13
Natur och omvärld
som matematikskafferi
Nationellt Centrum för Matematikutbildning Är det sant att matematiken lurar överallt?
Ja, våra elever gör spännande upptäckter när de får utmaningar och stöd. De upptäcker och lär sig begrepp, relationer och metoder. Det ger dem självförtroende.
Att arbeta med matematik ute innebär att flera sinnen aktiveras. När elevernas rörelsebehov tas tillvara i medvetna aktiviteter utvecklas lärandet.
Vi har roligt tillsammans och eleverna får varia
tion i arbetet. Alla som varit i skogen med barn vet att de sällan lämnar den utan en pinne. Jeanette Milde berättar inspirerande i sin bok Oscars pinnar om pojken med ”pinnögon”. Pinnar gör vägen till och från förskolan intressant – han vet aldrig var de lurar. Likadant är det med matematiken – vi vet aldrig var den gömmer sig.
Oscar är nyfiken. Pinnar är hans passion. Han hittar intressanta pinnar överallt och tar dem med sig. Hans familj uppmuntrar hans samlarintresse.
När pinnsamlingen inte längre ryms i bostaden, söker familjen tillsammans upp pinnarnas paradis, den perfekta pinnplatsen.
Fantasi och verklighet
Varför går vi vägen över en barnbok? Jo, vi me
nar att omvärlden och den fantasifulla berättelsen kompletterar varandra och ger barn och lärare
2
möjlighet för reflektion, inlevelse och återkopp
ling med förstärkning och utmaningar.
Ute i naturen frigörs elevers energi. Med utgångs
punkt i boken om Oscar och formulerade uppdrag kan upptäckarglädjen kanaliseras. Eleverna får som Oscar ”pinnögon”. De delar hans upplevelser, tänker hans tankar och besvarar hans frågor. När vi återsamlas finns ett rikt underlag för matema
tiksamtal. Elever berättar med eget språk och egna begrepp om de egenskaper hos pinnarna som varit avgörande för att de skulle komma med.
Konkreta upptäckter och beskrivningar utveck
lar tänkandet. I samspel med vuxna som använ
der relevant och rikt talat språk förstärks lärande.
Ett mål är att eleverna ska utveckla sin förmåga att förstå och föra logiska resonemang samt att förklara och argumentera för sitt tänkande i linje med kursplanemål. När de jämför pinnar används begrepp som lång, kort, smal, tjock, rak, krokig e t c med komparativa former. Elever söker likheter och skillnader och får underlag för att sortera och klassi
ficera sitt material men också för att tolka andras arbeten. De skapar ordning och struktur och ut
vecklar förmågan att upptäcka mönster.
Uppdrag i skogen
I augusti, åk 1, går vi ut i skogen. Eleverna har med sig tre uppdrag. De ska söka och ta med till skolan:
En pinne, lika stor som ditt lillfinger.
Ett löv, lika stort som din hand.
En sten, lika stor som din tumnagel.
Entusiastiska elever genomför sina uppdrag. Andra gånger har vi sett elever utan mål springa runt, ropa och skrika. Sökandet efter lämpliga pinnar, löv och stenar ger koncentration på uppgiften.
De jämför föremål för att hitta det bästa och dis
kuterar för att få stöd i valen. Vi observerar deras strategier. De flesta plockar upp flera stenar från marken, jämför var och en med nageln och väljer den de tycker passar bäst. Andra studerar först sin nagel och letar sedan efter en lämplig sten. Någon nöjer sig med den först valda, andra prövar flera.
Uppföljning av uppdrag
Tillbaka i skolan studerar vi gemensamt det elev
erna samlat. Pinnarna är olika långa, olika krokiga, olika tjocka och har olika färger och struktur. Vi sorterar dem efter olika kriterier och frågar ”Hur
kan de vara så olika när alla har samma uppdrag?”
Eleverna konstaterar att alla fingrar inte är lika
dana, referensen är olika. Individuella skillnader ger variation, trots lika villkor. Stenarna har olika form, färg och storlek. Eleverna berättar hur de tänkt kring ”stor som din tumnagel”. Det är form och storlek, arean, som eleverna tittat på. Färg och tjocklek verkar oväsentligt. Löven ser mest olika ut. Vad betyder ”lika stor som din hand”? Några tänker sig en knuten hand. Några visar handen med fingrarna spretande isär och andra handen med fingrarna tätt ihop. Variationen är en konse
kvens av att vi medvetet undvek att visa handen när eleverna fick uppdraget. Elever visar tydligt hur de jämfört med handen. Vi sorterar även ste
nar och löv efter olika kriterier.
När elever får uppdrag att ta med föremål av olika slag skapas en särskild relation till dessa, som engagerar dem i undersökningar eller aktiviteter av olika slag. Uthållighet och nyfikenhet fokuseras kring ”det egna”.
För att utveckla god taluppfattning bör elever lära sig uppskatta storlek och antal. De bör möta strategier i olika sammanhang vid många tillfällen.
McIntosh (2007) menar att detta under en tid varit undervärderat i undervisningen. Vi frågar:
”Hur många stenar, så stora som din tumnagel, får plats på din handflata?” Ingen svarar direkt. De flyttar runt stenen i handen för att se hur många som får plats. När de bestämt sig antecknar vi de
ras kvalificerade gissningar, hypoteser. Variationen är stor. Det minsta antalet är 7, det största 7 mil
joner. De flesta ligger mellan 20 och 60. Eftersom vi känner våra elever inser vi att de som har minst och störst skattning, märkligt nog menar samma sak. Han som säger 7, tar det största tal han känner till. Hans talrad räcker till just 7. Den andre menar att det måste vara väldigt, väldigt många. 7 miljo
ner är det största tal han kan tänka sig.
Stämmer hypoteserna?
Någon säger: ”Jag räknar under tiden jag flyttar runt stenen.” Det är svårt att veta om stenarna ligger tätt ihop. En elev föreslår att vi ska rita av handen. Då får vi en bild att markera och räkna på – en lysande idé. Det är svårt att rita runt handen och runt stenen. Eleverna fokuserar. För att jäm
föra med hypotesen målar de det antal stenar som de gissat. Några har skattat nära resultatet. För an
dra är skillnaden stor – ”det var ganska nära”, ”oj så långt ifrån, det trodde jag inte!”
Den ritade kurvan runt handen avgränsar området.
Eleverna bestämmer arean med stenen som enhet.
De får en aning om vad area är. Antalet stenar på olika händer är ganska lika. Det finns ett samband mellan storleken på handen och storleken på tum
nageln.
Eleverna får möta ett sätt att resonera som lik
nar ett vetenskapligt förhållningssätt, kanske för första gången. De ställer en hypotes, prövar och ser hur ”sann” den är.
Fyrfärgsproblem
Tack vare att vi tidigare arbetat med fyrfärgspro
blem med en annan elevgrupp, upptäcker vi att bilderna ser ut som kartor och kan användas som underlag för följande problemställning:
Måla stenarna på handen med fyra färger, så att de som finns bredvid varandra inte har samma färg.
Vi ser hur viktigt språket är. Vad betyder bred
vid, intill, jämte? Några elever missförstår, kanske beroende på en lokal eller dialektal definition.
När vi rett ut missförstånd tar de itu med arbetet.
Strategin är viktig. Några börjar spontant uppifrån, eller nedifrån, och behåller riktningen. Andra star
tar mitt i handen och arbetar sig utåt, vilket verkar mest framgångsrikt. En del målar en sten här och där. Det går inte ihop på slutet. Vad gör man? Det är omöjligt att radera. Vi sätter en ”lapp” över felet.
Eleven ritar nya stenar och går vidare.
När vi studerar bilderna noga, funderar vi över lösningarnas kvalitet. ”Kartan” visar områden där det är glest mellan ”stenarna”. De kan packas tätare.
Nu väljer vi att låta det vara, utmaningen är till
räckligt stor och det har ingen avgörande betydelse för det matematiska resonemanget. Senare blir det förstås viktigt att inte utelämna delar av det av
gränsade området.
Fyrfärgsproblemet Räcker det med fyra färger för att måla en karta så att två intill- liggande länder inte får samma färg? Ja, det har lockat många problem- lösare att undersöka. Att det går bevisades 1977.
Sortering och relationer
Vi förändrar avgränsningar efterhand och ger nya uppdrag, t ex:
Leta reda på en pinne som räcker dig till knäna.
Pinnarna sorteras efter längd. Varför är de så olika långa? Eleverna menar att de har olika långt mellan fotsula och knä. De jämför med kamraterna. Lotta undrar om en elev som är kort alltid har kortare av
stånd till knäet än en som är längre? Eleverna vill undersöka men hur? Lotta menar att de ska ställa sig i ordning efter pinnarnas längd. Om idén stäm
mer, borde eleverna stå i ordning efter längd. Men det visar sig inte stämma.
Jesper funderar över vad uttrycket ”når dig till knäna” betyder. Var och en visar med sina pinnar strax under ”knölen”, precis under, mitt på eller ovanför knäskålen. De har tänkt på olika sätt. Mät
ningarna är olika noggranna. Hur olika får de vara?
Eleverna upptäcker att be
grepp kan tolkas olika och därför behöver vi bestäm
ma vilka förutsättningar som ska gälla. De som är lika långa har olika avstånd mel
lan fotsulan och knäna, även om de mäter lika på knäet.
Några har långa ben i för
hållande till resten av krop
pen. De som är olika långa kan ha lika långa underben.
Att upptäcka variationer i relationer – ”det beror på”
– är viktiga för det fortsatta lärandet kring t ex propor
tionalitet och funktioner.
Samtal leder oss in på längdmätningens idé och för
ståelse för behov av standar
diserade enheter. Elever mäter – sig själva, klass
rum, arbetsbord, muggar e t c med olika icke
standardiserade enheter. När vi ska möblera om i klassrummet tycker Sebastian att en karta över rummet skulle vara bra. Då kan vi se i förväg hur det ska bli och flytta möblerna. Kamraterna hål
ler med.
Vad är en karta? De menar att det är en bild av verkligheten som den ser ut ovanifrån på långt håll. Allting ser mindre ut än i verkligheten. Vi pratar om naturlig storlek och ”förminskning”. För att göra en karta måste vi ha mått.
De bestämmer sig – först ska de mäta med den egna foten. Snart stoppar Lisa arbetet: ”Om vi gör så här får alla olika svar. Vi måste bestämma vems fot vi ska mäta med.” Hon övertygar kamraterna om hur hon tänker. De enas om att mäta med Fannys fot. Sedan ska de förminska. De tittar runt i rum
met efter något lämpligt. Sebastian föreslår gem. En fot i verkligheten är ett gem i förminskningen, en lysande idé igen. Gem sätts samman i länkar, de för
minskade längderna är lätta att hantera.
Dokumentationen betonar att de valt att använ
da en bestämd fot och ett gem i bestämd storlek som mått. Gruppen inser att mätningen av klassrum
mets med Fannys fot, gäller just den dagen. Senare växer hennes fot och relationen till gemet gäller inte. Storleken på gem kan också variera. Behovet av enhetliga mått växer fram. Många känner till längd
enheter som centimeter och meter och har använt mätverktyg med dessa enheter.
Relationer mellan tal och omvärld
Det är viktigt att få erfarenheter och känsla för olika avstånd – en del av det vi kallar rumsuppfatt
ning – att skapa minnen och referenser med hjälp av syn, hörsel, känsel och rörelse. För att ge elever riktmärken att förhålla sig till, markerar vi tio
meter på golvet i korridoren, två meter vid dörr
öppningen osv. Eleverna arbetar med uppdrag:
Tänk efter hur många steg du behöver gå för att komma tio meter i korridoren.
Mät sträckan som du gått och jämför med tiometers
markeringen.
Hur stor är omkretsen på trädet vid trappan?
Hur höga är fönstren i klassrummet?
Hur högt upp på väggen sitter klockan?
De prövar mätverktyg – måttband, linjal, tum
stock, mäthjul. När är olika redskap lämpliga? Vi använder orden omkrets, ungefär och cirka i olika sammanhang, pratar om längder i förhållande till elevers kroppar, letar referenser på och utanför oss själva. Hur hög är skolans skorsten? Anne som är 1 m lång får ställa sig vid skorstenens fot och vi tar fingermått för att få en uppfattning av höjden.
10 cm är ungefär den omkrets eleverna greppar mellan tum och pekfingertoppen. Det vet de när de får hemuppdrag:
Leta i skogen reda på en pinne, som är ungefär en meter lång och har en omkrets på cirka 10 cm.
Undersök också hemma om du har en strumpa som inte används längre. Fråga om du kan få ta med den till skolan – vi ska förvandla den till ...! Ta med pinnen och strumpan på fredag.
Nästan alla skolans tvåor kommer släpande på sina pinnar. Många anar vad de ska förvandlas till ... jo till käpphästar i ett temaarbete som uppföljning av besök på en lantgård tidigt på höstterminen. Där fanns mycket matematik att utforska. Elevernas pinnar är olika, raka och krokiga, tjocka och smala, färgerna varierar. Redan på gården jämförs de. Alla berättar i text hur de valt ut sin pinne (stavningen korrigerad).
Jag har hittat en pinne som var någonting på 2 m lång och så fick jag såga av den så den ungefär blev 1 m lång och så gick jag till skolan med den.
När jag skulle hitta min pinne tog jag ett snöre och mätte 10 cm och sen tog jag ett snöre och mätte 1 m på längden sen gick jag ut med min mamma sen kunde vi inte hitta nån pinne då tog vi en av min brors sen såg vi att den var för lång då bröt vi av en bit. Sen gick vi in igen.
Hur lång är en pinne på 1 m?
Vad innebär det att en pinne är 1 meter lång? Hur tänker elever? Piaget beskriver hur det lilla bar
net uppfattar avstånd, som ett tomrum mellan två punkter. Avståndet blir kortare om något pla
ceras däremellan. Senare uppfattar barn avstånd som lika långa oberoende av om vägen mellan punkterna är rak eller krokig. Erfarenheter leder till vidgad och fördjupad förståelse. Våra elever har mätt avståndet mellan pinnens ändar. Det är så vi ofta beskriver längder. Alltför sällan funderar vi
En förälder undrar om de kan få helgen på sig.
Det är svårt att hitta pin- nar i skogen höstmörka vardagskvällar efter job- bet. Vi är tacksamma för frågan. Vi glömmer ibland bort hur föräldrar ska kunna stödja sina barn med hemuppgifter.
över längder på annat än ”raka” föremål, som kan avbildas som sträckor. Hade vi tittat på pinnens verkliga längd, borde vi följt pinnens krökning:
Vi fick ett papper och vek det på mitten. Sen skrev vi till exempel hur lång vår pinne var. På den ena sidan skrev jag 10 och på den andra skrev jag 1 för min pinne var 101 cm lång. Sen klistra vi fast ...
dom som var 75 först. Det var bara 1.
Sen dom som var 81. Det var 1.
Sen dom som var 88. Det var 1.
Sen dom som var 89. Det var 1.
Sen dom som var 98. Det var 4.
Sen dom som var 99. Det var 3.
Sen dom som var 100. Det var 8.
Sen dom som var 101. Det var 1.
Sen som som var 102. Det var 1.
Sen dom som var 108. Det var 1.
Sen såg vi efter vad som var vanligast. Det var 100 cm för det var flest 8 som var 100.
Sen tittade vi efter om alla hade lämnat. Det såg vi. För vi räknade på stam-blad-diagrammet.
Ett mer formaliserat stambladdiagram, som vi gjorde tillsammans såg ut så här. Det förklarar flickans beskrivning varför vi vek papperet:
7 5 8 1 8 8 8 9 9 8 8 8 8 9 9 9 9 10 0 0 0 0 0 0 0 0 10 1
10 2 10 8
I ett stambladdiagram ser vi tydligt frekvensen för olika värden. Vi kan avgöra typvärde (det vanligas
te) och medianvärde (mittenvärdet). Mer om stam
bladdiagram finns i (Dunkels, 1996).
Om vi lägger ett snöre utmed pinnen och sedan sträcker det, ser vi tydligt skillnaden mellan upp
fattad och verklig längd. Jämför med avståndet mellan två orter, där det finns två vägar att välja.
En av dem är rakare och därmed kortare. Vi talar sällan om avståndet mellan punkter – fågelvägen – som liknar hur vi förhåller oss till pinnars längd.
När vi använder begreppet höjd, avser vi oftast kortaste avståndet t ex bergs höjd över havet.
Hur olika är pinnarna?
Eleverna ser att pinnarna är olika långa. Hur olika?
De mäter den egna pinnen noga och antecknar längden. Vi får en stor variation. I ena klassen antecknar vi följande:
98, 100, 100, 75, 81, 100, 100, 88 100, 98, 89, 99, 108, 98, 98, 99, 100, 100, 101, 100, 99, 102
För att få en överskådlig bild vill vi göra ett dia
gram. Eleverna har tidigare erfarenheter av såväl stapel som cirkeldiagram.
Nu inför vi stam-blad-diagram. Tiotalen i mät
värdena bildar ”stammen” och entalen ”blad”.
Eleverna skriver måtten på en papperslapp, tio
talen till vänster om den vikta mittlinjen och en
talen till höger. Ett exempel:
Cirkeldiagram med dockor.
Cirkeldiagram med sockor.
Stapeldiagram med kapsyler.
Statistik och diagram
Att förstå, analysera och kritiskt granska statistik blir allt viktigare – i vardag, utbildning och sam
hälle. Tabeller och diagram används för att snabbt ge omfattande och slagkraftig information.
En samhällsmedborgare måste kunna ta del av, tolka och förstå innehållet. När elever redovi
sar egna undersökningar i diagram utvecklar de förståelse för hur dessa konstrueras. Lika viktigt är det att kunna tolka statistik som presenteras.
Eleverna ska utveckla förmågan att förstå och an
vända statistiska begrepp. De ska kunna samla in och hantera data, beskriva och jämföra statistisk information samt använda elementära lägesmått.
Elever som möter och konstruerar olika slags ta
beller och diagram tidigt, blir bekanta med detta sätt att beskriva data. Arbete med statistik i var
dagen ger möjlighet att upptäcka samband både mellan olika delar inom matematiken t ex tal och rum och mellan matematik och andra ämnesom
råden. Efterhand lär de sig att allt säkrare använda och förstå olika diagram. Förståelsen för propor
tionalitet i diagram utvecklas successivt. Elever behöver återkommande erfarenheter för att säker
ställa sådana kunskaper. De lär sig genom medve
tet arbete redan i de första skolåren. Många har en grundläggande uppfattning om diagram redan i förskolan. Vi har sett att det går bra att bygga på och arbeta vidare med detta under de första veck
orna i grundskolan. (Bergius & Emanuelsson, 1997;
Emanuelsson 2006; ÅbergBengtsson, 1999)
I materialet lurar matematiken
Det är viktigt att ta vara på möjligheter till olika lärande. Huvudsyftet kanske är matematik men materialet kan också användas i t ex bild och kon
struktionsarbete. Våra elever förvandlar nu pinnar
och strumpor till käpphästar, som inspirerar till annat kreativt arbete – dikter, berättelser m m.
Pinnproblem åk 2
Vi lägger 4 lika långa pinnar så att de avgränsar ett rum i planet. Pinnarna motsvarar ”väggar”. Vi studerar formen. Utrymmet förändras med vin
keln mellan väggarna (se marginalen). När en del av väggen utgörs av en del av pinnen, kan vi bilda rum med olika form.
Hur kan vi få flera rum? Eleverna prövar. De låter pinnarna korsa varandra, hittar olika former och försöker beskriva dem. I början ser de främst på antalet ”kanter”, t ex fyrkant.
Matematiken definierar ofta former utifrån an
talet sidor eller vinklar. Vi uppmärksammar elev
erna på detta. Efterhand bestämmer antalet hörn formernas namn. Vi inför begreppet vinkel. Vinkel och hörn används parallellt. Uttryck som elever möter i vårt vuxenspråk blir successivt en del av deras aktiva ordval. Vardagsspråk närmar sig ge
nom medvetet arbete på sikt det generella mate
matiska. Eleverna fortsätter undersökningar med fem pinnar.
Lägg pinnarna så att de tillsammans bildar många rum. Hur kan dessa se ut? Hur många rum kan du få?
Avbilda dina lösningar.
De dokumenterar. Några drar linjer på fri hand, andra lägger ett papper under och ritar längs pinnarna. Några markerar pinnarnas ändar på papperet, en färg för varje. Det blir lättare att dra linjer mellan rätt punkter och ger en sannare bild. Alltfler gör så. Bilderna får större precision när eleverna utvecklar sina strategier. När de färg
lägger rummen blir formen lättare att studera. De blir också vackra dekorationer eller konstbilder.
