nejvˇetší množství zemního plynu a pˇritom nenarušit její strukturu. To by mohlo vést k vytvoˇrení dalších netˇesností v podobˇe puklin nad- ložní vrstvy. To zda je zvolená lokalita tˇesná nebo ne, se ve skuteˇcnosti projeví až po d˚ukladném hydrogeologickém mˇeˇrení a testování. Stejnˇe tak i stanovení maximálního a minimálního ložiskového tlaku je výsledkem dlouhodobého pozorování. A právˇe v této oblasti je možné využití poˇcítaˇcového modelování. Poˇcítaˇcové modely jsou využívány ke sledování zmˇen vlastností hornin pˇri zvoleném tˇežebním/vtláˇcecím výkonu a k predikci chování kapalin pˇri zvolených koncentracích. Samotným numerickým modelem nelze nahradit vlastní mˇeˇrení in-situ. Lze jím však rozšíˇrit daný vyhodnocovací aparát, napˇrík- lad testováním urˇcitých provozních scénáˇr˚u, aniž by bylo nutné mˇenit stávající provoz na reálném zásobníku.

1 Fyzikální vlastnosti a vztahy užívané v geomechanice

V této ˇcásti budou struˇcnˇe pˇriblíženy základní pojmy, které se používají v geome- chanických úlohácha a úlohách podzemního proudˇení k popisu vlastností tekutin, hornin a jev˚u v nich pozorovaných. První pojmem, který je nutné definovat je pojem fáze. Jedná se o urˇcitou ˇcást objemu zkoumaného systému, ve které jsou jeho vlastnosti konstantní a nebo se v prostoru mˇení spojitˇe. Látka m˚uže mít stejné skupenství ale rozdílnou fázi napˇríklad smˇes vody s olejem.[5]

1.1 Vlastnosti hornin

Na obrázku 1.1je vzorek nesaturované horniny a je zde naznaˇceno objemové a hmot- nostní rozložení jednotlivých fází, ze kterých se vzorek skládá. Indexy jsou pˇrevzaty z an- glických slov oznaˇcujících plyn (gas), vodu (water) a horninu (rock).

Obrázek 1.1: Rozložení fází ve vzorku [8]

Porozita φ je definována jako podíl objemu pór˚u V_p ku celkovému objemu zk- oumaného vzorku horniny VT.

φ = V_p

V_T· 100 [%] (1.1)

Porozitu lze rozdˇelit na celkovou a efektivní. Efektivní porozita zahrnuje pouze póry, které se podílí na proudˇení tekutiny.

1.1.2 Saturace

Saturace neboli stupeˇn nasycení, je definována jako pomˇer objemu tekutiny ve vzorku V_α(α=g,w) ku celkovému objemu póru V_p.

s = V_α

V_p [/] (1.2)

Stupeˇn nasycení se pohybuje v rozmezí 0 ≤ s ≤ 1, kde parametrem s = 0 je definována zcela vysušená hornina a hodnotou s = 1 hornina, která již dále není schopna jímat kapalinu. Pro pˇrípad, že jsou v horninˇe pˇrítomny dvˇe fáze (voda a plyn) a hornina je plnˇe saturována lze vztah mezi saturacemi jednotlivých fází vyjádˇrit jako jejich souˇcet.

s_w+ s_g = 1 (1.3)

1.1.3 Hustota

Hustota neboli mˇerná hmotnost je definována jako podíl hmotnosti vzorku m ku jeho objemu V .

ρ = m

V [kg/m³] (1.4)

1.1.4 Objemová hmotnost

Pojem objemová hmotnost γ oznaˇcuje celkovou tíhu zkoumaného objemu horniny,

γ = ρ_Tg [N/m³] (1.5)

kde ρT je celková hustota vzorku, g je tíhové zrychlení. Tento vztah lze pˇrepsat na tvar

γ = W

V [N/m³] (1.6)

zde je W celková tíha vzorku, k jejímu vypoˇcítání je nutné znát ρ_w hustotu vody, ρ_s hustotu horniny, n porozitu a s stupeˇn nasycení zkoumaného vzorku vodou.

W = [sφρ_wg + (1 − φ)ρ_sg]V (1.7)

Zde souˇcin (sφρ_wV g) reprezentuje tíhu vody a (1 − φ)ρ_sV g tíhu pevné fáze v objemu V .

1.1.5 Koeficient hydraulické vodivosti

Je koeficient úmˇernosti, znaˇcí se K a má rozmˇer rychlosti. V Darcyho zákonˇe, viz níže, urˇcuje jakou filtraˇcní rychlostí bude tekutina prostupovat porézním prostˇredím pˇri jednotkovém tlakovém spádu. Zahrnuje vlastnosti tekutiny i horniny a lze jej vyjádˇrit následujícím vztahem

K = kρg

µ_D [m/s] (1.8)

kde symbol k[mD] se oznaˇcuje jako propustnost horniny a µD[P a· s] dynamická viskozita.

1.1.6 Propustnost

Propustnost lze definovat jako schopnost porézního prostˇredí propouštˇet kapalinu vlivem p˚usobení tlakového spádu. Jedná se o materiálovou vlastnost daného prostˇredí, nezávislou na kapalinˇe, která jím protéká. Propustnost se znaˇcí k a udává se v jednotkách miliDarcy nebo v metrech ˇctvereˇcných, kde 1 mD ≈ 10⁻⁹m².

Je-li v horninˇe pˇrítomna pouze jedna fáze, je propustnost oznaˇcována jako absolutní k[mD].

Pokud porézním prostˇredím spoleˇcnˇe proudí více kapalin, je pro každou kapalinu defi- nována efektivní propustnost. Souˇcet efektivních propustností je menší než propustnost

Obrázek1.2a) zobrazuje závislost, propustnosti prostˇredí na vodní saturaci s_w. Pro tento pˇrípad je tˇreba pˇredpokládat, že je dané prostˇredí plnˇe saturováno vodou a plynem. Pokud saturace vody v horninˇe klesne na mezní hodnotu s_wc, respektive saturace plynu na hod- notu sgc, pˇrestává daná fáze prostˇredím proudit.

sw

swc 1-sgc

kg kw

0 1

k k

kg kw

0 1

1 1

sw

swc 1-sgc

a) b)

absolutní propustnost

Obrázek 1.2: a) efektivní a b) relativní propustnosti v závislosti na vodní saturaci

Na obrázku 1.2 b) je uveden vývoj relativní propustnosti v závislosti na vodní sat- uraci. Relativní propustnost kr je bezrozmˇerná veliˇcina, definována jako podíl efektivní propustnosti ku propustnosti absolutní, viz rovnice1.9. [4] [1]

k_rg(s_w) = k_g(s_w)

k k_rw(s_w) = k_w(s_w)

k (1.9)

1.2 Vlastnosti tekutin

Tekutina ja spoleˇcný název pro kapaliny a plynu. Jejich spoleˇcnou vlastností je teku- tost. Ta se dá definovat jako neschopnost látky udržet si pevný tvar.

Na obrázku1.3je naznaˇcena oblast v níž pˇrechází látka z kapalného do plynného skupen- ství a naopak. Pokud teplota plynu pˇrekroˇcí kritickou hodnotu T_cnedojde k jeho zkapal-

nˇení, navzdory p˚usobením jakéhokoli tlaku.

kapalina

plyn

Vm

Vmc

pc

p

C

T Tc

nasycená kapalina pára

Obrázek 1.3: Kritický bod

1.2.1 Idéální kapalina

Tato idealizace definuje kapalinu jako dokonale nestlaˇcitelnou bez vnitˇrního tˇrení.

Hustota kapaliny je v celém objemu a za všech podnímek nemˇenná.

1.2.2 Skuteˇcná kapalina

Na rozdíl od kapaliny ideální je skuteˇcná kapalina mírnˇe stlaˇcitelná a p˚usobí v ní tˇrecí síly. Popis skuteˇcné kapaliny je dosti nároˇcný a proto se ve fyzice zavedla urˇcitá zjednodušení.

Viskózní kapalinaje považována za nestlaˇcitelnou ale p˚usobí v ní tˇrecí síly.

Nestlaˇcitelná kapalinata nemˇení sv˚uj objem a její hustota z˚ustává konstantní.

Stlaˇcitelná kapalina její hustota se mˇení v závislosti na tlaku kapaliny, smˇernice této

V této práci je kapalina považována za mírnˇe stlaˇcitelnou pro níž platí, že c = konst.

1.2.3 Ideální plyn

Pod tímto pojmem si lze pˇredstavit dokonale stlaˇcitelnou látku bez vnitˇrního tˇrení.

Rozmˇery molekul jsou v porovnání s jejich vzájemnou vzdáleností zanedbatelné.

Molekuly ideálního plynu na sebe nep˚usobí jinými silami než tˇemi, které p˚usobí pˇri vzájemných srážkách. Srážky mezi molekulami jsou dokonale pružné a nedochází tedy k úbytku kinetické energie.

Stavová rovnice plynu

Popisuje stav plynu nebo smˇesi plyn˚u v urˇcitém okamžiku. Mezi stavové veliˇciny patˇrí teplota T [K], tlak p [Pa] a objem V [m³]. Jedna promˇenná je urˇcena zbylými dvˇema.

1.2.4 Stavová rovnice ideálního plynu

pV = nRT (1.10)

V tomto vztahu je n [mol] látkové množství, R je univerzální plynová konstanta 8,314 J K⁻¹mol⁻¹.

1.2.5 Stavová rovnice reálného plynu

Na rozdíl od ideálního plynu se v tomto pˇrípadˇe nezanedbává silové p˚usobení mezi jednotlivými molekulami (tˇrení) a ani plyn není považován za dokonale stlaˇcitelnou látku

pV_m = zRT (1.11)

kde z je kompresibilní faktor a vyjadˇruje odchylku od ideálního plynu. Je závislý na tlaku, teplotˇe a na složení plynu. Kompresibilní faktor lze definovat jako podíl molárního objemu Vm = ^V_n reálného plynu ku molárnímu objemu ideálního plynu za stejné teploty a tlaku.

V souˇcasnosti existuje nˇekolik vztah˚u popisujících chování reálného plynu. Zde jsou uve- deny pˇríklady tˇrí z nich.

Redlich-Kwongova rovnice

Patˇrí mezi dvoukonstantní stavové rovnice.

p = RT

V_m− b − a

√T V_m(V_m+ b) (1.12)

kde jsou konstanty a a b vyjádˇreny jako

a = 0, 4278(RT_c)²√ T_c

p_c (1.13)

b = 0, 0867RT_c

p_c (1.14)

Peng-Robinsonova rovnice

Pro zpˇresnˇení výsledk˚u byla Redlich-Kwongova rovnice modifikována na tvar p = RT

Vm− b − a

Vm(Vm+ b) + b(Vm− b) (1.15) Konstanty a a b jsou vyjádˇreny v následujícím tvaru

a = 0, 45724R²T_c²

p_c (1.16)

b = 0, 0778RT_c

p_c (1.17)

Tato rovnice je používána v plynárenství. Je definována tak, aby bylo možné pˇresnˇeji popsat stavové chování zemního plynu s vyšším obsahem inertních plyn˚u a za vyšších tlak˚u. Vlastní tvar rovnice AGA8-DC92 má pomˇernˇe složitý zápis, který v tomto textu nebude uveden. Lze jej nalézt napˇríklad v Plynárenské pˇríruˇcce, viz [17].

1.3 Proudˇení tekutin

1.3.1 Darcyho zákon

Roku 1856 Francouz Henry Darcy provedl následující experiment: válcovou nádobu, která mˇela na obou koncích otvory, naplnil pískem. Horním otvorem do válce vtláˇcel vodu, která poté druhým otvorem z nádoby vytékala. Na obou koncích byl mˇeˇren tlak respektive výška vodního sloupce, viz obrázek1.4. Hodnotu tlaku v mˇeˇreném místˇe bylo možné vypoˇcítat podle vztahu

p = (h − z)ρg [P a] (1.18)

v nˇemž h je piezometrická výška (tlaková výška), z je místo mˇeˇrení tlaku, jeho z-ová souˇradnice. Darcy zjistil, že rychlost toku porézním prostˇredí je pˇrímo úmˇerná rozdílu tlakových výšek zmˇeˇrených na obou koncích válce. A sestavil rovnici popisující rychlost proudˇení tekutiny v porézním prostˇredí takzvaný Darcyho zákon

u = K∆h

l [m/s] (1.19)

kde K[m/s] koeficient hydraulické vodivosti, jak již bylo uvedeno v oddíle 1.1.5, tato konstanta je závislá na vlastnostech tekutiny i na prostˇredí v nˇemž tekutina proudí.

Veliˇcina u má rozmˇer rychlosti [m/s] a je oznaˇcována jako Darcyho rychlost,jedná se o pomyslnou veliˇcinu vztaženou na tekutinu pohybující se celým prostorem, tedy jak póry tak i pevnou fází. Rychlost v, jíž by se póry pohybovala ˇcástice, by byla vyšší než Darcyovská a lze ji vyjádˇrit jako podíl Darcyho rychlosti a porozity.[2]

v = u

φ [m/s] (1.20)

Obrázek 1.4: Darcyho experiment

Platnost Darcyho zákona je omezena velikostí tlaku. Pˇri malém tlakovém rozdílu dochází k dominantním projev˚um molekulárních sil, které zpomalují proudící tekutinu.

Naopak pˇri velké vstupní rychlosti pˇrestává být proudˇení laminární a výše uvedené vz- tahy nepopisují daný dˇej dostateˇcnˇe pˇresnˇe. [1] [2]

1.3.2 Popis proudˇení v prostoru

V této ˇcásti textu bude uveden zobecnˇený Darcyho zákon. Pˇred vlastním popisem proudˇení je potˇreba nejprve uvést nˇekteré pˇredpoklady. Tekutina proudící porézním prostˇredím je považována za Newtonovskou tedy lineární, viskózní tekutinu. Druhým pˇredpokladem je pomalé proudˇení tekutiny. Posledním zde uvedeným pˇredpokladem je, že difuze ˇcástic je v porovnání s rychlostí proudˇení malá a lze ji zanedbat.

Jednofázové proudˇení v porézním prostˇredí

Dˇej bude popsán na elementárním objemu, který má tvar krychle. Její strany jsou rovnobˇežné s osami souˇradného systému a stˇred je v bodˇe ~x = (x1, x2, x3) viz obrázek1.5. Elementární objem je vyplnˇen porézním médiem o porozitˇe φ.

Obrázek 1.5: Elementární objem

Následující vztahy vyjadˇrují zákon zachování hmoty. Písmenem q je oznaˇcen hmot- nostní tok, tedy množství tekutiny proteklé plochou za jednotku ˇcasu. Pro tekutinu vtéka- jící do elementárního objemu ve smˇeru osy x1 je hmotnostní tok vyjádˇren vztahem 1.21.

Dolní index daného vztahu vyjadˇruje souˇradnice zvoleného místa elementárního objemu.

Bráno od stˇredového bodu ~x. Pro odtékající tekutinu, je vyjádˇren rovnicí 1.22.

qi1= (ρu1)_x

1−^∆x1

2 ,x2,x3∆x2∆x3 (1.21)

q_o1 = (ρu₁)_x

1+^∆x1₂ ,x2,x3∆x₂∆x₃ (1.22)

Ve vztahu je ρ hustota tekutiny a u₁ je složka vektoru Darcyho rychlosti ~u = (u₁, u₂, u₃).

Podobnˇe, lze tyto vztahy upravit i pro zbylé dva smˇery x2 a x3.

Další jev, který se zde bude projevovat je akumulace hmoty za jednotku ˇcasu, viz rovnice1.23, a úbytek hmoty zp˚usobený propady pˇrítomnými v objemu, viz1.24.

q_A= ∂(φρ)

∂t ∆x₁∆x₂∆x₃ (1.23)

q_S = −q∆x₁∆x₂∆x₃ (1.24)

kde φ je porozita pevné fáze, záporným znaménkem −q je oznaˇcován propad a kladným +q zdroj hmoty. Rozdíl mezi vtokem a odtokem je akumulované množství.

h (ρu₁)_x

1−^∆x1₂ ,x2,x3 − (ρu₁)_x

1+^∆x1₂ ,x2,x3

i

∆x₂∆x₃ + (1.25)

h (ρu₂)_x

1,x2−^∆x2₂ ,x3 − (ρu₂)_x

1,x2+^∆x2₂ ,x3

i

∆x₁∆x₃ +

h (ρu₃)_x

1,x2,x3−^∆x3₂ − (ρu₃)_x

1,x2,x3+^∆x3₂

i

∆x₁∆x₂ =

 ∂(φρ)

∂t − q



∆x₁∆x₂∆x₃

Další úpravou rovnice1.25je podˇelení všech jejich prvk˚u ˇclenem ∆x1∆x₂∆x₃.

−

(ρu₁)_x

1+^∆x1₂ ,x2,x3 − (ρu₁)_x

1−^∆x1

2 ,x2,x3

∆x1

(1.26)

−

(ρu₂)_x

1,x2+^∆x2₂ ,x3 − (ρu₂)_x

1,x2−^∆x2₂ ,x3

∆x2

−

(ρu₃)_x

1,x2,x3+^∆x3₂ − (ρu₃)_x

1,x2,x3−^∆x3₂

∆x3

=

∂(φρ)

∂t − q

Pro velikost hrany krychle blížící se nule ∆x_i → 0, i = 1, 2, 3 lze nahradit rozdíl diver- gencí.

O· ~u = ∂u1

∂x₁ + ∂u2

∂x₂ +∂u3

∂x₃ (1.27)

∂(φρ)

∂t = −O(ρ~u) + q (1.28)

Další rovnicí ˇrídící proudˇení je již zmiˇnovaný Darcyho zákon. Zde je uveden jeho tvar pro vícerozmˇerný prostor.

~

u = − 1

µ_Dkkk(Op − ρgOx3) (1.29)

kde k je tenzor propustnost prostˇredí aOp je gradient tlaku.

Op = ∂p

∂x₁ + ∂p

∂x₂ + ∂p

∂x₃ (1.30)

Dosazením vztahu1.29do 1.28je získánána rovnice popisující jednofázové proudˇení:

∂(φρ)

∂t = O

 ρ

µ_Dkkk(Op − ρgOz)



+ q (1.31)

Rozšíˇrení rovnice proudˇení o stlaˇcitelnost

Stlaˇcitelnost tekutiny je znaˇcena cfa lze ji vyjádˇrit pro konstantní teplotu následujícím vztahem:

c_f = −1 V

∂V

∂p    T

= −1 ρ

∂ρ

∂p    T

(1.32) po integraci je získán vztah

ρ = ρ⁰e^cf(p−p0) (1.33)

kde ρ⁰ je hustota tekutiny pˇri referenˇcním tlaku p⁰. Použitím Taylorova rozvoje je vztah aproximován do tvaru

ρ ≈ ρ⁰(1 + c_f(p − p⁰)) (1.34)

Stlaˇcitelnost horniny c_Rlze definovat vztahem cR= −1

φ

∂φ

∂p (1.35)

aplikací stejných matematických operací jako pro pˇredchozí pˇrípad je odvozen tvar

φ ≈ φ⁰(1 + c_R(p − p⁰)) (1.36)

ten je možné pˇrepsat do diferenciálního tvaru dφ

dp = φ⁰c_R (1.37)

Je-li na levé stranˇe rovnice 1.31 vytknut podíl ^∂p_∂t a provedena derivace souˇcinu dvou funkcí, je získán následující tvar

 φ∂ρ

∂p + ρdφ dp

 ∂p

∂t = O

 ρ µD

k

kk(Op − ρgOz)



+ q (1.38)

do nˇehož lze dosadit1.32a1.37 ρ(φc_f − φ⁰c_R)∂p

∂t = O

 ρ

µ_Dkkk(Op − ρgOz)



+ q (1.39)

Celková stlaˇcitelnost je definována jako

c_t = c_f +φ⁰

φ c_R (1.40)

Po dosazení do vztahu1.39je získán výsledný vztah.

φρct= O

 ρ

µ_Dkkk(Op − ρgOz)



+ q (1.41)

Podrobnˇeji popsáno viz [1] [2] [9].

1.3.3 Rovnice proudˇení plynu

V pˇrípadˇe proudˇení plynu je jeho stlaˇcitelnost c_g závislá na tlaku.

ρc(p)∂p

∂t = O

 ρ

µ_Dkkk(Op − ρgOz)



+ q (1.42)

kde

cp = φ∂ρ

∂p + ρdφ

dp (1.43)

Je-li do rovnice1.42dosazena stavová rovnice plynu ρ = pM

zRT (1.44)

kde M je molární hmotnost. Bude-li uˇcinˇen pˇredpoklad, že póry jsou zcela vyplnˇeny plynem, poté je možné gravitaˇcní ˇclen zanedbat. Pro izotropní horninu lze tenzor propust- nosti vyjádˇrit ve tvaru k=kI, kde I je jednotková matice. V další ˇcásti textu bude uˇcinˇen pˇredpoklad, že porozita φ a dynamická viskozita µD jsou konstantní. Pak lze dosazením rovnice1.44do1.31získat vztah

φ k

∂

∂t

p z



= O

 p µ_DzOp

 + RT

M kq (1.45)

Pro 2pOp = Op² je rovnice1.45upravena na tvar 2φµ_Dz

k

∂

∂t

p z



=M p²+ 2pz d dp

 1 z



| Op |² +2µ_DzRT

M k q (1.46)

c_g = 1 ρ

dρ dp    T

= 1 p −1

z dz

dp (1.47)

∂

∂t

p z



= pcg

z

∂p

∂t

Pokud se v rovnici1.46 zanedbá ˇclen | Op |², bývá menší než ostatní ˇcleny rovnice má výsledná rovnice tento tvar.

φµ_Dc_g k

∂p²

∂t =M p²+2zRT µ_D

M k q (1.48)

Druhou možností jak získat rovnici podobající se rovnici1.48je definováním takzvaného pseudotlaku Ψ.

Ψ = 2 Z p

p⁰

p

zµ_Ddp (1.49)

Lze zapsat ve tvaru

OΨ = 2p

zµ_DOp, ∂Ψ

∂t = 2p zµ_D

∂p

∂t (1.50)

Po dosazením do rovnice1.45má výsledný vztah tuto podobu φµDcg

k

∂Ψ

∂t =M Ψ + 2RT

M k q. (1.51)

Blíže popsáno viz [9].

1.4 Dvoufázové proudˇení

Pro následující vztahy je nutné pˇredpokládat, že nedochází k výmˇenˇe hmoty mezi fázemi a kapaliny jsou vzájemnˇe nemísitelné. Vlastností tekutiny, již je pro vícefázové proudˇení nutné zohlednit, je smáˇcivost. Jedná se o schopnost kapaliny pˇrilnout k povrchu pevných látek. Jedna fáze (napˇr.voda) proniká do porézního materiálu lépe, tzn. má vˇetší smáˇcivost bude oznaˇcována indexem w (z anglického slova wetting). Druhá fáze

(napˇr.plyn) bude oznaˇcována jako nesmáˇcivá n (nonwetting).

Dalším pˇredpokladem je, že hornina je plnˇe saturována

s_w+ s_n= 1 (1.52)

kde s_w, s_nje saturace smáˇcivou (respektive nesmáˇcivou) tekutinou.

Kapilární tlak pc je definován jako skoková zmˇena tlaku mezi nesmáˇcivou a smáˇcivou fází. Lze ho vyjádˇrit jako rozdíl tlak˚u tˇechto fází.

p_c= p_n− p_w (1.53)

Na obrázku1.6je naznaˇcen vývoj kapilárního tlaku v závislosti na saturaci smáˇcivé fáze.

Pr˚ubˇeh je závislý na smˇeru, tedy na tom zda saturace roste (smáˇcení) ˇci klesá (drenáž).

0 sw 1

pc

swc snc

drenáž

smáčení

Obrázek 1.6: Vývoj kapilárního tlaku

Propustnost prostˇredí pro danou fázi (smáˇcivou, nesmáˇcivou) vyjadˇruje rovnice k_a

kka_a= k_ra· kkk a = w, n (1.54)

danou fázi.

~

u_w = − 1

µ_Dwkkk_www(Opw− ρ_wgOz) (1.55)

~

u_n= − 1

µ_Dnkkk_nn_n(Opn− ρ_ngOz) (1.56) Hustota ρa je pro nestlaˇcitelnou tekutinu (vodu) konstantní, pro plyn ji lze vypoˇcítat napˇríklad z rovnice reálného plynu.

ρ_a = p_a RT Výsledný vztah popisující proudˇení dané fáze. [9]

∂(φρ_ws_w)

∂t = −O(ρwu~_Dw) + q_w (1.57)

∂(φρ_ns_n)

∂t = −O(ρnu~_Dn) + q_n (1.58)

1.5 Geomechanika

1.5.1 Napˇetí

Je-li tˇeleso zatíženo silou, uvnitˇr tˇelesa vzniká napˇetí. To lze definovat jako velikost vnitˇrní síly p˚usobící na danou plochu. Pro jeho zjištˇení je nutné provést tˇelesem myšlený ˇrez ω, viz obrázek 1.7, a urˇcit jaké síly p˚usobí na plochu dS.

Obrázek 1.7: ˇRez tˇelesem

Vnitˇrní síla je vyjádˇrena vztahem

dF = f· dS (1.59)

kde plošná síla f je oznaˇcována jako obecné napˇetí a má rozmˇer [N/m² = P a]. Toto napˇetí je složeno z normálové

σ = dN

dS (1.60)

a teˇcné složky, teˇcné napˇetí je ˇcasto oznaˇcováno jako smykové τ = dT

dS (1.61)

Pro pˇrípad tˇrírozmˇerné úlohy je k zjištˇení velikosti napˇetí v bodˇe C, viz obrázek1.8,

f~_x= σ_xx~i + τ_xy~j + τ_xz~k f~y = τyx~i + σyy~j + τyz~k f~_z = τ_zx~i + τ_zy~j + σ_zz~k

(1.62)

Pˇriˇcemž index u obecného napˇetí f je oznaˇcením normálové plochy, ve které napˇetí p˚usobí.

Obrázek 1.8: Složky napˇetí v tˇelese

Jak již bylo uvedeno, každé obecné napˇetí lze rozložit na souˇcet normálových σ_xx, σ_yy, σ_zz a teˇcných napˇetí, u nichž lze využít symetrie. Tedy rovnosti složek, dána momentovou rovnováho, τxy = τ_yx, τ_xz = τ_zx, τ_yz = τ_zy, kde první index udává smˇer normály a druhý index smˇer, ke kterému je napˇetí teˇcné. Ze složek napˇetí lze sestavit

tenzor napˇetí Tσ, který jednoznaˇcnˇe urˇcuje napjatost v bodˇe C.

T_σ =











σxx τxy τxz

τ_xy σ_yy τ_yz τ_xz τ_yz σ_zz











1.5.2 Deformace tˇelesa

Deformaci neboli pˇretvoˇrení, lze definovat jako zmˇenu rozmˇer˚u a tvaru tˇelesa. Vlivem deformace se mˇení vzdálenost mezi jednotlivými body tˇelesa. Je možné rozlišit dva typy pˇretvoˇrení délkové ε, viz pro jednoosou napjatost obrázek1.9a),

ε_xx = ∆x

x (1.63)

kde zmˇena délky tˇelesu ∆x = x⁰− x, je definována jako rozdíl délky tˇelesa x⁰zatíženého silou f a délky tˇelesa bez p˚usobící síly x. Druhým typem je úhlové pˇretvoˇrení (zkos), jež lze vyjádˇrit jako zmˇenu pravých úhl˚u, viz obrázek 1.9b).

ϑ_xy = ^π₂ − ϕ = Θ_xy + Θ_yx

Θ_xy ≈ tg Θ_xy = ^∆x_y

Θ_yx ≈ tg Θ_yx= ^∆y_x

(1.64)

Obrázek 1.9: Tenzor deformace

Pro tˇrírozmˇerný prostor v kartézské soustavˇe souˇradnic, je podobnˇe jako v pˇrípadˇe napˇetí možné sestavit tenzor pˇretvoˇrení T_ε

T_ε=











ε_xx ε_xy ε_xz ε_yx ε_yy ε_yz ε_zx ε_zy ε_zz











kde εxy = ¹₂ϑ_xy, i, j = 1, 2, 3 i 6= j

1.5.3 Hook ˚uv zákon

Na obrázku 1.10 je znázornˇen typický tvar pr˚ubˇehu tlakové zkoušky na vzorku horniny, pˇri níž je zkoumaný vzorek postupnˇe zatˇežován v podélném smˇeru a je mˇeˇreno smršt’ování materiálu ve vertikální ose. Až do hodnoty σ_M (mez úmˇernosti) roste napˇetí v závislosti na prodloužení materiálu lineárnˇe. Pro tuto oblast, platí Hook ˚uv zákon:

„Deformace je úmˇerná napˇetí“ vyjádˇreno vztahem

σ_x = E· ε_x (1.65)

kde E je Young˚uv modul pružnosti. Ve smˇeru p˚usobící síly (podélném) se tˇeleso zkracuje (ε_x < 0), v pˇríˇcném smˇeru se materiál rozšiˇruje. Tato pˇretvoˇrení lze vypoˇcítat ze vztahu ε_y = ε_z = µε_x kde µ je Poissonovo ˇcíslo (neboli souˇcinitel pˇríˇcné kontrakce).

Obrázek 1.10: Tlaková zkouška vzorku horniny [8]

Pro víceosou napjatost popisuje lineární závislost každé složky tenzoru napˇetí na všech složkách tenzoru pˇretvoˇrení. V pˇrípadˇe trojrozmˇerného prostoru je Hook˚uv zákon upraven do následující podoby

~σ = D· ~ε (1.66)

kde ~σ a ~ε jsou sloupcové vektory o 6 složkách a D je elastická ˇctvercová matice 6×6.

V pˇrípadˇe, že je daný materiál anizotropní, je matice symetrická a je potˇreba znát 21 elastických konstant.



























 σ₁₁ σ₂₂ σ₃₃ σ₂₃ σ31

σ₁₂





























=





























c₁₁ c₁₂ c₁₃ c₁₄ c₁₅ c₁₆

· c₂₂ c₂₃ c₂₄ c₂₅ c₂₆

· · c₃₃ c₃₄ c₃₅ c₃₆

· · · c₄₄ c₄₅ c₄₆

· · · · c55 c56

· · · c₆₆























































 ε₁₁ ε₂₂ ε₃₃ 2ε₂₃ 2ε31

2ε₁₂





























Je-li materiál izotropní, k výpoˇctu postaˇcí znát pouze Young˚uv modul pružnosti E a Poissonovo ˇcíslo µ.

ε₁₁ = 1

E[σ₁₁− µ(σ₂₂+ σ₃₃)] , ε₁₂= 1 + µ

E σ₁₂= 1 2Gσ₁₂

ε₂₂ = 1

E[σ₂₂− µ(σ₁₁+ σ₃₃)] , ε₂₃= 1 + µ

E σ₂₃= 1 2Gσ₂₃

ε₃₃ = 1

E[σ₃₃− µ(σ₁₁+ σ₂₂)] , ε₃₁= 1 + µ

E σ₃₁= 1 2Gσ₃₁

Písmenem G je oznaˇcován modul pružnosti ve smyku.

G = E

2(1 + µ) (1.67)

1.5.5 Efektivní napˇetí

V levé ˇcásti obrázku 1.11 je naznaˇcen ˇrez podložím. Hladina podzemní vody je v úrovni zemského povrchu. Pro tento pˇrípad musí být splnˇeno nˇekolik pˇredpoklad˚u.

Hornina je plnˇe saturována, proto zde nep˚usobí kapilární síly, hladina podzemní vody je v ustáleném stavu a nedochází k podzemnímu proudˇení.

Obrázek 1.11: Rozložení napˇetí v plnˇe saturované horninˇe [6]

Na pravé stranˇe obrázku je vyznaˇceno celkové napˇetí σ_zz ve svislém smˇeru, které má v hloubce h velikost

σ_zz = γ_wh (1.68)

kde γw je objemová hmotnost mokré horniny. Tlak v pórech (hydrostatický tlak) je

p_h = ρhg (1.69) Efektivní napˇetí lze v tomto pˇrípadˇe definovat jako rozdíl celkového napˇetí v horninˇe a tlaku v pórech.

σ_zz⁰ = σ_zz− p_h (1.70)

Ve druhém pˇrípadˇe je porézní prostˇrení až do hloubky h₁ nesaturované. Poté je hornina opˇet plnˇe saturována, viz obrázek1.12. Stejnˇe jako v pˇredchozím pˇrípadˇe se ani zde ne- projevují kapilární tlaky a nedochází k proudˇení.

Vzhledem k tomu, že v hloubce h1 nep˚usobí hydrostatický tlak, je hodnota efektivního napˇetí rovna napˇetí celkovému

σ_zz1⁰ = σ_zz = γ_dh₁ (1.71)

kde je symbolem γdoznaˇcena objemová hmotnost suché horniny (z anglického dry).

Obrázek 1.12: Rozložení napˇetí v horninˇe [6]

Velikost efektivního napˇetí ve zbylé ˇcásti oblasti h2se vypoˇcte stejnˇe jako v pˇredešlém pˇrípadˇe

σ_zz2⁰ = σ_zz2− p_h2 = γ_wh₂− ρh₂g (1.72) Výsledné efektivní napˇetí je rovno souˇctu efektivních napˇetí v dané oblasti.

σ_zz⁰ = σ_zz1⁰ + σ⁰_zz2 (1.73)

D˚uvodem proˇc byli tyto dva pˇríklady uvedeny je naznaˇcit závislost napˇetí v horninˇe na hladinˇe podzemní vody. Sníží-li se hladina podzemní vody dochází k r˚ustu efektivního napˇetí v horninˇe. To je napˇríklad problémem italských Benátek, kde s rostoucím poˇctem osídlení zaˇcala klesat hladina podzemní vody a rostoucí tlaky v horninˇe mˇely za následek

„sedání“ podloží.

1.6 Jednofázové proudˇení v deformovatelném prostˇredí

V této ˇcásti bude popsáno jednofázové proudˇení prostˇredím, ve kterém dochází p˚u- sobením tlakových sil ke zmˇenˇe jeho vnitˇrní napjatosti a k deformaci. Pro zjednodušení je nutné médium považovat za lineárnˇe elastický materiál, jehož deformace je malá. Také zde budou zavedeny nové veliˇciny jako je napˇríklad posunutí pevné látky w_p nebo po- sunutí tekutiny w. Provede-li se derivace posunutí podle ˇcasové složky, bude získána rychlost proudˇení www^,,,= ^∂w_∂t^ww. Po dosazení do obecného Darcyho zákony viz rovnice1.29,

w^, w^,

w^,− www_p^,,_pp^, = −1

µkkk(Op − ρgOz) (1.74)

Následující zápis popisuje tenzor celkového napˇetí (pro tekutou i pevnou fázi oblasti1.5).

σ + σI =











σ₁₁+ σ σ₁₂ σ₁₃ σ₂₁ σ₂₂+ σ σ₂₃ σ₃₁ σ₃₂ σ₃₃+ σ











Tento tenzor je symetrický σ_ij = σ_ji a jeho složky popisují napˇetí v pevné fázi vzorku.

Na hlavní diagonále je vyneseno normálové a mimo hlavní diagonálu je napˇetí smykové.

Symbol σ vyjadˇruje normálová napˇetí p˚usobící v tekutinˇe a III je jednotková matice o ve- likosti 3×3.

Tenzor napˇetí vyhovuje rovnovážnému stavu,

O(σ + σI) + ρcgOz = 0 (1.75)

ρ_cje celková hustota vzorku, φ je porozita materiálu, ρ je hustota tekutiny a ρp je hustota pevné fáze. Celková hustota vzorku je vyjádˇrena vztahem

ρ_c= φρ + (1 − φ)ρ_p (1.76)

Pro získání informací o deformaci tˇelesa je nutné vyjádˇrit závislost tenzoru napˇetí pevné fáze σσσ na jejím posunutí www_ppp.

ε_pij = 1 2

 w_pi xj

+ w_pj xi



ε_ij = 1 2

 w_i xj

+w_j xi



i, j = 1, 2, 3 (1.77)

Maticový zápis vztahu mezi napˇetím a deformací

































 σ₁₁ σ₂₂ σ₃₃ σ₂₃ σ₃₁ σ₁₂ σ



































=



































c₁₁ c₁₂ c₁₃ c₁₄ c₁₅ c₁₆ c₁₇

· c₂₂ c₂₃ c₂₄ c₂₅ c₂₆ c₂₇

· · c₃₃ c₃₄ c₃₅ c₃₆ c₃₇

· · · c₄₄ c₄₅ c₄₆ c₄₇

· · · · c₅₅ c₅₆ c₅₇

· · · c₆₆ c₆₇

· · · c₇₇



































































 ε_p11 ε_p22 ε_p33 ε_p23 ε_p31 ε_p12 ε



































kde ε = ε₁₁ + ε₂₂ + ε₃₃. Matice materiálových vlastností CCC je symetrická. Platí tedy rovnost cij = c_ji. Je-li tento vztah dosazen do rovnice 1.75 výsledkem je soustava tˇrí rovnic o tˇrech neznámých w_p1,w_p2,w_p3.

Za pˇredpokladu, že je materiál izotropní εp = ε_p11+ ε_p22+ ε_p33, lze vztah mezi napˇetím a deformací pˇrepsat do následujícího tvaru

σ_ii= 2G



ε_pii+ µε_p 1 − 2µ



− Hp i = 1, 2, 3 (1.78)

σ_ij = 2Gε_pij i, j = 1, 2, 3 i 6= j (1.79)

kde G je Young˚uv modul pružnosti a µ Poissonovo ˇcíslo pevné fáze. Parametr H je fyzikální konstanta, kterou je nutné urˇcit numerickou metodou nebo experimentálnˇe [9].

2.1 Motivace skladování zemního plynu

Hlavním d˚uvodem, proˇc skladovat zemní plyn je vykrývání sezónních výkyv˚u ve spotˇrebˇe, zp˚usobené spalováním plynu pˇri vytápˇení v zimních mˇesících. Dále je nutné sladovat plyn pro zvýšení spolehlivosti kontinuálního zásobování zemním plynem.

V neposlední ˇradˇe je skladování plynu spojeno i s finanˇcní otázkou, kdy v zimních mˇesících je jeho cena, oproti létu, vyšší. Zp˚usob˚u jak skladovat zemní plyn je nˇeko- lik, je možné jej stlaˇcovat do tlakových nádob, zkapalˇnovat nebo rozpouštˇet v kapalném propanu. Porovná-li se nákladnost a rizika daných technologií, vychází z nich jako ne- jvýhodnˇejší alternativa skladování plynu v podzemí.

Spotˇreba zemního plynu v ˇCR

Vlastní zdroje zemního plynu tj. plynu, který se primárnˇe vytˇeží na území ˇCeské re- publiky, pokrývá mˇenˇe než 1% celkové roˇcní spotˇreby v zemi. Pro uspokojení poptávky musí být plyn dovážen. Pˇrevážná vˇetšina zemního plynu je dodávána z Ruské federace a zbytek z Norska.

leden únor

březen duben

květen červen

červenec srpen

září říjen

listopad prosinec 0,0

100,0 200,0 300,0 400,0 500,0 600,0 700,0 800,0 900,0 1 000,0 1 100,0 1 200,0 1 300,0 1 400,0 1 500,0

Dodávka a spotřeba zemního plynu v roce 2010

Dovoz ZP Sprotřeba PZ Těžba z PZP v ČR mil. m³

Obrázek 2.1: Roˇcní spotˇreba zemního plynu

Na obrázku2.1 jsou uvedeny tˇri pr˚ubˇehy, které znázorˇnují spotˇrebu, dovoz a tˇežbou zemního plynu z podzemních zásobník˚u v pr˚ubˇehu roku. Data jsou pˇrevzata ze statistik Energetického regulaˇcního úˇradu pro rok 2010, viz [16]. Na vývoji jednotlivých kˇrivek lze pozorovat, jak byl v zimních mˇesících rozdíl mezi dodávkou a spotˇrebou kompenzován podzemními zásobníky. Pˇrebytek plynu, který vznikl v letních mˇesících, byl do zásobník˚u vtláˇcen.

Struktura podzemních zásobník ˚u plynu (PZP)

Z pohledu provedení lze podzemní zásobníky rozdˇelit na dva typy - kavernové a porézní.

Kavernové zásobníky

U tˇechto zásobník˚u je plyn vtláˇcen do kaveren, které jsou obklopeny nepropustnou horninou. Zásobníky tohoto typu se budují v solných pních nebo kavernách vytvoˇrených

Porézní zásobníky

Plyn je vtláˇcen do porézní horniny, která je hermeticky izolována od okolního prostˇredí. Pro tento typ zásobník˚u se využívají bud’ vytˇežená ložiska ropy a zemního plynu, a nebo je plyn vtláˇcen do zvodnˇelého horizontu (aquiferu). V aquiferovém zásob- níku je nahromadˇená voda plynem odsunuta stranou tak, aby vznikl prostor ve kterém se akumuluje zemní plyn.

Potrubí ze/do přepravní sítě Řízení, kompresory,

zpracování plynu

Vtláčecí a těžební sondy

Nepropustné nadloží

Nepropustné podloží Voda Plyn uložený v porézní hornině

Obrázek 2.2: Porézní zásobník plynu

Cásti podzemních zásobník ˚u plynu ˇ

Podzemí zásobník plynu není tvoˇren pouze skladovacím prostorem. Je to celý uza- vˇrený systém sestávající ze skladovacího horizontu (kolektor), okolní horniny a vodního zápolí (izolátor), jež zajišt’ují tˇesnost zásobníku. Dále sem patˇrí sondy, ty jako jediné zprostˇredkovávají komunikaci podzemní ˇcásti se zaˇrízením , které je umístˇeno v nadzemní ˇcásti PZP, viz obrázku2.2.

Typy sond

Sondy je možné, dle zp˚usobu jejich využití, rozdˇelit do tˇrí skupin. Jedná se o sondy provozní, pozorovací a úˇcelové, viz obrázek2.3.

Obrázek 2.3: Rozmístˇení sond

Provozní sondy zajišt’ují pˇrímé propojení plynové ˇcásti zásobníku a technologick- ého stˇrediska na povrchu. Sondy musí být rozmístˇeny tak, aby objemovˇe vykrývaly celý prostor zásobníku. A to kv˚uli zabezpeˇcení rovnovážného poklesu tlaku na celé ploše zá- sobníku v pr˚ubˇehu tˇežby. Je nutné dodržet to, aby každá sonda vytˇežila sv˚uj drenážní prostor a nedocházelo k jejich vzájemným interakcím.

Pozorovací sondy jsou souˇcástí monitorovacího systému podzemního zásobníku plynu a podle toho co je jimi mˇeˇreno se dˇelí na: plynové - jsou umístˇeny v plynem sat- urované ˇcásti zásobníku a je jimi mˇeˇren ložiskový tlak. Ve vodním zápolí - otevírají zá- sobníkový obzor v místˇe, kde je hornina nasycena vodou. Slouží k monitorování pohybu kontaktu voda-plyn a k analýze rozpuštˇeného plynu ve vodˇe. V nadloží - využívají se k sle- dování tˇesnosti zásobníku. Za zlomem - sondy umístˇené za tektonickým zlomem, který izoluje ložisko od okolí. Tˇesnost zlomu je vyhodnocena z analýzy odebíraného plynu.

Posledním typem jsou úˇcelové sondy, ty mohou být využity napˇríklad ke zpˇetnému

Povrchové zaˇrízení

Povrchové zaˇrízení podzemního zásobníku plynu sestává ze zaˇrízení zajišt’ující do- pravu zemního plynu (plynovody, pˇrípojky k sondám, kompresory turbíny). Dále zde jsou zaˇrízení pro úpravu plynu, probíhá v nich ˇcištˇení (separátory a mikrofiltry), ohˇrev (kotle ohˇrevu) a sušení (sušící kolony) plynu. Dalším typem zaˇrízení jsou ˇrídící a mˇeˇrící jed- notky tlaku, pr˚utoku atd.

Parametry podzemních zásobník ˚u plynu

Mezi základní provozní parametry PZP patˇrí jeho celková náplˇn. Ta se dˇelí na aktivní s pasivní náplˇn.

Aktivní náplˇn, tedy provozní zásoba, je definována jako objem plynu, který je možné bˇehem tˇežebního cyklu ze zásobníku odebrat, aniž by se narušila hydrodynamická sta- bilita ložiska.

Pasivní náplˇn neboli poduška, je objem plynu zajišt’ující na konci tˇežebního cyklu dostateˇcný tlak. Tím je udržována propustnost kolektorové horniny. Zároveˇn potlaˇcuje vliv vodního zápolí. Je tedy zachována rovnováha mezi množstvím vody vnikající do zásobníku z okolí pˇri poklesu tlaku, který byl zp˚usoben tˇežbou a vytlaˇcovanou vodou pˇri nár˚ustu tlaku bˇehem vtláˇcení.

Velikost obou náplní závisí na hloubce, v níž se kolektor nachází, mocnosti dané vrstvy, režimu práce zásobníku a na fyzikálnˇe geologických podmínkách.

Dalším d˚uležitým parametrem je maximální výkon PZP. Ten je urˇcen pˇredevším limity kolektoru a tˇežebních/vtláˇcecích sond. Jak již bylo naznaˇceno, pro správnou funkci PZP je velice d˚uležité udržovat ložiskový tlak v urˇcitém intervalu hp_min, p_maxi, viz obrázek2.4.

Je-li pˇrekroˇcen maximální ložiskový tlak, m˚uže dojít k migraci plynu do nadložních vrstev

nebo ke štˇepení horniny. Ve druhém pˇrípadˇe, klesne-li tlak v ložisku pod minimální hod- notu m˚uže dojít k sedání skladovacích vrstev.

p^max

p^min

aktivní náplň poduška

0

Obrázek 2.4: Pracovní tlaky [18]

Požadavky na podzemní zásobník plynu

Hlavním požadavkem na lokalitu, která by se mˇela využívat jako zásobník plynu, je její tˇesnost. Tuto vlastnost musí splˇnovat jak ve vertikálním smˇeru (tˇesnost nadložní vrstvy) tak v laterálním smˇeru, kde je tˇesnost zajištˇena bud’ tektonickým zlomem nebo kontaktem voda-plyn.

Pro vybudování zásobníku je d˚uležitá také hloubka, v níž se kolektor nalézá. Doporuˇcená minimální hloubka je 300 metr˚u, viz [17]. Dalším urˇcujícím faktorem jsou fyzikální vlast- nosti horniny. Podzemní zásobník plynu by nemˇel mít porozitu nižší než 16%, v pˇrípadˇe aquiferu nemˇela klesnout pod 20%. Propustnost zásobníku vytvoˇreného z vytˇeženého ložiska by nemˇela klesnou pod 5 mD, pro aquifer se udává hodnota o ˇrád vyšší.

V souvislosti se zp˚usobem využití, lze podzemní zásobníky plynu dˇelit na sezónní a špiˇckové. Sezónní zásobníky jsou v pr˚ubˇehu letních mˇesíc˚u plnˇeny plynem a v období topné sezóny, kdy dochází k nár˚ustu spotˇreby, je plyn z kolektoru postupnˇe tˇežen. Pro tento úˇcel jsou vhodnˇejší porézní a puklinové zásobníky. Mívají totiž vˇetší ložiskovou kapacitu.

Špiˇckové zásobníky se ˇcasto budují v izolovaných kavernách a jejich úkolem je vy- rovnávat krátkodobé výkyvy ve spotˇrebˇe.[17][18]

3 Použitý software

Pro úˇcely této práce byly použity dva simulaˇcní nástroje Eclipse 300 a Petrel.

V následující kapitole bude uvedený software struˇcnˇe popsán. Programy jsou vyvíjeny a prodávány spoleˇcností Schlumberger, která se specializuje na problematiku tˇežebního pr˚umyslu.

3.1 Eclipse

Tento nástroj umožˇnuje simulovat vícefázové proudˇení v porézním prostˇredí, blíže popsáno v [11]. Elipse využívá k výpoˇctu modelových úloh modifikovanou metodu koneˇcných diferencí, která umožˇnuje tvorbu nepravidelných blok˚u.

Historie

Eclipse byl v 70. letech minulého století vyvíjen na Texaské univerzitˇe, tehdy ještˇe pod názvem UTCHEM. Pozdˇeji ho koupila spoleˇcnost GeoQuest a pod názvem na Eclipce, jej prodala již zmínˇené spoleˇcnosti Schlumberger. Eclipse je postaven na platformˇe jazyka Fortran, který vyvinula spoleˇcnost IBM pro své sálové poˇcítaˇce. Fortran je i dnes stále používán pro psaní numericky nároˇcných úloh.

V souˇcasné dobˇe je Eclipse považován za pr˚umyslový standard pro ložiskové simulace.

Nicménˇe další vývoj tohoto nástroje je omezován a spoleˇcnost Schlumberger se snaží Eclipse nahradit jiným produktem, který bude založen již na metodˇe koneˇcných prvk˚u .

E100 a E300

Simulaˇcní nástroj Eclipse se dˇelí na dva základní výpoˇcetní balíky E100 a E300.

V obou pˇrípadech je možné simulovat vícefázové úlohy ve tˇrídimenzionálním prostoru.

Jedním z rozdíl˚u mezi tˇemito verzemi, je ve zp˚usobu, kterým lze definovat kapalinu.