= 1 , kallad Pells ekvation

SJÄLVSTÄNDIGA ARBETEN I MATEMATIK

MATEMATISKA INSTITUTIONEN, STOCKHOLMS UNIVERSITET

Olika sätt att lösa den diofantiska ekvationen x

²

− dy

²

= 1 , kallad Pells ekvation

En genomgång från indiskt 600-tal fram till moderna metoder

av Åsa Olausson

2016 - No 14

Olika sätt att lösa den diofantiska ekvationen x ² − dy ² = 1 , kallad Pells ekvation

En genomgång från indiskt 600-tal fram till moderna metoder

Åsa Olausson

Självständigt arbete i matematik 15 högskolepoäng, grundnivå Handledare: Torbjörn Tambour

2016

Abstract    

Although looking quite unassuming, there is so much to say about the Pell equation 𝑥^!− 𝑑𝑦^!= 1. And a lot of of great mathematicians has in fact done that. For more than 2 000 years the study of Pell-looking equations has fascinated and contributed to, for example, algebraic number theory that deals with quadratic forms and also for understanding of irrational numbers.

In this thesis we will look at some different problems that can be solved within a Pell equation. We will also, in a rather practical way, present the historical way to a general solution of the equation. And we will discover that the English mathematician John Pell probably had nothing to do with the equation. Furthermore we will answer the questions ”Is there a solution for every d?”, and if so, ”How many solutions exists for a specific d?”. At the very end we will get familiar with Archimedes cattle problem that ends up in a Pell equation. When he formulated it (he died 212 years BC), he said that the one who solved it should ”Go forth in glory! Be assured all deem, thy wisdom in this discipline supreme!”. First time the correct solution where published was in 1981 when a computer needed 10 minutes to solve it!

I want to thank my mentor Torbjörn Tambour for, with large serving teaching skills and a good portion of patience, has guided me on this journey.

 

1 Innehållsförteckning

1

 

Innehållsförteckning ... 1

 

2

 

Inledning ... 2

 

3

 

För att sätta in Pell-ekvationen i ett historiskt perspektiv kan vi titta på tidslinjen nedan ... 3

 

4

 

Problem som leder till ekvationer av Pell typ: ... 4

 

4.1

 

Finns det tal som är både triangel- och kvadrattal? ... 4

 

4.2

 

Grekerna studerade Pells ekvation för 𝒅 = 𝟐 för att förstå 𝟐 ... 4

 

4.3

 

Lösningarna till Pells ekvationen i ett koordinatsystem ... 5

 

4.4

 

Archimedes boskapsproblem ... 5

 

5

 

Olika indiska lösningar för Pells ekvation ... 6

 

5.1

 

Lösningar då d är mindre än 1 samt då d är ett kvadrattal ... 6

 

5.1.1

 

Fundamentallösningen ... 6

 

5.2

 

Brahmaguptas lösning ... 7

 

5.2.1

 

Kommentar till metoden ... 8

 

5.3

 

Bhaskaras metod ... 9

 

5.3.1

 

Bhaskaras metod och 𝒅 = 𝟔𝟏 ... 10

 

5.3.2

 

Kommentar Bhaskaras metod ... 11

 

6

 

Lösning av Pells ekvation med kedjebråk ... 11

 

6.1

 

Fermat, Brouncker, Euler, Lagrange … och Pell ... 11

 

6.1.1

 

Euklides algoritm ... 12

 

6.1.2

 

Kedjebråksutvecklingen av ett tal ... 12

 

6.1.3

 

Kedjebråk och irrationella tal sett ur ett geometriskt perspektiv ... 13

 

6.1.4

 

Periodiska kedjebråk ... 14

 

6.1.5

 

Lösning för 𝒙𝟐 − 𝟔𝟏𝒚𝟐 = 𝟏 med kedjebråksutveckling ... 16

 

6.1.6

 

Lösningen för den snarlika ekvationen Lösning för 𝒙𝟐 − 𝟔𝟏𝒚𝟐 = −𝟏 med kedjebråksutveckling ... 17

 

6.1.7

 

Kommentar till lösningar med kedjebråk ... 18

 

7

 

Om lösningarna till Pells ekvation ... 18

 

7.1

 

Vet man en lösning går det att generera flera ... 18

 

7.2

 

Fundamentallösningen ... 18

 

7.3

 

Alla lösningar kan fås från fundamentallösningen ... 19

 

8

 

Varför blir Archimedes boskapsproblem en Pell-ekvation? ... 19

 

8.1

 

Problemets första del ... 19

 

8.2

 

Lösning till problemets första del ... 21

 

8.3

 

Problemets andra del ... 21

 

9

 

Slutsats ... 22

 

2 Inledning

Pells ekvation, är den speciella diofantiska ekvationen

𝑥^!− 𝑑𝑦^!= 1

där 𝑑 är ett heltal men inte en heltalskvadrat. En diofantisk ekvation är en ekvation där endast heltalslösningar accepteras.

Mannen som gett namn åt ekvationen, John Pell, var en brittisk matematiker som verkade på 1600-talet. Det var den schweiziske matematikern Leonard Euler som levde på 1700-talet som felaktigt tillskrev Pell en

lösningsmetod som en annan engelsk matematiker, William Brouncker hade kommit på. John Pell har alltså egentligen ingenting att göra med Pells ekvation!

Men egentligen kanske ekvationen borde kallas för Brahmaguptas ekvation efter en indisk matematiker som levde på 600-talet. Han hade redan på den tiden hittat ett sätt att systematiskt generera oändligt många lösningar utifrån en lösning. Även en annan indier, astronomen Bhaskara som föddes år 1114, har studerat ekvationen.

Bhaskara har haft stort inflytande på matematik, han skrev två verk, Lilavati och Bijaganita, den första handlade om aritmetik, den andra om algebra. Bhaskara kom på en metod att hitta den minsta lösningen till Pells ekvation med hjälp av kedjebråk.

Pierre de Fermat, som levde på 1600-talet, var den förste västeuropeiske matematikern som ägnade

uppmärksamhet åt ekvationen. Fermat fann hur man löser ekvationen och i ett brev utfärdat 1657 skrev han om ekvationen, då som en utmaning till engelska matematiker. Men det var inte förrän i slutet av 1700-talet som en heltäckande teori runt ekvationen uppstod. Det var Joseph-Louis Lagrange (1736-1810) som var den förste att visa att den har oändligt många lösningar.

I denna uppsats ska vi titta närmare på varför Pells ekvation har fascinerat. Trots dess enkla utseende har den spelat en stor roll inom algebraisk talteori som behandlar kvadratiska former och också strukturen av ringar av heltal i algebraiska talkroppar. Arbetet kommer innehålla de första kända lösningarna som gjordes av en indisk matematiker redan på 600-talet och hur sedan olika metoder har arbetets fram och förfinats. Vi kommer avslutningsvis titta på ett klassiskt problem som formulerades av Archimedes och varför det kan beskrivas med en Pell-ekvation.

För att nämna något av vilket intresse ekvationen har väckt kan sägas att över hundra artiklar om ekvationen publicerats bara under 1990-talet!¹

1 Barbeau (2003)

3 För att sätta in Pell-ekvationen i ett historiskt perspektiv kan vi titta på tidslinjen nedan

Tidslinje)för)Pells)ekvation

500)f.)Kr

Pythagoras)(född)ca)580)f.Kr.))trodde)att)världen)var)uppbyggd)av)heltal.)Det)sägs)att) Pythagoras)lät)dränka)sin)lärjunge)Hippasos)då)han)han)inte)kunde)hitta)ett)rationellt)tal) för)längden)av)hypotenusan)på)en)rätE)vinklig)triangel)med)katetlängden)1)enhet)

1

År)0 Archimedes)(287E212)f.Kr.))formulerar)det)berömda)boskapsproblemet ² 500

Brahmagupta)(född)598))intresserar)sig)för)problemet)och)skriver)om)det)i)skriften) Brahmasphutasiddhanta)i)det)artonde)kapitlet)som)kalla)för)Kuttaka)(=algebra)

3

1)000

Bhaskara)II)(född)1114))in)Lilavati)fortsätter)på)Brahmaguptas)inslagna)spår,)men)visar) också)att)att)det)finns)en)cyklisk)metod.)Han)hittar)en)lösning)till)ekvationen)x^2E61y^2=1

4 1500

1)mars)1611.)Den)engelske)matematikern)John)Pell)föds

1657)Fermat)anar)att)ekvationen)har)ett)oändligt)antal)lösningar.)Han)utmanar)andra) matematiker)att)lösa)ekvationen)x^2E61y^2=1

5

Den)engelska)matematikern)Lord)William)Broncker)(1620E1684))är)den)förste)européen) som)löser)Pells)ekvation)

6

Den)förste)att)publicera)en)lösning)fö)rd=61)(Fermats)utmaning))är)den)schweziske) matematikern)Leonard)Euler)(1707E1783).)Euler)refererar)Bronckers)lösning)till) ekvationen)den)generella)ekvationen)som)"Pells)ekvation"

7

1773)Archimeds)boskapsproblem)hittas)på)Herzog)August)Bibliothek)i)Tyskland)i)ett) grekiskt)manuskript

8

Den)franske)matematikern)JosephELouis)Lagrange)(1736E1813))visar)att)Pells)ekvation)har) oändligt)antal)lösningar

9

Den)tyske)matematikern)Amthor)visar)att)det)totala)antalet)nötkreatur)iI)Archimedes) problem)måste)vara)ett)tal)med)206)545)siffror

10

1981)var)den)första)gången)som)den)korrekta)lösningen)till)Achkimedes)boskapsproblem) publicerades.

11

1.)Gratzer)(2002) 2.)Lenstra)(2002) 3.)Katz)(2009) 4.)Katz)(2009) 5.)Lenstra)(2002) 6.)Lenstra)(2002) 7.)Barbeau)(2003) 8.)Lenstra)(2002) 9.)Barbeau)(2003) 10.)Lenstra)(2002) 11.)Nelson)(1980E1981)

4 Problem som leder till ekvationer av Pell typ:

4.1 Finns det tal som är både triangel- och kvadrattal?

Talen 1, 3, 6 10, 15, 21, 28, 36, 45,…, 𝑡_!≡^!_!𝑛(𝑛 − 1), … kallas för triangeltal, eftersom det 𝑛:e talet anger antalet prickar i en triangulär följd med n antal prickar i varje sida.

Figur 1. Trianglar. Källa: Edward J Barbeau, Pell’s Equation, Springer-Verlag New York Inc. 2003, s16-17

Om man ser på en sådan triangel är det inte svårt att se att summan av två sådana trianglar ger en kvadrat:

Figur 2. Summan av två tringlar bildar en kvadrat. Källa: Barbeau (2003)

Men hur ofta är en ett triangeltal även ett kvadrattal?

Ett kvadrattal har formen 𝑚^! och ett triangeltal kan enligt ovan uttryckas som ^!_!𝑛(𝑛 − 1). Då kan vi sätta:

𝑚^!=1

2𝑛 𝑛 + 1 som kan skrivas som

1

2𝑛 𝑛 + 1 =𝑛^!+ 𝑛

2 = 𝑛 +1 2

!

−1 4

2 =1

8 2𝑛 + 1 ^!− 1 vilket ger

2𝑛 + 1 ^!− 8𝑚^!= 1

Med 2𝑛 + 1 = 𝑥 kan vi nu skriva detta som en Pell-ekvation, 𝑥^!− 8𝑦^!= 1

4.2 Grekerna studerade Pells ekvation för 𝒅 = 𝟐 för att förstå 𝟐

Pythagoras, född ca 580 f. Kr. hade uppfattningen att alla tal var uppbyggda av heltal, dvs endast de rationella talen ansågs vara tal.² Därför ledde upptäckten att 2 är längden på hypotenusan av en rätvinklig triangel med kateterna 1, samt att 2 dessutom är irrationellt till förvirring. Forntida greker studerade den diofantiska ekvationen

x^!  −  2y^!= 1

2 Stillwell (2010)

för att förstå 2. De kunde komma fram till en sekvens av många lösningar 𝑥_!, 𝑦! . Notera att ekvationen ovan kan skrivas som

𝑥^!

𝑦^!= 2 + 1 𝑦^!⟺𝑥

𝑦= 2 + 1 𝑦^!→ 2

när 𝑦 ⟶ ∞. Därav ger lösningarna till 𝑥_!, 𝑦! allt bättre rationella approximationer till 2 desto större 𝑦_! är. Genom att använda sig av Pells ekvation har man fått förståelse för hur man kan approximera irrationella tal med hjälp av rationella tal.³

4.3 Lösningarna till Pells ekvationen i ett koordinatsystem

I koordinatsystemet betyder ekvationen 𝑥^!− 𝑑𝑦^!= 1  en hyperbel och lösningar finns där kurvan passerar en punkt vars x- och y-koordinater båda är heltal, se till exempel den triviala lösningen 𝑥 = 1 och 𝑦 = 0. Lagrange visade till exempel att när 𝑑 inte är en perfekt kvadrat har Pells ekvation oändligt antal heltalslösningar. Dessa lösningar kan användas för att noggrant approximera kvadratroten av 𝑑 genom rationella tal av formen 𝑥 𝑦. Vi återkommer till detta senare!

Fig 3: Pells ekvation för d=2. Här med sex av sina lösningar. Källa: Wikipedia, 2016-05-31

4.4 Archimedes boskapsproblem

Archimedes boskapsproblem är en gåta som leder fram till en ekvation av Pell-typ. Vi kommer att gå igenom det i detalj i slutet av uppsatsen, men det är många som har försökt lösa problemet och bör därför nämnas här.

Greken Archimedes föddes 287 före Kristus. Han var en framstående inom matematik, fysik och astronomi. Han var även uppfinnare och filosof. Det sägs att han formulerade problemet när han blickade ut över en hjord med nötkreatur. Problemet upptäcktes år 1773 i Tyskland av Gotthold Ephraim Lessing som hittade ett grekiskt manuskript i Herzog August Bibliothek i Wolfenbüttel. Manuskriptet innehöll en dikt av på fyrtiofyra rader och kan i korthet beskrivas såhär:

Tänk dig en boskapshjord som består av kor och tjurar. Både kor och tjurar kan vara vita, svarta, gula eller fläckiga, dvs det finns åtta olika kategorier. Antalet djur i varje kategori är relaterade sinsemellan med olika, men enkla förhållanden. Själva problemet är att bestämma antalet nötkreatur av varje kategori, och därifrån storleken av hjorden. Boskapsproblemet uttrycktes som en uppmaning som Archimedes utfärdade till alexandrinska matematiker som leddes av Eratoshenes.

3 Barbeau (2003)

År 1880 visade en tysk matematiker vid namn Amthor att det totala antalet nötkreatur måste vara ett tal med 206 545 siffror och att det skulle börja med siffrorna 7766. Första gången den korrekta lösningen publicerades var år 1981 då man med hjälp av datorkraft kunde räkna ut den på ca 10 minuter.

Det som gör det extra roligt är att Archimedes ska ha sagt ungefär såhär: ”Om du kan lösa problemet är du inte outbildad vad det gäller siffror, men du kan heller inte räknas till de riktigt kloka”. Dock har man aldrig kunnat bevisa att Archimedes själv satt inne på lösningen…⁴

5 Olika indiska lösningar för Pells ekvation

5.1 Lösningar då d är mindre än 1 samt då d är ett kvadrattal

Innan vi går in på olika lösningar av Pells ekvation kan det vara bra att titta på för vilka värden på 𝑑  som ekvationen är intressant.

Sats: Om 𝑑 är en kvadrat är den enda lösningen ±1,0 .

Bevis: Om 𝑑 = 𝑎^! är en kvadrat, är kan ekvationen skrivas som 𝑥 + 𝑎𝑦 𝑥 − 𝑎𝑦 = 1. Då krävs antingen att:

𝑥 + 𝑎𝑦 = 𝑥 − 𝑎𝑦 = 1 vilket ger lösningen 𝑥 = 1, 𝑦 = 0

Eller att

𝑥 + 𝑎𝑦 = 𝑥 − 𝑎𝑦 = −1 vilket gör att vi får lösningen 𝑥 = −1, 𝑦 = 0.

Detta ger att det bara finns triviala lösningar om 𝑑 är ett kvadrattal.

Sats: Och om 𝑑 i ekvationen

𝑥^!− 𝑑𝑦^!= 1 är negativt, kan Pells ekvation bara ha ett ändligt antal heltalslösningar.

Bevis: Om 𝑑 = −1 kan ekvationen skrivas som 𝑥^!+ 𝑦^!= 1. Vänsterledet blir 1, antingen om 𝑥 = ±1 och 𝑦 = 0 eller om 𝑥 = 0 och 𝑦 = ±1. Alltså har ekvationen fyra triviala lösningar: ±1,0 , 0, ±1

Sats: Om 𝑑 < −1 har ekvationen de enda lösningarna ±1,0

Säg att 𝑥 ≠ 0 och sätt  𝑑 = −𝑏 där 𝑏 > 1, då ses tydligt att 𝑥^!+ 𝑏𝑦^!> 2. För 𝑑 < −1 ekvationen de enda lösningarna ±1,0

I denna uppsats kommer därför att antas att d är ett positivt heltal som inte är en jämn kvadrat.

5.1.1 Fundamentallösningen

Innan vi sätter igång med att titta på olika metoder behöver vi nämna den minsta lösningen, även kallad

fundamentallösningen, eftersom vi återkommer till den flera gånger. Senare i uppsatsen kommer bevis för att en minsta lösning existerar och att det utifrån den går att få fram oändligt antal lösningar. Men låt oss nu nöja oss med att konstatera att när vi har fundamentallösningen 𝑥_!, 𝑦! kan alla andra lösningar räknas ut. Det vill säga om lösningarna ordnas i storleksordning kan den 𝑛:te lösningen uttryckas med hjälp av den första. Om 𝑥! och 𝑦!

är positiva heltal gäller alltså

𝑥!+ 𝑦! 𝑑 = 𝑥!+ 𝑦! 𝑑 ^!

4 Jacobsen och Williams, (2009)

5.2 Brahmaguptas lösning

Det är lite av ett mysterium varför de indiska matematikerna ägnade sig åt ekvationer av Pell-typ, man har inte kunnat hitta några konkreta exempel på varför man ville lösa dessa, mer än att Brahmagupta (född 598) ibland använde tal på 𝑥 och 𝑦 tagna från astronomin.⁵

Brahmagupta var den förste att ge en metod för att lösa Pells ekvation. Han gjorde det i form av exempel, vilket han hade för vana att göra i skriften kuţţaka.

Tänk dig följande problem⁶:

”Han, som inom ett år, kan beräkna kvadraten på [ett tal]. . . multiplicerat med nittiotvå. . . och ökar det med ett som är en kvadrat, han är en kalkylator.”

Det är alltså ekvationen 92𝑦^!+ 1 = 𝑥^! som han är ute efter.

Låt oss börja med att titta på en identitet kallad Brahmagupta-Fibonaccis identitet (men också Diophantus identitet). Den säger att:

Produkten av två tal som i sig är summan av två kvadrattal bildar summan av två kvadrattal. Detta kan uttryckas med hjälp av Fibonaccis identitet:

𝑥!!+ 𝑦!! 𝑥!!+ 𝑦!! =

= 𝑥!𝑥!− 𝑦!𝑦! !+ 𝑥!𝑦!+ 𝑦!𝑥! !=

= 𝑥!𝑥!+ 𝑦!𝑦! !+ 𝑥!𝑦!− 𝑦!𝑥! !

Ett enkelt sätt att se detta på är att kvadrera två heltal för att sedan addera dem med varandra. Om man gör det om och om igen, får man en oändlig talföljd som börjar med 0,1,2,4,5,8,9,10,13,16,17,18,20 … 𝑒𝑡𝑐 . Om man sedan multiplicerar två av dem med varandra fås ett annat tal i talföljden, det vill säga mängden av tal som är summan av två kvadrater sluten under multiplikation.

Tag t.ex.

1^!+ 2^! 3^!+ 4^! = 200 10^!+ 10^!= 200

14^!+ 2^!= 200

Brahmagupta bevisade och använde sig av en mer generell variant av ovan identitet:

𝑥!!− 𝑑𝑦!! 𝑥!!− 𝑑𝑦!! =

= 𝑥!𝑥!+ 𝑑𝑦!𝑦! !− 𝑑 𝑥!𝑦!+ 𝑥!𝑦! !

Nedan ska vi se på vilket sätt detta är användbart för att lösa Pells ekvation.

För att lösa 92𝑦^!+ 1 = 𝑥^! börjar Brahmagupta att lösa ekvationen 𝑑𝑦_!^!+ 𝑏!= 𝑥!! för en godtycklig konstant 𝑏_!. Vi kan t.ex. börja med att sätta 𝑦_!= 1, då vi vet att 92𝑦!!= 92. Om vi sedan lägger till talet 8 fås kvadrattalet 100. Då har vi hittat tre tal som är en lösning till ekvationen 92𝑦_!^!+ 𝑏!= 𝑥!!. Vi har alltså att trippeln 10,1, 8 är en lösning till 𝑥_!, 𝑦!, 𝑏! . Sedan använder sig Brahmagupta av ovanstående identitet för att generera flera lösningar och förhoppningsvis (det är inte säkert att det går) hitta en heltalslösning för 𝑥 och 𝑦 då 𝑏 = 1. Detta är Brahmaguptas

”kombinationsregel” (composition rule på engelska).

Identiteten ovan visar att, om 𝑥 = 𝑥_! och 𝑦 = 𝑦_! är en lösning till 𝑥^!  − 𝑑𝑦^!= 𝑏! och om 𝑥 = 𝑥_! och 𝑦 = 𝑦_! är en lösning till 𝑥^!  − 𝑑𝑦^!= 𝑏! så är

𝑥 = 𝑥_!𝑥_!+ 𝑑𝑦_!𝑦_! och

𝑦 = 𝑥!𝑦!+ 𝑥!𝑦! en lösning till 𝑥^!  − 𝑑𝑦^!= 𝑏!𝑏!

5 Katz (2009)

6 Citatet är fritt översatt av mig från Katz (2009)

Det vill säga att en ny trippel genereras utifrån 𝑥_!𝑥!+ 𝑑𝑦!𝑦!, 𝑥!𝑦!+ 𝑥!𝑦!, 𝑏!𝑏! . Talet ovan kan med hjälp av denna regel sättas samman med sig själv, och vi får 10 ∗ 10 + 92 ∗ 1 ∗ 1,10 ∗ 1 + 10 ∗ 1,8 ∗ 8 = 192, 20,64 . Det här betyder att 192^!− 92 ∗ 20^!= 8^!.

För att få lösningen för konstanten 1 dividerar sedan Brahmagupta med 8^! vilket ger 24^!− 92 ∗ 5 2^!= 1. Den nya trippeln är nu 24, 5 2, 1 vilket inte var riktigt det vi letade efter. För att få fram en heltalslösning upprepas kombinationsregeln dvs:

24 ∗ 24 + 92 ∗ 5 2 ∗ 5 2 , 24 ∗ 5 2 + 24 ∗ 5 2 , 1 ∗ 1 = 576 + 575,60 + 60,1 = 1151,120,1 Och vi har alltså funnit en heltalslösning till 92𝑦^!+ 1 = 𝑥^!.

Brahmagupta noterade också att, om han visste lösningen 𝑢, 𝑣 för det positiva talet 4, kunde han hitta en lösning för talet 1. Hans metod ser ut som följer:

Om 𝑣 är ett udda tal och 𝑢 ett jämnt så är:

𝑢!, 𝑣! = 𝑢 𝑣^!− 1

2 , 𝑣 𝑣^!− 3 2

är den minsta lösningen.

Vi vet lösningen till 𝑑𝑢^!+ 4 = 𝑣^!  dvs vi vet 𝑑𝑢^!= 𝑣^!− 4

𝑣!!− 𝑑𝑢!!= 𝑣^! 𝑣^!− 3 2

!

− 𝑑𝑢^! 𝑣^!− 1 2

!

=

= 𝑣^! 𝑣^!− 3 2

!

− 𝑣^!− 4 𝑣^!− 1 2

!

=

=1

4 𝑣^!− 6𝑣^!+ 9𝑣^! − 𝑣^!− 2𝑣^!+ 𝑣^!− 4𝑣^!+ 8𝑣^!− 4 = 1 Om istället 𝑣 är jämnt och 𝑢 är udda så är

𝑢_!, 𝑣_! = 2𝑢𝑣

4 ,𝑑𝑢^!+ 𝑣^!

4 =2𝑣^!− 4 4 en heltalslösning.

Vi tittar också på denna:

𝑣_!^!− 𝑑𝑢_!^!= 2𝑣^!− 4 4

!

− 𝑑 2𝑢𝑣 4

!

= 𝑣^!− 2 2

!

− 𝑑𝑢^!∗𝑣^! 4 =

= 𝑣^!− 2 2

!

− 𝑣^!− 4 ∗𝑣^! 4 =

=1

4 𝑣^!− 4𝑣^!+ 44 − 𝑣^!+ 4𝑣^! = 1

Som ett exempel på den första lösningen löste Brahmagupta 3𝑥^!+ 1 = 𝑦^! genom att börja med lösningen 𝑢 = 2, 𝑣 = 4 för 3𝑢^!+ 4 = 𝑣^!. Då fås 𝑢_!= 15 och 𝑣!= 26 och ekvationen 3𝑥^!+ 1 = 𝑦^! har alltså lösningen 15,26 .

5.2.1 Kommentar till metoden

Brahmagupta kom så långt att han visade att om man kan hitta lösningar för ±1, ±2 och ±4 så fanns det en lösning för Pells ekvation. Brahmaguptas metod har sina begränsningar, idag vet vi te.x. att det alltid går att hitta heltalslösningar, men det går inte alltid att hitta med hjälp av Brahmaguptas metod. Det är inte heller något som säger att den lösningen som hittas är fundamentallösningen.

5.3 Bhaskaras metod

Bhaskara (född 1114) hade som mål i sin skrift Lilavati att hitta heltalslösningar för alla ekvationer på formen 𝑑𝑦^!+ 1 = 𝑥^!. Han börjar med att utgå från Brahmaguptas metod. Med hjälp av den cykliska metoden, chakravala, hittade han också en metod som gäller för alla värden på 𝑑. Dock har man aldrig funnit att han bevisade detta. ⁷

Vi börjar med Bhaskaras Lemma:

Om 𝑑𝑦^!+ 𝑏 = 𝑥^!, där 𝑥, 𝑦, 𝑏 är heltal, och 𝑏 antingen är positivt eller negativt, då gäller för vilket godtyckligt tal 𝑚 som helst att:

𝑚𝑥 + 𝑑𝑦 𝑏

!

− 𝑑 𝑦𝑚 + 𝑥 𝑏

!

=𝑚^!− 𝑑 𝑏

Bevis: Antag att 𝑏, 𝑑, 𝑥, 𝑦 är heltal i ekvationen 𝑥^!− 𝑑𝑦^!= 𝑏. Det gäller att⁸ 𝑚𝑥 + 𝑑𝑦 ^!− 𝑑 𝑦𝑚 + 𝑥 ^!= 𝑏 𝑚^!− 𝑑 Vilket vi visar med uträkningen

𝑚𝑥 + 𝑑𝑦 ^!− 𝑑 𝑦𝑚 + 𝑥 ^!= 𝑚^!𝑥^!+ 𝑑^!+ 2𝑚𝑥𝑑𝑦 − 𝑑𝑦^!𝑚^!− 𝑑𝑥^!− 2𝑑𝑦𝑚𝑥 =

= 𝑥^! 𝑚^!− 𝑑 − 𝑑𝑦^! 𝑚^!− 𝑑 = 𝑏 𝑚^!− 𝑑 för varje positivt heltal 𝑚.

Vi vill nu visa att 𝑥 + 𝑚𝑦 , 𝑚^!− 𝑑 och 𝑚𝑥 + 𝑑𝑦 är delbart med 𝑏.

Vi börjar med att anta att, i ekvationen ovan, talet 1 är den största gemensamma delaren till 𝑦 och 𝑏 och att 𝑦𝑚 + 𝑥 är en multipel av 𝑏. Då kan vi se att

𝑚^!− 𝑑 𝑦^!= 𝑏 − 𝑥^!− 𝑚^!𝑦^! = 𝑏 − 𝑥 + 𝑚𝑦 𝑥 − 𝑚𝑦

vi vet att 𝑏 delar 𝑦𝑚 + 𝑥. Högerledet blir då delbart med 𝑏. Dessutom vet vi att 𝑠𝑔𝑑 𝑦, 𝑏 = 1 vilket ger att 𝑚^!− 𝑑 är delbart med 𝑏.

Vi kan skriva om 𝑚𝑥 + 𝑑𝑦 på följande sätt:

𝑚𝑥 + 𝑑𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑚^!𝑦 − 𝑚^!𝑦 + 𝑑𝑦 = 𝑚 𝑥 + 𝑚𝑦 − 𝑚^!− 𝑑 𝑦 Eftersom både 𝑥 + 𝑚𝑦 och 𝑚^!− 𝑑 är delbart med 𝑏 är även vänsterledet det.

Notera att, i Bhaskaras Lemma, går 𝑚 att välja på ett sådant sätt att talen inom parentes blir heltal.

Vi börjar med samma tal som Brahmagupta tittade på, 92𝑦^!+ 1 = 𝑥^! och får då:

10𝑚 + 92 ∗ 1 8

!

− 92 1 ∗ 𝑚 + 10 8

!

=𝑚^!− 92 8

Här vill vi alltså välja 𝑚 så att 𝑚 + 10 8 är ett heltal och att 𝑚^!− 92 8 är så litet som möjligt. Det minsta talet för 𝑚 som gör att 𝑚 + 10 8 blir ett heltal är 6, vilket ger 𝑚^!− 92 8 = 7. Låt oss se med lite räkning se vad andra värden på 𝑚 kan ge för resultat: Nästa värde för 𝑚 för att 𝑚 + 10 8 ska bli ett heltal är 14, vilket ger 𝑚^!=196, vi får 𝑚^!− 92 8 = 13 och vi ser att ännu större värden 𝑚 skulle göra att absolutbeloppet växer.

Vi sätter därför 𝑚 = 6 och får då:

10 ∗ 6 + 92 8

!

− 92 6 + 10 8

!

=6^!− 92 8

7 Katz (2009)

8 Barbeau (2003)

dvs

19^!− 92 2 ^!= −7 Nu upprepar vi proceduren:

19𝑚 + 92 ∗ 2

−7

!

− 92 2𝑚 + 19

−7

!

=𝑚^!− 92

−7

Och väljer 𝑚 = 8 så att 2𝑚 + 19 −7 är ett heltal och att 𝑚^!− 92 −7 är så litet som möjligt.

48^!− 92 5 ^!= −4 Vi fortsätter

48𝑚 + 92 ∗ 5

−4

!

− 92 5 ∗ 𝑚 + 48

−4

!

=𝑚^!− 92

−4 och väljer 𝑚 = 8, vilket ger

211^!− 92 22^!= −7 211𝑚 + 92 ∗ 22

−7

!

− 92 22 ∗ 𝑚 + 211

−7

!

=𝑚^!− 92

−7 Nu får vi

470^!− 92 49^!= 8 Vilket slutligen ger

470𝑚 + 92 ∗ 49 8

!

− 92 49 ∗ 𝑚 + 470 8

!

=𝑚^!− 92 8 Nu, med 𝑚 = 10  får vi talet 1 i högerledet:

1151^!− 92 120 ^!= 1

Vi kommer alltså fram till samma lösning som Brahmagupta gjorde, och det går att visa att detta även är den minsta lösningen.⁹

5.3.1 Bhaskaras metod och 𝒅 = 𝟔𝟏

Trots ekvationens enkla utseende finns det värden på 𝑑 som visat sig vara en rejäl utmaning och som måste ha varit svåra att lösa med de resurser som fanns under Bhaskaras levnadstid. Ett värde på 𝑑 som ger långa uträkningar och stora tal är till exempel 𝑑 = 61, vilket var ett av de tal som vi vet att Bhaskara löste ekvationen för¹⁰. För att riktigt gå igenom Bhaskaras metod tittar vi på det klassiska talet

61𝑦^!+ 1 = 𝑥^!

vilket inte ser så svårt ut! T.ex. kan man med blotta ögat se lösningen till ett närliggande tal, 𝑑 = 63, som ger 𝑦 = 1 och 𝑥 = 8.

För att lösa för 𝑑 = 61 börjar vi med att välja 𝑦 = 1, 𝑥 = 8 och får då 𝑏 = 3 8𝑚 + 92 ∗ 1

3

!

− 61 1 ∗ 𝑚 + 8 3

!

=𝑚^!− 61 3

X   Y   b   M   𝒙𝒊 𝟐− 𝟔𝟏 𝒚𝒊𝟐= 𝒃𝒊  

8   1   3   7   8 ^!− 61 1 ^!=3  

9 Katz

10 Stillwell (2010)

39   5   -­‐4   9   39^!− 61 5^!=-­‐4  

164   21   -­‐5   6   164 ^!− 61 21^!=-­‐5  

453   58   5   9   453 ^!− 61 58^!=5  

1  523   195   4   7   1  523 ^!− 61 195 ^!=4  

5  639   722   -­‐3   8   5  639 ^!− 61 722 ^!=-­‐3  

29  718   3  805   -­‐1   8   29  718 ^!− 61 3  805 ^!=-­‐1   469  849   60  158   -­‐3   7   469  849 ^!− 61 60  158 ^!=-­‐3   2  319  527   296  985   4   9   2  319  527 ^!− 61 296  985 ^!=4   9  747  957   1  248  098   5   6   9  747  957 ^!− 61 1  248  098 ^!=5   26  924  344   3  447  309   -­‐5   9   26  924  344 ^!− 61 3  447  309 ^!=-­‐5   90  520  989   11  590  025   -­‐4   7   90  520  989 ^!− 61 11  590  025 ^!=-­‐4   335  159  612   42  912  791   3   8   335  159  612 ^!− 61 42  912  791 ^!=3   1  766  319  049   226  153  980   1     1  766  319  049 ^!− 61 226  153  980 ^!=1  

Det vill säga minsta lösningen till 61𝑦^!+ 1 = 𝑥^! är 𝑥 =1 766 319 049 och 𝑦 =226 153 980, vilket måste ha varit svårt att räkna ut utan miniräknare eller dator till hjälp.

5.3.2 Kommentar Bhaskaras metod

Som ovan visat leder Bhaskara metod alltid till heltalslösningar, utan att behöva ta omvägen som Bhaskara gör.

Det har senare visats att chakravala metoden leder till fundamentallösningen av ekvationen och därmed också till alla lösningar. Vad man vet visade aldrig Bhaskara eller hans samtida detta¹¹, kanske gjorde de bara tillräckligt många exempel för att för olika värden på  𝑑. Bhaskara använde också metoden för att generera fler lösningar då en lösning hittats.

6 Lösning av Pells ekvation med kedjebråk

6.1 Fermat, Brouncker, Euler, Lagrange … och Pell

Pierre de Fermat (1601-1665), var egentligen verksam som domare och var amatörmatematiker. Han verkar vara den förste europé som intresserade sig för Pells ekvation. Det var också han som utmanade andra matematiker att lösa den för just 𝑑 = 61, som vi tidigare såg var en utmaning. William Brouncker, (1620-1684) en engelsk matematiker, var den förste att komma fram till en lösning på Fermats utmaning. Leonhard Euler, en schweizisk matematiker, som levde senare (1707-1783) visade ett stort intresse för ekvationen och återkommer upprepade gånger till den med förfinade lösningar under sina verksamma år. I sin Elements of Algebra (1765) bygger han t.ex. vidare på Bhaskaras sätt att lösa ekvationen på. Det är också Euler som tillskriver Brounckers lösning till den engelske matematikern John Pell (1611-1685). (När jag läst om detta finns det såklart olika teorier om varför Euler trodde att det var Pell som kommit med lösningen, vissa hävdar att det beror på språksvårigheter, medan andra menar att Pell faktiskt också kommit med en lösning¹²).

Joseph-Louis Lagrange (1736-1813) var både matematiker och astronom. Han byggde vidare på det arbete Euler gjort bl.a. vad det gäller just Pells ekvation. Det var Lagrange som var den förste att bevisa att Pells ekvation har oändligt antal lösningar¹³. Brounckers metod verkar likna de indiska matematikernas lösning. Även Eulers tidigaste lösningar liknar indiernas tillvägagångssätt. Senare europeiska metoder – som också tillskrivs Euler - har gemensamt att de närmade sig Pells ekvationen med hjälp av kedjebråk¹⁴, varför vi kommer titta på det nu.¹⁵

11 Katz (2009)

12 Smith (1944)

13 Barbeau

14 Lenstra Bouncker inte riktigt med kedjebråk, men Fermat.

6.1.1 Euklides algoritm

Den största gemensamma delaren (SGD) är av intresse för oss när vi t.ex. ska förkorta bråk då man måste hitta gemensamma faktorer för både täljare och nämnare. Med hjälp av Euklides algoritm kan vi bestämma den största gemensamma delaren till två tal. Algoritmen utgörs av en serie heltalsdivisioner som fortsätter fram tills dess att vi får en rest som är lika med noll. Upprepa förfarandet tills resten blir noll. Den sista icke-försvinnande resten är lika med den största gemensamma delaren.

6.1.2 Kedjebråksutvecklingen av ett tal

För att förstå hur kedjebråk hänger ihop med Pells ekvation börjar vi att titta på två tal som är relativt prima. Hur avgörs om tal är relativt prima? Låt oss undersöka talen 165 och 112 för att få svar på det:

Först subtraheras 112 från 165, vår rest blir då 53. Vi har nu talen 112 och 53. Talet 53 är ingen delare till 112, och därför subtraherar vi det mindre från det större, kvar blir då resten 59. Återigen subtraherar vi det mindre från det större dvs 59-53, vår rest blir denna gång 6. Vi har nu talen 53 och 6. 6 dras bort från 53 och vi har talet 47.

För att få en överblick kan det vara bra att skriva ner proceduren i någon form av tabell på t.ex. följande sätt:

165   53   53   53   47   41   35   29   23   17   11   5   5  

112   112   59   6   6   6   6   6   6   6   6   6   1  

När vi kommer till slutet av våra beräkningar ser vi att den sista icke-försvinnande resten är 1 och har då kommit fram till att talen 165 och 112 är relativt prima.

Istället för tabellen kan vi skriva 165 och 112 med hjälp av upprepade divisioner enligt följande:

1. 165=   1*112+53   2. 112=   2*53+6   3. 53=   8*6+5   4. 6=   1*5+1   5. 5=   5*1+0  

Det är alltså stegen 1.-4. ovan som kallas för Euklides algoritm. Talet 1 är den sista icke-försvinnande resten i algoritmen, och eftersom denna är just 1 så är talen 165 och 112 relativt prima (steg 5. återfinns inte hos Euklides utan är ett senare påfund). Stegen 1.-5. ovan är exempel på den fundamentala divisionsalgoritmen.

Sats: Divisionsalgoritmen för hela tal

Låt 𝑚 och 𝑛 vara heltal där 𝑛 är positivt. Då existerar entydigt bestämda heltal, 𝑞 och 𝑟 sådana att:

𝑚 = 𝑞𝑛 + 𝑟,  där 0≤ 𝑟 < 𝑛.

Med hjälp av Euklides algoritm kan man framställa kvoten mellan två givna tal som ett kedjebråk:

Vi fortsätter med talen 165 och 112. Utifrån ovan får vi att 1’. 165 112 = 1 + 1 112 53

2’. 112 53 = 2 + 1 53 6 3’. 53 6 = 8 + 1 6 5 4’. 6 5 = 1 + 1 5

Nu ses att vi kan skriva 165 112 = 1 + 1 2 + 1 53 6 som i sin tur kan skriva som 165 112 = 1 + 1 2 + 1 8 + 1 6 5 och så vidare.

För att enklare se strukturen skriver vi istället talet 165 112 på följande sätt:

165

112= 1 + 1

2 + 1

8 + 1 1 +1

5

15 Uppgifter om levnadsår och yrke tagna från Wikipedia, 2016-06-02

Vi kan använda oss av beteckningen 1, 2, 8, 1, 5 för att uttrycka kedjebråksutvecklingen av 165/112.

6.1.3 Kedjebråk och irrationella tal sett ur ett geometriskt perspektiv

Irrationella tal är reella tal som inte är rationella tal, det vill säga tal som inte kan skrivas som 𝑎 𝑏, där 𝑎 och 𝑏 är heltal samt 𝑏 är skilt från noll.

Historiskt har många samband inom matematiken betraktats från ett geometriskt perspektiv. Därför kan det vara ett bra angreppssätt som introduktion till kedjebråk. I figuren nedan ses en halv kvadrat 𝐴𝐵𝐶:

Fig 4. En halv kvadrat. Källa: Matematiken i historien, Jan Thompson, Studentlitteratur 1996

Triangeln ovan är konstruerad som följer:

Ett streck dras så att längderna AD=AB.

Vid D dras en normal till AC, som skär BC i E. Eftersom vinkeln EDC är rät och DCE är 45° är vinkeln DEC också 45°. Detta gör att CDE är en halv kvadrat vilket ger DE=CD.

Triangeln ABD är konstruerad så att den är likbent, vilket innebär att vinklarna ABD och ADB är lika.

Vinkeln EDC är rätvinklig vilket gör att ADE också rätvinklig. Då, eftersom vinklarna ABE och ADE båda är räta fås genom subtraktion att vinklarna EBD och EDB också är lika. Enligt basvinkelsatsens omvändning måste då BE=DE och BE=CD.

Från ovan kan vi se att:

𝐴𝐶 − 𝐴𝐵 = 𝐴𝐶 − 𝐴𝐷 = 𝐶𝐷   ⟹ 𝐴𝐶 = 𝐴𝐵 + 𝐶𝐷 vilket kan skrivas som:

𝐴𝐶 𝐴𝐵 = 1 + 1 𝐴𝐵 𝐶𝐷

Från ovan vet vi också att:

𝐴𝐵 − 𝐶𝐷 = 𝐵𝐶 − 𝐵𝐸 = 𝐶𝐸   ⇒ 𝐴𝐵 = 𝐶𝐷 + 𝐶𝐸 Som kan skrivas som:

𝐴𝐵 𝐶𝐷 = 1 + 𝐶𝐸 𝐶𝐷 En kombination av dessa ger

𝐴𝐶 𝐴𝐵 = 1 + 1 1 + 𝐶𝐸 𝐶𝐷 A"

B" E" C"

D"

Två halva kvadrater, vilka som helst, är likformiga enligt tredje likformighetsfallet (Vinkel-Vinkel-Vinkel): Om vinklarna i en triangel är lika med motsvarande vinklar i en annan triangel så är trianglarna likformiga. Vi kan därför sätta:

𝐴𝐶 𝐴𝐵 = 𝐶𝐸 𝐶𝐷

som följdakltigen måste vara en konstant. Vi kallar konstanten för r. Insättning i formeln ovan ger oss nu 𝑟 = 1 + 1 1 + 𝑟

som kan skrivas som 𝑟 − 1 𝑟 + 1 = 1 eller, ännu hellre, som 𝑟^!= 2, vilket ger 𝑟 = 2.

Men, vi känner igen uttrycket ovan och kan se att vi kan ersätta r i högra ledet med hela högra ledet som är lika med just r:

Vi ser nu att:

𝑟 = 1 + 1 2 + 1 1 + 𝑟 = 1 + 1 2 + 1 1 + 1 + 1 2 + 1 1 + 𝑟 Vilket med 𝑟 = 2 på ett elegantare sätt kan skriva som

2 = 1 + 1

2 + 1

2 + 1 2 + ⋯ Nu kan vi se att 2 kan skrivas som en kedjebråksutveckling på formen

2 = 1,2,2,2, …

Kedjebråksutvecklingen av 2 betraktas som ett gränsvärde och om vi nu sätter 𝐴_!= 1,2,2,2, …  med 𝑛 + 1 stycken tvåor kan man bevisa att 𝐴_!→ 𝛾 då 𝑛 → ∞. Dock kommer jag inte ta upp frågan om konvergens i denna uppsats.

6.1.4 Periodiska kedjebråk Låt oss titta på ytterligare ett tal:

5 + 29 = 10 + 29 − 5 = 10, 1

29 − 5 = 10, 29 + 5

4 = 10,2 + 29 − 3

4 =

= 10,2, 4

29 − 3 = 10,2, 29 + 3

5 = 10,2,1 + 29 − 2

5 = 10,2,1, 5 29 − 2 =

= 10,2,1, 29 + 2

5 = 10,2,1,1 + 29 − 3

5 = 10,2,1,1, 5 29 − 3 =

= 10,2,1,1,2 + 29 − 5

4 = 10,2,1,1,2, 4

29 − 5 = 10,2,1,1,2, 29 + 5

Titta nu vad som står i det sista högerledet: vi är tillbaka till vårt utgångstal 5 + 29, och det vi såg ovan ses nu tydligt, kedjebråksutvecklingen är periodisk. Det går att visa att för alla på formen 𝑟 + 𝑠 där 𝑟 och 𝑠 är rationella har formen:

𝑟 + 𝑠 = 𝑎_!, … , 𝑎_!, 𝑏_!, … , 𝑏_!, 𝑏_!, … , 𝑏_!, 𝑏_!, … , 𝑏_!

Definition: För 𝑛 ≤ 𝑚, låt 𝑎_!, 𝑎!, … , 𝑎! 𝑛:te konvergenten till 𝑎_!, 𝑎!, 𝑎!,… , 𝑎!. Definiera två sekvenser av reella tal 𝑝_! och 𝑞_!, rekursivt på följande vis:

𝑝!!= 1, 𝑝!= 𝑎!, 𝑝!= 𝑎!𝑝!!!+ 𝑝!!!

𝑞!!= 0, 𝑞!= 1, 𝑞!= 𝑎!𝑞!!!+ 𝑞!!!

Sats: Låt 𝑎_!, 𝑎!, 𝑎!, … , 𝑎! vara en kedjebråksutveckling. Då, för 0 ≤ 𝑛 ≤ 𝑚, 𝑝_! 𝑞!= 𝑎!, 𝑎!, 𝑎!, … , 𝑎! . Bevis: Vi tittar på det med induktionsbevis och börjar med 𝑛 = 1:

𝑎_!, 𝑎_! = 𝑎_!+ 1

𝑎_!=𝑎!𝑎!+ 1

𝑎_! = 𝑎!𝑝!+ 𝑝!!

𝑎_!𝑞_!+ 𝑞_!! =𝑝!

𝑞_! och satsen håller.

Låt oss sedan titta på det mer generella fallet för 𝑛:

𝑎!, … , 𝑎!!! = 𝑎!, … , 𝑎!!!, 𝑎!+ 1 𝑎!+ 1 = 𝑎!+ 1

𝑎_!!! 𝑝!!!+ 𝑝!!!

𝑎!+ 1

𝑎_!!! 𝑞!!!+ 𝑞!!!

= 𝑎!!!𝑎!+ 1 𝑝!!!+ 𝑎!!!𝑝!!!

𝑎_!!!𝑎_!+ 1 𝑞_!!!+ 𝑎_!!!𝑞_!!!=

𝑎!!!𝑎!𝑝!!!+ 𝑎!!!𝑝!!!+ 𝑝!!!

𝑎!!!𝑎!𝑞!!!+ 𝑎!!!𝑞!!!+ 𝑞!!!=𝑎!!!𝑝!+ 𝑝!!!

𝑎!!!𝑞!+ 𝑞!!!=𝑝!!!

𝑞!!!

Vi kan alltså skriva vår kedjebråksutveckling som

𝑎_!, 𝑎_!, … , 𝑎_! =𝑝!

𝑞_! där 𝑝_! och 𝑞_! är polynom med heltalskoefficienter i 𝑎_!, 𝑎_!, … , 𝑎_!. Betrakta ett tal på formen 𝑐 + 𝑑, där 𝑐 är heltalsdelen av 𝑑.

Och, enligt ovan är då kedjebråksutvecklingen periodisk, vilket då kan skrivas som:

𝑐 + 𝑑 = 2𝑐, 𝑎!, … , 𝑎!,2𝑐, 𝑎!, … , 𝑎!, … Vilket då ger

𝑑 = 𝑐, 𝑎_!, … , 𝑎_!, 2𝑐, 𝑎_!, … , 𝑎_!, … Om definierar 𝑝_! och 𝑞_! som ovan får vi:

𝑝!

𝑞!= 𝑐, 𝑎!, … , 𝑎!, 2𝑐, 𝑎!, … , 𝑎!, … , 𝑎 där hakparentesen innehåller 𝑛 + 1 tal. Då kan man bevisa att:

𝑝_!"!!^! − 𝑑𝑞_!"!!^! = −1 ^!"

Och vi har fått en ekvation som ser ut som Pells ekvation.

Lagranges sats: För varje positivt heltal 𝑑 som inte är en kvadrat har ekvationen 𝑥^!− 𝑑𝑦^!= 1 en icke trivial lösning.

Vi kommer här inte ge något bevis för det men kommer beskriva med hjälp av kedjebråk hur man kommer fram till fundamentallösningen. Låt oss titta på följande exempel:

Låt oss börja med 𝑑 = 5 Då har vi

2 + 5 = 4 + 5 − 2 = 4, 1

5 − 2 = 4, 5 + 2

1 = 4,4,4 …

Periodens längd 𝑠 = 1, vilket ger 𝑛 = 2 och då får vi 𝑛𝑠 − 1 = 1, så vi får alltså:

𝑝!

𝑞!= 2,4 = 2 +1 4=9

4

Det vill säga i ekvationen 𝑥^!− 5𝑦^!= 1 är 𝑥 = 9 och 𝑦 = 4 fundamentallösningen.

Låt oss också titta på ett lite längre kedjebråk ta till exempel 𝑑 = 29 vilket gör att vi ska titta på kedjebråksutvecklingen för 5 + 29 som vi kan skriva som

5,2,1,1,2,10,2,1,1,2 = 5,2,1,1,2,10,2,1,3

2 = 5,2,1,1,2,10,2,5 3 =

= 5,2,1,1,2,10,13

5 = 5,2,1,1,2,135

13 = 5,2,1,1,283

135 = 5,2,1,418 283 =

= 5,2,701

418 = 5,1820

701 = 5 + 701

1820=9801 1820

Vilket ger att ekvationen 𝑥^!− 29𝑦^!= 1 har fundamentallösningen 𝑥 = 9801 och 𝑦 = 1820.

6.1.5 Lösning för 𝒙^𝟐− 𝟔𝟏𝒚^𝟐= 𝟏 med kedjebråksutveckling

Vi tar oss an samma utmaning som tidigare: att lösa Pells ekvation då 𝑑 = 61, denna gång med kedjebråk.

 

7 + 61 = 14, 1

61 − 7 = 14,1, 12

61 − 5 = 14,1,4, 3 61 − 7 =    

= 14,1,4,3, 4

61 − 5 = 14,1,4,3,1, 9

61 − 4 = 14,1,4,3,1,2, 5 61 − 6 =    

14,1,4,3,1,2,2, 5

61 − 4 = 14,1,4,3,1,2,2,1, 9

61 − 5 = 14,1,4,3,1,2,2,1,3, 4 61 − 7    

= 14,1,4,3,1,2,2,1,3,4, 3

61 − 5 = 14,1,4,3,1,2,2,1,3,4,1, 12 61 − 7 =    

14,1,4,3,1,2,2,1,3,4,1,14, 1 61 − 7   Detta ger alltså att

7 + 61 = 14,1,4,3,1,2,2,1,3,4,1

Utifrån detta kan vi nu beräkna 𝑥 och 𝑦 då 𝑑 = 61. Vi får ta 𝑝_!! och 𝑞_!!.

Utveckling  av  kedjebråket  för  d=61  

[7,1,4,3,1,2,2,1,3,4,1,14,1,4,3,1,2,2,1,3,4+1/1]=  

=[7,1,4,3,1,2,2,1,3,4,1,14,1,4,3,1,2,2,1,3+5/1]=  

=[7,1,4,3,1,2,2,1,3,4,1,14,1,4,3,1,2,2,1+16/5]=  

=[7,1,4,3,1,2,2,1,3,4,1,14,1,4,3,1,2,2+21/16]=  

=[7,1,4,3,1,2,2,1,3,4,1,14,1,4,3,1,2+58/21]=  

=[7,1,4,3,1,2,2,1,3,4,1,14,1,4,3,1+137/58]=  

=[7,1,4,3,1,2,2,1,3,4,1,14,1,4,3+195/137]=  

=[7,1,4,3,1,2,2,1,3,4,1,14,1,4+722/195]=  

=[7,1,4,3,1,2,2,1,3,4,1,14,1+3  083/722]=  

=[7,1,4,3,1,2,2,1,3,4,1,14+3  805/3  083]=  

=[7,1,4,3,1,2,2,1,3,4,1+56  353/3  805]=  

=[7,1,4,3,1,2,2,1,3,4+60  158/56  353]=  

=[7,1,4,3,1,2,2,1,3+296  985/60  158]=  

=[7,1,4,3,1,2,2,1+951  113/296  985]=  

=[7,1,4,3,1,2,2+1  248  098/951  113]=  

=[7,1,4,3,1,2+3  447  309/1  248  098]=  

=[7,1,4,3,1+8  142  716/3  447  309]=  

=[7,1,4,3+11  590  025/8  142  716]=  

=[7,1,4+42  912  791/11  590  025]=  

=[7,1+183  241  189/42  912  791]=  

=[7+226  153  980/183  241  189]=  

=1  766  319  049/226  153  980  

Figur 5: Kedjebråksutveckling av 𝑑 = 61, med 𝑝_!! och 𝑞_!!. Källa: Egna beräkningar (i Excel)

Vilket ger att 𝑥 = 1  766  319  049 och 𝑦 = 226  153  980 då 𝑑 = 61.

6.1.6 Lösningen för den snarlika ekvationen Lösning för 𝒙^𝟐− 𝟔𝟏𝒚^𝟐= −𝟏 med kedjebråksutveckling Man kan också notera att, om vi istället hade gjort samma beräkning för 𝑝_!! och 𝑞_!! får vi:

7 + 61 = 7,1,4,3,1,2,2,1,3,4,1

=[7,1,4,3,1,2,2,1,3,4+1/1]=  

=[7,1,4,3,1,2,2,1,3+5/1]=  

=[7,1,4,3,1,2,2,1+16/5]=  

=[7,1,4,3,1,2,2+21/16]=  

=[7,1,4,3,1,2+58/21]=  

=[7,1,4,3,1+137/58]=  

=[7,1,4,3+195/137]=  

=[7,1,4+722/195]=  

=[7,1+3  083/722]=  

=7+3  805/3  083=  

=29  718/3  805  

Figur 6: Kedjebråksutveckling av 𝑑 = 61, med 𝑝_!! och 𝑞_!!. Källa: Egna beräkningar (i Excel)

Om vi tittar på detta resultat ser vi att 𝑥 = 29  718 och 𝑦 = 3  805 är en lösning till ekvationen 𝑥^!− 61𝑦^!= −1  

Vi har alltså att

29  718^!− 61 ∗ 3  805^!= −1 Kvadrerar vi får vi 1 i högerledet:

29  718 + 61 ∗ 3  805 ^!= 29  718^!+ 61 ∗ 3  805^!+ 2 ∗ 29  718 ∗ 3  805 ∗ 61 = 1  766  319  049 + 226  153  980 ∗ 61 Vi uppnår alltså samma resultat när vi har lösningen för 𝑥^!− 61𝑦^!= −1  och kvadrerar. Alltså, om man hittar lösningar till 𝑥^!− 𝑑𝑦^!= −1  är det enkelt att bara kvadrera för att få lösningen till 𝑥^!− 𝑑𝑦^!= 1.

6.1.7 Kommentar till lösningar med kedjebråk

Det var först med hjälp av kedjebråk som man kunde vara säker på finna fundamentallösningen till Pells ekvation.

Men utvecklingen med kedjebråk ger också att man kan hitta alla lösningar för varje värde på 𝑑. Att det finns lösningar för varje 𝑑 följer av att man kan lösa ekvationen med just kedjebråksutveckling. Faktum är att alla lösningar till 𝑥^!− 𝑑𝑦^!= 1 dyker upp som konvergenter i utvecklingen av 𝑑, men det är inget vi kommer att bevisa här.

7 Om lösningarna till Pells ekvation

7.1 Vet man en lösning går det att generera flera

Vi kan börja med att titta på att  𝑥^!− 𝑑𝑦^!= 1 går att skriva som 𝑥 + 𝑦 𝑑 𝑥 − 𝑦 𝑑 = 1

Vi säger att talet 𝑥_!+ 𝑦! 𝑑 är en lösning till Pells ekvation om 𝑥!, 𝑦! är det. Låt 𝑥_!+ 𝑦! 𝑑 och 𝑥!+ 𝑦! 𝑑 vara två lösningar till 𝑥^!+ 𝑑𝑦^!= 1 och definiera 𝑥!+ 𝑦! 𝑑 genom

𝑥!+ 𝑦! 𝑑 𝑥!+ 𝑦! 𝑑 = 𝑥!+ 𝑦! 𝑑 det vill säga

𝑥_!= 𝑥_!𝑥_!+ 𝑑𝑦_!𝑦_! 𝑦_!= 𝑥_!𝑦_!+ 𝑦_!𝑥_! Då är 𝑥_!+ 𝑦_! 𝑑 också en lösning till 𝑥^!− 𝑑𝑦^!= 1 eftersom

𝑥_!^!− 𝑑𝑦_!^!= 𝑥_!𝑥_!+ 𝑑𝑦_!𝑦_! ^!− 𝑑 𝑥_!𝑦_!+ 𝑦_!𝑥_! ^!=

= 𝑥!!𝑥!!+ 2𝑑𝑥!𝑥!𝑦!𝑦!+ 𝑑^!𝑦!!𝑦!!− 𝑑𝑥!!𝑦!!− 2𝑑𝑥!𝑥!𝑦!𝑦!− 𝑑𝑦!!𝑥!!=

= 𝑥!!𝑥!!+ 𝑑^!𝑦!!𝑦!!− 𝑑𝑥!!𝑦!!− 𝑑𝑦!!𝑥!!=

= 𝑥!!− 𝑑𝑦!! 𝑥!!− 𝑑𝑦!! = 1 ∗ 1 = 1

Från detta ses att, om man har två lösningar till ekvationen kan man generera nya lösningar. Talet 1 = 1 + 0 𝑑 är alltid en lösning. Från ovanstående ses att om 𝑥_!+ 𝑦! 𝑑 är en lösning så är även 𝑥!− 𝑦! 𝑑 = 𝑥!+ 𝑦! 𝑑 ^!! en lösning. Och om 𝑥 + 𝑦 𝑑 är en lösning till Pells ekvation är alla talen ±𝑥 ± 𝑦 𝑑  också lösningar. Och, om 𝑥 + 𝑦 𝑑 > 0, så även 𝑥 − 𝑦 𝑑 = 𝑥 + 𝑦 𝑑 ^!!> 0

7.2 Fundamentallösningen

Lemma 1 Om 𝑎 + 𝑏 𝑑 är en positiv lösning, så är 𝑎 > 0. Om 𝑎 + 𝑏 𝑑 > 1 så är 𝑏 > 0.

Bevis. Vi börjar med att titta på den första delen av påståendet. Om vi antar att 𝑎 < 0. Då måste 𝑏 > 0. Talet 𝑎 − 𝑏 𝑑 = 𝑎 + 𝑏 𝑑 ^!!är också en positiv lösning. Men eftersom 𝑎 < 0 och 𝑏 > 0 så har vi 𝑎 − 𝑏 𝑑 < 0, vilket är en motsägelse.

För att visa del två ovan antar vi att 𝑏 < 0. Även lösningen 𝑎 − 𝑏 𝑑 är positiv och eftersom 𝑎 > 0 och 𝑏 < 0

så är den > 1. Men detta motsäger att 𝑎 + 𝑏 𝑑 = 𝑎 − 𝑏 𝑑 ^!!> 1.

Låt nu 𝑎 + 𝑏 𝑑 vara en lösning som är > 1 och har minsta möjliga 𝑎. Enligt Lemmat ovan är 𝑎 > 0 och 𝑏 > 0. Det finns bara en sådan lösning, för om 𝑎 + 𝑐 𝑑 också är > 1, så ger 𝑎^!− 𝑑𝑏^!= 𝑎^!− 𝑑𝑐^! att 𝑐 = ±𝑏. Men både 𝑏 och 𝑐 > 0, så de är lika. Lösningen 𝑎 + 𝑏 𝑑 är den som kallas för fundamentallösningen för Pells ekvation.

7.3 Alla lösningar kan fås från fundamentallösningen

Lemma 2 Låt 𝑥 + 𝑦 𝑑 ≠ 𝑎 + 𝑏 𝑑 vara en lösning som är > 1. Då gäller 𝑥 > 𝑎 och 𝑥 + 𝑦 𝑑 > 𝑎 + 𝑏 𝑑.

Bevis I fundamentallösningen är 𝑎 minimalt > 0, vi har alltså 𝑥 ≥ 𝑎. Om 𝑥 skulle vara lika med 𝑎, så har vi enligt ovan 𝑦 = 𝑏, vilket motsäger att lösningarna är olika. Eftersom både 𝑎 + 𝑏 𝑑 och 𝑥 + 𝑦 𝑑 är lösningar så är 𝑎^!− 𝑑𝑏^!= 𝑥^!− 𝑑𝑦^!, vilket vi skriver som 𝑥^!− 𝑎^!= 𝑑 𝑦^!− 𝑏^! . Med konjugatregeln får vi nu 𝑥 + 𝑎 𝑥 − 𝑎 = 𝑑 𝑦 + 𝑏 𝑦 − 𝑏 . Nu är alla talen 𝑥, 𝑎, 𝑦, 𝑏 positiva och 𝑥 > 𝑎 vilket ger att 𝑦 > 𝑏. Detta betyder att 𝑥 + 𝑦 𝑑 > 𝑎 + 𝑏 𝑑.

Lemma 3. Låt 𝑥 + 𝑦 𝑑 vara en lösning som är > 1. Då finns ett heltal 𝑚 ≥ 1 sådant att 𝑥 + 𝑦 𝑑 = 𝑎 + 𝑏 𝑑 ^!.

Bevis. Låt 𝑚 vara det heltal för vilket

𝑎 + 𝑏 𝑑 ^!≤ 𝑥 + 𝑦 𝑑 ≤ 𝑎 + 𝑏 𝑑 ^!!!

Detta skriver vi som

1 ≤ 𝑎 + 𝑏 𝑑 ^!! 𝑥 + 𝑦 𝑑 < 𝑎 + 𝑏 𝑑

Nu är talet 𝑥^!+ 𝑑𝑦^!= 𝑎 + 𝑏 𝑑 ^!! 𝑥 + 𝑦 𝑑 och tydligen ≥ 1. Vore 𝑥^!+ 𝑑𝑦′ > 1 skulle Lemma 2 vara en motsägelse. Alltså är 𝑥^!+ 𝑑𝑦^!= 1 och 𝑥 + 𝑦 𝑑 = 𝑎 + 𝑏 𝑑 ^!.

Sats Alla lösningar till Pells ekvation 𝑥^!− 𝑑𝑦^!= 1 ges av ± 𝑎 + 𝑏 𝑑 ^!för 𝑚 ∈ ℤ, där 𝑎 + 𝑏 𝑑 är fundamentallösningen.

Bevis. Alla lösningar > 1 kan skrivas som positiva potenser av fundamentallösningen enligt Lemma 3. Om 0 < 𝑥 + 𝑦 𝑑 < 1, så är 𝑥 − 𝑦 𝑑 = 𝑥 + 𝑦 𝑑 ^!!> 1, så 𝑥 − 𝑦 𝑑 = 𝑎 + 𝑏 𝑑 ^!för något 𝑚, vilket ger 𝑥 + 𝑦 𝑑 =

𝑥 − 𝑦 𝑑 ^!!= 𝑎 + 𝑏 𝑑 ^!!. Om 𝑥 + 𝑦 𝑑 > 0 så är 𝑥 + 𝑦 𝑑 > 0 så är – 𝑥 + 𝑦 𝑑 > 0.

8 Varför blir Archimedes boskapsproblem en Pell- ekvation?

Boskapsproblemet upptäcktes år 1773 i Tyskland av Gotthold Ephraim Lessing som hittade ett grekiskt

manuskript i Herzog August Bibliothek i Wolfenbüttel. Det har tillskrivits greken Archimedes som föddes 287 före Kristus. Han var framstående inom matematik, fysik och astronomi. Han var även uppfinnare och filosof. Det sägs att han kom på problemet när han blickade ut över en hjord med nötkreatur som betade på Sicilien.¹⁶

Manuskriptet innehöll en dikt på fyrtiofyra rader och jag har här försökt översätta det till svenska för att förstå dess innehåll. Dock utan att få med den poetiska touchen är jag rädd.

8.1 Problemets första del

Först lite beteckningar:

v=vit tjur v’=vit ko

16 Jacobson och Williams (2008)

s=svart tjur s’=svart ko f=fläckig tjur f’=fläckig ko

b= brun tjur b’= brun ko

Problemet skrevs som en utmaning till alexandrinska matematiker, som leddes av den grekiske matematikern Eratosthenes (276-194 f. Kr), och börjar ungefär såhär:

”Vän, räkna ut antalet boskap i solen

Kan du räkna deras antal, besitter du en viss visdom.

Kreaturen betade på marker på Sicilien, och kan delas in efter fyra färger:

en flock vita som grädde,

nästa i klädnad glödande som ebenholts brunskinnade var den tredje,

och färgades med fläckar den sista.

Varje färg såg tjurar i kraft oöverträffad, i förhållanden till varandra enligt följande:

ta hälften av de svartfärgade och lägg till en tredjedel mer, sedan inkludera alla bruna;

Nu kan du, vän, antalet de vita tjurar bestämma.”

Detta ger

𝑣 = 1 2+1

3 𝑠 + 𝑏 =5 6𝑠 + 𝑏

”De ebenholtsfärgades antal överstiger också de brunas på följande sätt: med fjärde- och femtedelen av de fläckade”, dvs

𝑠 = 1 4+1

5 𝑓 + 𝑏 = 9 20𝑓 + 𝑏

”Att nu ta reda på antalet fläckiga tjurar, ta återigen antalet bruna tjurar, och lägg därtill en sjätte- och en sjundedel av antalet vita.” Vi har nu

𝑓 = 1 6+1

7 𝑣 + 𝑏 =13 42𝑣 + 𝑏

Sedan går Archimedes över till att beskriva kornas förhållande: ”De vita korna i jämförelse med den svarta boskapen gäller följande: exakt en tredjedel plus en fjärdedel av det totala antalet av svarta tjurar och kor”, alltså har vi:

𝑣^!= 1 3+1

4 (𝑠 + 𝑠^!)

”De svarta korna består av en av fyra tillsammans med en femtedel av den totala fläckiga boskapen”, dvs:

𝑠^!= 1 4+1

5 𝑓 + 𝑓′

”De fläckiga kornas antal är en femtedel och en sjättedel av alla brunhåriga, tjurar och kor blandat”, vilket ger:

𝑓^!= 1 5+1

6 (𝑏 + 𝑏^!)

”Slutligen, antalet bruna kor uppgår till ”en halv tredjedel och en i sju” av den vita delen av hjorden”, vilket blir:

𝑏^!= 1 6+1

7 (𝑣 + 𝑣^!)

Ovan är vad som brukar kallas första delen av Archimedes boskapsproblem, han avslutar denna del med att säga ungefär såhär:

”Berättar du ofelbart hur många huvud det fanns att räkna under solen, O vän, både tjurar välnärda och kor i alla färger

kommer ingen vilja förneka att du är kunnig om siffror, men inte heller kan du räknas bland de kloka.”

Låt oss då se om vi är kunniga om siffror!

8.2

Lösning till problemets första del

Från delen om tjurarna vet vi nu alltså att:

𝑣 =5

6𝑠 + 𝑏 =5 6

9

20𝑓 + 𝑏 + 𝑏 =5 6

9 20

13

42𝑣 + 𝑏 + 𝑏 + 𝑏 Med lite räknande fås

𝑣 −5 6∗ 9

20∗13 42𝑣 =5

6∗ 9 20𝑏 +5

6𝑏 + 𝑏

Vilket ger oss att 4455𝑣 = 11130𝑏 och vi kan nu sätta 𝑣 = 11130𝑚 och 𝑏 = 4455𝑚. Vi sätter in detta i ovan och får nu följande för förhållande för tjurarna: 𝑓 = 7900𝑚 och 𝑠 = 8010𝑚. Vi förkortar med 5 och skrivet istället:

𝑣, 𝑠, 𝑓, 𝑏 = 𝑚 2226, 1602, 1580, 891

På samma sätt kan, med förutsättningarna för korna, förhållandet mellan alla de åtta olika boskapsgrupperna räknas ut. Jag tänker inte göra det här, men beräkningarna mynnar ut i följande:

𝑣^!=454000680

293391 𝑚, 𝑏^!=342670419

293391 𝑚, 𝑓′ =221496660

293391 𝑚, 𝑠′ =308274498 293391 𝑚 Vi har att 𝑠𝑔𝑑 𝑣^!, 𝑏^!, 𝑓^!, 𝑠′ = 63, vilket ger att

𝑣^!=7206360

4657 𝑚, 𝑏^!=5439213

4657 𝑚, 𝑓^!=3515820

4657 𝑚, 𝑠^!=4893246 4657 𝑚 Och vi ser att vi kan sätta 𝑚 = 4657 ∗ 𝑘 och vi har nu:

𝑣, 𝑠, 𝑓, 𝑏 = 𝑚 2226, 1602, 1580, 891 = 𝑘 10366482, 7460514, 7358060, 4149387 𝑣^!, 𝑠^!, 𝑓^!, 𝑏^! = 𝑘 7206360, 4893246, 3515820, 5439213

Alltså utan del två av problemet skulle man här kunna sätt 𝑘 = 1 och få en lösning för problemet.

8.3 Problemets andra del

Nu fortsätter vi till den del av problemet som mynnar ut i en Pell-ekvation. Archimedes skriver sedan:

”Men kom! Och förstå också det följande När de vita tjurarna blandade sig med de svarta,

Stod de på ett sådant sätt att de alla fyllde slätterna med samma längd och bredd”

Detta betyder alltså att summan av antalet svarta och vita tjurar är ett kvadrattal, dvs nedan ska vara på formen 𝑛^!:

𝑣 + 𝑠 = 4657 ∗ 𝑘 ∗ 2226 + 1602 = 4657 ∗ 3828 ∗ 𝑘

Vi primtalsfaktoriserar vårt kvadrattal: 4657 ∗ 3828 = 2^!∗ 3 ∗ 11 ∗ 29 ∗ 4657. Här kan vi se att 𝑘 = 𝑎𝑙^!, med 𝑎 = 3 ∗ 11 ∗ 29 ∗ 4657, och 𝑙 är ett heltal.