UPPSALA UNIVERSITET RAPPORT2011VT4801 Institutionen för pedagogik, didaktik och utbildningsstudier Examensarbete i utbildningsvetenskap inom allmänt utbildningsområde, 15hp

(1)

UPPSALA UNIVERSITET RAPPORT2011VT4801

Institutionen för pedagogik, didaktik och utbildningsstudier Examensarbete i utbildningsvetenskap

inom allmänt utbildningsområde, 15hp

HUR BRA ÄR SVENSKA ELEVER PÅ ATT LÖSA MATEMATISKA PROBLEMLÖSNINGSUPPGIFTER?

EN GRANSKANDE UNDERSÖKNING AV POJKARS OCH FLICKORS LÖSNINGAR PÅ NATIONELLA PROV I MATEMATIK

FÖRFATTARE HANDLEDARE

JESPER RUDNER BO JOHANSSON

BETYGSÄTTANDE LÄRARE

CECILIA FERM-THYRGERSEN

(2)

2

Sammanfattning

Syftet med denna studie är att (1) ta reda på hur bra eleverna är på att lösa problemlösningsuppgifter i matematik, (2) ta reda på vilka typer av fel som eleverna oftast begår och (3) fastställa vilka skillnaderna är mellan pojkarna och flickorna. Svaren som arbetet kommer fram till grundar sig på en undersökning av nationella prov för årskurs 9 i grundskolan. Det söks ett svar på frågan om hur bilden av problemlösning ser ut. Därtill utreds frågan om vad som kan ha orsakat en eventuell försämring: Kan den vara orsakad av för lite aritmetiska kunskaper? Kan den vara orsakad av elevernas undermåliga metoder i att analysera uppgifterna? Eller har eleverna misslyckats med att identifiera vilka matematiska regler eller lagar som ska tillämpas för att lösa uppgiften?

Som teoretisk bakgrund användes George Pólyas teorier för att kunna belysa vilka fel eleverna gör i provsvaren. Lesh & Zawojewskis forskning för att klarlägga vilka faktorer som spelar in svårighetsgraden i problemlösningen. Wyndhamn, Riesbeck & Schoults undersökning för att påvisa situationen i skolans verksamhet inom problemlösningen. Vidare utnyttjades Sundströms

& Sörells studie för att belysa skillnader på vilka uppgifter i problemlösning som pojkar respektive flickor har störst svårighet med. Nycanders undersökning användes för att visa skillnaden mellan flickors och pojkars resultat på nationella prov jämfört med elevernas slutbetyg.

Slutligen användes PRIM-gruppen rapporter för respektive prov för att ta reda på var underliggande undersökningens elever ligger jämfört med PRIM-gruppens betydligt större kontrollgrupp.

Proven som undersöktes är från 2004, 2006 och 2008. Vid varje år undersöktes minst 40 elevers provsvar och samtidigt tillräckligt många provsvar från både pojkar och flickor. Vid varje år valdes två uppgifter ut genom dels att de jämfördes med uppgifterna från de andra proven, dels för att hitta motsvarande uppgifter eller i alla fall uppgifter som berörde samma matematiska problemställning.

Sammanfattningsvis visar föreliggande studie att de undersökta eleverna har betydandeproblem med att lösa problemlösningsuppgifter i matematik. De två största felområden är dels logiska fel och dels att eleverna inte försökt lösa uppgiften. Det senare visar på att det finns stora brister i elevernas förmåga att inse vilken lag eller regel som kan användas för att lösa uppgifterna. En skillnad mellan pojkar och flickor är att pojkarna oftare saknar lösningar på uppgiften, medan flickorna oftare gör logiska fel i sina försök. Slutligen kan konstateras att flickorna uppvisar något högre lösningsgrad än pojkarna.

Nyckelord: problemlösning, matematik, pojkar, flickor och grundskolans åk9.

(3)

3 Innehållsförteckning

1. Bakgrund 5

2. Problem och problemlösning i matematik 6

2.1. Definition av problem och problemlösning 6

2.2. Varför är problemlösning viktig för eleverna? 6

2.2.1. Blooms taxonomi 7

2.3. Heuristik 8

2.4. Hur löser eleverna ett problem på enklaste sätt? 9

2.4.1. Att förstå problemet 9

2.4.2. Att göra upp en plan 9

2.4.3. Att genomföra planen 9

2.4.4. Att se tillbaka 10

3. Forskningsläge 11

3.1. Tidigare forskning inom problemlösning 11

3.2. Tidigare forskning inom området – skillnader mellan pojkars och flickors resultat inom

matematiken 14

3.3. PRIM-gruppens provrapporter 15

3.3.1. Ämnesprov 2004 16

3.3.2. Ämnesprov 2006 16

3.3.3. Ämnesprov 2008 17

4. Syfte och frågeställning 18

5. Metod 19

5.1. Urval och avgränsningar 19

5.2. Databearbetning 20

5.3. Design och datainsamling 21

5.4. Forskningsetiska reflektioner 21

6. Resultat & Analys 22

6.1. Exempel på fel 22

6.2. Vilka fel gör eleverna på uppgifterna? Är det något fel som dominerar? 24

6.2.1. Elevernas felfördelningar 24

6.2.2. Slutsats 26

(4)

4

6.3. Finns det skillnader mellan pojkars och flickors resultat, och vilka fel gör de i sina problemlösningsuppgifter? Och i så fall hur ser skillnaderna ut? 26

6.3.1. Elevernas felfördelningar 26

6.3.2. Slutsats 31

6.4. Jämförelse av de snarlika uppgifterna 31

6.4.1. Diagram 32

6.4.2. Tabell och logiskt tänkande 32

6.4.3. Logiskt tänkande 33

6.5. Har de undersökta eleverna tillräckliga kunskaper i att lösa problem? 33

7. Avslutande diskussion 35

7.1. Svar på frågeställningarna 35

7.1.1. Vilka fel gör eleverna på uppgifterna? Är det något fel som dominerar? 35

7.1.2. Finns det skillnader mellan pojkars och flickors resultat, och vilka fel gör de i sina

problemlösningsuppgifter? 35

7.1.3. Har de undersökta eleverna tillräckliga kunskaper i att lösa problem? 35

7.1.4. Jämförelse av de snarlika uppgifterna 35

7.2. Tillförlitlighet 36

7.3. Teoretisk analys 36

7.4. Didaktisk analys 36

7.5. Författarens slutsatser gällande den egna framtida undervisningen 37

7.6. Förslag på vidare forskning 37

8. Referenslista 38

9. Bilagor 40

(5)

5 1. Bakgrund

Vid besök i olika skolor får man ofta fått höra av lärare, att eleverna blir allt sämre i matematik. Samtidigt betonar både Dagens Nyheter och Utbildningsminister Jan Björklund att svenska elever har försämrat sina resultat i matematik de senaste 10-15 åren¹. Eftersom eleverna visar försämrade resultat i de internationella undersökningarna – TIMSS (Trends in International Mathematics and Science Study) och PISA (Programme for International Student Assessment) – känns ämnet värt att studera. Misslyckas eleverna i matematiken för att de inte förstår de förväntas lösa problemlösningsuppgifter?

Resonemanget ovan leder fram till min första fråga att undersöka: har de svenska eleverna inte skaffat sig tillräckliga kunskaper om hur de löser problemlösningsuppgifter? Det kan vara nyttigt att ta reda på vad orsaken är till att så många elever misslyckas i matematiken, och om orsakerna skiljer sig något mellan pojkar och flickor. Den andra fråga är, vilka fel eleverna gör när de misslyckas med problemlösningsuppgifter? Informationen kan hjälpa till att identifiera vilka kategorier av fel som dominerar. Svaret på denna fråga kan ge lärare bättre insikter och verktyg att åtgärda problemet och vända på den negativa trenden inom elevernas matematikkunskaper och resulterande betyg. Den tredje frågan är: skiljer det sig åt mellan pojkars och flickors resultat och på typerna av fel som de gör i problemlösningsuppgifterna och i så fall hur?

Sundström & Sörell (2010) har tidigare undersökt frågan om det skiljer på vilka uppgifter i problemlösning som pojkar respektive flickor har störst svårighet med, i Pojk– och flickproblem i matematik – Könsskillnader i problemlösning i matematik i årskurs tre och sex.

Även Maria Nycander (2006), i sitt examensarbete Pojkars och flickors betyg – en statistisk undersökning, har undersökt om det skiljer sig mellan pojkars och flickors betyg, och byggt sina slutsatser på en jämförelse av resultatet på nationella prov i matematik.

Den föreliggande undersökningen kompletterar dessa tidigare undersökningar.

Läroplanen från 1994 är den som föreliggande undersökning har att rätta sig efter eftersom det var den som gällde under den tiden då det undersökta materialet skrevs.

1 ”Svenska elever sämre på matte” (2009), Jan Björklund (2008)

(6)

6 2. Problem och problemlösning i matematik

I det här avsnittet fastställs några viktiga definitioner samt förklaras varför det är viktigt med problemlösning i skolan. Därtill diskuteras en grundlig genomgång om en metod för problemlösning.

2.1. Definition av problem och problemlösning

Vad är ett problem och vad är en problemlösning? Nationalencyklopedins definition på problem är: ”ett problem är en svårighet som det krävs ansträngning att komma till rätta med;

uppgift som kräver tankearbete och analytisk förmåga”². Med stöd av denna definition på problem, kan problemlösning definieras som följande: problemlösning är situationen då man möter ett problem och finner vägar eller sätt att reda ut problemet. Denna definition är alltför bred och inte tillräckligt begränsad för att vara användbar i föreliggande undersökning utan det behövs en definition av problemlösningsuppgift i matematik.

Definitionen för problemlösningsuppgift i matematik är, enligt författarens egen uppfattning, en uppgift där eleverna behöver lösa ett matematiskt problem. Eleverna behöver analysera uppgiften och tillämpa sina kunskaper i flera steg innan de kommer fram till en lösning på problemet.

2.2. Varför är problemlösning viktig för eleverna?

Här är det av värde att utgå ifrån vad som står i läroplanen för grundskolan. I Lpo94 står det att ”eleverna skall ges förutsättningar att utveckla sin förmåga att arbeta självständigt och lösa problem”³.

Det står även att:

Skolan skall sträva efter att varje elev lär sig att lyssna, diskutera, argumentera och använda sina kunskaper som redskap för att – formulera och pröva antaganden och lösa problem,

– reflektera över erfarenheter och – kritiskt granska och värdera påståenden och förhållanden⁴.

Det här är bakgrunden till en av frågorna som föreliggande undersökning vill kontrollera: om eleverna har tillräckligt med kunskaper för att lösa problemlösningsuppgifter i matematik.

Skolan ansvarar för ”att varje elev efter genomgången grundskola behärskar grundläggande matematiskt tänkande och kan tillämpa det i vardagslivet”⁵.

2 http://www.ne.se sök på problem.

3 Skolverket (2009), s. 6.

4 Ibid., s. 10.

5 Ibid.

(7)

7

Även kursplanen för matematik i grundskolan motiverar varför problemlösning är viktigt.

Eleven ska exempelvis utveckla: intresse för matematik; tilltro till det egna tänkandet; den egna förmågan att lära sig matematik; användandet av matematik i olika situationer; utveckla sin förmåga att förstå, föra, använda logiska resonemang; dra slutsatser, generalisera, samt muntligt och skriftligt kunna förklara och argumentera för sitt tänkande. Eleven ska även utveckla sin förmåga att formulera, gestalta, och lösa problem med hjälp av matematik samt tolka, jämföra, och värdera lösningarna i förhållande till den ursprungliga problemställningen⁶.

Både läroplanen (LPO 94) och kursplanen för grundskolan anser alltså att det är viktigt att eleverna lär sig matematisk problemlösning.

Bengt Ahlström poängterar i Nämnaren att problemlösning är viktig för att eleverna ska utveckla tankar, idéer, självförtroende, analysförmåga, kreativitet, och tålamod⁷. För att eleverna ska kunna bli goda problemlösare behöver eleverna under en lång tidsperiod regelmässigt lösa många problem av skiftande slag⁸. En tolkning av ovanstående resonemang är att lärarna behöver ha flera och återkommande lektioner med problem som eleverna får arbeta med, för att lära sig problemlösning.

2.2.1. Blooms taxonomi

Blooms taxonomi är ett exempel på hur kunskap kam struktureras och organiseras i en undervisningssituation men ska däremot inte ses som en modell som beskriver den enskilde elevens lärandeprocesser⁹. Blooms taxonomi har konstruerats för att göra kunskapsbegreppen mer hanterliga och när man vill göra en kvalitativ bedömning kan taxonomin vara till hjälp som beskriver kunskapsskillnader i form av kvalitativa nivåer¹⁰. Nivåerna är 6 till antalet i Blooms taxonomi (nivå 1 är faktakunskaper; nivå 2 är förståelse; nivå 3 är tillämpning; nivå 4 är analys;

nivå 5 är syntes; och nivå 6 är värdering)¹¹.

Nivå 3 – tillämpning: här använder sig eleverna det de vet genom att tillämpa sina kunskaper på ett praktiskt sätt; genom att tillämpa regler och formler på ett nytt problem som testar deras kunskaper och förståelse; och inom matematiken kan det vara att: räkna ut, lösa, testa och experimentera¹².

Nivå 4 – analys: eleverna urskiljer samband och mönsterstrukturer och uppmanas att bryta ner det de vet i delar så att de kan se sambandet mellan delarna; och inom matematiken handlar det om: analysera; upptäcka; dissekera och testa¹³.

6 Finns på skolverkets hemsida – www.skolverket.se, under fliken kursplaner & betyg.

7 Ahlström (1996), s. 69.

8 Ibid., s. 70.

9 Sandell, Marie (2006), s 71.

10 Ibid.

11 Ibid., s. 71 ff.

12 Ibid., s 72, 107.

13 Ibid.

(8)

8

Nivå 5 – syntes: eleverna uppmanas att tänka kreativt, att se nya sätt och vägar att göra saker på, att sätta samman det de vet på ovanliga och flexibla sätt och inom matematiken rör detta sig om: systematisera, ställa en hypotes, formulera, uppfinna och organisera¹⁴.

Ofta framställs de olika nivåerna som en pyramid men med tanke på hur kunskapssynen har förändrats och att den gängse uppfattningen inom den pedagogiska forskningen idag är att lärandet inte sker hierarkiskt utan på alla nivåer och i alla former samtidigt, så har Sandell valt att visuellt framställa de olika nivåerna enligt figur 1¹⁵

Figur 1 Blooms taxonomi

Blooms taxonomi är en av de metoder som används mycket under de senaste fem decennierna som hjälp för att säkerställa att de frågeställningar och arbetsuppgifter som ges även stimulerar och utvecklar elevernas högre tankeförmåga¹⁶

Författarens egen uppfattning är att problemlösningen är ett bra sätt att träna eleverna de högre nivåerna i Blooms taxonomi. Analyssteget innebär att ta isär helheten i komponenter för att förstå strukturen; syntessteget handlar om att sammanställa nya mönster och strukturer;

värdering behandlar slutligen bedömning genom kriterier¹⁷. Dessa nivåer i Blooms taxonomi är viktiga att träna hos eleverna, för att eleverna ska kunna använda sig av sina kunskaper från skolan utanför skolan och även senare i livet.

2.3. Heuristik

Heuristiken är en mindre känd forskningsgren vars syfte är att studera metoder och regler för upptäckt och uppfinning¹⁸. Den moderna heuristiken försöker att förstå

14 Sandell. Marie (2006), s72, 107.

15 Ibid., s. 73.

16 Ibid., s. 74.

17 Ibid., s. 71 ff.

18 Pólya (1970), s. 113.

Faktakunskaper

Förståelse

Tillämpningar Analys

Värdering

Syntes

(9)

9

problemlösningsprocesser, speciellt de tankeoperationer som normalt används under denna process¹⁹. Heuristiken belyser hur man kan genomför problemlösning och vinner ny kunskap.

2.4. Hur löser eleverna ett problem på enklaste sätt?

Den största, mest använda och fortfarande aktuella boken inom heuristiken är utan tvekan George Pólyas: How to Solve It. Pólya uppdelar problemlösning i fyra faser: att förstå problemet;

att göra upp en plan; att genomföra planen; och att se tillbaka²⁰. 2.4.1. Att förstå problemet

Eleverna behöver inte bara förstå problemet utan även känna en önskan att kunna lösa det.

Det första steget handlar om att föreställa sig problemet som helhet utan att bry sig om detaljerna. Andra steget är att isolera problemets huvuddelar från varandra, gå igenom huvuddelarna och granska dem var och en i tur och ordning, betrakta dem i skilda kombinationer och som helhet²¹.

2.4.2. Att göra upp en plan

Att göra upp en plan kan vara en lång och mödosam väg, från att förstå ett problem till att göra upp en plan. Det bästa en lärare kan göra för eleven, enligt Pólya, är att fråga eleven om han/hon känner till något närbesläktat problem, alternativt att föreslå eleven att först betrakta den obekanta storheten och försöka att dra sig till minnes ett känt problem med samma eller liknande obekanta storhet²². Om det inte går att lösa det givna problemet, kan kanske eleven lösa något liknande problem och därefter kontrollera om han/hon har använt sig av de givna storheterna och de givna villkoren²³. Att lyckas med att ta fram en plan kan vara en komplex uppgift, och kräver: tidigare förvärvade kunskaper, sunda tankevanor, målmedveten koncentration, och en god portion tur²⁴.

2.4.3. Att genomföra planen

Att genomföra planen är enklare eftersom det endast kräver en hel del tålamod. Om eleverna själva har kommit fram till planen har de lättare för att fullfölja den. Om de däremot har fått planen från läraren har de lättare att komma av sig, med resultatet att eleverna förlorar insikten i

19 Pólya (1970), s. 142.

20 Ibid., s. 16 f.

21 Ibid., s. 50.

22 Ibid., s. 27.

23 Ibid., s. 50.

24 Ibid., s. 32.

(10)

10

hur de kom fram till lösningen. Pólya påtalar att huvudsaken är att eleverna är övertygade om att varje steg i planen är korrekt²⁵. I vissa fall behöver läraren fråga eleven om han/hon kan se att steget är korrekt eller kan bevisa att steget är korrekt²⁶. Eleven börjar med den idé som ledde fram till lösningsförslaget och går i detalj igenom alla de algebraiska eller geometriska operationer som han/hon tidigare ansåg vara användbara.

2.4.4. Att se tillbaka

Enligt Pólya tänker inte de flesta elever självmant på denna fas. Så snart som de har kommit fram till lösningen på problemet och skrivit ner den, slår de ihop sina böcker och börjar intressera sig i någonting annat. Genom att se tillbaka på den fullbordade lösningen, genom att ompröva och åter igen undersöka resultatet och den väg som ledde dit, skulle de befästa sina kunskaper och utveckla sin förmåga att lösa problem. Två frågor som eleverna ska kunna besvara när de har kommit till denna fas är: Är det möjligt att kontrollera resultatet? och Är det möjligt att kontrollera bevisföringen²⁷. Eleverna ska här granska lösningens detaljer för att se om de kan förenkla och korta ner lösningen. Då kanske eleverna finner en ny och bättre lösning, eller upptäcker nya och intressanta fakta²⁸.

Pólyas tankar om problemlösning används för att identifiera och analysera var elevernas svar på uppgifterna avviker från respektive uppgifts förväntade, rätta svar.

25 Pólya (1970), s. 32.

26 Ibid., s. 32 f.

27 Ibid., s. 34.

28 Ibid., s. 52 f.

(11)

11 3. Forskningsläge

I detta kapitel presenteras och diskuteras: relevant litteratur och tidigare forskning inom matematisk problemlösning; tidigare forskning rörande skillnader mellan pojkars och flickors resultat inom matematiken; samt PRIM-gruppens rapporter om respektive prov.

.

3.1. Tidigare forskning inom problemlösning

Att försöka lära eleverna att använda generella problemlösningsstrategier hade generellt misslyckats, enligt Alan Schoenfeld, som rekommenderade 1992:

Att bättre resultat kanske kunde fås om det utvecklades och lärdes ut mer specifika problemlösningsstrategier och studera hur man lär ut metakognition. På detta sätt kan eleverna lära sig att effektivt använda sina problemlösningsstrategier och ämneskunskaper, för att på tid öka elevernas syn på naturen hos matematiken och problemlösning²⁹.

Lesh & Zawojewski föreslår en alternativ undervisning som bygger på antagandet om att problemlösningsförmågan utvecklas genom att lärarna först lära ut begrepp och tillvägagångssätt, därefter lära ut problemlösning som en samling strategier. Exempel: att rita en bild eller gissa och kontrollera och slutligen, om det finns tid, tillhandahålla eleverna med praktiska problem³⁰.

Författarna ser fyra olika variabler som spelar roll för problemlösningens svårighetsgrad:

innehåll, sammansättning, det språkliga och den heuristiska. Men de poängterar att ytterligare en faktor, som inte är studerad, påverkar, - nämligen elevernas reaktioner³¹. Det är dessa faktorer som påverkar svårigheterna med att lösa ett problem.

Forskarna tolkar Pólyas heuristik snarare som strategier vilka är avsedda att hjälpa problemlösaren att tänka på, reflektera över, och översätta problemsituationer, mer än att hjälpa den med att besluta vad som ska göras när han/hon har fastnat under ett problemlösningsförslag³². Att målet med Pólyas heuristik skulle vara att hjälpa användaren när den fastnar i problemlösningen, ter sig osannolik; däremot finns möjligen utrymme för en sådan tolkning. Men tveklöst är Pólyas heuristik främst att betraktas som en hjälpande strategi för att komma till insikt i hur man kan gå tillväga när man ägnar sig åt problemlösning.

Lesh & Zawojewski poängterar även att goda problemlösare skiljer sig från dåliga problemlösare på följande sätt: de vet mer om sina styrkor och svagheter, de är bättre på att

29 Lesh & Zawojewski (2007), s. 763.

30 Ibid., s. 765.

31 Ibid., s. 766.

32 Ibid., s. 768.

(12)

12

kontrollera och justera sina ansträngningar, och de tenderar att vara mer intresserade av att få fram en elegant lösning till sina problem³³.

Wyndhamn, Riesbeck & Schoultz påtalar att ett av de viktigaste målen för den obligatoriska skolan är att ge eleverna en handlingsberedskap för livet utanför och efter skolan. För matematikundervisningens del innebär detta att eleverna bör skaffa sig sådana kunskaper och färdigheter, som de kan ha nytta av i olika sammanhang, samt att de får erfarenheter av olika situationer där dessa kunskaper tillämpas³⁴. Det får eleverna, enligt forskarna, genom att på matematiklektionerna få syssla med att lösa problem. Det är detta som undersökningen vill kontrollera, där en av frågorna handlar om att kontrollera vilken andel elever som kan tillämpa kunskaperna för att lösa problemlösningsuppgifter. Författarna vill ge bilden av problemlösning, där tillämpning ställs mot inlärning och arbetssätt ställs mot tankeprocess, enligt figur 2³⁵.

Tankenötter Strategier

Kluringar Tekniker

Tumregler

Lära sig nya saker Resonera och

Nyanseringar av elevernas argumentera existerande

Föreställningar och tankar om matematiska begrepp och tillvägagångssätt

Figur 2: Problemlösningsfältet i skolan

De olika delarna i figur 2 kan beskrivas enligt följande:

A. Problemlösning är: att använda det man redan kan i matematik och har erfarenhet av sedan tidigare på ett rationellt sätt är problemlösning.

B. Problemlösning är: att arbeta med vardagsbetonade, nyttiga men ibland också kluriga frågor är problemlösning.

C. Problemlösning är: att tillsammans med andra på ett åskådligt och handfast sätt få diskutera och tolka information, fakta och olika samband är problemlösning.

D. Problemlösning är: att göra medvetna tankeexperiment och sedan analysera och värdera dessa är problemlösning.

33 Lesh & Zawojewski (2007), s. 770.

34 Wyndhamn, Riesbeck & Schoultz (2000), s. 41.

35 Ibid., s. 13-18.

Problemlösningen sätts in i ett meningsbärande sammanhang

Vad?

Hur?

A D C B

Skapa sig ett sätt att söka fram lösningen

Tillämpning

Arbetssätt Tankeprocess

Inlärning

(13)

13

Problemlösning i grupp ger eleverna tillfälle att tala matematik med varandra, där de får argumentera för olika lösningar och att lyssna på andras argument. Elevens tankar behöver vidareutvecklas annars riskerar eleven att stanna upp inför ett specifikt fall. Då upprepar eleven den förståelse eller brist på förståelse han/hon redan har, där felaktig förståelse inte utmanas utan bekräftas³⁶.

I sitt arbete upptäckte Wyndhamn, Riesbeck & Schoultz att elevernas ovilja att bryta det egna arbetet kunde dämpas, om läraren rubricerar en aktivitet som ”pratmatte” eller ”problemlösning”.

Under en lektion i årskurs fyra införde läraren en timme i veckan som var avsedd för

”pratmatte”, och sedan dess har det inte varit svårt att få med eleverna. De tycker tvärtom att det är roligt. Syftet med ”pratmatte” är att sätta språket i fokus, där eleven ska både tala och lyssna.

Det är angeläget att eleverna lär sig matematiska ord och uttryck, samt att de sätter in de matematiska begreppen i ett korrekt sammanhang³⁷. Detta kan underlätta problemlösningen för eleverna genom att de tränas i det matematiska språket. Denna förståelse av det matematiska språket medför att eleverna har lättare att förstå uppgifterna och följaktligen kan de lättare lösa de problem som de kan ställas inför.

TIMSS är den största och mest omfattande studie av elevers kunskaper i matematik och naturvetenskap som någonsin har genomförts där ungefär sjuhundrafemtiotusen elever från mer än fyrtio länder och från tre olika åldersgrupper ingår. Studien kontrollerar resultaten hos nioåringar, trettonåringar, och elever som går sista året på gymnasiet. Testet är framtaget i samarbete mellan de deltagande länderna, och elevuppgifterna är utformade med detaljer som är relevanta till samtliga deltagande länders läro- och kursplaner. Uppgifterna ska även spegla viktiga naturvetenskapliga och matematiska områden³⁸. Omfattningen av denna studie gör den statistiskt mycket säker. Därför erbjuder den en solid grund för dragande av slutsatser.

Wyndhamn, Riesbeck & Schoultz påpekar att resultaten från undersökningar som TIMSS bör utgöra självklara utgångspunkter för skolans förändringsarbete. Idag verkar dock ingen utom massmedia intressera sig för dessa tester och då enbart som inslag som kunskapsolympiader.

Författarna anser att man kan fråga sig varför Sverige deltar i dessa tester, när resultaten får så liten spridning och återkoppling till undervisningen är nästan obefintlig³⁹. Det kan ses som förvånande är att vi i Sverige inte verkar använda resultaten från studier som TIMSS till att göra förbättringsarbeten. Det ter sig som så att man i Sverige enbart använder testresultaten till att påtala att skolan inte utför sitt uppdrag. Det kanske har att göra med att det är en studie som är svår att återkoppla med anledning av att den inte följer bara våra läro- och kursplaner utan även en stor mängd andra länders läro- och kursplaner.

37 Ibid., s. 168 f.

38 Ibid., s. 269.

39 Ibid., s. 278.

(14)

14

Det eleverna behöver kunna och veta för att lösa problem kan sorteras in under någon av dessa tre generella kategorier⁴⁰:

 Begreppskunskap – faktakunskaper. Kunskaper om grundläggande matematiska begrepp och kunskap om representationer.

 Procedurkunskap – beräkningar med hjälp av uppställningar, förenklingar av ekvationer, tillämpningar av formler och genomförande av schablonlösningar.

 Strategisk kunskap – sätt att dyrka upp ett problem, igenkännande av uppgiftstyper, utnyttjande av särdrag och detaljer i ett problem för beslut om dess lösning.

Det är dessa grupper av kunskaper som undersöks i detta examensarbete, med särskild emfas på procedurkunskap och strategisk kunskap.

3.2. Tidigare forskning inom området – skillnader mellan pojkars och flickors resultat inom matematiken

Sundström & Sörell studerade pojk– och flickproblem i matematik, om könsskillnader i problemlösning i matematik i årskurs tre och sex under vårterminen 2010. Det som följer är det som är intressant för den här studien.

Sörell kunde inte finna några specifika problemlösningsuppgifter i matematik som gynnade pojkar och flickor olika mycket i sin delundersökning av elever i årskurs tre. Hon såg att det fanns några skillnader i vilka strategier pojkar och flickor använde sig av för att lösa matematikproblem.

Dessa påverkade dock inte anmärkningsvärt andelen rätta svar och ansågs därför av ringa betydelse i studien⁴¹. Men det är intressant att hon i sin undersökning förlitar sig så kraftigt på statistiken, när hennes undersökning påvisar att vissa feltyper skiljer pojkar och flickor åt. Det beror nog på att Sundström & Sörell inte hade en fråga som täckte just denna detalj. Ur tabellerna kan man utläsa att flickorna gör dubbelt så många fel som beror på kunskapsbrist och läsförståelse⁴². Detta ämne är vad den här undersökningen behandlar i sin andra fråga, där skillnaderna mellan pojkars och flickors fel analyseras.

Sundströms del av undersökningen riktar in sig på elever i årskurs sex. I hennes tabeller 10 och 11 kan utläsas att pojkarna gör dubbelt så många huvudräkningsfel jämfört med flickorna.

Flickorna gör dubbelt så många slarvfel och ännu fler positionssystemfel där andelen är upp mot fem gånger så stor jämfört med pojkarna⁴³. Hon poängterar även att pojkarna klarade av problemlösningsprovet bättre än flickorna, på både flickuppgifterna och på pojkuppgifterna.

Pojkarna löser och försöker på fler uppgifter än flickorna⁴⁴.

41 Sundström & Sörell (2010), s. 23.

42 Ibid., s. 17.

43 Ibid., s. 25 f.

44 Ibid., s 32.

(15)

15

Författarnas studie kommer fram till att skillnaderna som de fann kan vara ett resultat av ålder, men det kan lika gärna bero på att eleverna mött olika typer av undervisning. Av det skälet tycker Sundström och Sörell att undersökningen bör upprepas på ett större urval av klasser för att kunna generaliseras⁴⁵. Ytterligare detaljer som de belyser som intressanta är att pojkarna lyckades bättre totalt sett på problemlösningsprovet. Det skulle kunna bero på att pojkarna försöker att lösa alla uppgifterna medan flickorna, som ofta känner sig mindre värda, bara tittar på uppgiften och när de inte får en direkt tanke om hur de ska lösa uppgiften och då hoppar de över den⁴⁶.

Maria Nycander studerade vårterminen 2006 pojkars och flickors betyg, en jämförelse av skillnaden mellan resultat på de nationella proven i matematik, svenska och engelska och motsvarande betyg för pojkar respektive flickor. Den delen som berör matematiken är av värde för denna undersökning.

Författaren kom fram till att på de nationella proven i matematik får pojkar och flickor i stort sett samma resultat. Men när hon studerar resultaten från TIMSS och PISA finner hon att pojkarna presterar något bättre i matematik. Trots detta så får flickor högre betyg än pojkarna⁴⁷. När hon tittar på nettoandelen elever som får höjt betyg så är skillnaden mellan pojkar och flickor signifikant. Under tidsperioden 1998-2005 var medelvärdet för höjda betyg hos flickorna 16 %, jämfört med pojkarnas 9 %. Samtliga år ligger flickornas nettoandel över pojkarnas⁴⁸. Nycanders undersökning visar entydigt att flickor oftare får höjt betyg jämfört med pojkarna vid granskning av resultaten på de nationella proven. För ämnena matematik, svenska och engelska under åren 1998-2005 var nettohöjningen för flickor är 10 % i genomsnitt men endast 1 % för pojkar⁴⁹.

I sin slutdiskussion så kommer författaren fram till att det förefaller som att det har strävats efter att konstruera proven i matematik så att könsskillnader i resultaten utjämnas i matematiken, där flickor traditionellt är svagare. En möjlig förklaring som hon poängterar kan vara att flickors bättre uppförande i klassrummen kan påverka betygsättningen, detta trots att Skolverket ger klara instruktioner om att närvaro, flit, ambition, läxläsning m.m. inte ska påverka lärarnas betygsättning⁵⁰.

3.3. PRIM-gruppens provrapporter

I detta avsnitt återfinns en del information om respektive prov för att belysa skillnader och likheter mellan PRIM-gruppens resultat och den här undersökningens resultat Tyvärr tog inte PRIM-gruppen hänsyn till elevernas kön när det gäller provbetyg och slutbetyg.

45 Sundström & Sörell (2010), s. 33.

46 Ibid., s. 34.

47 Nycander (2006), s. 10.

48 Ibid., s. 13.

49 Ibid., s. 18.

50 Ibid., s. 20.

(16)

16

Materialet som valts ur PRIM-gruppens rapporter är fördelningarna för elevernas betyg i urvalsgrupperna för respektive prov. Det möjliggör en jämförelse av de olika provresultaten och dragning av slutsatser. Även lösningsgraden för uppgifterna för både pojkar och flickor har tagits därifrån för att göra jämförelser mot föreliggande undersöknings resultat och belysa skillnaderna mellan könen lättare.

3.3.1. Ämnesprov 2004

I PRIM-gruppens rapport för ämnesprovet 2004 finns följande tabell:

Tabell 1: Fördelningen för de 2320 eleverna i urvalsgruppen ⁵¹

Icke Godkänd Godkänd Väl Godkänd Mycket Väl Godkänd

Provbetyg 13 % 47 % 27 % 13 %

Slutbetyg 6 % 52 % 28 % 14 %

På alla delprov var skillnaden mellan könen mycket liten, men på delprov C, som är det delprov som den här studien har hämtat sitt underlag, presterade flickorna något bättre än pojkarna⁵².

Tabell 2: Lösningsgrad för pojkar och flickor i urvalsgruppen för de två utvalda uppgifter⁵³

Pojkarnas lösningsgrad Flickornas lösningsgrad Kategori av uppgift

Uppgift 1 55 % 56 % Diagram

Uppgift 2 35 % 39 % Logiskt tänkande

PRIM-gruppens rapport visar ingen markant skillnad mellan pojkarnas och flickornas resultat.

Den här studien har kopierat PRIM-gruppens information för vidare bearbetning.

3.3.2. Ämnesprov 2006

Tabell 3: Fördelningen för de 1191 eleverna i urvalsgruppen ⁵⁴

Provbetyg 13 % 52 % 23 % 12 %

Slutbetyg 7 % 53 % 28 % 13 %

51 PRIM-gruppen (2004:b), s. 1.

52 Ibid., s. 3.

53 Ibid., s. 16.

(17)

17

På delproven som helhet var skillnaden mellan könen mycket liten. Men på delprov C, som är det delprov den här studien har tagit sina uppgifter ifrån, presterade flickorna något bättre än pojkarna⁵⁵.

Tabell 4: Lösningsgrad för pojkar och flickor i urvalsgruppen för de två utvalda uppgifter⁵⁶

Pojkarnas lösningsgrad Flickornas lösningsgrad Kategori av uppgift

Uppgift 1 46 % 53 % Tabell och logiskt

tänkande

Uppgift 2 30 % 32 % Diagram

PRIM-gruppens rapport visar ingen markant skillnad mellan pojkarna och flickorna vid jämförelse av den sista av de två uppgifterna som denna undersökning tar i anspråk. Den första uppgiften visar en marginell skillnad mellan pojkarnas och flickornas resultat.

3.3.3. Ämnesprov 2008

Tabell 5: Fördelningen för de knappt 2200 eleverna i urvalsgruppen ⁵⁷

Samtliga 17,6 % 45,4 % 26,7 % 10,3 %

Flickor 20,3 % 44,3 % 26,2 % 9,2 %

Pojkar 15,0 % 46,5 % 27,1 % 11,4 %

PRIM-gruppens rapport påvisar inte någon markant skillnad mellan pojkarna och flickorna.

Tabell 6: Lösningsgrad för pojkar och flickor i urvalsgruppen för de två utvalda uppgifter⁵⁸

Alla (%) Pojkar (%) Flickor (%) Kategori av uppgift

Uppgift 1a 81 81 80 Logiskt tänkande

Uppgift 1b 39 39 40

Uppgift 2a 17 17 17 Tabell och logiskt tänkande

Uppgift 2b 14 14 14

PRIM-gruppens rapport visar att det inte finns någon markant skillnad mellan pojkarna och flickorna.

56 Ibid., s. 15.

58 Ibid., s. 10.

(18)

18 4. Syfte och frågeställningar

Den här undersökningens första syfte är att utröna hur stor del av elever som har tillräckliga kunskaper i matematisk problemlösning, i uppgifter de inte omedelbart kan se lösningen utan måste räkna i minst två steg för att nå den.

Undersökningens andra syfte är att undersöka skillnader i lösningar mellan pojkars respektive flickors resultat.

Båda delsyftena undersöks med utgångspunkt i grundskolans nationella prov i matematik, årskurs 9, just för att kunna se om det brister för eleverna, och om elevernas kunskaper i problemlösning är tillräckliga.

Undersökningen söker svar på följande frågor:

 Vilka fel gör eleverna på uppgifterna?

Är det något fel som dominerar?

 Finns det skillnader mellan pojkars och flickors resultat och fel? Och i så fall vilka?

 Hur ser de undersökta elevernas kunskaper i att lösa matematiska problemlösningsuppgifter ut?

(19)

19 5. Metod

I föreliggande undersökning bearbetades ämnesprov för årskurs 9⁵⁹. Vid varje tidpunkt undersöktes två olika problemlösningsuppgifter. Proven som undersöktes gjordes i årskurs 9 från 2004, 2006 och 2008⁶⁰. Dessa prov valdes ut för att de inte längre var sekretessbelagda av Skolverket. Vid varje år var målet att undersöka minst 50 elevers provsvar och att samtidigt att undersökningen fick tillräckligt många provsvar från både pojkar och flickor, så att mängden svar gav ett statistiskt säkert material att grunda slutsatser på. I de undersökta proven fanns det vid varje tillfälle tre uppgifter som klassades som problemlösningsuppgifter. För den här undersökningen valdes två av de tre uppgifterna ut genom dels att de jämfördes med uppgifterna från de andra proven, dels för att hitta motsvarande uppgifter eller i alla fall uppgifter som berörde samma matematiska problemställning.

För den här undersökningen valdes följande uppgifter: (1) Diagram uppgift 1 från 2004 och uppgift 2 från 2006, där båda uppgifterna gick ut på att utlösa svar från ett diagram. Skillnaden mellan de båda uppgifterna var att i den ena, skulle man uttolka när det var billigast för olika alternativ, medan i den andra skulle man räkna ut fördelningen av deltagarna vid en viss avgiftsinkomst. (2) Nästa grupp av uppgifter behandlade: logiskt tänkande uppgift 2 från 2004 och uppgift 1 från 2008. Här skulle eleverna resonera sig fram till resultat med olika ställda villkor. (3) Det sista uppgiftsparet tog upp tabell och logiskt tänkande uppgift 1 från 2006 och uppgift 2 från 2008. Eleverna skulle 2006 få fram en lösning som följde mönstret som påvisades i tabellen för uppgiften, men i uppgiften från 2008 skulle eleverna finna mönstret, i form av en ekvation, för tabellen.

5.1. Urval och avgränsningar

För den här undersökningens ändamål har en skola slumpmässigt blivit utvald, där alla skrivna provsvar låtits ingå. Detta för att minimera att undersökningen skulle koncentreras på de fall, där t.ex. eleverna endast gjorde fel och inga som gjorde rätt, eller där undersökningen drog missvisande slutsatser p.g.a. att man råkat ha fått en skev fördelning av elevernas provsvar.

Samtidigt blev undersökningen mer oberoende av eventuellt förekommande enstaka, tillfälliga egenskaper hos provsvaren, och chanserna att få en representativ variation av de relevanta variablerna förbättrades⁶¹. Undersökningen började med att finna hur stor andel av eleverna som lyckades lösa uppgifterna, därefter övergick undersökningen till att kartlägga vilka kategorier av fel som eleverna hade gjort.

59 Se Bilagor för utvalda uppgifter.

60 se fullständiga Internetadresser i referenserna.

61 Esaiasson (2007), s. 111.

(20)

20

Här användes ett bekvämlighetsurval vad gällde de ingående elevernas provsvar för att undersöka hur pojkar respektive flickor löste utvalda problemlösningsuppgifterna⁶². Detta gjordes genom att ta med samtliga provsvar oavsett kön på eleverna.

Den undersökta skolan hade år 2004: 169 elever i årskurs 9, varav här undersöktes 54; år 2006 var det 145 elever varav 80 undersöktes; slutligen, år 2008, hade skolan 162 elever och undersökningen studerade 44 elevers resultat⁶³. Det var väl att beakta att man här inte med säkerhet hade fått ett representativt urval av elever, därmed ökade osäkerheten i resultatet⁶⁴.

5.2. Databearbetning

Denna undersökning innehöll en kvantitativ del och en kvalitativ del. Den kvantitativa delen undersökte hur stor del av undersökta eleverna som klarade problemlösningsuppgifterna och jämförde pojkarnas och flickornas resultat. Kvantitativa undersökningen gav svar på hur ofta och i vilken grad variabeln förekom i det undersökta som variabeln förekommer⁶⁵. Ett relativt stort undersökningsmaterial krävdes för att reducera samplingsfelet och säkra resultatens pålitlighet.

Den kvalitativa delen bestod av en undersökning av vilka fel eleverna hade gjort när de har försökt men misslyckats med att lösa uppgiften. Här var undersökningen uppdelad i två delar, en systematisk del och en kritisk-granskningsdel. Den systematiska delen sökte visa hur sorterna fel fördelade sig hos eleverna när de hade försökt lösa uppgiften⁶⁶. Den kritisk-granskningsdelen undersökte i vilken utsträckning elevernas lösningar rättade sig efter de matematiska reglerna och sökte ta reda på anledningen till eventuella fel. Denna del utgjorde således en idékritisk undersökning av elevernas sätt att ta sig an problemen⁶⁷. Detta upplägg ger ytterligare detaljer som gjorde att mer relevanta slutsatser kunde dras om elevernas kunskaper när man undersökte de olika proven.

Resultaten från PRIM-gruppens rapporter för respektive prov användes för att jämföra hur underliggande undersöknings elever. Detta gjordes genom att jämföra lösningsgraden för uppgifterna för dels PRIM-gruppens elever och dels föreliggande undersöknings elever på respektive prov. Då kunde föreliggande undersökningen avgöra om undersökta elever befann sig över, under eller på samma nivå som PRIM-gruppens elever⁶⁸. Och på så sätt kunde bättre slutsatser dras om hur elevernas kunskapsnivåer var vid proven.

62 Esaiasson (2007), s. 202.

63 http://siris.skolverket.se/pls/portal/ris.elever_gr.rapport. Sök på respektive år.

64 Esaiasson (2007), s. 203.

65 Ibid., s. 223.

66 Ibid., s. 238.

67 Ibid., s. 239.

68 se fullständiga Internetadresser till rapporterna i referenserna.

(21)

21 5.3. Design och datainsamling

Undersökningens källor utgörs av elevernas provsvar från nationella prov i årskurs nio. Dessa var inte alltför utförliga men försök har gjorts att gå igenom det som eleverna har antecknat och analyserade det så mycket som möjligt.

Undersökningen eftersträvade i första hand att tolka och analysera elevernas metodfel i problemlösningsuppgifterna. Parallellt med denna analys gjordes dels en jämförelse av provsvar skrivna med några års mellanrum, dels en utvärdering av elevernas sätt att lösa problemlösningsuppgifter för att kontrollera om de var tillfredställande lika provens rättningsmallar. Källorna för undersökningens underlag gav bra och pålitliga fakta så långt de räckte, men i många fall lämnade de ingen entydig information om hur eleverna kom fram till sina felaktiga svar⁶⁹. Ytterligare en källa till felräkningar var den stress som många elever känner när de jobbar under stark tidspress⁷⁰.

5.4. Forskningsetiska reflektioner

Enligt de forskningsetiska principerna fanns det fyra allmänna huvudkrav på forskningen:

informationskravet, samtyckeskravet, konfidentialitetskravet och nyttjandekravet⁷¹.

Eftersom den här studiens författare aldrig arbetade med de elever vars provsvar utgör undersökningens källmaterial, var det tillräckligt att berätta för elevernas rektor om undersökning.

Rektorerna kunde sedan ta ställning, i elevernas frånvaro, om undersökningen.

Förfarandet stöddes av Vetenskapsrådet:

I de fall där uppgifter om deltagarna tas från existerande myndighetsregister och information inte lämnats t.ex. via massmedia behöver inte samtycke efterfrågas. … I vissa fall, då undersökningen inte innefattar frågor av privat eller etiskt känslig natur, kan samtycke inhämtas via företrädare för uppgiftslämnare och undersökningsdeltagare (t.ex. skolledning, lärare, arbetsgivare, fackförening eller motsvarande) och eventuellt berörd tredje part⁷².

Inget i den här rapporten torde orsaka skada eller kunna skapa obehag hos de deltagande eleverna. Uppgifterna som undersökningen grundas på var i form av ämnesprov där uppmärksamheten endast riktades på hur eleverna har löst eller försökt att lösa, en problemlösningsuppgift enligt tidigare definition. De enda anteckningar som tagits från källmaterialet rörde endast hur eleverna har gjort sina lösningar, vilket kön eleven hade och vilket år som eleven hade gått när eleven skrev ämnesprovet.

69 Hellspong, s. 4.

70 Ibid., s. 6.

71 Vetenskapsrådet (2002), s. 6.

72 Ibid., s. 9.

(22)

22 6. Resultat & Analys

Föreliggande undersökning använder sig av olika kategorier av fel för att särskilja anledningarna till varför eleverna har gjort fel på uppgifterna. På en av uppgifterna, uppgift nr. 1 på provet VT2008 skulle eleverna även dra en slutsats efter att ha utfört sin beräkning. Svaren sorterades in i någon av följande tre olika kategorier:

 Slutsatsen är korrekt.

 Slutsatsen är felaktig.

 Slutsats saknas.

Den här sorteringsmetoden används för att elever kan göra uträkningen helt rätt men ändå dra fel slutsats, alternativt göra något fel i beräkningen men ändå dra en riktig slutsats. Det är av betydelse att särskilja detta resultat från övriga bedömningar.

De kategorier som används är för att särskilja elevernas provsvar är följande:

 Korrekt – en fullständigt korrekt lösning.

 BerFel – fel i beräkningen, ett räknefel men rätt enligt matematiska regler.

 BeLoFel – fel i både beräkningen och logiken, detta fel är både räknefel och undlåter att beakta matematiska regler & lagar.

 FelLog – fel i logiken, eleven har inte följt de matematiska reglerna & lagarna för uträkning av uppgiften.

 SlaFel – fel på grund av att man har slarvat i uträkningen, t.ex. att skriva av fel tal ifrån uppgiften.

 SakLös – lösning på uppgiften saknas.

För att beräkna andelen elever som har gjort beräkningsfel, summeras de båda grupperna BerFel och BeLoFel. För att undersöka alla elever som utfört logiska fel räknas alla elever i gruppen BeLoFel plus eleverna i gruppen FelLog.

6.1. Exempel på fel

Här följer några exempel på typiska fel som eleverna kan ha utfört på de undersökta proven.

Provuppgifterna återfinns i kapitel 9: Bilagorna.

Ex 1) Här är ett exempel på ett typiskt slarvfel (SlaFel).

Uppgift 1a) på provet VT2008 (på sidan 42):

Det som eleven har missat är att kopiera av uppgiften riktigt och följden blir att istället för att komma fram till 575 gram så kommer eleven fram till 675 gram. Det finns andra fel som passar in i denna kategori men de bottnar i samma orsak, nämligen slarv.

(23)

23 Ex2) Här har vi ett typiskt logiskt fel (FelLog).

Uppgift 1 på provet VT2006 (på sidan 41):

Tabell 7: Tabellen visar ett mönster som är inspirerat av de olympiska ringarna.

Figur (n) Antal

ringar (r) Antal skärnings- punkter (s)

1 5 8

2 7 12

3 9 16

. . .

n r s

c) I figur 2 finns 12 skärningspunkter. Hur många skärningspunkter finns i figur 6?

I figur 2 är det 12 skärningspunkter.

I figur 6: 12+12+12=36 skärningspunkter.

Felet är att eleven har antagit att det är samma förhållande över hela området. Detta är inte fallet utan man tvingas att räkna ut hur mycket det skiljer sig mellan varje figur och sedan räkna på antalet figurer emellan figur 6 och exempelvis figur 2.

Skillnaden mellan varje figur är 12-8=4 eller 16-12=4. Det är alltså 4 som skiljer mellan varje figur i tabellen och det skiljer 6-2=4 figurer mellan figur 6 och figur 2. Det ger således resultatet för figur 6: 12+4+4+4+4=28 och inte 36.

Det finns andra typer av logiska fel som eleverna kunde utfört men anledningen är fortfarande att de har gjort ett eller flera logiska fel i sin uträkning som resulterar att de sorteras in i denna kategori.

Ex3) Här har vi ett typiskt fel som både är beräkningsfel och logiskt fel (BeLoFel):

Uppgift 2 på provet VT2004 (på sidan 40):

8*5=40 alltså 40/5=8 . Hon kan ha fått 4, 10, 5, 8 och 8.

Det eleven har gjort fel är att om man skriver talen i storleksordning får vi 4, 5, 8, 8 och 10, vilket ger medianen 8.

Samtidigt blir medelvärdet: .

Elevens median blir 8 och medelvärdet blir 7 vilket inte är korrekt.

(24)

24

Beräkningsfelet är att eleven har fått medelvärdet till 8 vilket man kan se i de tidiga stegen men ändå räknar eleven ut vilka tal som skulle resultera i ett medelvärde på 8 och med en median på 10.

Det logiska felet är att eleven inte har påvisat sin median genom att skriva talen i ordningsföljd med det minsta först. Om eleven hade skrivit upp talen i storleksordning hade eleven sett att medianen blir 8. Ett annat logiskt fel som kan vara gällande här är att eleven tror sig ha räknat ut medianen, vilket inte är fallet.

Dessa fel är endast exempel på fel som är snarlika med felen som eleverna alstrade i denna undersökning och ska inte tolkas som några exakta lösningsförslag från eleverna. De är lite mer generella drag som kan ses i elevernas lösningsförslag på respektive uppgift.

6.2. Vilka fel gör eleverna på uppgifterna? Är det något fel som dominerar?

I det här avsnittet undersöks elevernas provsvar. Undersökningen första fråga är det som det fokuseras på i detta delkapitel. Vilka fel gör eleverna på uppgifterna? Och är det något fel som dominerar?

Antalet elever vid provet från 2004 är det 54: 24 pojkar och 30 flickor; vid provet från 2006 är det 80 elever: 37 pojkar och 43 flickor; och provet från 2008 då det var 44 elever: 25 pojkar och 19 flickor. Diagrammen i detta kapitel visar resultaten på respektive prov.

6.2.1. Elevernas felfördelningar

Undersökningen börjar med ämnesprovet från 2004. När undersökningen tittar på elevernas resultat oavsett kön från detta år blir felfördelningen enligt följande:

Här syns det att nästan var fjärde elever klarar av att lösa uppgifterna korrekt. Det är få elever som gör rena beräkningsfel (BerFel) men att det är många som bryter mot matematiska lagar och regler: 31 % bryter mot reglerna (FelLog) och 17 % bryter mot reglerna samtidigt som de utför beräkningsfel (BeLoFel).

Diagram 1: total felfördelning 2004

Det är alarmerande att nästan hälften av eleverna inte klarar att lösa uppgifterna på grund av logiska fel i sina lösningar. Men samtidigt så är det faktiskt nästan var fjärde elev som lyckas lösa problemlösningsuppgifterna.

(25)

25

Vid undersökning av ämnesprovet för 2006 så fås följande bild:

Det första är att det här året är det endast är 4 % som har löst uppgifterna korrekt och det andra är att 75 % av eleverna har gjort någon typ av logiskt fel (71 % FelLog och 4 % BeLoFel).

Men eftersom inte gruppen som saknar lösning på uppgifterna inte är stor, så är det mindre sannolikt att felfördelningen endast beror på att uppgifterna var för svåra utan även på att eleverna inte har klarat av att identifiera själva problemet och därmed inte kunnat hitta rätt lösningsmetod. Vid jämförelse med de övriga årens felfördelningar blir det tydligt att fler elever här gör logiska fel, så år 2006, diagram 2, står ut lite mer jämfört med de andra proven från 2004 och 2008.

När sedan undersökningen kommer till ämnesprovet för 2008 blir bilden av felfördelningen följande:

Här är det nästan dubbelt så många som inte försökt att lösa uppgiften (SakLös) än vid 2004 och även fler elever än vid 2006. Elever som gör beräkningsfel samtidigt som de bryter mot de matematiska lagar och regler (BeLoFel) är färre än jämfört med både vid 2004 och 2006. Här är det bara 2 % av eleverna som gör detta, jämfört med 17 % för 2004 och 4 % för 2006.

Samtidigt är slarvfelen detta år färre än jämfört med provet från 2004 och på samma låga nivå som vid provet från 2006.

Det är betydligt fler i kategorin elever som bryter mot matematiska lagar & regler (FelLog) än vid 2004, men mindre än vid 2006. Det är inte fler än förut med tanke på eleverna som samtidigt har gjort både beräkningsfel och logiska fel (BeLoFel) nästan har upphört när undersökningen jämför resultatet från 2008 med 2004. Vid jämförelse med 2006 så är det ingen markant skillnad på antalet fel hos denna grupp. Under 2008 har eleverna som inte har löst uppgiften (SakLös) blivit fler jämfört med både 2004 och 2006. Samtidigt är eleverna som gör logiska fel (FelLog) färre än jämfört med 2006 men är fortfarande på en hög nivå. Detta kan bero på antingen att eleverna inte kan metoden för att lösa uppgiften eller på att eleverna har problem med Pólyas första fas (se kapitel 2.4.1). Denna fas handlar om att identifiera problemet, där eleven ska försöka hitta ett motsvarande problem som den problemlösande eleven har löst tidigare. Detta gäller för eleverna under både år 2006 och 2008.

(26)

26 6.2.2. Slutsats

De två största kategorierna av fel är att eleverna har gjort logiska fel (FelLog) eller att det saknas lösning (SakLös), vilket visar på att det finns stora brister hos eleverna när det gäller att se vilken lag eller regel som de behöver för att lösa uppgifterna. Men det är oklart om detta beror på brister i att identifiera problemet i uppgiften, något som är själva idén med Pólyas identifikationsfas (se kapitel 2.4.1). Oavsett anledning är brister av detta slag ett allvarligt problem för skolan och för lärarnas försök att uppnå målen i både läroplanen och kursplanen.

Det tycks vara så att eleverna inte har tillräckligt av de kunskaper som Wyndhamn, Riesbeck &

Schoultz kallar procedurkunskap och strategisk kunskap är något som jag upplever att eleverna inte har tillräckligt av (se kapitel 3.1). Det är detta som gör att elevernas lösningar brister.

Ett annat alarmerande inslag är att det är få elever som kan lösa en problemlösningsuppgift korrekt. Det gör ju att eleverna, när de kommer ut i livet efter skolan, inte använda sig av verktygslådan som matematiken med dess lagar och regler utgör.

6.3. Finns det skillnader mellan pojkars och flickors resultat, och vilka fel gör de i sina problemlösningsuppgifter? Och i så fall hur ser skillnaderna ut?

Efter att ha undersökt hur det ser ut för alla eleverna vid respektive prov är det nu dags för att undersöka frågan om det finns några skillnader mellan pojkarnas och flickornas lösningar.

Här kontrolleras de eventuella fel som pojkarna respektive flickorna har gjort på problemlösningsuppgifterna och pojkarnas och flickornas resultat jämförs med varandra.

Det ger oss generella kunskaper om vilka problemområden inom matematiken som är karakteristiska för pojkarna respektive flickorna.

6.3.1. Elevernas felfördelningar

Först undersöks medelvärdet för den procentuella delen av pojkar respektive flickor som har löst uppgifterna med de värden som PRIM-gruppen kom fram till i sina kontrollgrupper:

Tabell 8: Jämförelse mellan resultat PRIM-gruppens kontrollgrupp och undersökningens elever 2004

Uppgift Prim-Pojkar Und.sök.-Pojkar Prim-Flickor Und.sök-Flickor

1 55 % 60 % 56 % 66 %

2 35 % 36 % 36 % 51 %

Det står klart att pojkarna och flickorna är marginellt lite bättre på uppgift 1 i den här undersökningen än eleverna i PRIM-gruppens rapport. Flickorna är otvivelaktigt bättre än kontrollgruppens flickor på att lösa uppgift 2, där de har fått 51 % jämfört mot kontrollgruppens 36 % .

Gruppen elever som undersöks här är till synes något över normal nivå och det medför att fel proportionerna skulle kunna stämmer rätt bra överens med hur det ser ut i allmänhet.

(27)

27

För provet 2004 ser respektive fördelningar ut för första uppgiften enligt följande:

Diagram 4: Pojkar uppgift 1 ämnesprovet 2004 Diagram 5: Flickor uppgift 1 ämnesprovet 2004

Diagram 4 och 5 visar att slarvfelen (SlaFel) och rena beräkningsfel (BerFel) är i stort sett lika stora för både pojkarna och flickorna, pojkarna är bara marginellt färre i kategorierna. Även kategorin för korrekta lösningarna (Korrekt) är bara marginellt bättre för pojkarna.

Den stora skillnaden är att pojkarna har marginellt fler rena logiska fel (FelLog) men flickorna har dubbelt så många fel som både är beräkningsfel och logiska fel (BeLoFel). Flickorna har även fler som har gjort logiska fel sammanlagt när undersökningen tar in de som även har gjort beräkningsfel i bedömningen(Fellog + BeLoFel). Däremot har alla flickorna försökt lösa uppgiften medans pojkarna är nästan en på tjugo som saknar lösning på uppgiften (SakLös).

Nästa uppgift ger följande två diagram:

Diagram 6 och 7 visar att flickorna har lyckats betydligt bättre än pojkarna på att försöka lösa uppgiften (SakLös), 13 % mot pojkarnas 42 %. Flickorna har även lyckas lösa uppgiften bättre än pojkarna (Korrekt), 36 % mot pojkarnas 17 %. Pojkarna gör tre gånger så många slarvfel (SlaFel) jämfört med flickorna, 21 % mot 7 %. Men istället gör flickorna dubbelt så många logiska fel (FelLog) jämfört med pojkarna, 44 % mot 20 %. Flickorna gör även mer än dubbelt så mycket beräkningsfel (BeLoFel) än pojkarna, 17 % mot 8 %. Det mest påtagliga är att fyra av tio pojkar saknar lösning på uppgiften (SakLös) och det är mer än tre gånger så många jämfört med flickorna. Om detta skulle röra sig om ett typiskt flickproblem som Sundström & Sörell undersökte, så borde väl flickorna inte göra dubbelt så många logiska fel än pojkarna? Även om flickorna har lyckats bättre än pojkarna i uppgiften så känns det inte att den här uppgiften är ett

(28)

28

typiskt flickproblem utan det borde ha med något annat att göra. Men det är inte en fråga som denna undersökning går in på djupet med.

När undersökningen behandlar proven från år 2006 och jämför medelvärdet för andelen av pojkar respektive flickor som har löst uppgifterna med de värden som PRIM-gruppen har i sina kontrollgrupper, ger det följande:

Uppgift Prim-Pojkar Und.sök.-Pojkar Prim-Flickor Und.sök-Flickor

1 46 % 39 % 53 % 41 %

2 30 % 23 % 32 % 29 %

Alltså har pojkarna och flickorna i undersökningen lite sämre resultat på uppgifterna än eleverna i PRIM-gruppens kontrollgrupp.

För provet 2006 ser respektive fördelningar ut för första uppgiften enligt följande:

Det första som kan konstateras är att lika stor del pojkar som flickor har löst uppgiften korrekt, nämligen 5 %. Vidare är den största gruppen – rena logiska fel (FelLog) men den består av mer än ¾ av eleverna.

Det skiljer ingenting väsentligt mellan pojkarna och flickorna när undersökningen tittar på elever som saknar lösning på uppgiften (SakLös) eller de elever som har utfört rena beräkningsfel (BerFel). Andelen pojkar som har gjort beräkningsfel och samtidigt gjort logiska fel (BeLoFel) är däremot dubbelt så stor jämfört med flickorna. Det är endast några få flickor som har utfört slarvfel, bara 2 %.

För den andra uppgiften så blir resultatet enligt följande två diagram:

(29)

29

Den stora skillnaden här är att pojkarna är placerade i endast två olika grupper nämligen saknas lösning (SakLös) och logiska fel (FelLog) medans flickorna även kategoriseras in i korrekta lösningar (Korrekt), slarvfel (SlaFel) och beräknings och samtidigt logiska fel (BeLoFel) men dessa grupper är små. Uppgifterna verkar ha uppfattats som svåra av eleverna eftersom det är många som har lämnat in utan någon lösning eller har gjort något logiskt fel i sin uträkning.

För provet från 2008 blir jämförelsen mot kontrollgruppen som följer:

Uppgift Prim-Pojkar Und.sök-Pojkar Prim-Flickor Und.sök-Flickor

1a 81 % 74 % 80 % 92 %

1b 39 % 41 % 40 % 40 %

2a 17 % 20 % 17 % 16 %

2b 14 % 12 % 14 % 5 %

Undersökningens pojkarna är sämre än kontrollgruppens pojkar i uppgift 1a, men är istället marginellt bättre än kontrollgruppens pojkar i uppgift 2a och i övrigt stämmer deras resultat ganska väl överens mot kontrollgruppens resultat. Undersökningens flickorna skiljer sig mot kontrollgruppens flickor på två sätt. Det första är att de är bättre på uppgift 1a, där pojkarna var sämre, det andra är att undersökningens flickorna var sämre än kontrollgruppens flickor på uppgift 2b. Men i stort sett är flickornas resultat i överensstämmande med kontrollgruppens.

Denna jämförelse skiljer sig åt mot de övriga jämförelserna, för det skiljer mycket på lösningsgraderna på deluppgifterna och därför måste redovisas på ett annorlunda sätt än för de övriga uppgifterna.

Pojkarnas respektive flickornas slutsatser för uppgift nr. 1 från provet 2008 ser ut enligt följande två diagram:

Diagram 14: Fördelningen av slutsatserna uppgift 1 ämnesprovet 2008

Vid en procentuell fördelning av slutsatsdragningen blir det följande resultat:

Diagram 15: Fördelningen av slutsatserna uppgift 1 ämnesprovet 2008 uttryckt i %