Institutionen för pedagogik, didaktik och utbildningsstudier Självständigt arbete 1 för grundlärare Fk-3 och 4-6, 15 hp VT18
Läromedel i matematik
Läromedelsanalys baserad på Blooms reviderade taxonomi
Kajsa Häll Therése Ehn
Handledare: Lennart Rolandsson
Examinator: Cecilia Kilhamn
2
Sammanfattning
Läromedel har en betydande roll för undervisningen i matematik. I Sverige finns ingen statlig granskning av läromedel vilket inspirerade oss att göra en läromedelsanalys för det här självständiga arbetet. Arbetets teoretiska utgångspunkt utgörs av Blooms reviderade taxonomi som den beskrivs av Anderson m.fl. Blooms reviderade taxonomi består av sex kognitiva processer och fyra kunskapstyper. Med hjälp av Blooms reviderade taxonomi utformades ett analysverktyg för en kvalitativ innehållsanalys. Syftet med undersökningen är att med hjälp av detta analysverktyg beskriva mönster i två läromedel i matematik. Analysen bygger i hög grad på tolkningar vilket gör undersökningen svår att replikera.
Vi har granskat ett kapitel i två olika läromedel som säger sig vara anpassade för Lgr11 och riktar sig mot årskurs 6. Genom analysen klassificeras uppgifter i läroböcker för matematik i årskurs 6 efter vilka typer av mål för undervisningen som finns implicit uttryckta i
uppgifterna. I Lgr11s kursplan för matematik finns fem förmågor beskrivna vilka utgör mål för undervisningen. Vi undersöker även i vilken utsträckning de analyserade läromedlen ger elever möjlighet att utveckla olika typer av kunskap. Av resultaten framkommer att de analyserade uppgifterna till största del behandlar mål av typen tillämpa procedurkunskap.
Metakognitiv kunskap är den kunskapstyp som behandlas minst i de analyserade läromedlen.
Nyckelord: Blooms reviderade taxonomi, läromedel, matematik, läromedelsanalys
3
Innehållsförteckning
Sammanfattning ... 2
1. Inledning ... 5
2. Bakgrund ... 6
2.1 Läromedelsgranskning ... 6
2.2 Lgr11s kunskapssyn och förmågor i matematik ... 6
2.3 Didaktisk relevans ... 7
2.4 Mål för undervisningen ... 8
3. Tidigare forskning ... 8
3.1 Struktur i läromedel ... 9
3.2 Läromedel och läroplanen... 9
3.3 Läromedels användning ... 10
3.4 Matematiska förmågor i läromedel ... 10
4. Teoretiska utgångspunkter ... 12
4.1 Blooms reviderade taxonomi ... 12
4.1.1 Kognitiva processer ... 13
4.1.2 Kunskapstyper... 14
4.1.3 Mål för undervisningen och aktiviteter ... 15
5. Syfte och frågeställningar ... 15
6. Metod ... 16
6.1 Val av metod ... 16
6.2 Avgränsning ... 16
6.3 Urval ... 17
6.4 Presentation av läromedel ... 18
6.4.1 Mera Favorit matematik 6A ... 18
6.4.2 Eldorado Matte 6A ... 18
6.5 Analysverktyg ... 19
6.6 Fördelning av arbetet ... 20
6.7 Reliabilitet och validitet ... 20
6.8 Etiska överväganden ... 21
7. Resultat och analys ... 22
7.1 Resultat av analysen ... 22
7.1.1 Eldorado Matte 6A ... 22
7.1.2 Mera Favorit Matematik 6A ... 24
4
8. Diskussion ... 27
8.1 Mål för undervisningen ... 27
8.2 Möjlighet att utveckla olika typer av kunskap ... 28
8.3 Kognitiva processer ... 29
8.4 Metoddiskussion ... 29
9. Konklusion ... 30
9.1 Slutsatser ... 30
9.2 Framtida forskning ... 31
5
1. Inledning
I Skolverkets lägesbedömning från 2017 kan läsas att Sveriges resultat i internationella studier (t.ex. TIMSS, som mäter grundskoleelevers kunskaper i matematik och naturkunskap) nu har slutat sjunka. Trots de goda nyheterna är dock resultaten 2017 fortfarande lägre än när mätningarna började år 1995 (Skolverket 2017a, s. 36). Det är även värt att notera att svenska elevers resultat ligger under genomsnittet jämfört med övriga EU och OECD-länder som deltagit i kartläggningen (Skolverket 2016, s. 20). TIMSS-undersökningen från 2015 visar att de områden inom matematik som svenska elever är svagast inom är geometri och algebra (Skolverket 2016, s. 33).I rapporten från skolverket kan även läsas att andelen lärare utan pedagogisk högskoleexamen ökar (Skolverket 2017a, s. 56). Vidare framgår det att en stor del av svenska lärare inte anser sig ha tillräckligt mycket tid till att förbereda sin undervisning (Skolverket 2017a, s. 57).
Skolinspektionens granskningsrapport av undervisningen i matematik (2009, s.17) visar att undervisningen i matematik i grundskolan i huvudsak sker i form av enskilt arbete eller arbete i mindre grupper. Enskilt arbete utgör närmare 60% av lektionstiden där majoriteten av tiden används till läroboksuppgifter. I genomsnitt spenderas 33% av den totala tiden med att utföra läroboksuppgifter. Flera av de lärare som leder lektionerna, framförallt de som är osäkra på kursplanen, förlitar sig ofta på att den lärobok de använder förhåller sig på ett bra sätt till kursplanen. Innehållet i de läroböcker som används är därför viktigt att diskutera. De uppgifter skolinspektionen (2009. s.17) finner i sina granskningar av läroböcker är framförallt uppgifter som tränar procedurkunskap. Det är även den typ av uppgifter som i störst
utsträckning finns på lösa papper som lärare delar ut till eleverna.
Eftersom det inte längre finns någon statlig granskning av läromedel faller ansvaret för att säkerställa läromedlens kvalitet på skolorna, som fritt kan välja vilka läromedel som köps in.
Att en stor andel lärare inte anser sig ha tillräckligt mycket tid att granska läromedel tror vi kan vara en indikation på att det finns ett behov av den typ av undersökning som vi valt att göra. Inför undersökningen reflekterade vi ifall begränsad tid till planering och en större andel obehöriga lärare möjligtvis kan leda till att läroboken får en större roll i
undervisningen. Jäder (2015, s. 23) tar upp ett flertal studier som visar att läroboken har stort inflytande på undervisningen i matematik.
Resultaten från TIMSS-undersökningen 2015 har gjort oss särskilt intresserade av geometri och algebra inom matematikundervisningen och vi har därför valt att fokusera på just algebra i det här arbetet. Det Jäders avhandling visar om läromedlens starka ställning inom
matematikundervisningen bekräftar vad vi som lärarstudenter har upplevt under
lärarutbildningens VFU-perioder. Under vår tid på olika skolor har vi sett att läroboken i stor utsträckning utgör grunden för matematikundervisningen vilket är varför vi vill göra en
6
läromedelsanalys i det här självständiga arbetet. Vi har dock valt att fokusera på lärobokens innehåll och inte dess roll i undervisningen.
2. Bakgrund
I det här avsnittet beskrivs bakgrunden till arbetet. Avsnittet inleds med en kort historik över läromedelsgranskning. Därefter ges en beskrivning av kunskapssynen i Lgr11 och
förmågorna i matematik. Sedan redogörs för arbetets didaktiska relevans. Avslutningsvis behandlas mål för undervisningen.
2.1 Läromedelsgranskning
I samband med att Skolverket inrättades år 1992 lade man ner den centrala granskning av läromedel som tidigare bedrivits. Granskning av läromedel utfördes 1938-1974 av Statens läroboksnämnd och 1974-1992 av Statens institut för läromedelsinformation (SIL)
(Nationalencyklopedin, u.å.). De senaste decennierna har det alltså varit upp till enskilda lärare och skolor att avgöra huruvida de läromedel som köps in är lämpliga eller inte. I en undersökning, som Lärarnas riksförbunds tidning Skolvärlden utförde, uppgav en majoritet av de tillfrågade lärarna att de inte kände att de hade tillräckligt med tid till att granska läromedel (Stridsman, 2014, 19 november). Avsaknaden av statlig läromedelsgranskning i kombination med att lärare inte anser sig ha tid att själva granska läromedel utgör ett
problem, då lärare riskerar att använda läromedel som inte håller måttet. I inledningen nämns att läroböcker främst fokuserar på procedurkunskap. Österman och Bråting menar dock i en debattartikel (2015, december) att matematikundervisningen idag fokuserar för mycket på verbalt resonemang och inte tillräckligt på räknefärdighet. Vi vill undersöka om och i vilken utsträckning läromedel öppnar upp för möjligheter till att använda olika typer av kunskap.
2.2 Lgr11s kunskapssyn och förmågor i matematik
I Lgr11 beskriver Skolverket (2017b, s 10) att kunskap inte är ett entydigt begrepp, då kunskap kan uttryckas i olika former – såsom fakta, förståelse, färdighet och förtrogenhet – som förutsätter och samspelar med varandra. Skolans arbete ska inriktas på att ge utrymme för olika kunskapsformer och att skapa ett lärande där kunskapsformerna balanseras och blir till en helhet.
7
Lgr11s kunskapsyn sammanfattas i aktuell läroplan (Skolverket, 2017b, s. 57) genom följande lista med förmågor som matematikundervisningen i grundskolan ska erbjuda elever möjlighet att utveckla.
- formulera och lösa problem med hjälp av matematik samt värdera valda strategier och metoder,
- använda och analysera matematiska begrepp och samband mellan begrepp,
- välja och använda lämpliga matematiska metoder för att göra beräkningar och lösa rutinuppgifter,
- föra och följa matematiska resonemang, och
- använda matematikens uttrycksformer för att samtala om, argumentera och redogöra för frågeställningar, beräkningar och slutsatser.
De fem förmågorna är långsiktiga mål som matematikundervisningen ska sträva mot att nå (Skolverket, 2017c, s. 11). Tillsammans med det centrala innehållet utgör de grunden för kunskapskraven i ämnet matematik (Skolverket, 2017c, s. 27). Jahnke (2010, s. 4) visar på att förmågorna i kursplanen i matematik bl.a. har förankring i matematikdidaktisk forskning om matematisk kompetens, däribland forskning av Mathematics Learning Study Committee (Kilpatrick, Swafford & Findell. 2001), The National Council of Teachers of Mathematics (2000) samt Niss och Højgaard Jensen (2002).
2.3 Didaktisk relevans
Matematisk kompetens i relation till den svenska skolan har studerats av Boesen, Helenius, Bergqvist, Bergqvist, Lithner, Palm och Palmberg (2014). I sin diskussion utgår Boesen m.fl.
(2014, s.81) från att det finns en undervisningstradition inom matematik där fokus ligger på produktion av lösningar. Denna tradition har inte brutits i och med reformen med
kompetensmål i Lpo94 även om den nya reformen strävar efter att få in flera olika kompetenser inom matematik. Det läggs fortfarande mer än dubbelt så mycket tid på
procedurkompetens än någon annan av de sex kompetenser Boesen m.fl. (2014, s.81) tar upp.
Vi misstänker att denna undervisningstradition även reproduceras i läromedel.
Att lärare känner att de inte har tid att granska läromedel själva kan leda till att de läromedel som används inte följer den aktuella läroplanen på ett tillfredsställande sätt. Vi vill granska
8
läromedel med fokus på mål för undervisningen och i vilken utsträckning läromedel ger möjlighet för eleverna att utveckla olika typer av kunskap.
Vi anser att det här arbetet bidrar med att belysa mönster som kan förekomma i läromedel i matematik. Genom att visa på mönster som kan förekomma vill vi rikta uppmärksamhet mot potentiella brister i läromedel och uppmuntra till vidare granskning. Den här undersökningen är av relevans för lärare som använder läromedel i sin matematikundervisning. Vi bidrar även med ett förslag på tillvägagångssätt för att granska läromedel.
2.4 Mål för undervisningen
I Lgr11 beskriver skolverket (2017c, s.11) förmågor när de redogör för de långsiktiga målen för undervisningen i ämnet matematik. Boesen m. fl. (2014) talar om kompetensmål när de beskriver hur en elev kan utveckla matematisk kompetens i skolan. Vi gör i det här arbetet ingen skillnad på olika typer av mål, vi benämner alla som mål för undervisningen.
I Heikkas avhandling (2015, s. 98-99) framgår att en del av de elever hon intervjuat för sin undersökning uppfattar läroboken och dess uppgifter som mål för matematikundervisningen.
Detta befäster ytterligare lärobokens starka ställning inom matematikundervisningen. Att eleverna uppfattar läroboken och dess uppgifter som mål i sig gjorde oss intresserade av vilka mål som uttrycks i läromedel vilket ledde oss in på Blooms reviderade taxonomi som
beskrivs vidare i teoriavsnittet.
3. Tidigare forskning
I det här avsnittet går vi igenom en del av den tidigare forskning som har bedrivits kring läromedel. Vi har valt att fokusera på aktuell forskning och har därför begränsat oss till forskning som utförts de senaste 20 åren. I avsnittet behandlas forskning om läromedel med fokus på: struktur, relation till läroplanen, användning i klassrummet samt matematisk
förmåga. Fan (2013, s. 766) diskuterar i sin artikel tidigare studier på läroböcker i matematik.
Fan menar att forskning på läroböcker i matematik är ett relativt nytt forskningsområde jämfört med andra områden inom matematikundervisningen. Därför är de teoretiska ramarna och metoderna för forskning kring matematikläroböcker fortfarande underutvecklade och bristfälliga. Vidare presenterar Fan (2013, s. 767) fyra kategorier av forskningsfrågor för forskning på läromedel: descriptive questions, correlational questions, casual questions och other questions. Av de artiklar Fan (2013, s. 769) granskat behandlar nästan alla descriptive questions. Utifrån detta dras slutsatsen att det finns ett behov av nytänkande kring och fler
9
ingångar i forskning på läroböcker (Fan, 2013, s. 770-771). Att veta hur läromedlet ser ut är enligt Fan (2013, s. 773) det första steget i läromedelsforskning.
3.1 Struktur i läromedel
Ett av de exempel Fan (2013, s.770) tar upp som forskning baserad på descriptive questions är Brändströms licentiatavhandling (2005). Anna Brändström var vid det tillfälle hon skrev sin licentiatavhandling doktorand vid Luleå universitet där hon fokuserade på studier kring hur differentiering d.v.s. skapandet av olika lärandesituationer för olika elever, sker i
läroböcker i matematik. Hon har i sin licentiatavhandling undersökt hur innehållet i tre olika läroböcker har strukturerats så att elever kan arbeta på olika nivåer. Fokuset för studierna har därmed legat på strukturen och inte hur innehållet relaterar till läroplanen. Dessutom har Brändström (2005, s. 46-48) skapat ett analysverktyg för att studera några faktorer som kan påverka uppgifternas svårighet. Brändströms analysverktyg är bland annat baserat på Blooms taxonomi. I undersökningen studeras först strukturen på läroböckerna, resultatet visar att läroböckerna delar en liknande struktur. Strukturen av läroböckerna ger möjlighet för differentiering i varje kapitel, där en uppföljning av en diagnos är uppdelad i två eller tre olika nivåer. En av läroböckerna har även en nivåindelning av basuppgifterna (Brändström, 2005, s. 60). Resultatet av analysen visar att uppgifter som ligger i de delar av boken som hävdas ha högre svårighet har fler räkneoperationer än de med lägre svårighet. De kognitiva processer och kognitiva krav som behövs för att kunna lösa uppgifterna är även de fler i de uppgifter som har en högre svårighet i samtliga tre läroböcker (Brändström, 2005, s.72-73).
Den kognitiva utmaningen av uppgifterna är dock inte stor, varken på de lägre eller högre nivåerna. De kognitiva processer och kognitiva krav som behövs för att lösa uppgifterna är generellt sätt på en låg nivå genom alla uppgifter i Brändströms (2005, s. 66) analys. I flera av de mål för matematikundervisningen som Brändström (2005, s. 7-11) tar upp uttrycks att elever ska kunna lösa mer komplexa uppgifter. Därför anser Brändström (2005, s.73) att det är anmärkningsvärt att kognitiva utmaningen i uppgifterna i läroboken har så låg nivå.
Brändström (2005, s.73) hänvisar till PISAs ramverk för bestämmande av matematisk kompetens och hon pekar på att det borde finnas en hög grad av variation på de kognitiva utmaningarna bland uppgifterna, vilket hon inte kan se. Eftersom det oftast är utmaningar på en högre nivå som saknas, anser Brändström (2005, s.74) att detta är något lärare måste ta hänsyn till när de planerar lektioner.
3.2 Läromedel och läroplanen
En annan svensk forskare som har studerat läromedel i matematik är Monica Johansson, numer universitetslektor och prefekt vid Luleå universitet. Johansson har i sin
licentiatavhandling (2003) forskat på området läromedel med fokus på hur de har förändrats i takt med läroplansförändringar i Sverige. Johanssons (2003, s. 2) fokus har legat på i vilken mån läromedel kan ses som ett verktyg för att nå mål och i vilken mån läromedel är den
10
potentiellt implementerade läroplanen (the potentially implemented curriculum). Den implementerade läroplanen är det som undervisas i klassrummet. Det engelska ordet curriculum som är centralt i Johanssons studie har ingen självklar motsvarighet på svenska, den närmaste översättningen är ordet läroplan. Den egentliga översättningen av läroplan är syllabus. Läroplanen kan även ses som en del av ”the intended curriculum”, den formella läroplanen. Johansson (2003, s.2) utgår i sin undersökning från att läromedel är exempel på den potentiellt implementerade läroplanen, den läroplan eleverna möjligtvis får lära sig.
Johansson (2003, s.56) har studerat om det finns någon relation mellan den formella
läroplanen och den potentiellt implementerade läroplanen. Detta gjordes genom att diskutera de största skillnaderna mellan de tre senaste läroplanerna: Lgr 69, Lgr 80 och Lpo 94 och koppla det till hur ett läromedel vid tre olika utgivningsår har förändrats i förhållande till den nya läroplanen (Johansson, 2003, s.59, 61). Johanssons studie visar att det läromedel hon har undersökt inte visar en komplett bild av läroplanen, utan endast tar med delar av de mål som fastställs i läroplanen. Johansson (2003, s. 75) poängterar dock att det inte är läromedlens ansvar att ta upp alla delar av läroplanen utan det är skolans ansvar att se till att alla delar behandlas. Att det är skolans ansvar är även beskrivet i Lpo94, som var den då gällande läroplanen. I Johanssons (2003, s.75) slutsatser beskrivs en diskussion hon har haft med en av författarna till det undersökta läromedlet. Genom diskussionen framgår att läromedlet i större utsträckning är baserat på nationella prov än på kursplanen i matematik. Detta beror på att kursplanen är skriven i för generella termer, enligt läromedelsförfattaren.
3.3 Läromedels användning
Johansson valde att i sin doktorsavhandling (2006) vidareutveckla sin forskning om läromedel med två artiklar om hur läromedel används i klassrum i Sverige. I artiklarna studeras hur lärare använder läromedel i skapande av lektioner samt hur elever och lärare interagerar med läromedel. Resultatet av dessa studier visar att elever under lektionerna arbetar nästan enbart med uppgifter från läromedel både när arbetet sker enskilt och i helklass. Även de uppgifter läraren tar upp som exempel i undervisningen är oftast hämtade från läromedel (Johansson, 2006, s.25). Johansson har även tittat på hur elever och lärare arbetar med läromedelsuppgifter. Genom undersökningen framkom att det finns ett generellt mönster för hur kommunikation kring läromedel mellan lärare och elever går till. Det
generella mönstret kännetecknas av att kommunikation sker självsäkert och eleven får hjälp att kunna lösa uppgiften i läromedlet. Vid vissa tillfällen går dock lärarens och läromedlets åsikter kring en metod eller en lösning av en uppgift isär. Då kan situationen leda till antingen tvetydighet eller till matematiska diskussioner (Johansson, 2006, s. 25-26)
3.4 Matematiska förmågor i läromedel
Jäder (2015) har baserat sin licentiatavhandling på tre studier angående förmågan att resonera matematiskt. Förmågan att resonera är här studerat utifrån förutsättningen att resonemang går
11
att kategorisera i kreativa matematiska resonemang och imitativa resonemang. Imitativa resonemang betyder här att vid lösning av en uppgift krävs att eleven producerar ett svar från minnet eller imiterar en lättillgänglig algoritm. Det senare kallas även ett algoritmiskt
resonemang. För ett kreativt matematiskt resonemang krävs att eleven ska använda ett för eleven nytt resonemang och strategivalet ska vara medvetet och motiverat (Jäder, 2015, s.14).
Studie ett fokuserar på resonemangskrav på uppgifter i läromedel från 12 olika länder.
Uppgifterna som har studerats hör till avsnitten om algebra och geometri. Resultaten från studien visar att de studerade läromedlen har ungefär lika stor andel uppgifter som kräver kreativa matematiska resonemang. Endast 8% av uppgifterna i de algebravsnitt och 12% av uppgifterna i de geometriavsnitt som studerades kräver att eleven använder ett kreativt resonemang. Detta innebär att endast en liten andel av uppgifterna kräver att eleverna själva kan skapa ett resonemang. Merparten av uppgifterna kräver att eleverna enbart minns någon annans resonemang eller minns en algoritm (Jäder 2015, s.32-33). Studie två och tre
behandlar elevers resonemang när de löser läromedelsuppgifter och elevers resonemang när de löser icke-rutinuppgifter. När eleverna löste uppgifter fick de sällan möjlighet att utveckla kreativa matematiska resonemang då de antingen presenterade algoritmer för varandra eller imiterade läraren. Studie tre visade dock att elever får större möjlighet att använda kreativa matematiska resonemang om uppgifterna de löser är av icke-rutinkaraktär (Jäder 2015, s.33–
34).
12
4. Teoretiska utgångspunkter
I det här avsnittet presenteras de teoretiska utgångspunkter som används i arbetet. Den teori vi utgår ifrån är Blooms reviderade taxonomi som utgör grunden för vårt analysverktyg. Hur vi utformat ett analysverktyg med hjälp av Blooms reviderade taxonomi beskrivs i
metodavsnittet.
4.1 Blooms reviderade taxonomi
B. S. Bloom presenterade år 1956 en modell utformad som en handbok för att kategorisera mål för undervisningen (objectives) (Andersson m.fl. 2001, s. xxi). 2001 publicerade
Anderson m.fl. en reviderad version av handboken, taxonomin som presenteras av Anderson m.fl. kommer i arbetet att refereras till som Blooms reviderade taxonomi. Medan
orginaltaxonomin i första hand riktades till högre utbildning var syftet med den reviderade versionen att göra taxonomin tillgänglig och användbar för lärare på alla nivåer (Anderson m.fl, 2001, s. 306). Enligt Anderson m.fl (2001, s. xxi-xxii) var det två huvudsakliga anledningar som ledde till att de utvecklade en revision av Blooms taxonomi. Den första anledningen var att de ville belysa taxonomin på nytt och rikta uppmärksamhet till att den innehåller många tankar som är aktuella även i nutid. Den andra anledningen var att de ansåg att taxonomin behövde utökas med ny kunskap och nya tankegångar som dykt upp sedan den publicerades.
Anderson m.fl. (2001, s. 28) presenterar en tabell som de refererar till som ”the Taxonomy Table”, vi kommer framöver att referera till den som taxonomitabellen (se bilaga 1).
Taxonomitabellen utgörs av två dimensioner där den första dimensionen består av sex kategorier av kognitiva processer och den andra dimensionen består av fyra olika
kunskapstyper (Anderson m.fl, s. 27-31). I följande text beskrivs dessa två under respektive rubrik.
13 4.1.1 Kognitiva processer
Anderson m.fl. beskriver sex kategorier av kognitiva processer. Nedan följer en lista av dessa med tillhörande underkategorier (Anderson m.fl. 2001, s. 66-68):
1. Minnas 1.1 Känna igen
1.2 Komma ihåg
2. Förstå 2.1 Tolka
2.2 Exemplifiera 2.3 Klassificera 2.4 Sammanfatta 2.5 Dra slutsatser 2.6 Jämföra 2.7 Förklara
3. Tillämpa 3.1 Utföra
3.2 Applicera
4. Analysera 4.1 Särskilja
4.2 Organisera 4.3 Tillskriva
5. Värdera 5.1 Kontrollera
5.2 Kritisera
6. Skapa 6.1 Generera
6.2 Planera 6.3 Producera
Anderson m.fl. refererar till minnas, förstå, tillämpa, analysera, värdera och skapa som kategorier och till deras underkategorier som kognitiva processer. Eftersom vi i huvudsak använder oss av huvudkategorierna och inte underkategorierna refererar vi även till
huvudkategorierna som kognitiva processer. Hur vi har tolkat de kognitiva processerna för
14
vårt analysverktyg beskrivs vidare i metodavsnittet. De kognitiva processerna beskrivs som hierarkiskt rangordnade från mindre till mer komplexa där minnas är den minst komplexa processen och skapa är den mest komplexa processen (Anderson m.fl., 2001, s. 63-91).
4.1.2 Kunskapstyper
Till Blooms reviderade taxonomi hör fyra typer av kunskap. Nedan följer en beskrivning av vad de fyra kunskapstyperna innebär.
Faktakunskap syftar på kunskap om grundläggande fakta som eleven behöver känna till för att vara bekant med ett ämne eller område och kunna lösa problem inom det. Faktakunskap innefattar de två underkategorierna terminologi samt specifika detaljer och delar. Med kunskap om terminologi menas kunskap om specifika etiketter och symboler inom ett ämne eller område, exempel på detta är ämnesspecifika ord och termer. Kunskap om specifika detaljer och delar innebär kunskap om den typ av fakta som kan läras in isolerat och inte kräver ett större sammanhang för att förstås, t. ex. namn på viktiga personer (Anderson m.fl.
2001, s. 45-48).
Konceptuell kunskap innefattar den typ kunskap som inte kan isoleras till specifika fakta utan istället kräver förståelse för förhållandet mellan olika kategorier eller klassifikationer och hur olika delar hänger ihop. Till konceptuell kunskap hör tre underkategorier: klassificeringar och kategorier, principer och generaliseringar samt teorier, modeller och strukturer. Ett exempel på kunskap som hör till klassificeringar och kategorier är kunskap om olika ordklasser.
Kunskap om principer och generaliseringar innebär t.ex. kunskap om fysikens
grundläggande lagar och teorier, modeller och strukturer innebär t.ex. kunskap om den övergripande strukturen i riksdagen (Anderson m.fl 2001, s. 48-52).
Procedurkunskap syftar på kunskapen om hur man gör något, från rutinuppgifter till problemlösning. Det handlar om att ha kunskap om färdigheter, algoritmer, tekniker och metoder, Anderson m.fl. (2001) använder begreppet procedurer för att sammanfatta dessa.
Procedurkunskap innefattar inte själva användandet av procedurer utan endast kunskap om dem. Underkategorierna för procedurkunskap är ämnesspecifika förmågor och algoritmer, ämnesspecifika tekniker och metoder samt kriterier för att avgöra när olika metoder är lämpliga att använda (Anderson m.fl. 2001, s. 52-53).
Metakognitiv kunskap innebär kunskap om den egna kognitionen, dvs. det egna tänkandet.
Anderson m.fl. menar att genom medvetenhet om det egna tänkandet förbättras inlärningen hos eleven. De tre underkategorierna till metakognitiv kunskap är strategisk kunskap,
kunskap om kognitiva strategier, hur och varför de ska användas samt när vissa strategier är mer lämpliga än andra samt kunskap om sig själv (Anderson m.fl. 2001, s. 55-59).
15 4.1.3 Mål för undervisningen och aktiviteter
Syftet med Blooms reviderade taxonomi är att fungera som ett verktyg för att klassificera mål för undervisningen (Anderson m.fl 2001, s. 95). Anderson m.fl. (2001, s. 17-18) påpekar vikten av att skilja på mål för undervisningen och aktiviteter. Mål för undervisningen är det eleven förväntas lära sig, en aktivitet är något eleven förväntas göra t.ex. en uppgift som ges till eleven. Även om aktiviteten eller uppgiften i sig inte utgör ett mål för undervisningen kan målet finnas implicit uttryckt i uppgiftsformuleringen. För att ta reda på vilket eller vilka mål som uttrycks implicit i en uppgift behöver man ta reda på vad som krävs av eleven för att lösa uppgiften. Ett mål för undervisningen skulle t.ex. kunna vara “eleven ska kunna använda uppställning för multiplikation” en uppgift som knyter an till detta mål är t.ex. “lös med uppställning: 14⋅12”.
Med typ av mål menas en kombination av en kunskapstyp och en kognitiv process. Tillämpa Procedurkunskap är exempel på ett typ av mål. Det finns givetvis andra sätt att definiera typer av mål men i det här arbetet utgår vi endast ifrån ovannämnda definition.
5. Syfte och frågeställningar
Syftet med arbetet är att medvetandegöra lärare om läromedels potentiella brister genom att beskriva mönster i läromedel i matematik. De mönster vi eftersöker avser vilka kognitiva processer och kunskapstyper vi kan se i läromedlen, detta kopplas i diskussionen till förmågorna i Lgr11.
De frågeställningar vi utgår ifrån är:
- Vilka typer av mål för undervisningen finns implicit uttryckta i uppgifter i två olika läromedel i matematik?
- I vilken utsträckning ger läromedel elever möjlighet att utveckla olika typer av kunskap?
16
6. Metod
I det här avsnittet beskriver vi vår metod. Inledningsvis presenteras valet av metod följt av de avgränsningar vi gjort för undersökningen. Därefter redogörs för hur urvalet gick till samt en kort presentation av de läromedel som valdes ut för analys. Sedan beskrivs hur utvecklingen av analysverktyget och kodningsmanualen gick till följt av hur arbetet fördelats mellan de två författarna. Slutligen följer en diskussion om reliabilitet och validitet samt etiska
överväganden för arbetet.
6.1 Val av metod
För läromedelsanalysen har vi valt en kvalitativ ansats med kvantitativa inslag.
Läromedelsanalysen utgörs av en innehållsanalys av utvalda delar i matematikböckerna.
Enligt Denscombe (2016, s. 392-393) kännetecknas en innehållsanalys av att forskaren bryter ner texten i mindre enheter som sorteras in i kategorier. I det här arbetet utgör uppgifterna i matematikböckerna dessa enheter. Innehållsanalys som metod är lämplig att använda för att se mönster i större textmängder (Boréus & Bergström, 2012, s. 51). Detta förfaringssätt anser vi vara förenligt med vårt syfte, att beskriva mönster i läromedel med hjälp av Blooms reviderade taxonomi.
6.2 Avgränsning
Elevers inlärning påverkas av ett flertal faktorer och läromedel utgör endast en begränsad del av undervisningen. Vi har med tanke på arbetets omfattning och tidsram valt att inte
analysera hur lärare använder läromedlen i sin undervisning. Att analysera det läromedel som används ger inte en heltäckande bild av den undervisning som bedrivs i klassrummet. Vi har ändå valt att fokusera på denna aspekt då vår erfarenhet från VFU-perioderna under
utbildningen på grundlärarprogrammet är att matematikundervisningen i årskurs 4-6 till stor del är läromedelsstyrd. Med arbetets tidsram i åtanke har vi valt att analysera ett kapitel i två läroböcker och inte en hel lärobok. Vi har valt att undersöka det kapitel i läromedlen som behandlar algebra på grund av den rapport som Skolverket släppte 2016 där det framgår att algebra är ett av de områden inom matematik som svenska elever presterar sämst inom.
17
6.3 Urval
Vår ambition i början av arbetet var att genomföra korta intervjuer med grundlärare i matematik om hur de resonerade kring val av läromedel. Med intervjuerna hoppades vi få fram information om hur stor roll läromedlet spelar i matematikundervisningen, vilka aspekter läraren anser viktiga i valet av läromedel och vilket läromedel som används.
Dessvärre lyckades vi inom tidsramen för arbetet inte få kontakt med lärare som var villiga att ställa upp på intervju. Eftersom arbetet utgör en innehållsanalys och inte en intervjustudie valde vi att släppa vår ambition. Genom kontakt via mail med några skolor (se bilaga 2) fick vi ändå svar på vilket läromedel som huvudsakligen används för matematikundervisningen i årskurs 6. Av de elva skolor vi kontaktade var det fyra som svarade och de läromedel de använder är Matte Favorit, Matte Direkt Borgen och Eldorado. Genom den informationen kan vi styrka att de läromedel vi valt att använda är läromedel som också används i klassrum i Sverige. Eftersom vi endast frågat ett fåtal skolor kan vi inte säga något om hur vanligt förekommande de valda läromedlen är.
Vi gjorde ett subjektivt urval av läromedel. Enligt Denscombe (2016, s. 74-75) innebär ett subjektivt urval att urvalet görs med utgångspunkt i urvalets relevans för ämnet och forskarens erfarenhet och kunskap inom ämnet. Urvalet görs alltså inte slumpmässigt utan med ett specifikt syfte i åtanke. I valet av läromedel att analysera har vi utgått från två kriterier vilka är att läromedlet ska vara producerat år 2013 eller senare samt att läromedlet ska säga sig vara anpassat för Lgr11. Vi valde läromedel från 2013 och framåt då vi ville studera läromedel som producerats efter den nya läroplanen fått tid att etableras för såväl läromedelsförfattare som lärare och elever. Urvalet för det här arbetet är även av typen bekvämlighetsurval vilket Denscombe (2016, s. 77-78) beskriver med att det bygger på att forskaren väljer det första som finns till hands. På grund av begränsningar i fråga om tid och resurser gjorde vi vårt urval utifrån de läromedel som finns tillgängliga på
Blåsenhusbiblioteket vid Uppsala universitet. För att komma åt området algebra använde vi oss av läromedlens egna indelningar och rubriker.
Eftersom vi utbildar oss till grundlärare med inriktning årskurs 4-6 ville vi undersöka läromedel som berör dessa årskurser. Vi har valt att använda oss av läromedel avsedda för årskurs 6. Anledningen till att vi valde just årskurs 6 är dels att det är en avgörande årskurs eftersom den innefattar både nationella prov och de första betygen. Vi valde även årskurs 6 eftersom förmågorna i Lgr11 avser vad eleven ska kunna i slutet av just årskurs 6.
18
6.4 Presentation av läromedel
Nedan presenteras de två läromedel som valts ut för analysen.
6.4.1 Mera Favorit matematik 6A
Mera Favorit Matematik 6A består av 189 sidor och innehåller fem kapitel: Kapitel 1: De fyra räknesätten, algebra och funktioner, Kapitel 2: Samband och förändring, Kapitel 3:
Skala, area och volym, Kapitel 4: Problemlösning, kombinatorik och mönster samt Kapitel 5:
Repetition. Kapitel 5 skiljer sig åt från de andra kapitlen då det enbart behandlar
repetitionsuppgifter. Kapitel 1-4 följer ett mönster där innehållet delas upp i “lektioner” där ett ämnesområde introduceras, repeteras eller vidareutvecklas. Vid varje “lektion” finns hänvisningar till Lgr11s centrala innehåll och kunskapskrav. Varje “lektion” tar upp ungefär fyra sidor varav två sidor ägnas åt basuppgifter, ca. en sida åt att öva och repetera och ca. en sida åt att pröva uppgifter som är något mer utmanande. Varje kapitel avslutas med en diagnos som följs av repetition där det finns tre olika nivåer av repetition att välja mellan.
Läroboken innehåller även favoritsidor som innehåller aktiviteter och spel som ofta behandlar problemlösning och resonemang. Vi har valt att analysera kapitel 1 ur läroboken. Kapitel 1 består av 56 sidor vilket motsvarar ungefär 30 % av boken. Mera Favorit matematik 6A kommer fortsättningsvis refereras till som Favorit.
6.4.2 Eldorado Matte 6A
Eldorado Matte 6A består av 168 sidor och innehåller fyra kapitel som behandlar två eller tre delar av matematikämnet. Kapitel 1 behandlar numeriska och algebraiska uttryck, ekvationer samt mönster och formler. Kapitel 2 behandlar primtal och sammansatta tal, räknemetoderna för multiplikation och division samt negativa tal. Kapitel 3 behandlar skala och likformighet, kombinatorik samt textuppgifter. Kapitel 4 behandlar bråk och procent. Varje del i ett kapitel inleds med en till två sidor där ämnet introduceras under rubriken “Utforska”. Sedan följer ett antal sidor med basuppgifter. Efter dessa sidor görs en uppdelning i ett blått och ett rött spår, där det blå spåret är en repetition av basuppgifterna och det röda spåret är en
vidareutveckling. I slutet av varje kapitel görs en utvärdering och repetition. Kapitlet avslutas med några sidor “Kul med matte” som innehåller bland annat problemlösning och kuriosa om matematikens historia. Vi har valt att analysera kapitel 1 som består av 38 sidor vilket
motsvarar knappt 23% av boken. Eldorado Matte 6A kommer fortsättningsvis refereras till som Eldorado.
19
6.5 Analysverktyg
Det första steget i konstruerandet av vårt analysverktyg var att läsa in oss på Blooms reviderade taxonomi av Anderson m.fl. (2001), därefter gjorde vi en tolkning av de fyra kunskapstyperna och de sex kognitiva processerna. Genom noggrann läsning av Anderson m.fl. (2001) plockade vi ut den information som vi anser relevant för analysområdet
matematik med fokus på algebra. Vi konstruerade en kodningsmanual (se bilaga 3) i form av en tabell där vi ställde upp två kolumner med rubrikerna uppgiften kräver att och typ av uppgift. Under uppgiften kräver att beskrivs vad uppgiften behöver kräva av eleven för att eleven ska ha en chans att utnyttja en specifik kunskapstyp eller kognitiv process. Under typ av uppgift ges exempel på vilken typ av uppgift som kan tänkas uppfylla kriterierna för uppgiften kräver att.
När vi gjort ett första utkast av kodningsmanualen gjorde vi på varsitt håll en testanalys där vi analyserade cirka hundra uppgifter. Därefter gjorde vi en gemensam jämförelse av de resultat som vi individuellt kommit fram till samt anteckningar vi gjort om kodningsmanualens brister. Genom testanalysen och den efterföljande diskussionen kunde vi belysa och redigera oklarheter i kodningsmanualen. Problem som vi stötte på var t. ex. otydliga eller alltför generella formuleringar i kodningsmanualen. Med det redigerade analysverktyget gjorde vi ännu en testanalys på liknande vis innan vi gjorde den slutgiltiga analysen vars resultat redovisas i arbetet.
Varje uppgift analyseras för sig och placeras in under lämplig kunskapstyp och kognitiv process i taxonomitabellen. En uppgift med flera delar t.ex. 1a, 1b etc. analyseras som en enda uppgift. Eftersom en uppgift kan kategoriseras i flera kunskapstyper och därmed ha mer än en placering i taxonomitabellen är antalet markeringar högre än antalet analyserade
uppgifter.Under bilagor finns kodningsmanualen som använts för analysen (se bilaga 3). I kodningsmanualen beskrivs vilka krav en uppgift ska uppfylla för att höra till en särskild kunskapstyp eller kognitiv process. Uppgiften behöver inte uppfylla alla krav inom en kategori, det räcker att uppgiften uppfyller en av punkterna i kolumnen uppgiften kräver att.
Kolumnen typ av uppgift syftar till att ge exempel på vilken typ av uppgift som eftersöks, uppgiften måste dock inte uppfylla några av dessa exempel.
Kodningsmanualen är baserad på Andersons m.fl. (2001) beskrivning av de fyra kunskapstyperna och sex kognitiva processerna i Blooms reviderade taxonomi,
kodningsmanualen bygger dock på egna tolkningar av den beskrivningen. Ett exempel på detta är att procedurkunskap enligt Anderson m.fl. innefattar kunskap om procedurer men inte att kunna använda proceduren. Vi har dock valt att se användandet av procedurer som ett sätt för eleven att visa att hen har kunskap om proceduren. Blooms reviderade taxonomi är inte ämnesspecifik, därför har vi plockat ut de delar som vi anser vara relevanta för ämnet matematik. Vidare har vi formulerat kriterierna i analysverktyget för att passa huvudområdet
20
algebra. Eftersom de kognitiva processerna utgör en hierarki med en stigande skala av komplexitet bestämde vi oss för att kategorisera uppgifter efter den mest komplexa kognitiva processen. En uppgift som placeras under analysera kan alltså även behandla förstå och minnas även om detta inte framgår i taxonomitabellen. Kunskapsdimensionen består däremot inte av en hierarki och därför kan en uppgift placeras under mer än en kunskapstyp i
taxonomitabellen.
Enligt Anderson m.fl. (2001, s. 239-240) finns en tydlig länk mellan de tre första
kunskapstyperna och de tre första kognitiva processerna. Faktakunskap hänger ofta ihop med att minnas, konceptuell kunskap med att förstå och procedurkunskap med att tillämpa. På grund av den tolkning och de kriterier vi i kodningsmanualen ställt upp för tillämpa är just den kognitiva processen endast möjlig att kombinera med kunskapstypen procedurkunskap.
Vi har valt att tolka det så snävt på grund av att tillämpa inom matematik enligt oss enbart fokuserar på användande av procedurer och metoder.
6.6 Fördelning av arbetet
Även om vi arbetat tätt tillsammans med texten och hjälpts åt med redigeringen skedde viss uppdelning av arbetet. Kajsa ansvarade i huvudsak för inledningen, teoriavsnittet samt metodavsnittet. Therése hade huvudansvaret för att skriva om tidigare forskning. Bakgrund, resultat, analys och diskussion har skrivits tillsammans.
6.7 Reliabilitet och validitet
Att analysverktyget bygger på egna tolkningar gör att det har vissa svagheter. Även om vi i kodningsmanualen har försökt ställa upp så tydliga kriterier som möjligt är de ändå öppna för tolkning. Detta leder till att risken finns att en annan person som utför en liknande analys med verktyget skulle komma fram till resultat som skiljer sig från de vi presenterar här. Bryman (2011, 2. 297) tar upp tolkningen av kodningsmanualen som en av innehållsanalysens svaga sidor. För att motverka detta problem och öka objektiviteten i arbetet ger vi exempel på analyserade uppgifter och beskriver hur vi har resonerat för att komma fram till uppgiftens placering i taxonomitabellen.
Enligt Brymans (2011, s. 352) beskrivning innefattar reliabilitet dels yttre reliabilitet som berör i vilken grad en undersökning kan upprepas. Bryman tar även upp intern reliabilitet som handlar om samstämmigheten i ett forskarlag och till vilken grad forskarnas tolkningar av vad de observerar stämmer överens. Bryman (2011, s. 352) beskriver även en tudelad definition av validitet. Intern validitet handlar om att det som observerats och de slutsatser som dras ska stämma överens, med Brymans ord ”det ska finnas en god överensstämmelse
21
mellan forskarens observationer och de teoretiska idéer som denne utvecklar” (Bryman, 2011, s. 352). Yttre validitet syftar på huruvida och till vilken grad resultaten från en
undersökning kan generaliseras och appliceras i andra sammanhang (Bryman, 2011, s. 352).
Reliabiliteten i vår undersökning påverkas negativt av att analysen till stor del bygger på tolkningar vilket gör den svår att upprepa med exakt samma resultat. För att öka reliabiliteten har vi i så stor utsträckning det går beskrivit våra tolkningar och tankegångar under analysen.
För att säkerställa att de tolkningar vi båda gjort av uppgifterna i läromedlen stämmer överens har det under arbetets gång skett fortlöpande jämförelser och diskussioner. De testanalyser som genomförts har varit absolut nödvändiga för utformandet av det slutgiltiga
analysverktyget och kodningsmanualen.
När det kommer till validitet och generaliserbarhet kan man säga att den är begränsad.
Eftersom vi enbart analyserat ett kapitel av varje läromedel kan vi inte uttala oss varken om hur läromedlet ser ut som helhet eller hur andra läromedel ser ut. Det vi kan bidra med är en indikation på hur det analyserade läromedlen kan tänkas se ut förutsatt att de följer liknande mönster i övriga kapitel. I arbetets konklusion ges en sammanfattning för hur
frågeställningarna har besvarats. Svaren på frågeställningarna kopplas direkt till resultaten av undersökningen, vi anser därför att arbetet har intern validitet.
6.8 Etiska överväganden
I det här avsnittet redogörs för de etiska överväganden vi gjort i samband med undersökningen och arbetet.
Kopiering av litterära verk för annat än privat bruk är inte tillåtet enligt upphovsrättslagen (Vetenskapsrådet, 2018). Av den anledningen har vi valt att inte ha med några bilder från de läromedel vi analyserat i arbetet.
Undersökningen behandlar inga känsliga personuppgifter och behöver därmed inte etikprövas enligt Vetenskapsrådet (2011, s. 49). Enligt Vetenskapsrådet (2011, s. 50) krävs ett
informerat samtycke från deltagare för ”forskning som utförs enligt en metod som syftar till att fysiskt eller psykiskt påverka denna eller som innebär en uppenbar risk att skada
forskningspersonen” (Vetenskapsrådet, 2011, s. 50). I de mail (se bilaga 2) vi skickat till lärare framgår att informationen om vilket läromedel som används på skolan ska användas för en undersökning, vi utgår därför från att de lärare som svarat på mailet samtycker till att informationen används i undersökningen. Eftersom det inte rör sig om personliga eller känsliga uppgifter anser vi att det för det här arbetet är tillräckligt i fråga om samtycke.
22
7. Resultat och analys
I det här avsnittet presenteras resultatet av den analys vi har gjort. Resultatet av analysen av läromedlen presenteras var för sig samt exempel på analyserade uppgifter. Vår utgångspunkt är våra två frågeställningar:
- Vilken typ av mål för undervisningen finns implicit uttryckta i uppgifter i två olika läromedel i matematik?
- I vilken utsträckning ger läromedel elever möjlighet att utveckla olika typer av kunskap?
7.1 Resultat av analysen
Nedan presenteras resultatet av analysen på de två läromedlen samt exempel på analyserade uppgifter.
7.1.1 Eldorado Matte 6A
Analysen av Eldorado utfördes på 173 av 176 uppgifter i kapitel 1. De tre uppgifter som inte analyserades krävde ytterligare material som vi inte har tillgång till och uteslöts därför ur analysen. Kapitel 1 behandlar numeriska och algebraiska uttryck, ekvationer samt mönster och formler. Kapitlet består av utforska-sidor, bas-sidor, blå och röda sidor, diagnos, repetition samt ”kul med matte” varav samtliga delar har analyserats. Det totala antalet markeringar i tabell 1 är 186.
23 Tabell 1: Resultat av analys, Eldorado Matte 6A.
Kognitiva processer
Kunskapstyper
1. Minnas 2. Förstå 3. Tillämpa 4. Analysera 5. Värdera 6. Skapa Totalt Andel uppgifter i procent
A. Faktakunskap 1 uppg. 19 uppg. 1 uppg. 21 uppg. 12%
B. Konceptuell
kunskap 40 uppg. 1 uppg. 41 uppg. 24%
C. Procedurkunskap 23 uppg. 83 uppg. 10 uppg. 1 uppg. 5 uppg. 122 uppg. 70%
D. Metakognitiv
kunskap 2 uppg. 2 uppg. 1,2%
Totalt 1 uppg. 82 uppg. 83 uppg. 10 uppg. 3 uppg. 7 uppg.
Andel uppgifter i
procent 0,6% 47% 48% 6% 1,8% 4%
Som framgår av tabell 1 behandlar majoriteten av uppgifterna kunskapstypen
procedurkunskap och den kognitiva processen tillämpa. Enligt vår tolkning finns alltså mål som syftar till att eleven ska tillämpa procedurkunskap implicit uttryckt i närmare hälften av de analyserade uppgifterna. Detta gör tillämpa procedurkunskap till den vanligast
förekommande typen av mål för undervisningen. 40 av 173 uppgifter syftar till att eleven ska förstå konceptuell kunskap. Sett till endast kunskapstyperna är procedurkunskap den
vanligast förekommande med 122 markeringar följd av konceptuell kunskap med 41 markeringar. Sett till endast de kognitiva processerna är de vanligast förekommande processerna tillämpa med 83 markeringar och förstå med 82 markeringar.
I Eldorado analyserades flera olika sorters uppgifter. Nedan följer några exempel på tre typer av uppgifter som analyserats samt hur vi resonerat kring dem.
Exempel 1.
Uppgiften uppmanar eleven att lösa ekvationer eller beräkna uttryck t.ex. 2⋅(3+4) = eller 70 = 20+5x, x = . Uppgiften kan även uppmana eleven att förenkla uttryck t.ex. 4x+3x-x+7.
Exempel 1 placeras under tillämpa procedurkunskap. Uppgiften kräver att eleven använder en procedur för att kunna lösa ekvationer, göra uträkningar eller förenkla uttryck. Proceduren kan vara explicit given t.ex. “lös med uppställning”. Det kan även vara upp till eleven att välja lämplig procedur.
24 Exempel 2.
Uppgiften uppmanar eleven att lösa ett problem med en ekvation. En text beskriver problemet som kräver en ekvationslösning, t.ex. Pelle har tre gånger så mycket pengar som Kalle. Anna har 20 kr. Tillsammans har de 60 kr. Hur mycket har Pelle? I texten ges ingen explicit information om vilken variabel som ska betecknas med x.
Exempel 2 placeras under analysera procedurkunskap. För att kunna lösa uppgiften krävs det att eleven plockar ut den relevanta informationen från texten, dvs. analyserar informationen.
Eleven behöver bestämma vad som ska betecknas med x. När eleven har analyserat informationen skriver eleven en ekvation. Att skriva ekvation hör till procedurkunskap eftersom ekvation utgör en procedur för att lösa ett problem. Eleven använder även
procedurkunskap för att lösa ekvationen och ta reda på värdet av x. Uppgiften kräver även att eleven tillämpar och förstår procedurkunskap men eftersom dessa kognitiva processer har lägre grad av komplexitet än analysera markeras de inte i tabellen.
Exempel 3.
I uppgiften finns bilder som visar ett mönster i form av en serie figurer. Eleven uppmanas att fortsätta mönstret genom att rita efterföljande figurer. I uppgiften finns även en delvis ifylld tabell som beskriver mönstret. Eleven uppmanas fylla i resten av tabellen. Eleven ska dessutom skriva ett uttryck för figuren n. Slutligen ska eleven beskriva några olika figurer i mönstret med hjälp av formeln för figur n.
Exempel 3 placeras under förstå konceptuell kunskap. Syftet med uppgiften, enligt vår tolkning, är att eleven ska identifiera ett mönster och beskriva det genom att skriva ett uttryck. Att urskilja mönster hör till kunskapstypen konceptuell kunskap. Att skriva uttryck och fortsätta mönster hör till den kognitiva processen förstå. Att organisera information i en tabell hör till analysera. Anledningen till att den här typen av uppgift inte placeras under analysera är att vi anser att tabellen är ett stöd för att komma fram till uttrycket, men inte ett verktyg för att organisera information från uppgiften. Eftersom tabellen redan är delvis ifylld behöver eleven endast imitera givna exempel för att färdigställa tabellen.
7.1.2 Mera Favorit Matematik 6A
I Favorit analyserades 176 av 179 uppgifter i kapitel 1. Tre uppgifter utgjordes av pussel som vi inte anser vara av matematisk karaktär, vi valde därför att utesluta dem ur analysen.
Kapitel 1 behandlar aritmetik och algebra och är uppbyggt av basuppgifter, favorit-sidor, öva- sidor, ”vad har jag lärt mig” samt repetitionssidor varav samtliga delar har analyserats. Det totala antalet markeringar i tabell 2 är 196.
25
Tabell 2: Resultat av analys, Mera Favorit Matematik 6A.
Majoriteten av uppgifterna uttrycker den typ av mål som syftar till att eleven ska tillämpa procedurkunskap (114 markeringar). Under konceptuell kunskap finns 40 markeringar. Av detta framgår att det finns en tydlig klyfta mellan den vanligast förekommande och den näst vanligast förekommande kunskapstypen. Detsamma gäller för de kognitiva processerna där den vanligast förekommande är tillämpa med 114 markeringar följd av förstå med 52 markeringar.
I Favorit analyserades flera olika typer av uppgifter. Nedan följer tre exempel på typer av uppgifter som analyserats samt hur vi resonerat kring dem.
Exempel 1.
Till uppgiften hör två texter som beskriver ett problem. Oftast handlar texterna om inköp eller försäljning av något. Eleven uppmanas skriva ett uttryck för händelsen som beskrivs i texten samt beräkna uttrycket, t.ex. titta på prislistan och skriv ett uttryck för hur mycket tre barn, två vuxna och en pensionär får betala för inträde på zoo, beräkna uttrycket.
Kognitiva processer
Kunskapstyper
1. Minnas 2. Förstå 3. Tillämpa 4. Analysera 5. Värdera 6. Skapa Totalt Andel uppgifter i procent
A. Faktakunskap 13 uppg. 16 uppg. 29 uppg. 16%
B. Konceptuell
kunskap 36 uppg. 4 uppg. 40 uppg. 23%
C. Procedurkunskap 114 uppg. 16 uppg. 130 uppg. 74%
D. Metakognitiv
kunskap --
Totalt 13 uppg. 42 uppg. 114 uppg. 16 uppg. 4 uppg. --
Andel uppgifter i
procent 7% 24% 65% 9% 2% --
26
Exempel 1 placeras under tillämpa procedurkunskap. Uppgiften kräver att eleven använder en procedur för att genomföra beräkningen. Uppgiften kräver även att eleven tolkar texten och översätter verbalspråk till symbolspråk genom att skriva ett uttryck vilket hör till den kognitiva processen förstå. Eftersom tillämpa är en mer komplex kognitiv process än förstå markeras endast tillämpa. Hade texten inkluderat ord som t.ex. multiplicera eller dividera hade uppgiften även placerats under förstå faktakunskap eftersom uppgiften då hade krävt att eleven förstår de matematiska begreppen. Begreppen behöver dock endast förstås på en ytlig nivå och inte i förhållande till varandra. Förståelsen visas genom att eleven översätter t.ex.
addera till + och förstår att det betyder “lägga till”. En djupare förståelse om relationer och samband hör till konceptuell kunskap.
Exempel 2.
Uppgiften uppmanar eleven att ringa in alla tal som hör ihop med ett begrepp, t.ex. heltal eller bråktal.
Exempel 2 placeras under minnas faktakunskap. Eftersom uppgiften behandlar kategorier (heltal/bråktal) skulle man kunna argumentera för att den behandlar konceptuell kunskap. Vi anser dock att den passar bättre under faktakunskap då uppgiften inte kräver någon djupare förståelse för begreppet heltal/bråktal utan eleven behöver endast minnas hur ett heltal/bråktal ser ut. Sättet som uppgiften är utformad på gör den till en minnesövning snarare än en övning i att förstå.
Exempel 3.
Uppgiften innehåller en bild av ett diagram, koordinatsystem eller tabell. I uppgiften ställs tre eller flera frågor som kräver att eleven tolkar information från diagrammet,
koordinatsystemet eller tabellen.
Exempel 3 placeras under förstå konceptuell kunskap. Uppgiften kräver att eleven förstår hur information ska utläsas från t.ex. en tabell vilket hör till konceptuell kunskap. För att svara på frågorna behöver eleven översätta information som ges i
diagrammet/koordinatsystemet/tabellen till en annan representationsform (oftast verbalspråk) vilket hör till den kognitiva processen förstå. Skulle frågorna i uppgiften också uppmana till beräkning passar uppgiften även in under tillämpa procedurkunskap.
27
8. Diskussion
I följande avsnitt diskuteras de resultat som framkommit av analysen och vilka slutsatser som kan dras utifrån detta. Först behandlas mål för undervisningen följt av vilka möjligheter de analyserade läromedlen erbjuder att utveckla olika typer av kunskap, därefter följer en kort diskussion om kognitiva processer. Avslutningsvis diskuteras metoden.
8.1 Mål för undervisningen
Av resultaten framgår att det från läromedlens sida finns ett tydligt fokus på att tillämpa procedurkunskap. Eftersom vi endast har analyserat ett kapitel i vardera läromedel kan vi inte säga något om huruvida detta gäller för hela läromedlet. Däremot visar resultatet på att i kapitlet som i huvudsak behandlar algebra läggs stor vikt vid just tillämpa procedurkunskap.
Typiska uppgifter för att tillämpa procedurkunskap är uppgifter där eleven uppmanas att
”räkna” eller ”lösa” följt av ett numeriskt eller algebraiskt uttryck. Detta stämmer överens med vad Boesen m.fl. (2014, s. 81) hävdar om att det inom matematikundervisningen i stor utsträckning fokuseras på produktion av lösningar. Att tillämpa procedurkunskap kan kopplas till Lgr11s (Skolverket 2017b, s. 57) förmåga att “välja och använda lämpliga matematiska metoder för att göra beräkningar och lösa rutinuppgifter”. Det är alltså den förmåga som ges mest utrymme i de analyserade läromedlen.
Förmågan att “använda och analysera matematiska begrepp och samband mellan begreppen”
(Skolverket, 2017b, s.57) ges visst utrymme i de analyserade läromedlen. Framförallt finns exempel på att använda begrepp vilket framgår av de markeringar som finns under förstå faktakunskap och förstå konceptuell kunskap. Delen av förmågan som behandlar att kunna analysera begrepp och deras samband ges lite utrymme med få markeringar under analysera, värdera och skapa konceptuell kunskap. Förmågan att “formulera och lösa problem med hjälp av matematik samt värdera valda strategier och metoder”(Skolverket, 2017, s.57) innefattas i tillämpa procedurkunskap, då det krävs en procedur för att kunna lösa problem.
Detta gör att den delen av förmågan är representerad i läromedlen. Övriga delar av samma förmåga, att kunna formulera problem och värdera valda strategier och metoder finns dåligt representerade i våra resultat. Värdera procedurkunskap finns inte representerad i någon uppgift. Ett fåtal uppgifter behandlar dock den mer komplexa kognitiva processen skapa vilket skulle kunna betyda att de uppgifterna även innefattar att värdera procedurkunskap.
Förmågan att “föra och följa matematiska resonemang” (Skolverket, 2017b, s.57) och förmågan att “använda matematikens uttrycksformer för att samtala om, argumentera och redogöra för frågeställningar, beräkningar och slutsatser” (Skolverket, 2017b s.57) skulle kunna sammankopplas med alla kunskapstyper som beskrivs i Blooms reviderade taxonomi, beroende på vilken kunskap resonemanget eller kommunikationen behandlar. Förmågorna
28
skulle även kunna täcka in flera av de kognitiva processerna. Förandet av resonemang kan kopplas till både att analysera, värdera och skapa. Följandet av ett resonemang och en redogörelse för en slutsats kan dessutom behandla den kognitiva processen förstå. Vi har i våra resultat sett uppgifter som behandlar kunskapstyperna faktakunskap, konceptuell kunskap, procedurkunskap och metakognitiv kunskap och de kognitiva processerna förstå, analysera, värdera eller skapa. Vi kan dock inte med säkerhet säga att dessa uppgifter har behandlat resonemang, samtal, argumentation eller redogörelse, då vi inte har kategoriserat uppgifterna utifrån den typen av innehåll.
Att läromedel som utger sig för att vara anpassat efter Lgr11 fokuserar starkt på endast en av fem förmågor kan ses som problematiskt och vilseledande för den som använder läromedlet. I läromedlens försvar kan man dock argumentera för att det liksom Johansson (2003, s. 75) menar inte är läromedlens ansvar att ta upp alla delar av läroplanen. I Lgr11 fastställs inga specifikationer om hur mycket utrymme respektive förmåga bör ges i undervisningen.
8.2 Möjlighet att utveckla olika typer av kunskap
Fördelningen av de kunskapstyper som behandlas i de analyserade uppgifterna är ojämn.
Procedurkunskap är den dominerande kunskapstypen då 72% av uppgifterna behandlar procedurkunskap. Konceptuell kunskap kan kopplas till ungefär 23% av de analyserade uppgifterna och ungefär 14% av uppgifterna behandlar faktakunskap. Den kunskapstyp som framförallt lyser med sin frånvaro är dock metakognitiv kunskap. Av resultaten framgår att metakognitiv kunskap knappt behandlas alls i de analyserade uppgifterna, endast 2 av totalt 349 uppgifter kunde kopplas till metakognitiv kunskap. Detta diskuteras vidare i följande stycke.
Här bör ännu en gång påpekas att endast en begränsad del av läromedlet har granskats, resultaten säger därmed inget om läromedlet som helhet. Men om man för diskussionens skull antar att fördelningen av kunskapstyper är ungefär densamma även i resten av
läromedlet kan man ställa sig frågan: varför saknas uppgifter som syftar till användandet av metakognitiv kunskap? Metakognitiv kunskap har till synes inget självklart samband med någon av de fem förmågorna i Lgr11. Det går dock att argumentera för att metakognitiv kunskap går att koppla till förmågan att följa och föra matematiska resonemang samt förmågan att lösa problem med matematik (Skolverket, 2017b, s.57). I Andersons m.fl.
(2001, s. 56) beskrivning är kunskap om strategier för problemlösning en del av metakognitiv kunskap. För att ta reda på om detta förekommer i undervisningen räcker det inte att granska endast läromedel utan även användningen av läromedlet behöver tas med i beräkningen. Det kan även vara nödvändigt att analysera elevlösningar. Vi kan genom analysen i det här arbetet inte dra några slutsatser om hur eleverna tänker eller resonerar kring strategier och sitt egna tänkande medan de löser uppgifterna. Att det i en del av ett specifikt läromedel saknas uppgifter som behandlar metakognitiv kunskap betyder inte att den typen av kunskap inte behandlas i matematikundervisningen. Att lösa vissa uppgifter i läromedlet kan kräva ett visst
29
mått av metakognitiv kunskap även om det inte framgår i den här typen av analys. Ytterligare ett exempel på metakognitiv kunskap är att kontrollera sina svar med hjälp av facit för att sedan gå tillbaka och rätta sina fel (Anderson m.fl., 2001, s. 57). Läromedlen som vi har granskat uppmanar inte eleven att göra detta men det är något som den undervisande läraren skulle kunna göra.
8.3 Kognitiva processer
Enligt Anderson m.fl. (2001, s. 234-235) kan de mer komplexa kognitiva processerna analysera, värdera och skapa användas i aktiviteter för att utveckla de mindre komplexa processerna minnas, förstå och tillämpa. Med detta i åtanke skulle man kunna argumentera för att ett större fokus på de mer komplexa kognitiva processerna även skulle kunna hjälpa eleverna att förstå och tillämpa. Brändström (2005, s. 73) ser i sina resultat att en stor del av läromedelsuppgifter har en relativt låg nivå av kognitiv utmaning, detta framgår även av våra resultat där få eller inga uppgifter placeras under de mer komplexa kognitiva processerna analysera, värdera och skapa. Brändström (2005, s.73-74) anser att detta är anmärkningsvärt eftersom det enligt den teori hon beskrivit för matematisk kompetens skulle behövas fler kategorier av kognitiv utmaning representerade i läromedlen för att eleverna ska kunna tillägna sig matematisk kompetens. Att ta med uppgifter som behandlar en högre nivå av kognitiv utmaning anser Brändström (2005, s.74) är viktigt för lärare att tänka på när de planerar lektioner.
8.4 Metoddiskussion
Den mest uppenbara svagheten med den analysmetod vi har använt oss av är att
analysverktyget både bygger på och är öppet för egna tolkningar. I det här delavsnittet ges först ett exempel på hur vår tolkning av Blooms reviderade taxonomi (Anderson m.fl. 2001) har påverkat analysresultaten i det här arbetet. Därefter diskuteras analysverktygets
begränsningar.
Trots att Anderson m.fl. (2001, s. 239) menar att faktakunskap ofta hör samman med den kognitiva processen att minnas kan man från våra resultat istället se ett samband mellan faktakunskap och den kognitiva processen att förstå. Detta beror på hur vi har tolkat de kognitiva processerna och valt att formulera kriterierna i kodningsmanualen. Enligt kodningsmanualen kategoriseras endast uppgifter där eleven med hjälp av alternativ ska identifiera ett korrekt svar som minnas, det är med andra ord ett starkt fokus på
underkategorin känna igen. Kräver uppgiften mer av eleven, t.ex. att eleven ger egna exempel eller översätter ett begrepp till en annan representationsform kategoriseras uppgiften istället som förstå. Med en generösare tolkning av minnas hade flera av de uppgifter vi tolkat som förstå kunnat sorteras till den mindre komplexa kognitiva processen. Att vi gjort denna snäva
30
tolkning av minnas beror på att det genom vår undersökning är svårt att avgöra vilken fakta som eleven kan utantill och endast behöver återkalla ur minnet. Huruvida den fakta som behövs för uppgiften kräver den kognitiva processen minnas eller förstå beror på individens aktuella kunskapsnivå.
I diskussionen om möjlighet att utveckla olika typer av kunskap framgår att analysverktyget är begränsat i fråga om vad som kan undersökas. Arbetets andra frågeställning handlar om i vilken utsträckning läromedel erbjuder möjlighet att utveckla olika typer av kunskap. Man skulle kunna argumentera för att detta inte går att undersöka utan att även studera hur läromedlet används i undervisningen. Resultaten i det här arbetet är begränsade till de möjligheter till utvecklande av olika kunskapstyper som vi kan se genom enskilt arbete med läroboksuppgifterna. Som vi tar upp i den tidigare diskussionen kan det finnas möjlighet att med hjälp av läromedlet arbeta med metakognitiv kunskap även om detta inte framgår av våra resultat.
9. Konklusion
I följande avsnitt redogörs i korthet för hur vi besvarat våra frågeställningar. Avslutningsvis ges förslag på framtida forskning.
9.1 Slutsatser
Den första frågeställningen är följande:
- Vilka typer av mål för undervisningen finns implicit uttryckta i uppgifter i två olika läromedel i matematik?
Frågan om vilka mål för undervisningen som finns uttryckta i läromedlets uppgifter besvaras genom resultatet i tabell 1 och 2. Slutsatsen vi kan dra utifrån resultatet är att mål av typen tillämpa procedurkunskap förekommer i störst utsträckning. I läromedlen förekommer även mål av typen förstå konceptuell kunskap, förstå faktakunskap, analysera procedurkunskap och förstå procedurkunskap. En eller ett fåtal uppgifter behandlar även mål av typen minnas faktakunskap, värdera konceptuell kunskap, skapa procedurkunskap, värdera metakognitiv kunskap, värdera procedurkunskap, skapa faktakunskap och skapa konceptuell kunskap.
31
- I vilken utsträckning ger läromedel elever möjlighet att utveckla olika typer av kunskap?
Frågan om i vilken utsträckning läromedel ger elever möjlighet att utveckla olika typer av kunskapstyper besvaras även den genom resultaten i tabell 1 och 2. Resultaten utvecklas i diskussionen där vi främst tar upp avsaknaden av metakognitiv kunskap i de analyserade läromedelskapitlen. Vi kan dra slutsatsen att de uppgifter vi har analyserat ger begränsade möjligheter till användande och utveckling av olika typer av kunskap.
9.2 Framtida forskning
I diskussionen tar vi upp att de mer komplexa kognitiva processerna kan utnyttjas för att utveckla de mindre komplexa processerna. Av den anledningen skulle en intressant studie kunna vara att undersöka resultat i matematik mellan elever som främst arbetat med de tre mindre komplexa processerna jämfört med elever som främst arbetat med de tre mest komplexa processerna.
Det är möjligt att använda vårt analysverktyg för att granska andra läromedelsserier eller läromedel riktade till andra årskurser. Med justeringar av kodningsmanualen är det också möjligt att analysera andra områden inom matematik. Framtida studier skulle också likt Johanssons (2006) studier kunna behandla hur läromedel används i klassrummet eller hur de mål för undervisningen som uttrycks i läromedel uppfylls i praktiken. Förslag på
undersökningar kan då vara att titta på hur läraren använder läromedlet, hur eleverna och läraren uppfattar läromedlet eller vad eleverna faktiskt lär sig, även lärarhandledningen kan vara intressanta att analysera.
Slutligen är en möjlig undersökning att studera hur läromedel och mål för undervisningen i läromedel är kopplat till matematisk kompetens. Begreppet matematisk kompetens som forskats på av Mathematics Learning Study Committee (Kilpatrick, Swafford & Findell.
2001), The National Council of Teachers of Mathematics (2000) och Niss och Højgaard Jensen (2002) är en del av bakgrunden i framställandet av de matematiska förmågorna i Lgr11 (Jahnke, 2010, s.4). Därför kan det vara intressant att studera läromedel i förhållande till matematisk kompetens.
