+ RELEASE THE MATH IN YOU +
Matte – Plugga inför nationella provet med Mattecentrum konvent –
Ma te
ma tik 3 C Innehåll:
Pluggtips Formelsamling Nationella prov från tidigare år Länktips:
Mattecentrum.se Formelsamlingen.se Matteboken.se
Pluggakuten.se
I samarbete med arbetsgivarorganisationen
Så lyckas du med det nationella provet
För att få ut så mycket som möjligt av kvällens mattekonvent vill vi uppmuntra dig att ställa många frågor till volontärerna. De finns på plats idag för din skull och de vill hjälpa till! Självklart kan du ställa vilka mattefrågor du vill;
de behöver inte handla om en specifik uppgift på övningsprovet.
Här följer några pluggtips från oss på Mattecentrum:
Rita upp problemet:
Inget förklarar ett problem så bra som en figur och det mesta går att rita.
Ska du räkna ut måtten på en hage? Rita hagen! Ska du lösa en trigonometrisk ekvation? Rita enhetscirkeln!
Ta problemet steg för steg:
De flesta av oss kan inte hålla massor av steg i huvudet samtidigt så ha för vana att alltid skriva ner alla delar i din uträkning så blir det färre slarvfel och både du, läraren och volontärerna kan lättare följa med i hur du har tänkt.
Jobba med grundteknikerna:
Inom matematiken bygger de mer avancerade metoderna ofta på grundtekniker som man har lärt sig i tidigare mattekurser eller kapitel så se till att öva lite extra på exempelvis prioriteringsreglerna, ekvationslösning och andra grundtekniker om de mer avancerade metoderna känns knepiga.
Prata matte:
Hjälp dig själv och andra genom att diskutera problemen tillsammans.
Genom att prata matte övar du på allt möjligt: din egen förståelse, hur problem kan attackeras på flera olika sätt, ditt matematiska språk och ditt mattesjälvförtroende. Kan du förklara en metod för en kompis så vet du att du själv behärskar den. Pratar du matte övar och förbereder du dig även inför det muntliga nationella provet!
Kvalitet istället för kvantitet:
Tänk kvalitet istället för kvantitet. Ägna hellre en hel lektion åt att verkligen försöka förstå Pytaghoras sats än att räkna ut hypotenusan i 30 olika trianglar utan att förstå vad du faktiskt gör.
Tips för att lösa en specifik uppgift
1
Läs uppgiften noggrant! Förstår du uppgiften? Vad frågas det efter egentligen? Det kan vara något som ska räknas ut eller något som ska ställas upp för att sedan räknas ut.Om inte, vad är det du inte förstår? Är det vissa ord i uppgiften eller är det ett räknesätt som uppgiften ber dig att använda? Kolla upp de delar som du inte förstår genom att slå upp orden, bäddra bakåt i boken för att fräscha upp minnet eller fråga en volontär!
2 3
Läs mer ingående tips på matteboken.se!
Innan du börjar lösa uppgiften, ställ dig frågan: Förstår jag vilken metod som ska användas för att lösa uppgiften?
Om inte, kolla upp liknande uppgifter och titta på hur lösningsmetoderna är där.
När du vet vilken metod som ska användas till den uppgift du sitter med kan du ställa dig själv följande frågor:
Förstår jag metoden som används? Förstår jag varför just denna metod används till denna typ av problem?
Om inte, gå tillbaka till avsnittet med den metoden i boken och frächa upp minnet eller fråga en volontär.
Räknat klart och svaret är galet? Då ska du felsöka svaret!
Gå noggrant igenom uträkningarna för att se om du gjorde några räknefel och ställ dig än en gång frågorna i de första två punkterna för att försäkra dig om att du verkligen har förstått frågan och använt rätt räkneoperationer. Känns uträkningen och metoden fortfarande rätt, räkna om uppgiften på en helt ny sida utan att tjuvkika på den gamla uträkningen!
Fortfarande fel svar och svaret är detsamma som du fick första gången du räknade? Då har du troligtvis inte gjort
ett slarvfel, utan använder fel metod. Gå tillbaka och kolla hur liknande uppgifter har lösts. Känner du att du ändå inte kommer vidare på egen hand, fråga en volontär!
1(6)
15-09-07 © Skolverket
Formler till nationellt prov i matematik, kurs 3
Algebra
Regler (a b)2 a2 2ab b2
2 2
2 2
)
(a b a ab b
2
) 2
)(
(a b a b a b
3 2 2
3
3 3 3
)
(a b a a b ab b
3 2 2
3
3 3 3
)
(a b a a b ab b
) )(
( 2 2
3
3 b a b a ab b
a
) )(
( 2 2
3
3 b a b a ab b
a Andragradsekvationer x2 px q 0
p q x p
2
2 2
2 bx c 0 ax
a ac b
a x b
2 4 2
2
Aritmetik
Prefix T G M k h d c m n p
tera giga mega kilo hekto deci centi milli mikro nano piko 1012 109 106 103 102 10-1 10-2 10-3 10-6 10-9 10-12
Potenser axay ax y y x y
x
a a
a x y xy
a a )
( x x
a a1
x x
xb ab
a ( )
x x
x
b a b
a an na
1 a0 1
Geometrisk
summa där 1
1 ) 1 ... 1 (
2 k
k k ak a
ak ak a
n n
Logaritmer y 10x x lgy y ex x lny xy
y x lg lg
lg y
y x x lg lg
lg lgxp p lgx
Absolutbelopp
0 om
0 om
a a
a a a
2(6)
15-09-07
Funkti
Räta linj
m kx y
c by ax
Potensfu xa
C y
Statist
Standard för ett sti
Lådagram
Normalfö
ioner
en
m k
0
c , där in
unktioner
tik och s
avvikelse ickprov
m
ördelning
1 2
1 2
x x
y y
nte både a o
sannoli
s (x
och b är nol
ikhet
( )2
1 x x
x
An
y ll
Ex
y
1 ...
)2
2
n x x
ndragrads
bx ax2
xponentia ax
C
) (xn x 2
sfunktione
c a
lfunktione
0 a o
er
0
er
och a 1
© Skolverkett
3(6)
15-09-07 © Skolverket
Differential- och integralkalkyl
Derivatans definition
a x
a f x f h
a f h a a f
f h x a
) ( ) lim ( ) ( ) lim (
)
( 0
Derivator Funktion Derivata
x där n är ett reellt tal n nxn 1
ax (a>0) axlna
ex ex
ekx k ekx
x 1
2
1 x )
(x f
k k f (x)
) ( ) (x g x
f f (x) g(x)
Primitiva
funktioner Funktion Primitiva funktioner
k kx C
) 1 (n
xn C
n xn
1
1
ex ex C
ekx C
k ekx
) 1 , 0
(a a
ax C
a ax ln
4(6)
15-09-07
Geome
Triangel
2 A bh
Parallellt
2 (a A h
Cirkelsek
b v 2
360 360 A v
Cylinder
h r V π 2 Mantelarea
rh A 2π
Kon
3 πr2h V
Mantelarea A π rs
Likformig
Trianglarn och DEF ä likformiga f c e b d a
etri
rapets ) b
ktor
r π 2
π 2 br2 r
a
a
ghet
a ABC är
. f c
Para A
Cirk
A O
Pris B V
Pyra
V
Klot
V 4 A
Skal
Area Voly
allellogram bh
kel
4 π π
2 d2
r d r π π 2
ma Bh
amid
3 Bh
t
3 π 4 r3
π 2
4 r
la
askalan = (L ymskalan =
m
Längdskalan (Längdskaln)2
lan)3
© Skolverkett
15-09-07
Topptrian transversa
Om DE är med AB gä
AC CD AB DE
BE CE AD CD
Vinklar
180 v u
v w
L1 skär två w v
w u
Kordasat cd ab
Pythagor 2
2 b c
a
Avstånds
(x2
d
gel- och alsatsen
parallell äller
BC CE och
0 Sidov Verti
å parallella l Likb Alter
sen
ras sats
c 2
sformeln
2 2 1) (y x
vinklar ikalvinklar
linjer L2 och elägna vink rnatvinklar
1)2
y
h L3 klar
Bis
BD AD
Rand u 2
Mittp xm
sektrissat
BC AC D D
dvinkelsat v
punktsform 2 och
2 1 x x
tsen
sen
meln
h y12 ym
2 y2
5(6)
© Skolverket )
t
6(6)
15-09-07
Trigon
Definition
Sinussats
Cosinussa
Areasatse
Cirkelns e
Exakta värden
ometri
ner
E
sen
atsen
en
ekvation
V
c v a sin
c v b cos
b v a tan
Enhetscirke y v sin
x v cos
x v y tan
b a
A sin sin
c b a2 2
2 sin C T ab
2 ( ) (x a
inkel v v sin
v cos
v tan
eln
c C b
B sin n
bc c2 2 cos
C
2
)2 r b y
0 30
0 2
1
1 2
3
0 3
1 A
2
45 6 2 1
2 1
1
60 90 2
3 1
2
1 0
3 Ej def.
120 13 2
3
2 1
3
35 150 2
1
2 1
2 1
2 3
1 3
1
© Skolverket
180 0
1 0
t
NpMa3c ht 2012
3
1. På tallinjen är två tal x1 och x2 markerade.
Bestäm x1 x2 ______________________ (1/0/0)
2. För vilket värde på x är uttrycket x x 6
21
3 inte definierat?
______________________ (1/0/0)
3. Vilket av alternativen A-E visar ett polynom?
A. 43 4 3 x x
B. x2 x2,5 C.
1 3
2 x
D. 4x3 2x2
E. 2
12 5
x x
x ______________________ (1/0/0)
4. För vilka vinklar v i intervallet 0 v 360 gäller att
2 sin v 1?
______________________ (1/0/0)
5. Derivera
a) f(x) 3x4 6x 10 ______________________ (1/0/0)
b) f(x) ex ex ______________________ (0/1/0)
c) 2
3 3 ) 2
( x
x x
f ______________________ (0/1/0)
Del B: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt i provhäftet.
NpMa3c ht 2012
4
6. Nedan ges några olika situationer som kan beskrivas med en funktion.
Vilket av alternativen A-D beskrivs bäst med en diskret funktion?
A. Bensinförbrukningen hos en bil beror av hur långt bilen körs.
B. Volymen av en kub beror av sidans längd.
C. Intäkten beror av hur många stolar som tillverkas i företaget.
D. Kostnaden för bananer beror av vikten på bananerna.
______________________ (0/1/0)
7. Figuren nedan visar grafen till derivatan f för en tredjegradsfunktion f.
a) För vilket värde på x har grafen till f en minimipunkt?
______________________ (0/1/0) b) För vilka värden på x är f avtagande? ______________________ (0/2/0)
8. Ange alla funktioner som har egenskapen att f(x) f (x) där f(x) 0
______________________ (0/1/1)
NpMa3c ht 2012
5
9. Bestäm
a) lim(e 7)
0 x
x ______________________ (1/0/0)
b) 4 9
lim 16 x
x
x ______________________ (0/0/1)
10. Använd enhetscirkeln nedan och bestäm cos(180 v om ) sinv 0,8
______________________ (0/0/2)
NpMa3c ht 2012
6
11. Beräkna 6x dx
2 1
2 algebraiskt. (2/0/0)
12. För funktionen f gäller att f(x) x3 3x2
Bestäm med hjälp av derivata koordinaterna för eventuella maximi-, minimi- och terrasspunkter för funktionens graf.
Bestäm också karaktär för respektive punkt, det vill säga om det är en
maximi-, minimi- eller terrasspunkt. (3/0/0)
13. För funktionerna f och g gäller att f(x) 5x2 3x och g(x) x2 8x
a) Bestäm det värde på x där grafen till f har lutningen 18 (2/0/0) b) Grafen till g har en tangent i den punkt där x 6
Bestäm koordinaterna för tangentens skärningspunkt med x-axeln. (0/3/0)
14. Förenkla så långt som möjligt.
a) 2 6
) 2 )(
3 (
x x
x (1/0/0)
b) 2 32
16 8
2 2
x x
x (0/2/0)
Del C: Digitala verktyg är inte tillåtna. Skriv dina lösningar på separat papper.
NpMa3c ht 2012
7
15. F är en primitiv funktion till funktionen f.
I figuren visas grafen till funktionen F. Bestäm
5 2
d ) (x x
f (0/0/1)
16. Bestäm derivatan till
x x A
f )( med hjälp av derivatans definition. (0/2/2)
NpMa3c ht 2012
3
17. Bestäm det värde på x där derivatan till f(x) x2 5x är lika med derivatan
till g(x) 5x2 14x (2/0/0)
18.
Kanadagåsen infördes till Sverige på 1930-talet. Därefter har populationen ökat.
Vid samma tidpunkt varje år görs en inventering av antalet kanadagäss.
Populationens tillväxt kan beskrivas med en exponentiell modell.
Diagrammet nedan visar antalet kanadagäss K som funktion av tiden t år, där t 0 motsvarar år 1977.
a) Bestäm ett närmevärde till K (30) med hjälp av grafen. (1/0/0) b) Ge en tolkning av vad K (20) 800 betyder för antalet kanadagäss i
detta sammanhang. (0/1/0)
Del D: Digitala verktyg är tillåtna. Skriv dina lösningar på separat papper.
NpMa3c ht 2012
4
19. I figuren visas en tomt som har sidlängderna 100 m, 70 m och 85 m.
Beräkna tomtens area. (2/1/0)
20. En cirkel har ekvationen x2 2x y2 y 0,5
a) Ligger punkten (1,2) på cirkeln? Motivera ditt svar. (2/0/0) b) Cirkeln har sin medelpunkt i (1; 0,5). Bestäm cirkelns area. (0/3/0)
21. Är följande påståenden korrekta? Motivera dina svar.
a) F(x) 3ex är en primitiv funktion till f(x) e3x (1/0/0) b) Grafen till f(x) x3 ax har tre olika nollställen om konstanten a 0 (0/2/1)
22. Karolina häller upp en kopp kaffe i ett rum där temperaturen är 20 C. Hon mäter kaffets temperatur direkt och därefter varje minut under de första 5 minuterna.
Karolina anpassar sedan en matematisk modell till sina mätvärden:
t t
T( ) 95e 0,039
där T är kaffets temperatur i C och t är tiden i minuter efter att Karolina startade sin mätning av temperaturen.
a) Bestäm temperaturen hos kaffet då Karolina startade sin mätning. (1/0/0) b) Bestäm med hur många procent temperaturen hos kaffet minskar
per minut. (0/1/0)
c) Karolinas modell stämmer väl överens med verkligheten i början.
Utvärdera hur väl hennes modell stämmer överens med verkligheten
över tid. (0/1/1)
NpMa3c ht 2012
5
23.
Tartaglia (1500-1557)
Italienaren Tartaglia var en matematiker som levde på 1500-talet. Han anses ha formulerat följande matematiska problem, här återgivet i modern översättning:
Summan av två positiva tal är 8. Bestäm talen så att produkten av talens differens och talens produkt blir så stor som möjligt.
Din uppgift är att lösa Tartaglias matematiska problem. (0/0/3)
24. För tredjegradsfunktionen f gäller att 1
) 2 ( f
0 ) 4 ( f
Bestäm f (6) (0/0/3)
25. När Mario föds bestämmer sig hans mormor för att spara pengar åt honom i en burk. Mormor tänker lägga ett belopp som motsvarar kvadraten av Marios ålder multiplicerat med 100, varje gång han fyller år. Marios farbröder Sergio och Riccardo funderar över hur mycket pengar mormor kommer att ha i burken på Marios 6-årsdag.
Sergio säger: Man får reda på hur mycket pengar som finns i burken genom att beräkna integralen 100x dx
6 0
2
Riccardo funderar ett tag och svarar: Nej, den ger ett för litet värde.
Förklara varför integralen ovan ger ett för litet värde om man använder den
för att räkna ut hur mycket pengar det finns i burken på Marios 6-årsdag. (0/1/3)
NpMa3c ht 2012
Bedömningsanvisningar
Exempel på ett godtagbart svar anges inom parentes. Till en del uppgifter är bedömda elevlös- ningar bifogade för att ange nivån på bedömningen. Om bedömda elevlösningar finns i materialet markeras detta med en symbol.
Del B
1. Max 1/0/0
Korrekt svar (5) +1 EB
2. Max 1/0/0
Korrekt svar (6) +1 EB
3. Max 1/0/0
Korrekt svar (D: 4x3 2x2) +1 EB
4. Max 1/0/0
Korrekt svar (30 och150 ) +1 EB
Kommentar: Även svaret ”30 och 150” utan gradbeteckningar anses vara korrekt.
5. Max 1/2/0
a) Korrekt svar ( f (x) 12x3 6) +1 EP
b) Korrekt svar ( f (x) ex e) +1 CP
c) Korrekt svar
2 3 3
) 2
(x x 2
f +1 CP
Kommentar: Svar utan ” f (x)” anses vara korrekt.
6. Max 0/1/0
Korrekt svar (C: Intäkten beror av hur många stolar som tillverkas i företaget.) +1 CB
8
NpMa3c ht 2012
7. Max 0/3/0
a) Korrekt svar (x 4) +1 CB
b) Korrekt intervall, t.ex. ”x är större än eller lika med 2 och x är mindre än eller
lika med 4” +1 CB
där det korrekta intervallet kommuniceras på en nivå som motsvarar
kunskapskraven för C, dvs. med korrekt använda olikhetstecken ( 2 x 4) +1 CK
Kommentar: Vissa läromedel inkluderar inte derivatans nollställen i intervallet.
Vid bedömning bör detta beaktas.
8. Max 0/1/1
Anger en korrekt funktion, t.ex. y e x +1 CB
med korrekt införd konstant (y ae ) x +1 AB
9. Max 1/0/1
a) Korrekt svar (8) +1 EB
b) Korrekt svar (2) +1 APL
10. Max 0/0/2
Anger ett korrekt fall, t.ex. 0 ,6 +1 AB
med ytterligare ett korrekt fall angivet ( 0 ) ,6 +1 APL
9
NpMa3c ht 2012
Del C
11. Max 2/0/0
Godtagbar ansats, bestämmer korrekt primitiv funktion, 2x 3 +1 EP
med i övrigt godtagbar lösning med korrekt svar (14) +1 EP
12. Max 3/0/0
Korrekt bestämning av derivatans nollställen, x1 0, x2 2 +1 EP
med korrekt bestämning av extrempunkternas koordinater, (0,0) och (2, 4) +1 EP
Godtagbar verifiering av extrempunkternas karaktär
(maximipunkt (0,0) och minimipunkt (2, 4)) +1 EP
Se avsnittet Bedömda elevlösningar.
13. Max 2/3/0
a) Godtagbar ansats, t.ex. tecknar ekvationen 10x 3 18 +1 EPL
med i övrigt godtagbar lösning med korrekt svar (x 1,5) +1 EPL
b) Korrekt bestämning av tangentens ekvation, y 20x 36 +1 CPL
med i övrigt godtagbar lösning med korrekt svar ((1,8;0)) +1 CPL
Lösningen (deluppgift b) kommuniceras på C-nivå, se de allmänna kraven på sidan 4. För denna uppgift kan matematiska symboler och representationer (se punkt 2 sidan 4) vara likhetstecken, beteckningar såsom f(x), f (x), f (6), termer såsom koordinater, tangent och x- axel samt hänvisning till tangentens
ekvation etc. +1 CK
Se avsnittet Bedömda elevlösningar.
14. Max 1/2/0
a) Godtagbar lösning med korrekt svar 2
2
x +1 EP
b) Godtagbar ansats, t.ex. skriver om uttrycket till
) 4 )(
4 ( 2
16
2 8 x x
x
x +1 CP
med i övrigt godtagbar lösning med korrekt svar
) 4 ( 2
4 x
x +1 CP
10
NpMa3c ht 2012
15. Max 0/0/1
Godtagbar lösning, där insikt visas om att problemet löses genom
direkt avläsning i graf, med korrekt svar ( 1) +1 APL
Se avsnittet Bedömda elevlösningar.
16. Max 0/2/2
Korrekt tecknad ändringskvot, h
x A h x
A )
( +1 CB
med korrekt förenkling av ändringskvoten, t.ex.
) (x h hx
Ah +1 CP
med korrekt bestämning av derivatan, ( ) 2 x x A
f +1 AB
Lösningen kommuniceras på A-nivå, se de allmänna kraven på sidan 4. För denna uppgift kan matematiska symboler och representationer (se punkt 2 sidan 4) vara likhetstecken, beteckningar såsom f(x), f (x), f(x h), korrekt användning av symbolen
lim0
h , bråkstreck och hänvisning till derivatans definition
etc. +1 AK
Se avsnittet Bedömda elevlösningar.
Del D
17. Max 2/0/0
Godtagbar ansats, t.ex. ritar graferna till derivatorna i ett och samma
koordinatsystem +1 EPL
med i övrigt godtagbar lösning med korrekt svar (x 0,75) +1 EPL
18. Max 1/1/0
a) Godtagbar lösning med godtagbart svar (K (30) 1700) +1 EB
b) Godtagbar tolkning (t.ex. ”Antalet kanadagäss ökar med 800 per år då t 20 år”) +1 CB Källa: Jägareförbundet (2009). Kanadagås, publ. 2009-09-21, (hämtat 2010-10-07),
http://www.jagareforbundet.se/Viltet/ViltVetande/Artpresentationer/Kanadagas/
Se avsnittet Bedömda elevlösningar.
11
NpMa3c ht 2012
19. Max 2/1/0
Godtagbar ansats, t.ex. ställer upp cosinussatsen med korrekt insatta värden +1 EM
med i övrigt godtagbar lösning med godtagbart svar (2900 m2) +1 EM
Lösningen kommuniceras på C-nivå, se de allmänna kraven på sidan 4. För
denna uppgift kan matematiska symboler och representationer (se punkt 2 sidan 4) vara likhetstecken, , beteckningar såsom cosv 0,178 och v 79,7 , hänvisning till cosinussatsen, areasatsen, Pythagoras sats etc. +1 CK
Se avsnittet Bedömda elevlösningar.
20. Max 2/3/0
a) Godtagbar inledning till resonemang, t.ex. ansätter x 1och y 2 +1 ER
med korrekt slutfört resonemang med korrekt svar (Nej) +1 ER
b) Godtagbar ansats, t.ex. tecknar (x 1)2 (y 0,5)2 +1 CPL
med i övrigt godtagbar lösning med godtagbart svar (5,5a.e.) +1 CPL
Lösningen (deluppgift a och b) kommuniceras på C-nivå, se de allmänna kraven på sidan 4. För denna uppgift kan matematiska symboler och representationer (se punkt 2 sidan 4) vara likhetstecken, , π , rottecken, VL, HL, parenteser,
hänvisning till cirkelns ekvation och termer såsom radie, omkrets, area etc. +1 CK
Se avsnittet Bedömda elevlösningar.
21. Max 1/2/1
a) Godtagbart svar som visar insikt om att villkoret F (x) f(x)
inte är uppfyllt, (t.ex. ”Nej, för om man deriverar F får man inte f.”) +1 ER
b) E C A
Troliggör för minst två special- fall att påståendet stämmer om
0 a eller
visar att påståen- det inte stämmer om a 0.
Troliggör för mer än två specialfall att påståendet stämmer om
0 a och
visar att påståen- det inte stämmer om a 0.
Visar att påståendet stämmer för alla 0
a och
visar att påståendet inte stämmer om 0
a .
1 CR 2 CR 2 CR och 1 AR
Se avsnittet Bedömda elevlösningar.
12
NpMa3c ht 2012
Forts. uppgift 21
Kommentar (införd 2013-02-08): Bedömningsanvisningen ovan utgår från att eleven utreder fallen a 0 och a 0 separat och sedan drar separata slutsatser om dessa. Om någon sam- manfattning av slutsatserna görs så är den av typen ”Det stämmer ibland” eller ”Det stämmer inte alltid.”
Om eleven istället visar att påståendet ”Grafen till f(x) x3 ax har tre olika nollställen om konstanten a 0” är falskt genom att t.ex. peka på att fallet a 0 strider mot påståendet, så ges två resonemangspoäng på C- och en resonemangspoäng på A-nivå.
22. Max 1/2/1
a) Godtagbar lösning med korrekt svar (95 ) +1 EM
b) Godtagbar lösning med godtagbart svar (3,8 %) +1 CM
c) E C A
Utvärderar Karolinas modell med ett enkelt omdöme.
Omdömet visar insikt om att Karoli- nas modell inte tar hänsyn till omgiv- ningens temperatur.
Utvärderar Karolinas modell med ett nyanserat omdöme.
Omdömet visar insikt om att Karoli- nas modell inte tar hänsyn till omgiv- ningens temperatur
och
hur denna brist påverkar modellens egenskaper.
1 CM 1 CM och 1 AM
Se avsnittet Bedömda elevlösningar.
23. Max 0/0/3
Korrekt tecknad funktion för produkten i två variabler, t.ex. D xy(y x) +1 AB
där en variabel eliminerats korrekt, t.ex. D x(8 x)(8 2x) +1 APL
med i övrigt godtagbar lösning, inklusive godtagbar verifiering av maximum,
med godtagbart svar (6,31 och 1,69) +1 APL
Kommentar: Observera att om eleven härlett funktionen D 2x3 24x2 64x erhålls maximum då x 1,7 och om eleven härlett funktionen D 2x3 24x2 64x erhålls maximum då x 6,3
Källa: Tichomirov, V.M. (1990). Stories about Maxima and Minima. Providence, R.I.: American Mathematical Society. Sid.37
Se avsnittet Bedömda elevlösningar.
13
NpMa3c ht 2012
24. Max 0/0/3
Godtagbar ansats, t.ex. förklarar att derivatan är en funktion av andra
graden som har en extrempunkt då x 4 +1 AR
med godtagbart slutfört resonemang med korrekt svar (På grund av symmetri
hos andragradsfunktionen måste f (6) f (2) 1) +1 AR
Lösningen kommuniceras på A-nivå, se de allmänna kraven på sidan 4. För
denna uppgift kan matematiska symboler och representationer (se punkt 2 sidan 4) vara likhetstecken, beteckningar såsom f(x), f (x), f (6) 1 och termer såsom symmetri, andragradsfunktion, tredjegradsfunktion, graf, derivata och en tydlig
figur med införda beteckningar etc. +1 AK
Kommentar: Även en algebraisk ansats som utgår från de givna villkoren och en generell tredjegradsfunktion (t.ex. f(x) ax3 bx2 cx d) och som leder till
sambanden 24a 2b 0 och 12a 4b c 1 ges den första poängen.
Se avsnittet Bedömda elevlösningar.
25. Max 0/1/3
E C A
Anger någon rele- vant egenskap hos minst en av mo- dellerna (summan el- ler integralen) som förklaring till skill- naden, t.ex. antyder att skillnaden har att göra med att mormor bara sätter in pengar ibland eller att hon inte sätter in pengar hela tiden.
Kopplar skillnaden till att de två modellerna (summan och integralen) baseras på en diskret respektive en kontinuerlig funktion, men ger ingen godtagbar förkla- ring till varför summan är större än integralen eller
diskuterar/visar att integra- len motsvarar arean under kurvan och att summan motsvarar arean av ett antal staplar.
Diskuterar/visar att integra- len motsvarar arean under kurvan och att summan motsvarar arean av ett antal staplar
och
förklarar varför summan blir större än integralen ge- nom att t.ex. hänvisa till en figur som visar hela tidspe- rioden där det framgår att arean under kurvan (inte- gralen) är mindre än den sammanlagda arean av de sex staplarna (summan).
1 CR 1 CR och 1 AR 1 CR och 2 AR
Lösningen kommuniceras på A-nivå, se de allmänna kraven på sidan 4. För
denna uppgift kan matematiska symboler och representationer (se punkt 2 sidan 4) vara integralbeteckningar, likhetstecken och termer såsom funktionsvärde, diskret och kontinuerlig funktion, area, summa och en tydlig figur över hela tidsperioden
etc. +1 AK
Se avsnittet Bedömda elevlösningar.
14
