justus ar

a

DISSERTATIO THEORTCO.ASTRONOMICA

METHODUM ANALYTICAM CORRECTIOREM SISTENS-

DISTANTIAS A TELLURE COMETARUM IN ORBITIS

DETERMINANDI

• quam

VENIA A Μ PL. FAGULT. PHILOS. UPSALIENS,

P. P.

Mag. JOB\PETR. FRÖBERG

physices docens

ET

justus ost er μ ar

gothoburgjsnsis

'

· ·

f.

in aud1t. gustav. die xxvii marth mdcccxi.

η. α. μ· s.

ups ali ffi

litteris typographorum" academl®

Stenhammar et Ealmblad.

hogårevordige och höglÅrde

herr

JOE, CHRIST^

^,

Samt

prostinnan h0gådla frun

fru

CATHARINA ÖSTERMAN

FÖQD

mins huldaste foråldrar,

al> Soa-fr vδrcfπad och tacksamhet-1i 11cg ηadfc.

justus österman.

Quoniam

^nicum,

Aflronomia

^{cujus principium}

non eft,

univerlalis

nifi grande gråvitas, problema di cujus mecha* fo-

Junoni ineuntes arbitrarise quantftares

ipfa caöaeflium

motuunr

elementa, in genere pendeat,

necesfe efi,

a

perfedfione excufi^

Analyfis. Religiofe omuis

excommunicari debet emptrismus, &

ab obferuationum adjumentis nil asfumi,

nid data certisfiina, dc

quibus abfolute eget

Analyfis ad fyflématicas filas perficiendas

öperationes. Hane

asfirtienem nullum esfe paradoxen concede-

ris_j fi progresfus fere

incredibiles relpicias,

quos,

mirifica ίο-

lum Analyfis ope, in pofiremum

elapfo

jam

läjcüio fecerit Sci-

entia Sideralis. Longe quidem antea in

nihiluin fuum abiit fu.

perfiitiofa illa

fimplicitas,

quae

in phöenomenis codi Sc fiellarum

nil videbat, nifi agmina irafcentium

numinum

;

fed

non

prius

hsec cesfarunt phcetiomena,

confufum esfe chaos inexpiicitoruiil

niotuum, quam pofl infignia inventa

Kepleri, legem üniverfi

ex- pofuerit immortalis, tantis

titulis, Newtoniu

; a qua

tarnen lege,

ibllicitudtnem excitantes, fuere aberrationes, donec, Recentiorutn Analyflarum opera,

fubtilisfimis calculrs perfecta perturbatioimm

theoria, nullas, ofienfum fuerit, dari in

fyflemate planetario,

veras cequationesfeeciliarei, quaeque

diutisfime relutfiatse funt, Jo-

vis Sc Saturni änomalias, generali etiam legi

demum esfe fub»

jedas. Formulis jam

fuis comprehendit Aftronomüs

non tan«

tum, quve fuere,

fed venientium faiculorum variationes SC diver-

fos flatus; hasque

mutationes,<j«#u*tfampletAitur

^magna

periodus

pluries

decies

centena

millia

annorum, pauca

pofi faecula repeti*

tas intuetur intra parvas, quae

perficiunt Satellites Jovis, circä

primariuin fuum planetam,

orbitas, Sc hoc lublime, cujus flu«

pens exquirit leges,

aedificium seternitati esfe deftinatum,

§. i.

Hos inter cceleftesmoms,quoruin

complicitus mechanismus

cutz-

tfiasrecehtioris Analyfisvires eißagitant, oocununt

illas,

omnes tra-

A χ dus

chis coeli pererrantes, fiellae, ^quas nomine Cometamm jam ab

antiquisfimis temporibus fuere iiiilgiiita?, quasque per ^. ipfam na-

turam fui curfus, terricoiarüm faltem, quibus diu fuerant turas

•futuri oiim fati, eiudere videntur operam omnem fe propius de

ftridle cognofcendi. Re vera etiam inter gravisfima Ailronomias problemata merito numeretur accurata determinatio elemento¬

rum orbitas Cottfetarum. Diverfavperlegenti tentamina hujus oh-

tinendi folutionem profelematis facile patebir, diredlam, ilriclam

& qua omnes numeros completam adhuc deikierari illius enoda·

tionemj & förlitan, il non femper, diurisfime faltem dtfidera-

.bitur. Methodi, _quas ufurpavere Anafyfias plerumque, fuerunr,

qua,fuppofitam orbitas figuram, tres: Parabolica, Kllijotica de

.Reffiilinea. Prima ^tres adhibet obfervationes Cometas in diverfis orbitas illius pundlis In triangulo illo, quod ex diOantia Tel-

Juris a Sole'de difiantiis ab his Cometas iingula harum pracbef,

non data eil, nifi prima, upa cum engulo elongationis, quod

autem non fufficit ad computandum triangulum. Hypothetice itaque asfumatur, necesie eil, tertium datum, de hoc vulgo eil

diftantia a Tellure, Hascce, _quas ufitåtisfima fuit, methodus

eam ob eausfam', quod Sedlionum Conicarum facillima compu-

tatu eil Parabola, tpcadle poteil quadrari, aliis fui generis figu·

ris iimilis eil, de ob _magnam excentricitaremCometarum orbitarum,

in paFticula lllarum valde exigua, quas terricolis apparet, cum

eflipfi habetur coincidens, in eo praefenim culpatur, quod parum verifimile eil parabolicas orbitas percurrere Cometas, de plane inepta evadit determinandis temporibus periodicis, q.uia in Para¬

bola nullus datur circuitus. Methodus Ellipiica h.boriofior ionge eil, de ppaster hypothetice asfumtum, in triangulo ad fo-

lem , elementum. aliud adhuc requirit, ut parametrum vel axeni

majorem in eliipil; nifi, ut folitum eil, veiuti cognitas habeas longif. Nodi de inclin. Orbitas,, qua fuppofitione, tribus fadlis obfervationibus, ceteFa omnia* computantur elliptica elementa.

Hase rurfüs methodus, _{quae tum} praseipue ufut esfe poteil, quum

•rbita non adeo fit excentrica, vel quum' diutius obfervari po-

tue-

i C

fuerit Cometä,ve! etiam _quumlongiori iufervalfo ilve ante, :five poft

transcurium perihelium, paucis tantum obfervationibus, vifus fit,

eo, prseter (tedium calculi, laborat

incommodo,

^{ut, ob}

requifi-

tam obfervationum fubtilitatem, posfint dedudas confequentise, majoris momenti esle obnoxiae, vitiis.

Dignisfimi

nihiloitiinus, qui notetur, omnium Comerte, iilius nempe, qui anno apparuit

1770, elementa fecundum hane methodum accurate determina-

runt Lexell &. Mesfm *), Pofirema, qua; per fuatn, fefe faci-

litatem commendaverit, ^motum Cometae _{per arcum,} inter duos

radios vecftores, infinite fibi invieem vicinos, tenfum, ceu redi- lineum intuetnr; & iane, (I duac tantum lufficerent obfervationes#

expedltisfime ad folutionem probiematis

conduceret

hsec hypo*

thefis. Sed tres requiruntur diverfac obfervationes,& fria in cur·

va pufida, veluti in una eademque

pofita

iinea reda numquam coniiderari posfunt; veraque eil haec metaphyfica ^{ratio# cur} fal-

fa videtur illa fuppofitio & inepta ipfa methodus.

Ceterum priva fortitas funt nomina methodi, fecundum fpeciaJem, qui, in hoc tradando problemate ^, huic vel illo Au-

dori fuerit proprius, genium. Prsecipuas edidere Newton a) Bofchovich

b),

Lambert c), Euler d), Friß ej, Tempelhoff f)%

La Grange g), Sejour h), Bouger i), La Place k), OIbers l)t

A 2 &

*) Ada Acad. Imp. Petrop. anno 1777. Ρ· I»

fl) Tradatus de fyftemate Mundi, Principia Mathematica PhihNat,

b) Nouveaux Ouvrages de Bofchovich T, III.

c) Tradatus de Orbitis Cometarura.

d) Theoria tnotuum Planetarum & Cometarum.

e) Cosmographiae Phyf. & Math, Ρ. I.

/) Scriptum praemio ornatum, Ada Acad. Berol, g) Nouveaux Memoires de l'Academie de Berlin 1778*

h) Hiftoire de l'Academie de Paris 1779.

«) Memoires de l'Academie des Sciences de Paris _1733.

k) Hiftoire de l'Academie des Sciences de Paris1780, Mechaniqus

celefte Tom. I.

/) Abhandlung über d. leichtefte Methode die Bahn e, Cometen

zu berechnen. 1

Sc Gaufs ni). Harum omnium expoiitionem, ctiam

brevisfimam,

iimires hujus minime patiuntur opelise. Id tantum

addere liceatj,

fuisfe primum Newtonuni, qui orbitas Cometarum ex

tribus ob-

fervationibus determinare aggresfus eft, quamvis ^r.on

uiil folu-

tiones imperfedas reliqueiit, licet illa, quae in

ßue tertil libri

Princip ioriim dederit, ingenium invidum Sc

fupremam Audoris

•fagacitatem non minus teilatur, ^quam cetera

omnia,

quae

in hoc

■immortqli exdant _ppere. Excipientium illuai,

inclitae gloriae,

Geometrarum conamina in hac re, nihil fere aliud fpedavtre,

•quam, ut fimplificentur, certis

refpedibus, methodi,

^a

Nedtona

propoii'ae, quae tarnen illas

feeerunt

neque

magis

exa

das,

neque

-ttfui comtnodiores. Diredae Sc analyricae methodi primum in lu-

cem prodiere pofl propoiitam, a

Berplinenfi Academia

1774, quaedionem, praemii honore demum

afficiendam, covreStiorem £?

faciliorem viam orbitas Cometarum.

determinhndi, poßulantem.

Jam inde cccpere iummi nominis Geometrae hoc

problema

ana- lytice, Sc, quantum fieri potuit,

direde peivoivere,

ut

La

Crange, Sejour, La Place, Olbers Sc

Gauß,

quorum

omnium

methodi, veiligia monftrantes ingenir Audorum,

majori mi-

öOrive praecifione gaudentes, multum inter

fe funt diverfae. Quae praxi

maxime idcmea, eil illa, quam expofuit penubimus.

Id

veto

in¬

ter illos convenerit, quod ex rite Sc exade determinara

diflaii-

tia a Tellure, fimplicisfime computantur omnia

orbitae elementa,

quae demum fic inverka corrigi

debent, cuique corredioni

neces-

^irias formulas dederunt Lambert, Euler,. Slruyck ^, Lex

eil, La

Place, Nordmarck.Sc Gliders^ trima itaque conditio, qua

-bene

determinentur orbitae Cometarum, ed ut, quantum quidem pos-

iit fieri, exadam Sc ab hypothefium figmentis iiberam,

habea-

mus viam, illarum a Tellure diftantias determinandi.

Diveifas perlegentibus analyticas

methodos ipfam hane di-

dantiam inveniendi, nobis in mentem venit, posfe

foifitan

ex ideisf m) Tbeoria motas eorpomm codeftiuro.,. in Sedietnibiis conicis

folem ambientium.

) 5 (

ideis, qnte in illis, ceterum

inter fe infinite dtsiimilibus, occur-

runt fpatise, applicando ad

quadraticam sequationem, quam ex-

pofuit Sejouv,

id

,

quod roethodis Ol

η

o rum Σ^α Ch'ctuge

^,

La

Place & Gaiifs- fuum .fpecialem tribuit

charaderem, fuum illis

conciliat particularem

perfedionis & eXaditudinis gradum

, pos-

fe, inquain) ex bis ideis

unicam <5c

novam

confiitui methodum,

qu<e, in pradenti

Analyfis fta.ty, videatur ftridisfitna. In hujus

jam verfaturi expiicatione, eo

benignius fperamus judicium, quo

majorem iibi vindicare

videantur indulgentiam, pertradatae gt«1*

vitas rei & anguflia temporis.

§. IL

Ut huic obviam eamus fini> obfervationum Joco esfe ad-

hibenda credidimus talia data^, quas prrebent refultatum & exadum

& fimplex, ad quod aptisfimum videtur

longitudinibus

&

latitudini-

bus uti geocentricis, neque in

disquifitione

hac

ullam fpecialem

^ex

Sedionibus conicis esie trajedorias asfignandam, quse

necesfario

cogetur esfe, ut eo commodius

posfim ca'culum fubducere, incu-

riofus, an abfurda eil fuppofuio vel non. Ceterum, quoniam

data iila, de quibur til quarilio, mediantibus

obfervationibus de-

terminabuntur, & omnes obfervaticnes nofirae non funt nifi ^ap- proximationes

ad veritafem, erroribus magni momenti exinde

dedudas confequentia; obnoxia? esie

posfunt.

Qu i, ut, quantum quidun licet, extenuentur ^,

tüilla alia dabitur via,

quam ut

ob-

fervationes _quam plurimas congeramns; ne aurem, tvitantes

Scyl-

lam, in Cbarybdim nimia obfervationum vicinia

incidamus,

tres

erunt obfervationes, _quse veluti epocbas habentur ,

paulluium lon-

giori intervallo ^a

fc diflantes. Redudiones,

quas

fubire debent

objfervationes geßcentricaj proprer nutationem,

praccesfionem,

pa-

rallaxin & aberrationem non pertinent ad

expoiltionem fequénr

tis methodi, fcd ad corrediomm uniuscujusque obfervationis, &

ceterum minutise funt. His

prasmisfis ad

ipiam

inethodum

pro»

gredimur.

§· HL

,·ί· ■

ξ. III.

Sit Izz angulus inclin. plani Orbit» Comet. ad Eclipt.

λ rrcLongitudo Solis, L rr Longit. Geocentr. Comet», /zzlå¬

tit. Geocent. Comet», (£>n:Longit. nodi afcend. Comet», Dzz diflantia a Teilure Comet» in orbita ad primain obfervat., D\

D" zz difhnt.i» e»dem ad fecundam <5c tertiam obfervationem,

Δ rr: diihntia Solis ^a Terra: Jam ex elementis Aflronomi»

tlieoric» habemus: Tang I[Z) CoflSin (L —- φ) — Δ Sin (λ

— ψ)] ^— D Sinizz 0y quam »quationem^, ut cognitam pr»>

fupponere cogimur, cujusque ceterum demonftratio iacillima.

Eadcm ratione proveniunt »quationes

Tang I[Df Cofl'Sin [l! -Φ) ^— Δ' Sm(A'~ φ)]—D'Sin l'zzo%

Tang 1[D"Cofl"Sin (L''-φ)^—&"Sin(\"—φ)1^—D"Sinl"^{zz o,}

uhi D,fD'\l',l",L':L"yW, k",Λ',Α"

fignififcant"

idem, ac D, l, LyK^j Δ fed relat» ad fecundam & tertiam obferystioiiem. Trans«

formentur h» »quationes in fequentes:

Tang I[[D Cofl Sin Ζ-Δ Sinλ jCo/φ /D Cr// CofL -A CofΑ)

Sin φ]— D Sin l zz ο

Tara#/[· Ζ)'Cofl' SinL'-Δ'$'nλ' )0/φ^-(Ζ)'Cofl' CofL'-A'CoJX)

Sinφ] — ZX Sml' zz o

TangI[(D"Cofί'SinL"-A"Sinh") Cofφ-(.D"Cof

I"CofL"-A"Cof

ti')

Sin φ] ^—- ZX'«Sra/"= o.

Jam ex comparatione prim» cum iecunda «5c illius etiam

cum tertia fequitur, fi b-revitatis ergo ponitur D Cofl Sin L — ΔSinKzzR,D'Cof ΓSin L'—Δ'Sin λ'zz R\ D" Cofl"SinL"—

Cf'Sin\A"z R",ΌCof ICof L^-ACofλ zzP,ZX Cofl'CofL'-KCofK

zz P\ D" Cofl" CofL"— AfCq/W'zz P" esfe

(ZX Sin l'R -D SinlR') Cofφ-'D'SinίP-DSin lP' )Sin ^φζζο, {D"Sin PR ^-D Sin lR")Coß$-{D"Sinl"P-DSin lP") Sin φ zz ο

D'Sin l'R ^— D SinlR' unde T°«g<?=

D,s.arp_DS.alß,

(Ι), Tang φ =

D"Sinl"R— DSinlR"

D"Sinl"Ρ D Vn lIy/

^ ^urJ^us' ^ invicem comparan-

tur, oritur:

) 7 (

(£)' SintR— D Sin IR'). DSinlP")^- (D"Sin(

— DSinIR").(D'Sin tΡ—DSin IP')"ZZ o, qua: asquatio, il il-

gnats multiplicationcs efficiunfur> deletts qui fe deilruunt, ^ter-

ntinis & diviflone f«da _per D Sinl forma,m iriduit DSinl{R'P"

— R"P') +D'Sin l'\R"Ρ^— RP") 4- D''Sinl"(RP'—R'P)= o Reflitutis nunc pro R, R', R'\ /J, P\ P"^,valoribus txoritur

D Sin l[D'D"CoftCofl' Sin[L'- Z/) —D'Cofi'ti'Sm(D-ti') —

D" Cof Γ ti Sin (λ' ^— 17) -f- titi' Siniti ^— λ")] ⁺ Ό'fint fDD"CoflCofl"Sin(L"^—L) — DCoίlti'Sin(ti' ^— L)

— D" Cof l" Δ Sin(17 ^— λ) 4 Ati'Sin(ti' — λ)] 4·

Df'Sinl"\DD"Cofl Cof tSin (L — L')—DCofItiSin (L — λ')

—D'Cfi'tiSinfi ^— L') -+-/StiSin(A ^— λ')] sr: ο; poiito deinde

α=Sin ICoftCoft'Sin^,L'— I") 4- SintCofl Cof l"Sin(L"—L)

SintiCoftCoftSin (L-Lfi β=ti'[SinlCoftSiniL' — λ")4-

Sin tCof t Sin(ti' - L), y ti[Sinl Coft'Sin(ti — L") 4-

SinI"Co]l Sin (L—

ti)]f$

⁼⁼ Δ[Sint Cofti Sin(L" ~~ λ 4-

Sinf'CoffSin(λ ^— £')]^{, g} titi'Sin l Sin(ti— λ"), ^{^} rss ΔΔ"Sinl Sin iti'—-λ), S ~ AtiSinti Sin(λ — ti) adipifcimur

ccDD'D"— ßDD' — yDD" — $D'D" 4- sD4 nD'-f- BD''

— 0 C3)' Hxc squatio conilderari debet ut bafis folutiohis

ρ oblematis Cometarum ck cujus ope, cognitis D & D" deter- yDD" - sD — $D"

minatur D'= ^r— (4).

»DD —ßD -fD'4- η

J

§ IV.

Jam ex fubtili analyfi, quam orbttis Comefarum deterini-

nandis adh buit La Grange ^, fequitur tales dari, in^ter ipfas igno-

tas adhuc diflantias, relationes, quibus posfint una & altera exprimi per tertiam, ii modo obfervationes non multum ab in-

vicem diflanf. Has autem relationes ipfs datae funr per tempo- ra, inter obfervationes elapfa, <k trigonometricas fundioneslon- gitudinum & låtit, geocentricarum. Si deilgnantur, brevitafis gratia Sinl"Cof t' Sin(ti — ti) — SintCoftiSin\i!' ^— ti)

per

per ju, Sin

f CoflSivSL

—

λ')

^—

Sin l Cof ΐ Sin(L''

^—

}/)

per μ

& Sinl'Cofl Sin (L — λ')^— Sin lCo/Ϊ Sin{L' ^—

λ')

per

μ"

&

fit porro trrr tempori i. e. numero minutorüm

primorum,

qua;

praeteriverunt inter ohiervationes

D

&

D', /

sc numero min.

prim. inter obferv.

D'

&

1)" t"

rs: numero

min.

pnm.

inter

obferv. D & ZT7, runc h<,benturspquationes( r) /μΌ^—

t"μ.Ι)'

ss

S9

(2\)tμ'Ό -

ίμΌ"

^{CT 0,} f'3j

ΙμΌ"

-

{'μ'DS:

o; q tu*um

analyti-

ca dedudio, proiixior quam ut luic posfet

aiFérri,

videatur in ipfo tradatu (Memoires de

l'Academie de Berlin «778)· NoAro

Fat eA fcopo, illas AridisAme demonAratas exiHere. itaque

ha-

ΐμΌ ^f /μ

'D

bemus D'r= „ , D"ss ; qui valöres, A in sequatione

t μ ίμ

(3) pr&'cedentis § FubAituantur novam

praebent

&

ipfam quidera

quadraficam:

ΰί/2μ2 β/μ ^ytμ

ο/2

μ*

Υ]/μ Sit

μ

(Α)

—jrτ~1)2

/ί μ2 ^—C~7Γi μ -+■τ7-"7FTt μ 11 μ2 t μ

+

ιμ

rrr ο. Per hujus ergo aequationis folutionem

determinari poteA

diAantia.

§· v.

Ulteriorem vero huic asquationi tribuere

debemus

^atten

tio-

nein. Primum obfervandum eA} in formandis asquationibus (i),

(2), (3) antecedentis § asfumtum eA, areas

redilineai,

quas

in

trajedoria Cometas

comprehendunt radii vedores & correfpon-

dentes chordas in piano orbitse Cometae,

esfe proportionales

temporibus, quibus

deferibuntur

5 quum tarnen

baec proportiona·

iitas non obtinet, nifi relative ad areas ipfas curvilineas,

inclu-

fas ab curva & radiis vedoribus. Deinde determinationes ante·

cedentes admodum Abi invicem proximas obfervationes requirunt,

ex quo magni &

multi

exoriri

posfunt

errores.

PoAremum,

non niA tres adhibitse funt obfervationes, quum, ad veritatem

quam proxime attingendam, ex

ipfa

natura

obfervationuin

geo-

centr. fequi videatur, eo certius

progredi,

quo

pluribus u&

fui·

) 9 (

fuimus obfervationibus , qua rum quidem nulla ^ex asfe convenft

cum cömputatis confequentiis, fed qüarum omnes proxime con·

fpirant cum reiultatis calcüli. His nunc incömmodis obviättl

eundum eld, & quod primlim attinet, prseferqusm , quod vu!go

ob nullius inomenti drfiferentiani in deter-minaiione diftantiarum adhibenrur areas reddilineas, ut veteres aliasque ^taceam, in mc- thodis eximiis, quas dederunt Olbers & Gaufs; huic, ii ^velis#

medeiam completam ufferre potes negligentia;, per uftmi fequett-

tium tcquafionum, loco fij, (2)-> f^J anteced. §.:

Fr*

t'μ D ^— t"(i ^- i —-_{K J} ύ)μΰ — O, tμ B ^— ίμΌ" = o i5c Fr*

tp D" — t"(i ^- ^ tt')μ"De ^{— o,} ubi ilgnificant ^r Diftan·

tiam mediam Tellurrs a Sole, Z7"viin centralemSolis ad difiantiam

r, R" radium vediorem Cometas infecundo obfervationis roomento.

Ex theoria motuum centraiium fequittir, quantitatem Fy inter-

vallo temporis unius minuti primi ^, esfe finum verfum ^{arcus me«}

dii, _quem hoc tempore psrcurrit in orbita fiia T eil^{os j} ideöque

Fr*

coefficiens ^ ~,rr_{K 3} non e^> nifi admodum _parva, relative ad

unitatem, quantitas. Sed ii, ut nihil exaxfio calculo deesfet, ad«

hiberetur, & tunc diceres valorem hujus additte coefficientis _pen«»

dere a valöre radii vedioris R, qua; rurfus non poteii exhiberie nifi cognita diliantia ^a Tellüre, facile eii

introfpediu,

inferendo

no.vam in calculo obfervationem, itridte fatisfieri conditionibus

prasferiptis, quibus ad quadraticamsequationein reduöatur problema.

Secundum, quod hujus methodi exadiitudini obflitit, ^erat obfervationum nimia vicinitas; fcilicet, licet etiain calculus ele¬

mentorum orbita; talibus obfervationibus expeditisfime fiat, ipfis

autem his elementis parum föret fidendumj quid qubd tam eva- dere depravata posfent, ut ne approximationis vice fungi vale-

rent. His vero non innuere volumus, melius esfe admodum ab invicem difiare loca obfervationum; hic enim cafus minime le- vioribus obnoxius eii incommodis, deiiitutus nimirum omnibus

artificiis, _quas ad approxitnataii) ducaat determinationem & ten*

B

tamihiBus meptis. &l fafHdioflsfimis fubjedlus. Limites- -vem me¬

lius _per ufum, ^quam per präcepta

edifcuniur

& variant gro di·

verfis corporibus caejeflibus. Stc elemcma ^jfummu, obfervatio-

uibus, 22 tan tum diebus, ab invicfem äisfitis, & non niil 7°25.'

tjiotum heliocentrkum coinpiedlentibus ^, uiulfa pitcciiione deriva-

vit Gcmfs, dc.eodem fuccesfu fuam. apglicavk methodum ad ob-

fervationes Ccretis, ouse 26,0 diebus ab invicein diiiabant &.

6a°15' litotum heliocentricum inciudebant. Si noilro nunc

fini

has asfertiones appJicemus, attendendum ef}·, formulas groxime priores non impedire, quominus· es

fe

ρ os

fin

t,

pauÜuinnV

Jon- giorj difläntia, ab. invicem

disfitie

,

D, D\

D

'

^,

ü> tantuinmodcv

per intertnedias obfervationes conjungaiitur. Sint ex. gr.

d, d'

d', d'"\ dcc. intermedia? obfervationes. Jam ex antecedentis § asquationibus (\(2), (p,) rationes inter D\ d,

d"

dcc.

·Ώ

^Ρ.

d'\ d'", &c. IX' exhiberi posfunti. Reρ rasfententur bas· per. 11.: m9.

η : m\ n": m", dep., adeo ut D d — η.: m, d :d' τζζ η : m\

&c. D'd" ^m n'': m\ d" : ά'" zrz ri'f:m ' dcc. ά'' : d'v zrs

niv ; mivf ^. d!i Ρ :D"^zzz n,'—(f + 0: ····(/>+

tunc per fuccesffvam fubflitutioncm provenit D' ^.

m . m. m"dcc m. m .m". in'".&c

Ώ _W. ;—771~r dc

D"

^=. D ;—-7 b.a.

formas-ßR.

η ^. η ccc vt .11 . η . ii . die

Jam tertium reffet, quo förmula (4)" § 5- ulteriörem adliuc

obtineat borredlionem dc perfedtionem, & hoc ef}, ur obferva¬

tiones multipiicentur quibus determinabuntur longif. dc lat. Ge0=

centricaj Cometas, harumque adhibeantur differentias primas dc leeundas _{, ut} explicatum· rbimus. Quoniam L &> /'repiasfentave-

runt longit. & lat. geocent. Gömetae ex. gr. borcales (aufiralea

indicari posiunt per —»■} ad ^certam epocham,-fi ponatur nume¬

rus dierum, ab hac ep.ocha ad: fequentern obfervationem elapfo»

rum n, exprimentur ftcunduni theoriam fundfionum in gene*

re longit. dc lat. Geocentricas Gometa» pofi hocce .tempus- per dL d2L 112 d^L 113

L·■+· —·— »>.-+*~7~~ — ·+■ "77*7 77 *4- &c-

dn dnz 2 än' 6

dl d2l nz d'l n*

ί ·+· ~ η d- 77 — ·+-

dn dn2· ζ dn 6

) Χ: i C

Γη his jam kriebus csciKcientej* p'ofeßaimi τα », per iilam

conditionem, quod ipise feries reprsefenhire deb.ent quascunque

©bfervatas iongit. & lar., determinari debent,. fubilituendo fcili-

cet pro η numerum dierum, qui il Iis correfpondit; iic asque

v multse obtinebuntur sequationes, ac facflas funt obfervationes ^, &

coefåcientium deterniinationes erunt eo magis acouratas, quo mi¬

nor eil η, & _quo plures- lunt obfervationes. Res ideo in eo vertitur,. _ut, per tlieoriam inferpolationum, fundio inveniatur

rationalis & integra tu η & talis, ^ut, fubflituto pro η numerο dierum, qui pertinet ad unamquamque obigrvåtionem, hxc fun-

(flio fefe trnnsformet in obfervatam longit, vei lat. Si reprac- fentant ti, ti, /z", ti", &c. obfervatas Gometas longit., & i,i', i'',

i'", dcc. ntmiéros dierum, quibus, ab certa epocha. diilent hx ti-ti

öbfervatione-s₅ il ceterum, brevitatis causfa ponitur _i ; =r dkt

— i

k'— ti ti"—·Ιι" dtidti dh"^·—dti

—77—zrdti, ~ ~dh", &c, = d2ti, ^{—^7} r

i — l . ι l l ι I — %

d2ti^- d2ti

zr d2ti\ <%c, _i 7-- ~ d>h, &c., patet fundionem quasfitam

— i

esfe h _-q- (n ^- i)dh4- (η^-i) (n-i')d2h4-(η—i)(n-i')(n^-i"jd*h

-f- &c. Si hasc nunc comparatur cum prima prsecedentium

dh d2 L μ-

Ü _4- —r~ η-f- — 4- &c. cociKci-entibus uuius eiusdernque

dn ' dn2- ² 1

poteilatis Τ8 η poiitis asqualibus-, o-rit^ur L rrh ^—- idh -f- ii'd2k

dL

— ii'i"d>k_-f· &c, rrdh ^- (i-\-i)d2h-k- (ii'4- ii"-Jri'i")d2ti

dn d2L

—-&c, 4- _dn2 —di2h ~ (i -4-i'4- i!)d?h -f- &c. Aitiores diffe-

_ x

rentias ex L negligere posfumus. Longitudo itaque Gomet#

poil parvuin numerum «\dierum, ab epocha, exprimetur per

fo.rmtilam fcquentem: h ^— idh-f~iid2'h — ii'i" h -f- &.e. 4-

η[dh^—(i-i- i'Jd2h4- (n -f- n' 4-11')d5h4- &c.] -q~n2[d2h —

(i 4-f-j- i'jd'h-f-(it -|-·ii"4~

£ϊ'■+·i'i"■+*i''i")d^h

^—_&c]

(»> Epocham ita fumere expedit, ut iit media3 quare in obferva-

iionibus anterioribus habere debent i)i\ %' &c fignum ^—. Si vo-

cantur correfpondentes latir. Geocentr. k, k', k'' Sic habebitur for-

mula correlpondens latir. mutando h in k. His rede adhioitis

fonnulis ultimum perfedionis gradum, in prasfeiiti analyfis

flatu obtinere, nobis falrem judicibus, videtur formula (4) § ? ; fi fequenti modo procedatur. Asfumatur primum L ceu epocha

media Si plures habeam obfervatas ante Sc pofl hanc epochan longit. Sc lat. Harum binas, una cum epochas dat-'ae iongir. Sc

lat. ita fubfiiruantur in foimuia (4) §. 5:rae, ut fit una ante, al¬

tera vero pofl ipfam epocham. Idem fiat in asquationibus (1), (2), (3) ejusdem §. Eruto fic valore ^τα D bina- alias ex obfer-

vatis longit. Sc lat., manente L epocha adhuc media fubfiituan-

tur, ex qua operatione alius orifur valor τα D; ficque cöntinue-

tur, donec plures asfecutus fis hujus D valöres. Deinde ex

fonnulis (1) hujus §. coinputentur longitudines Sc latitudines correfpondentes teinporibüs, quibus easdern halbes prius ex ob-

fervatione datas, -Sc harum fic fubdudarum longit. Sc lat, fubfli-

tuantur binas in formula (4) § 5:tse Sc in formulis (1), (2), \3) ejusdem §, ex quo proveniet novus valor τα D. Cortinuentür

fubfiitutiones, manente femper adhuc L epocha media -Sc eodem

modo procedatur, ac feceris cum

öbfervatis

longit. Sc lat.,

do¬

nec tot erueris valöres τα D, _quot ex priore operatione obti*

nuifii. Tota hasc procedendi ratio ^repetatur deinde

asfumtis L'

Sc Ii' ceu epochis inediis. Sic tria orianfur

necesfe eil fyfle-

mata valorum diilantiarum, in _quorum fingulo difiantias ^c-x com·

putatis longit. Sc lat. erutas congruere

.posfint,

^cum

illis,

quas

per immediatas obfervationes

funt determinatas, vel

non.

His

jam fyftematibus applicetur

methodus

minimorum

quadratornm,

quam fecundum theoriam

probabilitatis deduxit Gaufs

Sc

in §

179 2:di Libri eximii operis, cujus tituhis theoria motus cor-

jjorim cceleßium, in ßBionibus cojiicis· folem anibimthim

fic

ex- pofuit: ''Syfiema maxime probabile valorum

incognitarum id

erit, in _quo quadrata

differemiarum

inter valöres

fun&ionum

ex

his incognitis obfervatos Sc computatos

fummam

minimam

ef-

ficiunt'\ Hac, inter fyftemata, fa&a comparatione, illa demum

habetur ut vera Cometae a Tellure diflantia, ad fuarn pertinens epocham, in cujus fyftemate minima occurrit

differentia

inter

obfervatos ^Sc computatos iilius

valöres.