INFÖR NATIONELLA PROVET
NpMa2b Muntlig del vt 2012
NpMa2b Muntlig del vt 2012
NpMa2b Muntlig del vt 2012
NpMa2b Muntlig del vt 2012
MATMAT02b – UPPGIFT 0
b b
b b
b b
b
Förenkla så långt som möjligt
b b 2
5
2
5
5 ,
2
MATMAT02b – UPPGIFT 1
KON TRO LLE RA DIT T SV AR!
MATMAT02b – UPPGIFT 1
MATMAT02b – UPPGIFT 2
3 42 3
3
x
MATMAT02b – UPPGIFT 2
3 42 3
3
x
KON TRO LLE RA DIT T SV AR!
MATMAT02b – UPPGIFT 3
MATMAT02b – UPPGIFT 3
MATMAT02b – UPPGIFT 4
MATMAT02b – UPPGIFT 4
MATMAT02b – UPPGIFT 4
MATMAT02b – UPPGIFT 5
2 2
2
2
)
( a b a ab b
Andra kvadreringsregeln:
MATMAT02b – UPPGIFT 6
5 4
x y
) 1 ,
1 (
4
1
MATMAT02b – UPPGIFT 7
MATMAT02b – UPPGIFT 7
MATMAT02b – UPPGIFT 8
MATMAT02b – UPPGIFT 8
(Transversalsatsen)
MATMAT02b – UPPGIFT 8
MATMAT02b – UPPGIFT 9
RÄTT!
3 6 2 x x
Vid multiplikation och division med negativt tal (ex. -2) måste man vända på olikhetstecknet
MATMAT02b – UPPGIFT 10
x
104 144
x
= 104
-
144
40
=
x
MATMAT02b – UPPGIFT 10
y x
z
YTTERVINKELSATSEN
MATMAT02b – UPPGIFT 10
180 180 z
x
v v y
YTTERVINKELSATSEN
v
y x
z
MATMAT02b – UPPGIFT 11
MATMAT02b – UPPGIFT 11
m = 3 k = -2
y = -2x + 3
Hur ser man att k = -2 ?
MATMAT02b – UPPGIFT 12
- 4
4 3
x
3
y
1
MATMAT02b – UPPGIFT 12
MATMAT02b – UPPGIFT 13
MATMAT02b – UPPGIFT 13
3 6
2
x y
6 y
4
x
y
MATMAT02b – UPPGIFT 14
MATMAT02b – UPPGIFT 15
- 4
4 3
x y
VAD HETER DENNA LINJE?
MATMAT02b – UPPGIFT 15
- 4
4 3
x y
VILKET FÖRHÅLLANDE RÅDER MELLAN Y OCH X?
MATMAT02b – UPPGIFT 15
- 4
4 3
x y
HUR BEROR Y AV X?
MATMAT02b – UPPGIFT 16
4
a
MATMAT02b – UPPGIFT 17
20°
20°
70°
Vinkeln A = 70°
Vinkeln B = (30 + 20)° = 50°
Vinkeln C = 180° - (70 + 50)° = 180° - 120° = 60°
MATMAT02b – UPPGIFT 17
Vinkeln A = 70°
Vinkeln B = (30 + 20)° = 50°
Vinkeln C = 180° - (70 + 50)° = 180° - 120° = 60°
70°
50°
60°
MATMAT02b – UPPGIFT 18
24
OBS!
MATMAT02b – UPPGIFT 18
Hur mycket är y?
Punktens koordinater är 10,7;21,4
MATMAT02b – UPPGIFT 19
MATMAT02b – UPPGIFT 20
MATMAT02b – UPPGIFT 21
3 2
x y
3 )
4 (
2
y
3 8
y
11
y
MATMAT02b – UPPGIFT 22
90 2 2
180 v v
p
p
90
xv x 2
2 2
2
v x
x v 2
MÅSTE VARA SAMMA TAL
MATMAT02b – UPPGIFT 22
Glenys Minier, 2014-05-06
90 180 180 2
x v
90 180 180 0 2
x v
90 180 90 0 2 x v
2 0 x v
2 x v
2 2v 2
x
2x v v.s.v Alternativ lösning
MATMAT02b – UPPGIFT 23
2 2
2 2
)
( a b a ab b
2 2
2 2
)
( a b a ab b
KVADRERINGSREGLERNA
MATMAT02b – UPPGIFT 23
2 2
2
2
)
( a b a ab b
KVADRERINGSREGLERNA
MATMAT02b – UPPGIFT 24
2
) 2
)(
( a b a b a b
KONJUGATREGELN
MATMAT02b – UPPGIFT 25
MATMAT02b – UPPGIFT 25
36 1 6
1 6
1 ETTA - ETTA
36 1 6
1 6
1
TVÅA - ETTA
36 1 6
1 6
1
ETTA - TVÅA
12 1 363
12 ) 1 a
11 )
1 (
11 )
b 1(10) 1 9
jämför
MATMAT02b – UPPGIFT 26
En tråd som är 48 cm böjs till en rektangel.
a) Den ena sidan är x cm. Skriv ett uttryck för den andra sidan.
•Hela omkretsen är 48 cm.
•Halva omkretsen är 24 cm.
•Om ena sidan är x cm, så är den andra sidan…
•… (24 – x) cm
(24 – x)
MATMAT02b – UPPGIFT 26
En tråd som är 48 cm böjs till en rektangel.
b) Skriv ett uttryck för arean y cm².
(24 – x)
) 24
( x
x
y 24 x x
2y
Sidan × sidan
MATMAT02b – UPPGIFT 26
En tråd som är 48 cm böjs till en rektangel.
c) För vilka värden på x är y = 0?
(24 – x)
0 24 x x
2
0 )
24
( x x
1
0 x
2
24 x
”Nollproduktmetoden”
d) För vilket värde på x är y störst?
12
x
MATMAT02b – UPPGIFT 26
En tråd som är 48 cm böjs till en rektangel.
e) Vilken är den största arean?
(24 – x)
144 144
288 12
12
24
2
Största arean är 144 cm²
24 x x
2y
MATMAT02b – UPPGIFT 26
En tråd som är 48 cm böjs till en rektangel.
f) Vilka värden på x är möjliga?
(24 – x)
24
0 x
MATMAT02b – UPPGIFT 26
En tråd som är 48 cm böjs till en rektangel.
(24 – x)
1 0
x xsym 12 x2 24
max 144 y
6 12
24x x2
y
MATMAT02b – UPPGIFT 27
VAD HETER DENNA LINJE?
MATMAT02b – UPPGIFT 28
VAD HETER DENNA LINJE?
EXPONENTIALFUNKTIONER
a x
C x
f ( )
C är ”startvärde”
a är förändringsfaktor
x kan exempelvis vara tid i år
Bok 3bc, sidan 132
EXPONENTIALFUNKTIONER
ax
C x
f ( )
Fråga:
En stad har folkmängden 50 000 invånare. Folkmängden förväntas öka med 2% varje år. Hur många bor det i staden efter 10 år?
02
10, 1 50000
y
Lösning:
Vi sätter folkmängden efter 10 år till y och får då:
1,22 50000
y
61000
y
Svar:
Om 10 år är folkmängden 61 000.
C är ”startvärde”
a är förändringsfaktor
x kan exempelvis vara tid i år
EXPONENTIALFUNKTIONER
ax
C x
f ( )
Fråga:
En stad har folkmängden 50 000 invånare. Folkmängden förväntas minska med 2% varje år. Hur många bor det i staden efter 10 år?
98
10, 0 50000
y
Lösning:
Vi sätter folkmängden efter 10 år till y och får då:
0,8170...
50000
y
444...
40853,6403
y
Svar:
Om 10 år är folkmängden c:a 41 000.
C är ”startvärde”
a är förändringsfaktor
x kan exempelvis vara tid i år
Exponentialfunktioner
a x
C x
f ( x ) x f ( ) 5 0 , 7
Vad vet vi om C?
Vad vet vi om a?
Exponentialfunktioner
a x
C x
f ( x ) x f ( ) 1 1 , 2
Vad vet vi om C?
Vad vet vi om a?
Exponentialfunktioner
x x
f ( ) 1 , 2
PARALLELLA LINJER
66
Vad heter dessa linjer?
2 5 y x
2
y x
VINKELRÄTA LINJER
2 1
1
x
y
1 2 y x
Om man multiplicerar k-värdena för två vinkelräta linjer får man alltid produkten -1
1 2)
( 1
2
67
LINJÄRA EKVATIONSSYSTEM
Y=2x+
2
Y=-x-1
VAD MENAS MED EN LÖSNING?Svar: x = -1, y = 0
•
68
LINJÄRA EKVATIONSSYSTEM
Y=2x+
2
Y=-x-1
•
1 2 2
x y
x y
0
1 y
x
69
1 2 2
x y
x y
0
1
yx
Vi testar om lösningen är exakt:
0 2
) 1 (
2
Första ekvationen
0 1
) 1
(
Andra ekvationen
Det stämmer! Hurra!
Om lösningen stämmer i båda ekvationerna så är lösningen exakt.
70
LINJÄRA EKVATIONSSYSTEM
71
LINJÄRA EKVATIONSSYSTEM
f(x)=2x-3 f(x)=-x+3
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
x y
72
LINJÄRA EKVATIONSSYSTEM
f(x)=2x+6 f(x)=-x+3
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
x y
73
LINJÄRA EKVATIONSSYSTEM
f(x)=x-7 f(x)=-x+3
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
x y
Logaritmer
Logaritmer
7 10 x
”x är 10-logaritmen för 7”
5 8 x
”x är 8-logaritmen för 5”
Logaritmer
7 10 10 lg x 7 7
845 ,
0 7
lg
7 10 0 , 845
Enligt
räknaren…
Logaritmer
(1) lg 3 4
lg 3 lg 4(1) lg(3×4) = 1,07918124605 --- lg(3)+lg(4) = 1,07918124605 [test]
(2) lg(4 / 3) lg 4 lg3
(2) lg(4/3) = 0,124938736608 --- lg(4)-lg(3) = 0,124938736608 [test]
(3) lg34 4lg3
(3) lg(3^4) = 1,90848501888 --- 4×lg(3) = 1,90848501888 [test]
Logaritmlagar
5 3 lg 5
lg 3
Exempel:
TESTA!
Logaritmlagar
3 lg 5
lg )
3 5
lg(
Exempel:
TESTA!
Logaritmlagar
3 lg 5
3 lg
lg 5
Exempel:
TESTA!
Logaritmer med olika baser
81
3
4
4 log3 814 är 3-logaritmen för 81
4 är den exponent till 3 som ger 81
4 är vad 3 skall upphöjas till för att ge svaret 81
7
x 17
Logariter – ett exempel
7
g 7 1
l
x lg
lg 7 lg17 x
lg 7
lg 7 l
lg 7 g17 x
lg 7
lg 7 l
lg 7 g17 x
lg1
g 7 7 x l
1, 45598364109...
x
På räknaren: lg(17)/lg(7) = 1,45598364109
Logaritmer – ett exempel
Logaritmer – ett exempel
lg17 17
Är och lg samma sak?
lg 7 7
x
Hur kan man kontrollera det?
Negativ exponent
Youtube - Negativ exponent
Negativ exponent
10 = 10003
10 = 100
210 = 10
110 = 10
1
1
10 = 0,1 1
10
2
2
1 1
10 = 0,01
10 100
3
3
1 1
10 = 0,001
10 1000
Typvärde
Typvärde (kallas även modalvärde) i ett
statistiskt datamaterial det värde som
förekommer flest gånger.
Medelvärde
Ett medelvärde är ett värde som används för att representera ett genomsnitt för en mängd
värden.
1 , 7 6
8 7
4 9
8 5
2
M
På räknaren slår man (2+5+8+9+4+7+8)/7 = 6,14285714286…
MEDIAN
Medianen är det tal i en mängd som
storleksmässigt ligger i mitten. Av talen
1, 7, 9, 10 och 17 är9 medianen (medan 8,8 är medelvärdet). För
mängder med ett jämnt antal tal definieras
medianen som medelvärdet av de två tal som
ligger i mitten.
MEDIAN
Följande värden är givna:
6 7 0 4 12
7 18 2 2
Bestäm medianen
4 2 0 2 6 7 7 12 18
Svar: Medianen till dessa tal är 6
MEDIAN
Följande värden är givna:
7 0 4 12
7 18 2 2
Bestäm medianen
4 2 0 2 7 7 12 18
Svar: Medianen till dessa tal är 4,5 5
, 2 4
7 2
4,5?
Variationsbredd
Variationsbredd är:
”Det största värdet minus det minsta värdet.”
Exempel:
Värden: 10, 12, 15, 15, 17, 18, 20, 21, 21, 23, 30 och 39.
Variationsbredd: 39 – 10 = 29
Lådagram
Lådagram, låddiagram eller boxplot är ett
diagram där ett statistiskt material åskådliggörs i form av en låda, som rymmer den mittersta
hälften av materialet.
25% 25% 25% 25%
Lägsta värde Högsta värde
Median
Nedre kvartil Övre kvartil
Q1 Q3
Lådagram – ett exempel
Exempel på ett lådagram, som visar åldern på tolv personer som är 10, 12, 15, 15, 17, 18, 20, 21, 21, 23, 30 och 39 år gamla:
Q
1= 15, Q
2= 19 (median) & Q
3= 22
Lådagram – ett exempel
Dilbar Keram, 2014- 12-16
STANDARDAVVIKELSE
Provresultat: 78p, 78p, 68p, 35p, 80p, 74p & 21p
78 78 68 35 80 74 21 7 62
x
Medelvärde
(78+78+68+35+80+74+21)/7 = 62 På
räknaren:
78-62 = 16 78-62 =
16 68-62 =
6 35-62 =
-27 80-62 =
18 74-62 =
12 21-62 =
-41
(16)² = 256 (16)² = 256 (6)² = 36 (-27)² = 729 (18)² = 324 (12)² = 144 (-41)² =
256+256+36+729+324+144+1681 = 34261681
3426/(7-1) = 571
571 23,9 23,9
STANDARDAVVIKELSE
1. Beräkna medelvärdet
2. Beräkna differensen mellan alla värden och medelvärdet 3. Kvadrera alla svar i (2)
4. Summera alla svar i (3)
5. Dividera summan i (4) med 1 mindre än antalet värden 6. Dra roten ur…
Nu har du standardavvikelsen…
Från formelbladet:
STANDARDAVVIKELSE
1. Beräkna medelvärdet
2. Beräkna differensen mellan alla värden och medelvärdet 3. Kvadrera alla svar i (2)
4. Summera alla svar i (3)
5. Dividera summan i (4) med 1 mindre än antalet värden 6. Dra roten ur…
Nu har du standardavvikelsen…
Vilken är standardavvikelsen till följande talmängd?
12, 19, 22, 17, 14, 23 & 20
4,059087395... 4,1
STANDARDAVVIKELSE
2 2 2 2 2 2 2
(78 62) (78 62) (68 62) (35 62) (80 62) (74 62) (21 62) (7 1)
2 2 2 2
1 2 3
( ) ( ) ( ) ... ( )
1
x x x x x x xn x
n
23,9
2 1
( )
1
n k k
x x
n
I formelsamlingen ser standardavvikelsen ut så här Provresultat: 78p, 78p, 68p, 35p, 80p, 74p & 21p
Normalfördelning
μ = medelvärde, σ = standardavvikelse
= medelvärde, s = x standardavvikelse
MODELLERING – ETT EXEMPEL
-2 -1 1 2 3 4 5 6 7
-2 -1 1 2 3 4 5 6 7
x y
MODELLERING – ETT EXEMPEL
-2 -1 1 2 3 4 5 6 7
-2 -1 1 2 3 4 5 6 7
x y
