Föreläsning 3/12
Hambley avsnitt 4.1–4.4
Transienter
Inom elektroniken betecknar transienter signaler som har kort varaktighet. Transi- enterna avtar ofta exponentiellt med tiden. I detta avsnitt studerar vi de transienter som uppstår då en kondensator, eller spole, ansluts till en krets eller kopplas bort från en krets. Transienter kan ibland ge upphov till oönskade högfrekventa störning- ar.
Spolen
L
+ -
+ -
C i( t) i( t)
v( t)
v( t)
v(t) = Ldi(t)
dt ⇒ i(t) = 1 L
Z t 0
v(t′) dt′ + i(0) Upplagrad energi: w = 1
2Li2
Kondensatorn
i(t) = Cdv(t)
dt ⇒ v(t) = 1 C
Z t 0
i(t′) dt′ + v(0) Upplagrad energi: w = 1
2Cv2
RL-kretsen
Vi antar här en krets där en spole som vid tiden t = 0 har en ström I0. Den har alltså en upplagrad energi 1
2LI02. Vid t = 0 kopplas till en en resistans R, enligt figur. Strömmen går genom resistansen och avger då energi. Det gör att strömmen genom spolen avtar med tiden. För att få fram tidsförloppet för strömmen är det enklast att ställa upp och lösa den differentialekvation som strömmen satisfierar.
L R v
+
-
i( t)
( t) I0
i( t)
t τ
Referensriktningen på strömmen är satt så att vid spolen går strömmen in vid
− och ut vid +. Därmed gäller v(t) = −Ldi(t)
dt . Ohms lag säger att v = Ri(t), eftersom strömmen vid resistansen går in vid + och ut vid −. Det ger följande differentialekvation för strömmen och tillhörande begynnelsevillkor:
Ldi
dt + Ri = 0 i(0) = I0
Metoden med integrerande faktor ger: i(t) = I0e−t/τ där τ = L/R. Notera att spänningen v(t) = RI0e−t/τ kan bli mycket stor om R är stor.
RC-kretsen
Vi antar här en krets där en kondensator vid tiden t = 0 har spänningen V0. Den har alltså en upplagrad energi 1
2CV02. För t > 0 är kondensatorn kopplad till en resistans R. Då strömmen går genom resistansen avges energi till resistorn. Det gör att kondensatorns spänningen avtar med tiden. För att få fram tidsförloppet för spänningen är det enklast att ställa upp och lösa den differentialekvation som spänningen satisfierar.
R v
+
-
C
i( t)
( t) V0
v( t)
t τ
Referensriktningen på strömmen är satt så att vid kondensatorn går strömmen in vid − och ut vid +. Därmed gäller i(t) = −Cdv(t)
dt . Ohms lag säger att v = Ri(t), eftersom strömmen genom resistansen går in vid + och ut vid −. Det ger följande differentialekvation och tillhörande begynnelsevillkor:
Cdv
dt + v R = 0 v(0) = V0
Metoden med integrerande faktor ger: v(t) = V0e−t/τdär τ = RC
Tidskonstanten
För en exponentiellt dämpad signal v(t) = v(0)e−t/τ är τ =tidskonstanten. Det be- tyder att v(τ) = e−1v(0) ≈ 0.37v(0). I en RL−krets är tidskonstanten τ = L/R och för en RC-krets är den τ = RC. Vi noterar att 1/τ är líka med brytvinkelfrekvensen för RL- och RC-näten vi tidigare använt som lågpass- och högpassfilter.
Exempel: Inkoppling av spänningskälla
-
-
- +
+ +
v (t)s v (t)c
v (t)r
R
C t = 0
En spänningskälla vs(t) kopplas vid t = 0 in mot en RC krets där vc(0) = 0. Bestäm spänningen över kondensatorn som funktion av tiden.
För t ≥ 0 ger KVL vs(t) = Ri(t) + vc(t). Eftersom i(t) = Cvc′(t) fås den ordinära differentialekvationen
vc′(t) + 1
τvc(t) = 1 τvs(t)
där τ = RC. Metoden med integrerande faktor ger lösningen för t > 0
vc(t) = e−t/τ
vc(0) + 1 τ
Z t 0
vs(t′)et′/τdt′
Om kondensatorn är oladdad för t ≤ 0 gäller vc(0) = 0 och därmed
vc(t) = 1 τ
Z t 0
vs(t′)e(t′−t)/τdt′H(t)
där H(t) är enhetssteget
H(t) =
(0 t < 0 1 t > 0
Integralen går att lösa explicit för några av de vanligaste typerna av källor.
Steg vs(t) = v0H(t) ger vc(t) = v0 1 − e−t/τ H(t), se övere grafen i figur 1.
Fyrkantpuls vs(t) = v0(H(t) − H(t − t0)) ger, se undre grafen i figur 1,
vc(t) =
0 t ≤ 0
v0 1 − e−t/τ
0 < t ≤ t0
v0 1 − e−t0/τ e(t0−t)/τ t > t0
v
c( t)
v
r( t) V
0V
0V
010 20
v
c( t) v
r( t)
ms
20 ms ms
10 ms 0
0
-
Figur 1: Övre grafen visar vc(t) och vr(t) då vs är ett steg, vs(t) = V0H(t). Undre grafen visar vc(t) och vr(t) då vs är en fyrkantpuls, vs(t) = V0(H(t) − H(t − t0) där t0 = 10 ms. För båda graferna gäller τ = 10 ms.
Tidsharmonisk källa vs(t) = V0sin ωt ger, vc(t) = V0
p1 + (ωτ)2 e−t/τ sin(arctan(ωτ )) + sin(ωt − arctan(ωτ )) H(t)
= V0ωτ e−t/τ
1 + (ωτ )2H(t) + V0sin(ωt − arctan(ωτ )) p1 + (ωτ)2 H(t)
= V0ωτ e−t/τ
1 + (ωτ )2H(t) + V0(sin(ωt) − ωτ cos(ωt)) (1 + (ωτ )2) H(t)
(0.1)
Från lösningen ser vi att lösningen är en summa av en transient, d.v.s. en del som dör ut efter en tid och en stationär del. Den stationära delen är den som finns kvar efter lång tid. Matematiskt sett är transienten den homogena lösningen och den stationära delen partikulärlösningen till differentialekvationen.
I läsperiod Ht 1 användes jω-metoden för att få fram den stationära lösningen och det är enkelt att se att den överensstämmer med lösningen ovan. I frekvensplanet ger spänningsdelning
Vc = V0
1 + jωτ = V0
p1 + (ωτ)2e−j arctan(ωτ )
I tidsplanet är då amplituden V0
p1 + (ωτ)2 och fasen − arctan(ωτ), mätt relativt sin(ωt). Den stationära spänningen är då
vcstat(t) = V0
p1 + (ωτ)2 sin(ωt − arctan(ωτ ))
Man kan konstatera att även i detta enkla fall är jω-metoden en bra metod för att snabbt få fram den stationära lösningen.
Tips
Gå till Wolfram Alpha (http://www.wolframalpha.com/) på nätet. Där kan ni få lösningen till matematiska problem, och även andra problem. Skriv in
solve dv/dt+v/tau=sin(wt)/tau*H(t), v(0)=0
så får ni lösningen (0.1). Wolfram Alpha är ganska okänslig för hur man skri- ver sina uttryck. Även t.ex. solve v’+v/tau=sinwt H(t)/tau, v(0)=0 fungerar bra.
Vill man ha en graf kan man sätta in värden på tau och w. Skriver man t.ex.
v’+v/.2=sin(10t) H(t)/.2, v(0)=0, from t=0 to 10 fås lösningen och dess graf för 0<t<10.
