INFÖR NATIONELLA PROVET

INFÖR NATIONELLA PROVET

Versionsdatum: 2015-05-04

NpMa3c Muntligt delprov – Del A ht 2012

NpMa3c Muntligt delprov – Del A ht 2012

NpMa3c Muntligt delprov – Del A ht 2012

NpMa3c Muntligt delprov – Del A ht 2012

E-prov Ma3c – Sida 1

Johan Falk

E-prov Ma3c – Sida 2

Johan Falk

E-prov Ma3c – Sida 3

Johan Falk

E-prov Ma3c – Sida 4

Johan Falk

E-prov Ma3c – Sida 5

Johan Falk

E-prov Ma3c – Sida 5

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

x y

Johan Falk

E-prov Ma3c – Sida 6

Johan Falk

E-prov Ma3c – Sida 7

Johan Falk

E-prov Ma3c – Sida 8

Johan Falk

E-prov Ma3c – Sida 9

Johan Falk

UPPGIFT 1

b b

b b

b b

b











Förenkla så långt som möjligt

b b 2

 5

2

 5

5 ,

 2

Ständigt återkommande uppgift!

UPPGIFT 2

4 1 5 5

    

5

UPPGIFT 3

6

UPPGIFT 4

3 2

: 4 2 D x  x

Ett polynom är ett matematiskt uttryck bestående av positiva heltalspotenser av

variabler och konstanter kombinerade genom enbart addition, subtraktion och

multiplikation. Exempelvis är x² - 4x + 5 ett polynom i variabeln x medan 1/x inte är det.

UPPGIFT 5

1 1

sin 30

2

      

 

30 eller

180 30 150

v v

 

    

30 eller 150 

UPPGIFT 6

  ³

' 12 6

f x  x 

 

' ^x

f x  e e

 

 

1

2 2

2 3

3 2

2 3 2 3

' 1

3 2 3 2

f x x x

f x x x



 

  

       

  ^{2 2 3}

' 3 2

f x   x^ 

UPPGIFT 7

C

Varför är C rätt svar?

UPPGIFT 8

4 x 

 

' f x

 

f x

2 x 4

  

Hur tror du att jag gjorde för att ta fram den blå funktionen [f(x)]?

UPPGIFT 9

y e x y ae ^x

UPPGIFT 10

e^0,001+7 = 8,00100050017

e^0,00000000001+7 = 8,00000000001

8 2

Sätt in större och större värden på x. Jag testade med x = 1000 och fick 1,99775379 och med x = 9000 och fick 1,999750047

FUNDERING

Kan du rita upp denna funktion i DESMOS?

  ^{3 4 2 6}

f x  x  x  x

FUNDERING

Vad heter tangenten till denna kurva i den punkt som har x-värdet = 3?

FUNDERING

Arean begränsas av kurvan och x-axeln mellan x-värdena Arean begränsas av kurvan och x-axeln mellan x-värdena

2 2

A B

1 3 x x

  

 

A

B

Vilken är summan av areorna A och B?

Vilken är integralens värde mellan -1 och 3?

UPPGIFT 11

0,6 0,6

0,6 v

UPPGIFT 12

   

2 2

2 3 2

1 1 1

3

3

3

6 6 2

2 2 2 6 2 1

3

1 1 4

x dx x

  x

 

       

 

     



UPPGIFT 12

14 ae.

   

2 2

2 3 2

1 1 1

3

3

3

6 6 2

2 2 2 6 2 1

3

1 1 4

x dx x

   x 

      

     



UPPGIFT 13

  ²

' 3 6

f x  x  x

  _{1 2}

' 0 0 och 2

f x   x x 

 

 

0 0

2 4

f f



 

   

Extrempunkter: 0,0 och 2, 4

UPPGIFT 13

  ²

' 3 6

f x  x  x Extrempunkter: 0,0 och 2, 4    

 

'' 6 6

f x  x 

 

 

'' 0 6 Maxpunkt '' 2 6 Minpunkt f

f  









Maxpunkt Minpunkt

UPPGIFT 14

 

' 10 3

f x  x 

10x  3 18  x 1,5

Sätta ihop funktioner

 

 

         

 

 

 

     

2 2

3 2

3 2

2

2

3 2 1 3

2

2 1

2 1

' 3 2

' 4 1

' 3

2

4

2

'

2

'

1

1 '

x x x x

f x x x g x x x

h x f x g x x x x

f x x g x x

h x x x

h x f x g

x x

x

x   x  

 

  

         

 

 

  

 

 

Från gammalt np i matte C

UPPGIFT 14

 

' 2 8

g x  x 

 

' 6 20 20

g   k

y kx m 

36 m  

 ^{6 62 8 6 84}

g    

Tangentens ekvation

20 36 y  x  6

84 36

20 x

y m

k

 

    

 

UPPGIFT 14

Tangentens ekvation

20 36 y  x 

0 20 36 0 20 36

36 1,8

20

y x

x

x x

   



  

Tangenten skär x-axeln vid: ^1,8;0

UPPGIFT 15

       

 

3 2 3 2

2 6 2 3

2 2

x x x x

x

x x

   

 

 



   

  ^{      }

2

2 2

4 4 4 4

8 16 4

2 32 2 16 2 4 4 2 4

x x x x

x x x

x x x x x

   

  

  

    

2

1,2

8 16 0

PQ-formel ger 4

x x

x

  

  ^{x2 8x 16 }  ^{x  4}  ^{x  4}

?

UPPGIFT 16

 

 

5 2

2 1

F F

 

  

UPPGIFT 16

 

 

5 2

2 1

F F

 

  

         

5 5

2 2

5 2 2 1 1

f x dx F x F F

 

           



UPPGIFT 17

    ^{A A}

f x h f x x h x

h h

    

   

 

A x h Ax

x x h x x h h

 

 

 

Ax Ax Ah x x h

h

 



 

  ¹  

1 Ah

x x h Ah Ah

h x x h h hx x h



     

 

 ^Ah  ^{2 Ah2}  ^2Ah  ^{2 A}

hx x h hx h x h x hx x hx

   

  

   

2 2

lim 0

A A

h x hx x

  

 

UPPGIFT 18

   

' '

2 5 10 14

12 5 14 12 9

9 12

3 eller 0,75 4

f x g x

x x

x x x

x x



   

 





 

   

' 2 5 ' 10 14 f x  x g x   x 

UPPGIFT 19

UPPGIFT 19 a)

26000 12000 14000 32 24 8 1750 k y

x

 

   

 

UPPGIFT 19 b)

Antalet kanadagäss ökar med 800 per år då t = 20

UPPGIFT 20

Vad vet vi?

Vad måste vi veta?

UPPGIFT 20

2 1002 852 2 100 8 o

70      5 c s A

A

4900 10000 7225 17000 cos    A 4900 17225 17000 cos   A

17000 cos A  12325 12325

cos 0,725

17000

A  

 

cos 1 0,725 A  ^

43,5 A  

UPPGIFT 20

A

43,5 A  

100 85 sin 43,5

T  2 



2926 m2

T 

0 2

29 0 m T 

sin 2

T bc A



2900 m2

T 

43,5

UPPGIFT 21

12 5

) (

' x  x⁴  f

0 )

(

' x  f

x x

f x

x

f ( )  9 ²  '( ) 18

3 2

2 2

)

(x   x^  e^

f f '(x)  x4 ^3 d)

Konstantens derivata = noll (0)!

UPPGIFT 22

2 % 6 st.

MATMAT03b

UPPGIFT 23

5 1 5

1

5) 25

(x 

5 1

 25 x

25

eln

e^x 

25

 ln x TESTA DINA SVAR!!

25^(1/5) = 1,90365393872… ln(25) = 3,21887582487…

UPPGIFT 24

0

3

 100 x  x

0 )

100

( x

 

x  x

 ⁰

0

2

 100  x

2

  100 x

Denna saknar reella lösningar!

MA1203 – UPPGIFT 6

MA1203 – UPPGIFT 6

MA1203 – UPPGIFT 6

9 12

3 )

(

' x  x²  x  A

0 9

12

3x²  x  

1 1

x x₂  3

MA1203 – UPPGIFT 6

 ) (x A

x x

x x

A( )  ³  6 ²  9 ) 9 6

( )

(x  x x²  x  A

) (x f y  x

9 6

)

(x  x²  x  f

MA1203 – UPPGIFT 7

1  0

x x₂  2

MA1203 – UPPGIFT 8

) 2 (

8 )

2 (

4

 

 x x

x x

x

) 2 (

8 4



 x x

x

) 2 (

) 2 (

4



 x x

x

x 4

MA1203 – UPPGIFT 9

) 2 (

) 2 (

2 )

2 (

8 )

2 (

4



 

 

 x x

x x x

x x

x

x

x x

x x

x

x 8 2 ( 2) 4 8 2 4

4       ² 

0 8

8

2x²  x   0 4

2  x4  

x

MA1203 – UPPGIFT 9

0 4

2  x4  

x

4 4

2  

 x

2

2

,

1



x

Uttrycket är inte definierat för x = 2. Detta innebär att ekvationen saknar reella lösningar.

(Se uppgift 7)

MA1203 – UPPGIFT 10

MA1203 – UPPGIFT 10

Grupp A = n st.

Grupp B = 2n st.

2 2

) 1

(n n² n A  n   

2 2 4

2

) 1 2

(

2n n n² n

B 

 



Differensen = D ( B – A )

2 2

2

4n² n n² n

D 

 



2 ) (

2

) 2 4

( n² n n² n

D    

MA1203 – UPPGIFT 10

Differensen = D ( B – A )

2 ) (

2

) 2 4

( n² n n² n

D 

 



2

) 2

4

( n² n n² n

D   



2 ) 3

( n² n

D 



2 3n² n D  

Svar: Differensen mellan grupp A och grupp B är:

2 3n² n

MA1203 – UPPGIFT 11

MA1203 – UPPGIFT 11

MA1203 – UPPGIFT 12

2 , 1 8 ,

100

4 ,

2  ^



y 2,4 × 10^(0,8 × 1,2) = 21,8882601445…

9 ,

 21 y

a)

Svar: C:a 22 kg

MA1203 – UPPGIFT 12

x 8 ,

100

4 , 2 32  

b)

x 8 ,

100

4 ,

232 





4 lg , 2

lg 32  



 





x 8 , 4 0

, 2

lg 32  



 





MA1203 – UPPGIFT 12

b) 0,8x

4 , 2

lg 32  



 



  x



 



 8 , 0

4 , 2 lg 32

(lg(32/2,4))/(0,8) = 1,40617342076 Svar: C:a 1,4 m

MA1203 – UPPGIFT 13

MA1203 – UPPGIFT 13

58700 58713,6

5 293568 2001

2006

159108

452676   





MA1203 – UPPGIFT 14

Vad heter denna linje?

MA1203 – UPPGIFT 14

2

3

3

)

(

f

 

x x

x

f

' ( )  3

 6

9 )

1 (

6 )

1 (

3 )

1 (

'   

  

9 )

3 ( 6 )

3 ( 3 )

3 (

' 

 

f ^Parallella

MA1203 – UPPGIFT 15

Exempelvis…

e x

x

f ( )  20

MA1203 – UPPGIFT 15b

Sök en andragradsfunktion f som uppfyller villkoret: f’(4) = 1

 

 

 

 

2

2

2 2 2

2 3

2

f x kx m f x x

F x x x C

F x x x

 

 

  

  

 

 

 

2

2 3

' 2 3 3

2

' 4 4 1

3

3 f x x x

f x x x

f

 

  

 







Testar: Modifierar:

MA1203 – UPPGIFT 16

ax

C y   49

, 2 23

, 1 23

, 1 49

,

2   a⁷   a⁷  23

, 1

49 ,

7  2 a

1,106 23

, 1

49 ,

2 ⁷¹



 



 



  a

a (2,49/1,23)^(1/7) = 1,10600303667…

Svar: C:a 10,6%

MA1203 – UPPGIFT 17

16 840

4 )

(

' x  x

 x  f

16 16

840

4 x

 x   0

840

4 x

 x 

0 )

840 4

( x

  x

1

 0

x

MA1203 – UPPGIFT 17

840 4

0 840

4 x

   x

 x

 0

2

 210

x x

  210

Svar: 3 punkter

MA1203 – UPPGIFT 18

Varför har Sven fel?

MA1203 – UPPGIFT 18b

 

 

 

3 2

2

' 6 12 2

'' 1

6 2

1

1

2 2

2

f x x x

f x

x x

x

x f

x

  



 



 

MA1203 – UPPGIFT 18b

 

 

 

3 2

2

' 6 12 2

'' 1

6 2

1

1

2 2

2

f x x x

f x

x x

x

x f

x

 





 



 

MA1203 – UPPGIFT 18b

 

 

 

3 2

2

' 6 12 2

'' 1

6 2

1

1

2 2

2

f x x x

f x

x x

x

x f

x

 





 



 

MA1203 – UPPGIFT 18c

 

 

2 3

2 2

f x x

g x x

 

 

För vilket värde på x har dessa båda grafer samma lutning?

 

 

' 2

' 2

f x x

g x



 ^{f x'}

 

 

Testar:

 

 

' 1 2 1 2 ' 1 2

f g

  



MA1203 – UPPGIFT 19

Polynomfunktioner

Rektangeln i figuren har sidorna 16 cm och 12 cm.

A

Denna uppgift skall leda fram till att vi tar reda på det värde på x ^som

ger minsta möjliga värde på arean A^.

Polynomfunktioner

Bestäm arean (A) av den grå triangeln som en funktion av x.

A

Rektangeln i figuren har sidorna 16 cm och 12 cm.

Polynomfunktioner

Bestäm arean (A) av den grå triangeln som en funktion av x.

Jag inför beteckningar för de 3 vita trianglarna:

I

II

III

I:

II:

III:

x x

x 96 8

2 16 192

2

) 12

(

16     

2 2

2 8 2 16

2

) 2 16

( x x x x x

x   

 



x x

x 12

2 24 2

2

12  

A

Polynomfunktioner

Arean (A) av den grå triangeln:

I

II

III

I:

II:

III:

x 8 96 8x  x2

x 12

) 12 ( ) 8

( ) 8 96

(

192 x x x² x

A      

x x

x x

A 19296 8 8  ² 12 x

x

A  96 ² 12 96

2 12 

 x x

A

A

Polynomfunktioner

Definitionsmängden för arean (A) är:

I

II

III

I:

II:

III:

x 8 96 8x  x2

x 12

96

2 12 

 x x

A

8 0  x 

Variabeln x måste ligga mellan 0 och 8. Varför?

A

Polynomfunktioner

För vilket värde på x blir den grå triangelarean den minsta möjliga? Börja med att derivera A!

I

II

III

96

2

 12 

 x x

A

A

A ´  x 2  12

0 12

2 0

´   x   A

6 12

2   

 x x

Svar: När x = 6 så har den grå arean minsta möjliga värde.

Polynomfunktioner

Kontrollerar med graf:

I

II

III

A  x

 12 x  96

A

Definitionsmängd Minsta area

x-värde vid minsta area

Potenslagarna

Definitioner

0  1 a

x x

a a 1

 

 0 a

ETT GENOM

Definitioner

a a

a

a )

   (

 0

a

Absolutbelopp

Absolutbeloppet, eller absolutvärdet av ett tal x betecknas |x|

och är ett positivt reellt tal eller noll och kan ges den

geometriska tolkningen som ett tals avstånd till origo eller 0- punkten i det fall talet kan representeras på tallinjen.

Källa: http://sv.wikipedia.org/wiki/Absolutbelopp

Absolutbelopp

y  x

ANDRAGRADSEKVATIONER

0 8

+ 6x -

x²  x ²





 0

p q

x p  



 



 





2

2 2

Halva koefficienten för x med ombytt tecken

X = Kvadraten på halva

koefficienten för x

Konstanta termen med ombytt tecken Lösningsformeln

SKRIV DETTA MED DINA EGNA ORD!

ANDRAGRADSEKVATIONER

8 + 6x -

x

y  ² x²

 x 6  8  0

2 8 6 2

6 ²

 



 



 



 x

 

3 ² 

 x

8 9

3 

 x

1 3

 x

1 3 



x₁  3 1  2 x₂  31  4 x

8 + 3 6 - 3

y  ² 

-1 8

+ 8 1 - 9

y  

Minimipunkt (3,1)

Symmetrilinje

Andragradspolynom

) )(

( )

( x k x a x b

p   

a och b är polynomets nollställen

) 4 )(

2 (

)

( x  k x  x 

p

Andragradspolynom

0 8

2

 x 6  

2 1

1  3 

x

4 1

2  3 

x

) 4 )(

2 (

)

( x  x  x  f

x

 4 x  2 x  8

0 8

2  x 6  

x

RÄKNING MED POLYNOM

(8 + 2x) + (3 – 4x) = 8 + 2x +3 – 4x = 11 – 2x

(8 + 2x) – (+3 – 4x) = 8 + 2x – 3 + 4x = 5 + 6x

ARBETA NEDÅT!!

KVADRERINGSREGLERNA

(a + b)

= a

+ 2ab + b

(a - b)

= a

- 2ab + b

1:a kvadreringsregeln

2:a kvadreringsregeln

KONJUGATREGELN

(a + b)(a - b) = a

– b

(2x + 3)(2x - 3) = 4x

– 9

(2x)

–3

= 4x

- 9

RATIONELLA UTTRYCK

För vilka variabelvärden är uttrycket inte definierat?

0 12

10

2x²  x   0 6

2  x5  

x

2 6 5 2

5 ²

 



 



 



 x

4 1 25 



 x

2 1 25 



 x

2 3 6 2

1 2

5

1       

x

2 2 4 2

1 2

5

2       

x

Svar: Ej definierat för x = -2 och x = -3

VARNING!!

OBS!!

BRYT UT -1

FUNKTIONER

DEFINITIONSMÄNGD

VÄRDEMÄNGD

RÄTA LINJENS EKVATION

x

y  0 , 3

RÄTA LINJENS EKVATION

m = 1

RÄTA LINJENS EKVATION

m = 6

RÄTA LINJENS EKVATION

RÄTA LINJENS EKVATION

m kx

y  

1 2 

 x

y

ANDRAGRADSEKVATIONER

11 +

6x -

x ² x² - 6x + 9 x² - 6x +8

Inget nollställe Ett nollställe Två nollställen

0 0 0

NOLLSTÄLLE ÄR DETSAMMA SOM SKÄRNINGSPUNKT MED X-AXELN

ANDRAGRADSEKVATIONER

2 - 2x -

x² - x² - 2x  2

0 2

- 2x -

x²  - x² - 2x  2  0

NOLLSTÄLLEN

EXPONETIALFUNKTIONER &

POTENSFUNKTIONER