Logik och deduktiv matematik 1 Inledning
En stor svårighet för många studenter som studerar matematik på universitets- eller högskolenivå är att komma in i det akademiska sättet att betrakta och behandla matematik. Det är mycket som skiljer gymnasiets matematikböcker och universitetets åt. En del skillnader är språkliga, vissa mer eller mindre vanliga ord ges i universitetslitteraturen en kulturell innebörd som i några fall skiljer sig från den vardagliga, i andra ges en bestämd innebörd utvald bland flera möjliga.
Några av dessa ord skall behandlas här. En del av skillnaderna ligger i att de matematiska ordens innebörd i långt högre grad preciseras så noggrant som möjligt och att läsaren förväntas ha denna precision i sin tolkning av begreppen. Den matematiska texten tenderar att bli obegriplig för den som inte har alla tidigare behandlade begrepp klara för sig.
Men den största skillnaden ligger förmodligen i textens innehåll och omfattning. I läroböcker i matematik på universitetsnivå är det generella resonemanget i centrum. Detta är uppbyggt kring:
begreppen Axiom, Definition, Sats och Bevis och är väldigt ofta algebraiskt till sin natur. Alge- bran i bevisen ställer speciella krav på läsaren och kan innebära ett hinder för några, men är tyvärr oftast ofrånkomlig. Till skillnad från metoder, som ofta kan presenteras med hjälp av kon- kreta exempel, kräver resonemang nästan alltid algebraiska argument. Denna aspekt av algebra skall emellertid inte behandlas här. Det viktigaste syftet med denna text är därför att ge svar på frågor som: Vad är ett axiom? Vad är en definition? Vad är en sats? Vilken är skillnaden? Vilka resonemang är tillåtna i bevis? Hur vet man när ett bevis är klart? Vad får man lov att utgå från i ett bevis?
Jag skall också försöka förklara varför universitetsmatematiken byggs upp på detta sätt. Detta i syfte att motivera studenter att studera matematik på ett sätt som passar litteratur och undervis- ning.
Det finns huvudsakligen två skäl till att matematiken presenteras så som är brukligt. Ett är histo- riskt, det andra didaktiskt/pedagogiskt. Vi skall först se lite på det historiska skälet och vänder oss därför i nästa avsnitt till mänsklighetens matematiska gryning.
1.1 En liten historisk återblick
Vi har alla lärt oss i skolan att summan av kvadraterna på en rätvinklig triangels kateter är lika med kvadraten på triangelns hypotenusa. Detta samband känner vi som Pythagoras sats. Som väl många vet levde Pythagoras i Grekland för ungefär 2500 år sedan. Vad färre vet, är att sambandet var känt av babylonierna redan för ca 4000 år sedan. Det finns bl.a. en lertavla bevarad från den tiden där man ritat en kvadrat och med kilskrift angivit såväl sidornas som diagonalernas längder. För sidlängden 1 anges diagonalen till ett tal som oerhört väl överensstämmer med√
2.
Skriver man det angivna talet som vi, decimalt, är de fem första decimalerna korrekta. Det finns andra tavlor där Pythagoras sats användes vid problemlösning. Men, det finns ingen tavla där
satsen formulerats, än mindre något resonemang som visar hur de kom till insikt att satsen är allmängiltig.
Den typ av resonemang som genomsyrar nutida matematik introducerades av vad vi kan kalla den förste (kände) matematikern, Thales från Miletos, runt 600-550 f.v.t. Thales stora bidrag till mänskligheten var att han, utgående från babyloniernas kunskaper och egyptiernas praktiska verktygsmatematik, lade grunden till en systematiskt uppbyggd geometri där generella slutsatser motiverades med ett logiskt resonemang. Detta arbete fortsattes av Pythagoras och andra efter- följare för att sedan fulländas av Euklides omkring 300 f.v.t. Det är först genom Euklides arbeten vi lärt känna den antika matematiken, äldre arbeten har gått förlorade och vi får förlita oss till vad dåtidens historiker har skrivit om dessa arbeten.
Euklides stora verk, Elementa, bestod av tretton böcker. Dessa böckers påverkan på, framförallt, den västerländska matematiken kan förmodligen inte överskattas. Redan på första bokens första sidor ger Euklides en lista med definitioner. Med nutida krav duger de inte alla som definitioner utan kan ses mer som ett sätt att få läsaren att förstå hur författaren uppfattade begreppen. Med Euklides ord är en punkt ”det som inte har några delar”. Han definierade på liknande sätt linjer och plan och avslutade med att definiera parallella linjer som ”räta linjer i ett plan vilka, då de dras ut obegränsat i båda riktningarna, inte möts.”.
Efter definitionerna följde en lista av principer som låg till grund för resonemangen, bevisen, i böckerna. Dessa principer kallade Euklides postulat. De beskrev egenskaper hos punkter och linjer, egenskaper som inte bevisades eller kunde bevisas. Kanske uppfattades postulaten som självklara sanningar. Av skäl som framgår nedan är inställningen till dessa postulat numera en annan.
Några av postulaten var : ”genom varje par av punkter kan dras exakt en rät linje” och ”om två linjer skärs av en tredje linje och de två inre vinklarna på denna linjes ena sida har en summa mindre än två räta vinklar så skär de två linjerna varandra i en punkt belägen på samma sida om den tredje linjen som de två vinklarna vars summa är mindre än två räta vinklar.”.
Det sista postulatet ovan, parallellpostulatet, ges ofta en likvärdig formulering Givet en linje och en punkt som inte ligger på denna linje, finns genom den givna punkten exakt en linje parallell med den givna linjen.
Ända fram till modern tid, under mer än 2000 år, ansågs att detta postulat borde vara möjligt att bevisa utgående från de mer primitiva egenskaperna. Många försökte finna beviset och bl.a. den- na strävan förde matematiken framåt. Från Babylons storhetstid och fram till Thales och Euklides skedde inte mycket av matematiskt intresse, därefter utvecklades mänsklighetens geometrikun- skaper oerhört mycket och kunskapen spreds över allt större delar av världen.
Först under 1800-talet insåg matematiker att Euklides parallellpostulat kunde ersättas av andra postulat, såsom: Givet en linje och en punkt som inte ligger på denna linje, finns genom den givna punkten oändligt många linjer parallella med den givna linjen. Detta motsäger uppenbarligen Euklides postulat. Dessa alternativa postulat ger andra typer av geometriteori. Det största värdet i detta arbete ligger kanske i att det också ledde till insikten att euklidisk geometri ger oss ett av
flera möjliga sätt att uppfatta verkligheten. Man kan säga att Newtons mekanik hänger samman med euklidisk geometri, Einstein relativitetsteori hänger samman med icke-euklidisk geometri.
I och med denna förändrade syn på geometrin fick man också en förändrad syn på de grund- läggande begreppen i matematiken. Begreppen ses inte längre som något som finns i en konkret mening. Vi kan inte heller vända oss till verkligheten för att få argument för matematiska san- ningar. Resonemangen blev istället ungefär som så: Antag att vi har objekt av följande typ och som har följande egenskaper. Då kan vi dra följande generella slutsatser om dessa objekt.
1.2 Didaktiska slutsatser.
En slutsats vi kan dra av historien är: genom att bygga matematiken på klara definitioner och precisera de grundläggande spelreglerna, axiomen, kan vi argumentera på ett logiskt sätt för vissa bestämda slutsatser. Detta möjliggör att kunskaper förs vidare på ett sådant sätt att den som lärt sedan kan utveckla ny kunskap.
En annan slutsats är att då definitioner och grundläggande spelregler preciserats kan den som önskar tillämpa matematik pröva dessa mot den verklighet där matematiken skall användas.
Tillämparen kan fråga sig om begrepp och axiom passar som matematisk modell för det som studeras.
Genom att satser formulerats och bevisats kan tillämparen också pröva om det är rimligt att anta det som studeras uppfyller de krav som ställs i satserna och därigenom undvika att dra felaktiga slutsatser om ”verkligheten”.
Men det är också så att resonemang och bevis dels gör begreppen tydligare dels kan ge oss det sammanhang vi behöver för att kunna lära mer. Låt mig förtydliga.
Det skolan, från förskola till universitet och högskola, kan ge i matematik är:
• Fakta
• Färdigheter
• Begrepp
• Begreppsliga strukturer
• Generella strategier
• Attityder till matematik
• Värdering av matematik
Med fakta menas det man måste ”plugga in”. Additionstabeller, multiplikationstabeller, Pytha- goras sats, att 3x betyder 3 · x och att 2 · 3 + 4 beräknas genom att 2 och 3 multipliceras först och 4 adderas till produkten men att 2 · (3 + 4) betyder att additionen 3+4 skall utföras först. Att derivatan av cos(x) är − sin(x).
Med färdigheter menas förmåga att genomföra väldefinierade flerstegs procedurer. Denna för- måga övar man oftast upp genom att följa givna exempel och upprepa proceduren. Brister i färdigheter orsakas ofta i bristande insikt i varför proceduren ser ut som den gör. Betrakta till exempel addition av tvåsiffriga tal genom uppställning. Det är en färdighet som utnyttjar fak- takunskapen addition av ental. Den som inte vet varför man måste använda ”minnessiffra” kan
lätt komma fram till att 17 + 34 = 411. Ett annat exempel ges av derivering. Att kunna deri- vera x2 · cos(2x) är en färdighet som kräver flera faktakunskaper om derivering: kedjeregeln, produktregeln, de elementära funktionernas derivator.
Vad som är faktakunskap respektive färdighet är glidande. En del kan t.ex. formeln cos(a + b) = cos(a) cos(b) − sin(a) sin(b)
utantill, detta är naturligtvis faktakunskap. Andra har färdigheten att snabbt kunna härleda for- meln vid behov. Ytterligare en del har både faktakunskapen och färdigheten.
Ett begrepp är en mängd av objekt, eller en egenskap, av en viss typ.
Att lära sig begreppets namn är faktainlärning men att att lära sig innebörden, definitionen, är att lära sig begreppet.
Primtal, jämna tal, kvadrat, parallellogram är namn på begrepp. Att kunna begreppet primtal är att kunna redogöra för egenskapen att vara primtal, och att kunna avgöra om inte alltför stora tal är primtal.
Som alltid, då det gäller kunskap, är det inte fråga om kunna eller inte kunna. Det handlar oftast om olika nivåer av kunskap. Man kan t.ex. ha olika precision i sin beskrivning av ett begrepp.
Med begreppslig struktur menas samband mellan begrepp.
Det mesta av det vi lär oss i matematik kan organiseras i begreppsliga strukturer. Även nya fakta och färdigheter sammanlänkas med gamla kunskaper via begreppsliga strukturer.
Ju mer sammanhang vi ser desto lättare är det att minnas och använda det vi kan. Och att lära nytt!
Om man enbart ägnar sig åt färdighetsträning (räknar själv i egen takt) finns inget, eller ringa, incitament att skapa begreppslig struktur. De flesta behöver hjälp att se, eller att lära sig se, de begreppsliga strukturerna.
De begreppsliga strukturer vi skapat inom oss gör det möjligt att hantera nya och mer komplexa idéer.
Låt oss se på uttrycket ”minus – minus är plus”. De flesta av oss har detta som en minnesregel för alla situationer där två minustecken uppträder tillsammans, upprepad subtraktion, subtraktion av ett negativt tal, multiplikation av två negativa tal, eller motsatta talet till ett negativt tal. Om man oreflekterat använder regeln är det en faktakunskap eller färdighet man utnyttjar. Det kan då bli problematiskt när man skall lära sig begreppet absolutbelopp eftersom det då är avgörande att man tänker på motsatta talet till det negativa talet.
De begreppsliga strukturer som binder samman operationerna ovan med minnesregeln kan se ut på många olika sätt, alltifrån exempel till strikta matematiska argument/härledningar.
Vi startar med upprepad subtraktion. Minnesregeln ”minus – minus är plus” motsvarar då sam- bandet a − (b − c) = (a − b) + c. Om vi håller oss till naturliga tal skall a vara större än b som i sin tur skall vara större än c. Annars leder ju någon av subtraktionerna till ett negativt tal.
Sambandet kan härledas från definitionen av subtraktion: a − d är lösningen till ekvationen
Med denna definition är a − (b − c) lösningen till x + (b − c) = a. Men med x = (a − b) + c är x + (b − c) = ((a − b) + c) + (b − c) = (a − b) + (c + (b − c)) = (a − b) + b = a. Talen a − (b − c) och (a − b) + c är lösningar till samma ekvation och är därför lika..
I beviset har jag utnyttjat enklare, mer grundläggande räkneregler, associativitet och kommutati- vitet.
Man kan som alternativ ge ett exempel som är så generellt att man kan förstå att sambandet är allmängiltigt.
”I en låda finns det 200 bollar. De enfärgade är gula och av de andra 140 bollarna är det 30 som har en gul rand. Hur många bollar har något gult på sig?
Vi kan uppenbarligen beräkna detta på två sätt. (200 − 170) + 30 (helgula + gulrandiga). eller 200 − (170 − 30) (alla - de utan gult).
De negativa heltalen är−1, −2,−3, · · · . Notera skrivsättet för negativa tal som skiljer sig från det gängse. Eftersom man här har ”hittat på” en ny sorts tal måste man tala om, definiera vad som menas med addition och multiplikation. Som du vet går addition till så att t.ex. 3 +−3 = 0.
För att åskådliggöra de negativa talen förlänger man talraden åt vänster och placerar de negativa talen motsatt de positiva. Talet−1 är då motsatt talet 1 och talet 3 är motsatt talet−3. Det motsatta talet till heltalet a är lösningen till ekvationen a + x = 0
Genom att också låta minustecknet symbolisera motsatt tal har vi att −(−3) = 3. Detta är en andra aspekt av minus – minus är plus: motsatsen till talets motsats är talet självt..
En tredje aspekt av minus – minus är plus har vi i subtraktion av negativt tal: eftersom 12 är 12 + 7 mer än−7 gäller 12 −−7 = 12 + 7.
Den fjärde aspekten av minus – minus är plus har vi i multiplikation av två negativa tal,−2 ·−3 = 2 · 3 = 6. Detta är faktiskt en definition, kan alltså inte bevisas. Men dess rimlighet kan vi förstå.
Tyvärr finns inget vardagsmatematiskt sätt att inse det rimliga i −2 ·−3 = 6 men det finns en mekaniktolkning som kanske roar.
Tänk på tallinjen som en horisontell gungbräda med en axel genom 0 så att den kan rotera i ett lodrätt plan (som tavlan). En uppåtriktad kraft F placerad i en positiv punkt x ger upphov till ett positivt (moturs) moment F · x. Exakt samma moment ger en motsatt riktad kraft−F , placerad i den motsatta punkten−x. Detta kan vi inse av att två motsatt riktade krafter i samma punkt ger motsatta moment. Så gör också lika krafter placerade i motsatta punkter. Eftersom momentet är kraften multiplicerad med hävarmen har vi:−F · x =−(F · x) och F ·−x = −(F · x). Men då är ju−F ·−x =−(F ·−x) = −(−(F · x)) = F · x.
Man kan se det rimliga i definitionen som säger att produkten av två negativa tal är produkten av motsvarande positiva tal. Ett sätt ges av kalkylen: 0 ·−3 = (2 +−2) ·−3 = 2 ·−3 +−2 ·−3.
Det är rimligt att definiera multiplikation av ett positivt och ett negativt tal så att 2 ·−3 =−(2 · 3) och 0 ·−3 = 0
Således är−(2 · 3) +−2 ·−3 = 0 vilket ger att−2 ·−3 =−(−(2 · 3)) = 2 · 3.
Genom att se dessa fyra aspekter av minus – minus är plus kan vi inom oss skapa de begreppsliga strukturer som krävs för att vi skall kunna förstå definitionen |x| = x om x ≥ 0
−x om x < 0
Uttrycket −x kan endast tolkas som motsatta talet till x. Vi har således, eftersom −5 < 0 att
|−5| =−(−5) = 5. Tydligen är |x| ≥ 0 för alla x.
De tre återstående punkterna är viktiga men skall inte behandlas närmare i denna lilla skrift. Jag beskriver trots detta vad som avses med rubrikerna.
Generella strategier är metoder eller procedurer som hjälper oss att välja vilken färdighet eller kunskap som skall utnyttjas vid de olika stegen i problemlösning.
Som förhoppningsvis framgår av formuleringen hjälper oss att välja är det problemlösarens/elevens aktiva val det handlar om. I många situationer är lösningsgången utstakad. Det är då inte lämpligt att tala om problemlösning utan snarare om färdighetsträning. Man löser rutin- eller övningsupp- gifter.
Vår attityd till matematik innefattar känslor som
tycker om — ogillar, roligt — tråkigt,
tilltro till egen förmåga — bristande tilltro etcetera.
Vi vet alla, såväl lärare som studenter, att attityden till ämnet är oerhört viktig såväl då man lär som då man skall använda sina kunskaper.
Vår värdering av matematik avgörs av hur vi uppfattar den stora bilden av matematik.
Det handlar alltså om vårt personliga svar på frågan: Vad är matematik?. Detta svar avgörs dels av vår kunskap i och om matematik, den inre aspekten, dels av vår förståelse för matematikens värde och roll i samhället, den yttre aspekten.
Den inre aspekten inkluderar kunskap om
— stora idéer i matematik som symmetri, slump, paradox. bevis, oändlighet, gränsvärde.
— olika grenar av matematik och deras sammanhang
— olika filosofiska tankar om matematikens natur Den yttre aspekten inkluderar kunskap om
– matematik i vardagen, utbildningen, yrkeslivet
– samhällets användning av matematik för kommunikation och övertalning, från reklam till officiell statistik.
– matematikens historia och hur symboler, begrepp och problem vuxit fram – matematik i alla kulturer, i konst och i alla skolämnen.
2 Definition, sats, bevis
2.1 Ett första exempel: Satsen √
2 är ett irrationellt tal
Utöver geometri studerade grekerna på Thales, Pythagoras och Euklides tid talteori. En talteore- tisk upptäckt, som enligt historien/myten gjordes av en av Pythagoras elever och då vållade stort rabalder samt upptäckarens hastiga frånfälle, brukar numera ges en formulering som du troligen har mött tidigare i någon gymnasiebok.
√2 är ett irrationellt tal.
Platons matematiklärare Theodorus bevisade (ca 450 f.v.t.) lite mer än vad denna sats säger.
Nämligen att satsen är sann även om man ersätter 2 med 3, 5, 6, 7, 8, 10, 11, 12, 13, 14, 15 eller 17. Satsen är i själva verket sann för alla tal som inte är jämna kvadrater som 4, 9, 16 o.s.v. vilket bevisades av Theaetetus, en annan av Theodorus elever.
Vad behöver man veta för att förstå innebörden i ovanstående uttalande? Hur kan de gamla gre- kerna ha tänkt om påståendet och hur kan vi förstå att det är sant?
2.1.1 Tolkning av satsen
För det första måste man veta vad som menas med√
2 och med ett irrationellt tal.
Låt oss börja med att undersöka begreppet tal. Man hade i antiken inte riktigt samma uppfattning om tal som vi har nu, men skillnaden är kanske inte så stor. Tal representerades av sträckors längder, eller förhållanden mellan sträckors längder, inga andra tal fanns. Vilka tal leder detta synsätt till?
Utgå från en bestämd sträcka med längden 1. Med hjälp av passare och ograderad linjal kan denna mångfaldigas ett bestämt antal gånger och producera sträckor med heltalslängder. Med passare och den ograderade linjalen kan man sedan konstruera en rätvinklig triangel där kateterna har givna heltalslängder, basen p och höjden q. Förhållandet mellan dessa två kateter är pq, de två längderna står i ett rationellt förhållande till varandra. Drag i denna triangel en linje, parallell med basen, så att en ny rätvinklig triangel bildas, likformig med den första och med höjden 1.
Basen får då längden pq. Vi ser alltså att alla positiva rationella tal, tal som vi skriver pq där p och q är naturliga tal, kan produceras med passare och ograderad linjal. Positiva rationella tal
”fanns” alltså på de gamla grekernas tid.
Det är också möjligt att konstruera rektanglar med givna sidlängder. Gör vi en kvadrat med sidan 1 kommer dess diagonal, i enlighet med Pythagoras sats, att ha längden √
2. En rektangel med sidorna 1 och√
2 har diagonallängd√
3. En rektangel med sidorna 1 och√
3 har diagonallängd
√4 o.s.v. Alla tal av typen qp
q fanns således också i den grekiska sinnevärlden. Men, med denna syn på tal finns endast positiva tal, vare sig 0 eller negativa tal är tänkbara.
Vi ser här två sätt att konstruera tal. Dels som längd av sträcka i någon geometrisk figur, vilken som helst, som man kunde konstruera med passare och linjal, dels som höjd i en triangel med
basen 1, likformig med en triangel med bas p och höjd q där p och q är heltal. En lång tid trod- de man att alla tal kunde erhållas med den andra konstruktionen. Då man upptäckt att så inte var fallet kallade man de tal som avvek från det förväntade mönstret irrationella tal. Senare har talbegreppet utvidgats då man konstaterat att vissa intressanta tal, såsom √3
2, π och e, överhu- vudtaget inte kan konstrueras på grekiskt vis. Men först på 1800-talet fann man en tillräckligt bra definition av det vi kallar för reella tal Alla reella tal som inte är rationella kallas irrationella.
Dessa kan i sin tur indelas i bl.a. algebraiska tal och transcendenta tal. Dessa begrepp skall vi inte studera närmare här.
Åter till satsen.
Lite kamouflerat finns där två påståenden. Först: det finns ett tal vars kvadrat är 2. Sedan: detta tal är inte ett rationellt tal.
Med grekernas talbegrepp och tillgång till Pythagoras sats är det första påståendet enkelt att bevisa, som nämnts ovan är√
2 längden av en diagonal i en kvadrat med sidan 1.
Med den allmänt förekommande skolboksdefinitionen av reella tal som ”oändliga decimalbråk”, har man förlorat kopplingen till geometrin.√
2 skall nu ses som den positiva lösningen till ekva- tionen x2 = 2. Det är en viktig egenskap hos de reella talen att alla ekvationer av typen x2 = a där a > 0 har exakt en positiv reell lösning. För att bevisa att de reella talen har denna egenskap krävs en djupsinnigare definition än den skolboksmässiga. Det skulle föra alltför långt bort från det huvudsakliga syftet med denna skrift att genomföra detta resonemang.
Den andra delen av satsen kan formuleras:
Det finns inget positivt rationellt tal vars kvadrat är 2.
Vanligtvis formuleras satsen som i den första varianten men endast denna senare del bevisas.
2.1.2 Bevis av satsen: Det finns inget positivt rationellt tal vars kvadrat är 2
Eftersom det finns oändligt många positiva rationella tal är det omöjligt att direkt kontrollera att inget av dem är lösning till ekvationen x2 = 2. Vi måste alltså gå tillväga på ett annorlunda sätt och ge ett indirekt argument för satsen.
Detta sätt att resonera bygger på flera olika logiska principer.
För det första principen att antingen är en sats sann och dess motsats falsk, eller är satsen falsk och dess motsats sann. Genom att bevisa att motsatsen till ”vår” sats är falsk kan vi alltså dra slutsatsen att ”vår” sats är sann.
Den andra principen bygger på att teorin för de rationella talen är motsägelsefri.
Detta innebär att om man enbart använder sig av korrekta räkneregler för rationella tal kan man aldrig komma fram till en motsägelse av typen 0 = 1 eller, som i beviset som följer, udda är jämnt. Endast genom att utgå från en felaktighet, ett falskt påstående, kan man erhålla en motsägelse.
Då man tillämpar dessa logiska principer är det naturligtvis avgörande att man verkligen formu- lerar den logiska motsatsen till det som skall bevisas.
Här möter vi en skillnad mellan vardagens språk och matematikens. Orden tur och otur är mot- satsord. Men meningarna: ”Jag har tur” och ”Jag har otur” är inte varandras logiska motsatser.
För det mesta har man varken tur eller otur, det finns andra alternativ.
En sats och dess logiska motsats skall utesluta varandra och utesluta alla andra alternativ.
Meningen ”Jag har tur” kan bl.a. tolkas ”Jag har alltid tur”. Den logiska motsatsen är då ”Jag har inte alltid tur”.
Den logiska motsatsen till ”Det finns inget positivt rationellt tal vars kvadrat är 2” är ”Det finns ett positivt rationellt tal vars kvadrat är 2”.
Om vi kan bevisa, att hypotesen Det finns ett positivt rationellt tal vars kvadrat är 2 leder till en motsägelse, såsom 0 = 1, kan vi alltså dra slutsatsen att hypotesen är falsk och dess motsats sann.
Antag att det finns ett positivt rationellt tal, pq, vars kvadrat är 2. Här kan heltalen p och q väljas så att de båda är positiva naturliga tal som inte båda är jämna. Det senare bygger på att om både p och q är jämna så kan man förkorta båda talen med 2, eventuellt flera gånger tills minst ett av dem är udda.
Enligt antagandet är pq22 = 2. Multiplikation med q2leder till p2 = 2 · q2. Således är talet p2jämnt.
Eftersom kvadraten på varje udda tal är udda och p2 är jämnt, måste p vara jämnt.
Då finns ett naturligt tal n så att p = 2 · n.
Av detta följer att p2 = 4 · n2och 4 · n2 = 2 · q2. Division med 2 ger nu 2 · n2 = q2.
Vi kan nu dra slutsatsen att även q är jämnt. Båda talen p och q är således jämna.
Men minst ett av dem är udda enligt valet av pq. Således är udda = jämn om vår hypotes är sann.
Alltså är vår hypotes falsk och dess motsats sann.
Satsen Det finns inget positivt rationellt tal vars kvadrat är 2 är därmed bevisad.
Anmärkning Istället för att nöja sig med att inte både p och q är jämna kan heltalen p och q väljas så att de båda är positiva naturliga tal vars enda gemensamma faktor är 1.
Detta bygger på att alla naturliga tal, som inte är primtal eller 1, kan skrivas som en produkt av primtal på precis ett sätt om man bortser från ordningen. Vi kan således välja ett rationellt tal vars kvadrat är 2 och förkorta bort alla gemensamma faktorer större än 1.
Övning 2.1 Bevisa att om p är ett naturligt tal och p2 är ett jämnt tal så är p ett jämnt tal.
Övning 2.2 Bevisa att det inte finns något positivt rationellt tal vars kvadrat är 3. (Anmärkning- en ovan kan vara till hjälp.)
2.2 Definitioner
Förhoppningsvis har det framgått i föregående kapitel att definitionens uppgift är att precisera innebörden i ett matematiskt begrepp. Man definierar vad som menas med motsatta talet till ett reellt tal, Man definierar hur multiplikation med komplexa tal går till. Man definierar vad som menas med begreppet funktion och man definierar specifika funktioner. Ofta bygger en definition på tidigare givna definitioner, till exempel bygger begreppet kontinuitet på begreppet gränsvärde.
Man kan pröva om en definition är rimlig eller förnuftig. Är det till exempel förnuftigt att defi- niera addition för negativa tal så att −3 +−5 = −8? Man kan också pröva om en definition är intressant, ytterst få människor är så intresserade av trianglar med vinklarna 27, 99 och 53 grader att det finns skäl att införa ett särskilt begrepp för just sådana.
Men man kan aldrig pröva om den är sann eller falsk, det är som att ifrågasätta att symbolen 3 representerar antalet stjärnor här: * * *.
Vad man också kan utsätta för prövning är formuleringen i definitionen, är den klar, begriplig, entydig etc. Ett sätt att sätta sig in i innebörden hos en definition är att försöka formulera defini- tionen med sina egna ord och att pröva den formuleringen kritiskt.
Alla matematiska begrepp måste definieras. Men i läroböcker kan man inte alltid bygga från ingenting. man måste utgå från vad som kan tänkas vara en, för alla tilltänkta läsare, gemensam grund.
I en inledande kurs i matematisk analys omfattar denna tänkta grund oftast de reella talen, trots att läroboksförfattaren troligen är medveten om att kunskapen om reella tal i allmänhet är intuitiv och oprecis. Först om de reella talens djupare egenskaper är väsentliga för de resonemang som skall föras, t.ex. om man skall bevisa att det finns ett reellt tal vars kvadrat är 2, läggs en fastare grund. I kursbokens ”Appendix A” görs något av detta. Man utgår där från en egenskap hos de reella talen, supremumaxiomet. Det anses intuitivt klart att de reella talen har denna egenskap men det är inte alls är lätt att bevisa att det är så. I alla fall inte om man utgår från oändliga decimalbråk.
I en inledande kurs i linjär algebra och geometri omfattar grunden oftast en lika intuitiv och oprecis uppfattning om begreppen punkt och linje. Varje linje motsvarar rella tallinjen, punkter motsvarar reella tal.
2.3 Sats och bevis
En sats är ett sant påstående. Ett bevis är ett logiskt hållbart argument som övertygar varje klok och kunnig läsare att påståendet är sant.
Sanning är ett svårt begrepp, även i matematiken. Vi bör här uppfatta ett påstående som sant, om vi kan härleda det logiskt från våra grundläggande utgångspunkter, från axiomen. Det medför att sanning är ett relativt begrepp, det är beroende av vilka axiom vi utgår från.
Denna relativitet märks inte i vanliga grundkurser i matematik, men om man studerar t.ex. geo- metri lite mer ingående blir det synligt. Den geometri som utnyttjas vid husbyggen och liknande är inte samma som den som används vid färder runt jorden. Kortaste vägen mellan två punkter i ett hus är en rät linje, kortaste vägen mellan två punkter på jordytan är en storcirkelbåge. Vin- kelsumman i en plan triangel är alltid ett halvt varv, i en jordytetriangel, med storcirkelbågar till sidor, är vinkelsumman alltid större än ett halvt varv.
För att matematisk text inte skall bli helt nedtyngd av satser väljer man att endast kalla ett påstå- ende sats om det är både intressant och sant. De allra viktigaste satserna får dessutom namn, som gör det lättare att referera till dem, Pythagoras sats är ett exempel, bågvinkelsatsen ett annat.
Ett sant påstående som är viktigt i ett visst resonemang men inte generellt viktigt kallas ofta hjälpsats eller lemma.
Satser som huvudsakligen beskriver hur man får lov att hantera en viss operation kallas ofta räknelag eller räkneregel. Logiskt sett är det ingen skillnad mellan sats, hjälpsats och räkneregel.
Även vad gäller bevis används några olika ord och uttryck. Ett bevis för en räkneregel kallas ofta härledning, man härleder en formel. Dessutom används uttrycken bevisa att och visa att i samma betydelse. De tre fraserna bevisa att cos (2x) = 2 cos2(x) − 1, visa att cos (2x) = 2 cos2(x) − 1 och härled sambandet cos (2x) = 2 cos2(x) − 1 betyder alltså exakt samma sak.
Det finns två fraser som ganska ofta används i bevis. Dels låt . . . vara, dels antag att. Fraserna används då man vill precisera vilken typ av objekt man arbetar med, vilka egenskaper detta objekt förutsätts ha. De används också för namngivningen av objektet, Låt ABC vara en triangel, rätvinklig vid A eller Antag att ABC är en triangel, rätvinklig vid A skulle kunna vara inledning till ett bevis av Pythagoras sats. I formuleringarna finns en allmängiltighet underförstådd. Bortsett från de egenskaper som preciseras kan triangeln se ut hur som helst, alla resonemang som följer skall kunna tillämpas på alla objekt som har de angivna egenskaperna. Om man önskar poängtera allmängiltigheten kan man lägga in ord som godtycklig eller vilken som helst. Låt ABC vara en godtycklig triangel, rätvinklig vid A, hade varit en likvärdig inledning av beviset. Andra sätt att uttrycka samma sak är tag en triangel, eller tag en triangel, vilken som helst.
3 Logik
3.1 Inledning
I detta kapitel skall vi undersöka det matematiska resonemangets byggstenar och ytterligare jäm- föra matematikens språk med vardagssvenskan. Syftet är att visa hur viktig och värdefull preci- sionen i det matematiska språket är. Men också att visa hur obegriplig matematiken kan bli för den som inte samma precision i sina tolkningar av den matematiska texten.
I föregående kapitel behandlades begreppet definition. I definitionen av ett begrepp ges en exakt innebörd av ett visst ord eller uttryck. Det är förhoppningsvis uppenbart för läsaren att en diffus uppfattning av ett begrepp omöjliggör förståelse av påståenden eller resonemang som berör detta
begrepp. Påståendet vinkelsumman i trianglar är alltid 180◦ är naturligtvis meningslöst för den som inte vet vad en triangel är. Förutsättningen för alla matematiska resonemang är således att de ord som används är väl definierade.
I detta kapitel skall vi huvudsakligen definiera de logiska begreppen. I många läroböcker görs detta via sanningstabeller mm. Min tro är att först då man har en språklig förståelse av begreppen får sanningstabellerna en mening. De kan då bli ett effektivt redskap till att analysera och omfor- ma påståenden och resonemang. Sanningstabeller kommer därför att beröras i nästa kapitel.
3.2 Påståenden, utsagor
Ordet påstående har använts flitigt redan i föregående kapitel. Det har ungefär samma betydelse i matematiken som i vardagsspråket. Underförstått i meningen finns frasen jag påstår att . . ..
Det finns naturligtvis meningar på svenska som hamnar i ett gränsland, där det i stället är mer naturligt att skjuta in jag tycker att . . ..
Gult är fult är ett exempel på ett påstående vars sanningshalt är personlig. I matematisk text finns inte denna komplikation varför det är meningslöst att reda ut detta ytterligare. I fortsättningen ägnar vi oss enbart åt påståenden som har en matematisk mening och där det är meningsfullt att fråga om påståendet är sant eller falskt.
Ordet utsaga är synonym till påstående och är det som vanligtvis används i matematisk text.
Ibland väljer man att kalla utsagor för slutna utsagor till skillnad från öppna utsagor som inne- håller en eller flera variabler. En öppen utsaga ger en utsaga då alla variabler tilldelas värden i en bestämd grundmängd. I princip skall denna grundmängd anges i utsagan, men ibland är det underförstått vad som åsyftas.
Typexempel på öppna utsagor är vanliga ekvationer som
x är ett reellt tal och x2+ 2 · x − 3 = 0 Tilldelar vi x värdet 3 erhålls (den slutna) utsagan
32 + 2 · 3 − 3 = 0 som vi omedelbart ser är falsk.
Att lösa en ekvation innebär att bestämma alla variabelvärden, i den givna grundmängden, för vilka den öppna utsagan ger en sann utsaga.
Det finns utsagor som kan uppfattas både som öppna och slutna, framförallt sådana öppna utsagor som är sanna för alla (aktuella) variabelvärden. Ett exempel på en sådan utsaga är
(x + y)2 = x2+ 2 · x · y + y2 där x och y underförstått skall vara reella tal.
Vi kan tolka detta som en öppen utsaga, som en ekvation vilken vi kan lösa. Vi finner i så fall
Vi kan också känna igen kvadreringsregeln och istället läsa:
För alla reella tal x och y gäller det att (x + y)2 = x2+ 2 · x · y + y2.
Det senare är en sluten utsaga som är sann. Den kan bevisas med generella regler för räkning med reella tal.
Det är givetvis vanskligt att låta en del av formuleringen av en utsaga vara underförstådd, i syn- nerhet i samband med undervisning. Men just då det handlar om algebraiska identiteter som kvadreringsregeln ovan är det mycket vanligt, den studerande förväntas kunna de olika identite- terna så väl att risken för missuppfattning är obefintlig.
Den underförstådda delen av utsagan ”för alla reella tal x och y” leder oss över till nästa avsnitt.
3.3 Kvantifikatorer
Då vi löser ekvationer skall vi bestämma alla variabelvärden i en viss mängd för vilka den er- hållna utsagan är sann. Vi finner då att tre olika typer av lösning kan erhållas.
Dels kan vi finna att ekvationen är en identitet, lösningen är alla värden i den angivna mängden.
Bestäm alla reella x sådana att x2 + 2x + 1 = (x + 1)2 är ett exempel på en sådan ekvation.
Dels kan vi finna att ekvationen saknar lösning, lösningsmängden är tom.
Bestäm alla reella x sådana att x2 + 2x + 2 = 0 är ett exempel på en sådan ekvation.
Dels kan vi upptäcka att ekvationen är uppfylld för vissa värden på variabeln.
Bestäm alla reella x sådana att x2+2x−3 = 0 är ett exempel på en sådan ekvation. Lösningarna är 1 och−3
Dessa obsevationer leder till nya sanna utsagor.
Den första ger oss:
För alla reella tal x gäller x2+ 2x + 1 = (x + 1)2. Den andra ger:
Det finns inget reellt tal x sådant att x2+ 2x + 2 = 0 Den tredje ger:
Det finns något reellt tal x sådant att x2+ 2x − 3 = 0
Notera att Det finns något reellt tal x sådant att x2+ 2x + 1 = (x + 1)2 också är en sann utsaga.
Man måste inte alltid säga hela sanningen.
Fraserna för alla, det finns inget och det finns något uttalar sig om antalet variabelvärden för vilka den öppna utsagan övergår till en sann sluten utsaga. De kvantifierar utsagan och kallas därför kvantifikatorer eller kvantorer. Den eller de fria variabler som finns i den öppna utsagan binds av kvantifikatorn och man erhåller en enda sluten utsaga. Det är inte längre möjligt att tilldela variabeln något värde.
De två kvantifikatorerna det finns inget och det finns något är varandras motsatser i den meningen att de två utsagorna:
Det finns inget reellt tal x sådant att x2+ 2x + 2 = 0 och
Det finns något reellt tal x sådant att x2+ 2x + 2 = 0 är varandras motsatser.
Utan att räkna kan vi direkt säga att en av dem är sann och den andra är falsk. Vill vi veta vilken som är sann måste vi naturligtvis räkna lite.
Vi såg redan i kapitel 2.1.2 att det är viktigt att kunna formulera motsatsen till en utsaga. I följande avsnitt skall vi studera detta mer i detalj.
Övning 3.1 Formulera, i ditt tycke intressanta, matematiska utsagor som innehåller kvantifika- torer.
3.4 Negation, motsats
Två utsagor kallas varandras negationer eller motsatser om det är så att exakt en av dem är sann.
Med andra ord, om vi kan bevisa att den ena är sann så vet vi per automatik att den andra är falsk, kan vi bevisa att den ena är falsk så vet vi likaså att den andra är sann.
I vardagssvenska negerar man en utsaga genom att införa ordet inte på lämpligt sätt. Ofta kan man ta till en lite krystad formulering Det är inte så att . . . .
Negationen till Pelle och Lisa är lika gamla är: Det är inte så att Pelle och Lisa är lika gamla eller, mer naturligt: Pelle och Lisa är inte lika gamla.
I matematiskt språk skulle detta kunna skrivas Pelles ålder = Lisas ålder respektive Pelles ålder 6= Lisas ålder.
Negationen till Pelle är äldre än Lisa är Pelle är inte äldre än Lisa. Observera att detta inte är samma som Pelle är yngre än Lisa.
I matematiskt språk skulle detta kunna skrivas
Pelles ålder > Lisas ålder respektive Pelles ålder ≤ Lisas ålder.
Även öppna utsagor kan vara varandras negationer. Kraven är då att de skall ha samma fria variabler och att varje tilldelat värde på variablerna ger utsagor som är varandras negationer.
Negationen till den öppna utsagan x < y är den öppna utsagan x ≥ y
Negering av en utsaga som innehåller en kvantifikator kan kräva extra eftertanke.
Negationen till Alla katter är grå är: Det är inte så att alla katter är grå, vilket också kan uttryckas, Det finns minst en katt, som inte är grå.
För att bevisa att utsagan Alla katter är grå är falsk, skall vi alltså bevisa att utsagan Det finns minst en katt, som inte är grå är sann. Då räcker det onekligen, att vi går ut på gatan och hittar
Denna typ av resonemang är ganska vanligt förekommande i matematiken.
Ett mer matematiskt exempel som illustrerar samma sätt att resonera ges av utsagan:
För alla positiva reella tal x och y gällerpx2+ y2 = x + y.
Dess negation är:
Det finns minst ett positivt reellt tal x och minst ett positivt reellt tal y så attpx2+ y2 6= x + y Här ser vi att med x = 1 och y = 1 ärpx2+ y2 =√
2 och x + y = 2. Vi vet att√ 2 6= 2.
Således är utsagan: Det finns något positivt reellt tal x och något positivt reellt tal y så att px2+ y2 6= x + y sann.
Vi har då också bevisat att utsagan För alla positiva reella tal x och y gällerpx2+ y2 = x + y är falsk.
Vi har motbevisat, falsifierat, utsagan För alla positiva reella tal x och y gäller px2+ y2 = x + y, genom att vi gett ett motexempel, det vill säga ett exempel som bevisar att utsagans negation är sann.
Negationen till en utsaga av typen Det finns minst ett x så att . . . kan alltid skrivas Det finns inte något x så att . . .. Oftast är det emellertid klokt att skriva om så att negationen skrivs med För alla
Negationen till utsagan Det finns minst ett naturligt tal x så att (x + 1)3 > x4+ 11 kan uttryckas:
Det finns inte något naturligt tal x så att (x + 1)3 > x4+ 11.
Den senare, som på sätt och vis innehåller en dubbel negation, kan ersättas av:
För alla naturliga tal x är (x + 1)3 ≤ x4+ 11.
Den dubbla negationen består av dels negationen inte dels av > som är negationen till ≤.
Sammanfattningsvis kan vi konstatera att en kvantifierad öppen utsaga negeras genom att kvan- tifikatorn för alla ersätts av det finns minst en och vice versa, samtidigt som den öppna utsagan negeras.
Övning 3.2 Negera de utsagor du formulerat i övning 3.1
3.5 Sammansatta utsagor
3.5.1 Logiska betydelsen av orden och samt eller
De två orden och samt eller används för att bilda en sammansatt utsaga av två utsagor. Ordet och brukar då inte vålla svårigheter då det används i matematiken eftersom ordets matematiska innebörd är samma som vardagssvenskans både och.
Som exempel kan vi ha utsagorna Pelle är äldre än Lisa samt Pelle är äldre än Stina. Av dessa kan vi bilda en ny: Pelle är äldre än både Lisa och Stina. Denna nya sammansatta utsaga är sann precis om de två ursprungliga är sanna. Är någon av de första utsagorna falsk så är den
sammansatta falsk. Är den sammansatta falsk så vet vi att minst en av de två första är falsk, kanske båda två det kan inte uteslutas.
De två öppna utsagorna
x och y är reella tal sådana att 3x + 2y = 5 samt
x och y är reella tal sådana att 7x − 4y = 3 kan ge oss den sammansatta utsagan
x och y är reella tal sådana att 3x + 2y = 5 och x och y är reella tal sådana att 7x − 4y = 3,
eller kortare:
x och y är reella tal sådana att 3x + 2y = 5 och 7x − 4y = 3
Parenteserna som innesluter utsagorna används för att öka läsbarheten genom att ordet och, som används i sin logiska betydelse, framträder tydligare.
Den första utsagan är sann för de par av reella tal (x, y) som motsvarar punkter som ligger på den räta linjen vars ekvation är 3x + 2y = 5. den andra för de par som motsvarar punkter på linjen 7x − 4y = 3 .
Den sammansatta utsagan är sann för de par som motsvarar punkter som ligger på båda linjerna och falsk för alla andra.
Ordet eller är lite mer problematiskt eftersom vardagssvenskans eller ofta betyder antingen eller.
Så är det aldrig i matematiskt språk.
Den sammansatta öppna utsagan
x och y är reella tal sådana att 3x + 2y = 5 eller x och y är reella tal sådana att 7x − 4y = 3,
vilket också kan uttryckas kortare
x och y är reella tal sådana att 3x + 2y = 5 eller 7x − 4y = 3 ,
är sann för de par som motsvarar punkter som ligger på minst en av de två linjerna, inklusive skärningspunkten.
Den sammansatta utsagan är sann om minst en av två ingående utsagorna är sann. den är falsk endast om båda är falska.
Som respons på en förälders utsaga du får glass eller läsk måste de flesta barn välja, matemati- kerns barn kan med fog hävda att hon får dricka läsk till glassen.
Övning 3.3 Olikheten |z| ≤ A kan skrivas −A ≤ z ≤ A. Detta är egentligen en sammansatt öppen utsaga som kan skrivas (−A ≤ z) och (z ≤ A). På liknande sätt kan man skriva om alla olikheter av typen |p(x)| ≤ A om p(x) är ett polynom, Då krävs i allmänhet flera utsagor av typen ((−2 ≤ x) och (1 ≤ x)) eller ((3 ≤ x) och (7 ≤ x).
a. Skriv om olikheten |x2− 4| ≤ 3 enligt ovan.
b. Skriv om olikheten |x2− 4| > 3 enligt ovan.
c. Skriv om olikheten |x2− 2| ≥ 3 enligt ovan.
d. Skriv om olikheten√
4x − x2 ≤ 1 enligt ovan.
I vissa sammanhang, reglersystem till exempel, har man behov av en logisk motsvarighet till svenskans antingen eller. Detta kallas exklusivt eller till skillnad från inklusivt eller som beskri- vits ovan. Exklusivt eller utesluter (exkluderar) både och, inklusivt eller inkluderar både och. Här används enbart inklusivt eller.
3.5.2 Negering av sammansatta utsagor Vi har konstaterat att den sammansatta utsagan
x och y är reella tal sådana att 3x + 2y = 5 och x och y är reella tal sådana att 7x − 4y = 3
är falsk för de par (x, y) som motsvarar punkter som inte är skärningspunkten, alltså som inte ligger på båda linjerna.
Då skall negationen till den sammansatta öppna utsagan vara sann för just dessa punkter, d.v.s.
de (x, y) som ligger utanför minst en av linjerna, eventuellt utanför båda.
Punkten som motsvaras av (x, y) ligger utanför linjen 3x + 2y = 5 precis om 3x + 2y 6= 5, punkten ligger utanför den andra linjen precis om 7x − 4y 6= 3. Punkten ligger utanför minst en av linjerna precis om 3x + 2y 6= 5 eller 7x − 4y 6= 3.
Tydligen är negationen till den sammansatta öppna utsagan
x och y är reella tal sådana att 3x + 2y = 5 och x och y är reella tal sådana att 7x − 4y = 3
också en sammansatt öppen utsaga, nämligen
x och y är reella tal sådana att 3x+2y 6= 5 eller x och y är reella tal sådana att 7x−4y 6= 3.
Kortare x och y är reella tal sådana att 3x + 2y 6= 5 eller 7x − 4y 6= 3 . På samma sätt är negationen till den sammansatta öppna utsagan
x och y är reella tal sådana att 3x+2y = 5 eller x och y är reella tal sådana att 7x−4y = 3
den sammansatta öppna utsagan
x och y är reella tal sådana att 3x + 2y 6= 5 och x och y är reella tal sådana att 7x−4y 6= 3, vilket också kan skrivas x och y är reella tal sådana att 3x + 2y 6= 5 och 7x − 4y 6= 3 .
För att kunna sammanfatta detta avsnitt på ett bra sätt behöver vi införa beteckningar för utsagor.
Enklast är att låta versaler A, B, P , Q beteckna slutna utsagor och P (x), Q(x, y) öppna utsagor med x respektive x och y som fria variabler. Negationen till utsagan P betecknar vi ¬P
Vi kan t.ex låta P (x, y) beteckna den öppna utsagan x och y är reella tal sådana att 3x + 2y = 5 och låta Q(x, y) beteckna den öppna utsagan x och y är reella tal sådana att 7x − 4y = 3.
Negationen till P (x, y) är då ¬P (x, y) som alltså är utsagan x och y är reella tal sådana att 3x + 2y 6= 5.
Vi har ovan studerat de två sammansatta öppna utsagorna P (x, y) och Q(x, y) samt
P (x, y) eller Q(x, y).
I den undersökningen kom vi fram till att negationen
¬ P (x, y) och Q(x, y) har samma innebörd som
¬P (x, y) eller ¬Q(x, y)
och att negationen
¬ P (x, y) eller Q(x, y) betyder samma som
¬P (x, y) och ¬ Q(x, y)
Dessa två par av logiska ”formler”, som ser olika ut men har samma innebörder, kan ses som det första mötet med satslogiken som ger oss möjlighet att formalisera resonerandet. Detta blir ännu viktigare i nästa avsnittet där bevisens viktigaste byggstenar, implikation och ekvivalens, detaljstuderas.
Övning 3.4 Negera de öppna utsagorna a. (x2− 2x + y2 = 24) och (2x − y = 4) b. (px2+ y2 6= x + y) eller (xy = 0)
c. Formulera sanna utsagor med hjälp av För alla reella tal x och y eller Det finns reella tal x och y och utsagorna ovan eller deras negatione.
3.6 Implikation och ekvivalens
I vardagssvenska använder vi ofta ordet om då vi logiskt menar om och endast om. Låt oss se på ett exempel som skall illustrera detta språkbruk.
En förälder säger till sitt barn: Du får gå till Liseberg om du bäddar först.
I denna mening finns en morot, gör som jag vill och du blir belönad. Men där finns också (un- derförstått) en piska, bäddar du inte blir det inget Liseberg.
Med en matematisk tolkning av frasen finns ingen piska. Det är då inte fel om Pelle kommer till Liseberg trots att han inte städat. Det enda som är fel är om han inte får gå trots att han städat.
Piskan borde logiskt formulerats: Du får gå till Liseberg endast om du bäddar. Också denna for- mulering är problematisk (för föräldern). Troligen skulle barnet hört: Ja, du får gå till Liseberg, men bara om du bäddar först. Barnet hör i så fall: Du får gå till Liseberg om och endast om du bäddar först.
I matematiken är skillnaden mellan de tre uttrycken om, endast om och om och endast om oerhört viktig.
Nu bestämmer vi att ordet om används på det matematiska sättet. Då finns endast morot, ingen piska. Vi utgår också från att Pelle inte uteblir från Liseberg av annan orsak, går han inte till Liseberg så beror det på att han inte bäddat.
Ett alternativt sätt att uttrycka samma mening är om du bäddar, får du gå till Liseberg, eller om du bäddar så får du gå till Liseberg. Med matematiska symboler kan detta skrivas
Pelle bäddar ⇒ Pelle går till Liseberg
Inför vi beteckningarna B för utsagan Pelle bäddar och L för Pelle går till Liseberg, kan me- ningen komprimeras till
B ⇒ L
Denna skall således läsas: under förutsättning att utsagan B är sann, är även utsagan L sann.
Vi säger att B medför L. Synonyma uttryck för detta är att B implicerar L eller att B är ett tillräckligt villkor för L.
Som poängterats ovan utgår vi från att om Pelle inte går till Liseberg har han inte städat, nega- tionen till L medför negationen till B.
¬L ⇒ ¬B
Vi ser att L är ett nödvändigt villkor för B.
De två uttrycken B ⇒ L och ¬L ⇒ ¬B är logiskt ekvivalenta. Vi återkommer till detta i samband med sanningstabeller i nästa kapitel.
Utsagan Pelle bäddar ⇒ Pelle går till Liseberg, eller kort, B ⇒ L kan vara sann eller falsk.
Den är falsk om föräldern sviker Pelle, han bäddar men får inte gå till Liseberg.
I matematiska resonemang använder vi väldigt ofta implikationer och då enbart sanna sådana.
Men det kan givetvis vara intressant att undersöka även andra implikationer och ställa frågor av typen är det så att A medför B?, eller synonymt är A ⇒ B sann?, gäller A ⇒ B ?
Ett exempel på en sådan fråga är följande.
Gäller x2+ 3x + 2 = 0 ⇒ x3+ 2x2− x − 2 = 0?
Då P (x) och Q(x) är öppna utsagor med samma variabler kan man bilda utsagan P (x) ⇒ Q(x).
Sträng taget är detta en öppen utsaga, men vi ser den som sluten, underförstått finns för alla x framför. Den är sann om varje insatt värde på variabeln x ger en sann utsaga, alltså om Q(x) är sann för alla värden på variabeln x för vilka utsagan P (x) är sann,
Vi låter P (x) vara utsagan x2+ 3x + 2 = 0 och Q(x) utsagan x3+ 2x2 − x − 2 = 0.
Lösningarna till ekvationen x2+ 3x + 2 = 0 är x =−1 och x =−2, P (−1) och P (−2) är sanna, för övriga värden på x är P (x) falsk. Sätter vi in värdena x =−1 och x =−2 i Q(x) finner vi att Q(−1) och Q(−2) också är sanna. Således gäller P (x) ⇒ Q(x).
Åter till Liseberg. Vi tänker oss nu att Pelles föräldrar säger: ” Du får gå till Liseberg om och endast om du bäddar”.
Nu finns både morot, bäddar du går du till Liseberg B ⇒ L och piska, bäddar du inte går du inte till Liseberg. .
¬B ⇒ ¬L
B är nu inte bara tillräckligt villkor för L utan också nödvändigt.
Vi vet nu att om vi möter Pelle på Liseberg har han faktiskt städat, vi vet att L ⇒ B
Här ser vi att utsagan ” Du får gå till Liseberg om och endast om du bäddar” egentligen är två utsagor B ⇒ L och L ⇒ B. Dessa slår vi samman till
B ⇔ L
Detta utläses: B är ekvivalent med L. Man kan också säga: B och L är ekvivalenta.
Med en vänsterriktad pil ⇐, där B ⇐ L betyder L ⇒ B och kan läsas B är sann om L är sann, kan vi se det enkla i beteckningarna.
B ⇒ L och B ⇐ L
är samma som B ⇔ L
Ekvivalenspilen används ofta i matematisk text. Dels i formulering av satser för att visa två sidor
Först ett exempel på formulering av en sats:
För plana fyrhörningar gäller:
motstående sidor är parallella ⇔ motstående sidor är lika långa
Här har vi alltså två olika egenskaper som kan visas vara likvärdiga, vet vi att motstående sidor är parallella så vet vi också att de är lika långa. Vet vi att de är lika långa så vet vi att de är parallella.
Ekvivalenspilen används också i kalkyler, men då oftast för öppna utsagor P (x) ⇔ Q(x), där vi har motsvarande tolkning som vid implikation. Att två ekvationer är ekvivalenta innebär att de har exakt samma lösningar.
Några exempel på denna användning är följande.
9x2+ 6x − 3 = 0 ⇔ (3x + 1)2 = 4 ⇔ 3x + 1 = ±2 och
x2− 3x + 2
x2+ 4 < 0 ⇔ x2− 3x + 2 < 0 ⇔ 1 < x < 2 Övning 3.5 Vilka av följande utsagor är sanna?
a. (x − 1)(x − 2)(x − 3) = 0 ⇔ ((x = 1 och x = 2) och x = 3) b. (x − 1)(x − 2)(x − 3) = 0 ⇔ ((x = 1 eller x = 2) eller x = 3)
c. (x − 1)(x − 2)(x − 3) = 0 ⇒ (((x = 1 eller x = 2) eller x = 3) eller x = 4) d. (x − 1)(x − 2)(x − 3) = 0 ⇒ (x = 1 eller x = 2)
e. (x − 1)(x − 2)(x − 3) = 0 ⇐ (((x = 1 eller x = 2) eller x = 3) eller x = 4) f. (x − 1)(x − 2)(x − 3) = 0 ⇐ (x = 1 eller x = 2)
4 Sanningstabeller och lite satslogik
4.1 Inledning
Vi såg i föregående kapitel att frasen ” Du får gå till Liseberg om och endast om du bäddar” kan skrivas logiskt på två sätt.
Dels
B ⇒ L och ¬B ⇒ ¬L.
Dels
B ⇒ L och B ⇐ L
eller
B ⇔ L
Dessa alternativ kom vi fram till genom att tolka texten. I detta kapitel skall vi ett annat sätt att förstå att B ⇒ L och ¬B ⇒ ¬L motsvaras av B ⇔ L.
4.2 Satslogiska formler
En satslogisk formel är som ett funktionsuttryck med variabler som kan ersättas av utsagor. Orden och samt eller och symbolerna ¬, ⇒, ⇐, och ⇔ har samma roll som till exempel ∗, +, sin och ln har då man bildar sammansatta elementära funktioner. Liksom i det fallet skall man sätta in parenteser så att formeln som skrivs har en entydig mening. Oftast ersätter man ordet och med en symbol ∧ och ordet eller med symbolen ∨.
En formel som P ⇒ L ∧ ¬Q är ogiltig eftersom vi inte vet om man menar (P ⇒ L) ∧ ¬Q eller P ⇒ (L ∧ ¬Q).
Naturligtvis kan man ha prioriteringsregler som för aritmetiken, men vi avstår nästan helt från det. En enda regel: ¬ avser alltid det som står närmast tecknet. Skall större uttryck negeras krävs parenteser.
4.3 Sanningstabeller
Sanningstabellen till en logisk formel är som värdetabellen för en funktion. De olika variablerna tilldelas värden varvid formeln erhåller värden enligt bestämda regler. Vi har tidigare konstaterat att utsagan P och Q är sann om båda utsagorna P och Q är sanna, annars är den falsk. Vi låter nu S stå för sann och F stå för falsk. Vi har då fyra olika kombinationer med sanningsvärde för P och Q vilka ger olika sanningsvärden för utsagan P och Q.
P Q P ∧ Q
S S S
S F F
F S F
F F F
Motsvarande resonemang är naturligtvis tillämpligt på utsagorna ¬P , P ∨ Q, P ⇒ Q, P ⇔ Q också. Vi får sanningstabellerna.
P ¬P
S F
F S
P Q P ∨ Q
S S S
S F S
F S S
F F F
P Q P ⇒ Q
S S S
S F F
F S S
F F S
P Q P ⇔ Q
S S S
S F F
F S F
F F S
Genom att kombinera dessa, som vi gör med sammansatta funktioner, kan vi beräkna sanningsta- beller för mer komplicerade formler som ¬P ⇒ ¬Q
P Q ¬P ¬Q ¬P ⇒ ¬Q
S S F F S
S F F S S
F S S F F
F F S S S
Kolumnerna för ¬P och ¬Q finns med som mellansteg och kan ersättas av ”huvudräkning”. Gör vi så och samtidigt jämför med sanningstabellen för formeln Q ⇒ P ser vi att de är identiska.
P Q ¬P ⇒ ¬Q
S S S
S F S
F S F
F F S
P Q Q ⇒ P
S S S
S F S
F S F
F F S
De två formlerna, ¬P ⇒ ¬Q och Q ⇒ P , är satslogiskt ekvivalenta.
En följd av denna ekvivalens är att om vi vill bevisa att en implikation Q ⇒ P är sann, kan vi istället bevisa att implikationen ¬P ⇒ ¬Q är sann.
Vi återvänder igen till utsagan ” Du får gå till Liseberg om och endast om du bäddar”. I föregå- ende kapitel sid. 20 såg vi att utsagan kunde skrivas (B ⇒ L) ∧ (¬B ⇒ ¬L).
Genom att tolka utsagan kom vi fram till att den också kunde skrivas (B ⇒ L) ∧ (L ⇒ B).
Den satslogiska ekvivalensen motsvarar alltså att utsagan språkligt kan uttryckas på två sätt.
I kapitel 2.1.2 bevisades att utsagan Det finns inget positivt rationellt tal vars kvadrat är 2. är sann. I beviset introducerades begreppet motsägelsebevis. Vi skall nu avsluta detta kapitel med en satslogisk analys av detta begrepp.
För denna analys behöver vi en motsvarighet till utsagor som vi vet är falska, som utsagan 0 = 1.
Därför inför vi en symbol F som står för en falsk utsaga. Då den förekommer i en satsformel fungerar den som en konstant funktion med ett enda sanningsvärde F oavsett alla inblandade variablers värden. För denna gäller till exempel att P ∧ F är satslogiskt ekvivalent med F och att P ∨ F är satslogiskt ekvivalent med P .
Betrakta nu formeln ¬P ⇒ F. Dess sanningstabell är
P F ¬P ¬P ⇒ F
S F F S
F F S F
Vi ser att ¬P ⇒ F är satslogiskt ekvivalent med P .
Detta innebär att om vi, för en viss utsaga P , kan bevisa att ¬P ⇒ F är sann så kan vi dra slutsatsen att P är sann. Alltså, om motsatsen till P leder till en orimlighet så är P sann.
Vi kan också införa en symbol S som står för en sann utsaga.
Övning 4.1 Visa med sanningstabeller att följande par av formler är satslogiskt ekvivalenta
a. ¬S resp. F.
b. S ⇒ P resp. P
c. S ⇒ P resp. ¬P ⇒ F
d. (¬Q ∧ P ) ⇒ F resp. P ⇒ Q
Om vi tänker på S som axiomen vi utgår från ser vi av b ovan att en utsaga är sann precis om den är en konsekvens av axiomen.
Övningarna a och c tillsammans visar att motsägelsebeviset är ett specialfall av att formlerna P ⇒ Q och ¬Q ⇒ ¬P år ekvivalenta. Varje bevis som bygger på denna ekvivalens kallas ett motsägelsebevis.
Med satslogik kan vi således dels tolka och omformulera utsagor, vi kan förstå att om och en- dast om är samma som ekvivalent, och dels finna bevismetoder, vi kan förstå att metoden med motsägelsebevis är logiskt korrekt.
5 Ledning till vissa övningar
2.1 Ett tal är jämnt om och endast om det kan skrivas 2 · k där k är ett naturligt tal. Kan kvadraten på ett udda tal vara jämnt?
2.2 Följ variant 2 av beviset av satsen att det inte finns något positivt rationellt tal vars kvadrat är 2. Du kan annars visa att om p2 är delbart med 3 är p delbart med 3 genom att visa att kvadraten på tal som inte är delbara med 3 inte heller är delbar med 3. Samma teknik som i föregående övning fungerar men du får behandla två fall.
3.3 Det kan underlätta om du ritar grafen till |p(x)| då du skall avgöra för vilka x olikheten
|p(x)| ≤ a eller |p(x)| ≥ a gäller. Tolkningen |z − c| = avståndet mellan z och c på tallinjen är också till nytta.
6 Lösning eller svar till vissa övningar
2.1 Om p är udda är p = 2 · k + 1 och p2 = (2 · k + 1)2 = 4 · k2+ 4 · k + 1 = 2(2 · k2+ 2 · k) + 1 som är udda. Ett tal med jämn kvadrat kan alltså inte vara udda. Det måste då vara jämnt.
2.2 Du kan byta talet 2 mot talet 3 eller annat primtal i variant 2 av beviset av satsen att det inte finns något positivt rationellt tal vars kvadrat är 2. Om du vill följa variant 1 av beviset kan du först konstatera att ett tal p som inte är delbart med 3 kan skrivas p = 3 · k + 1 eller p = 3 · k + 2. Då följer att p2inte är delbart med 3. Samma teknik fungerar för alla tal som inte är jämna kvadrater.
Där finns en mening som kan ses som definition och inte som utsaga: ”Vi säger att (1.11) o.s.v.”.
3.3 a. |x2 − 4| ≤ 3 ⇔ −3 ≤ x2 − 4 ≤ 3 ⇔ 1 ≤ x2 ≤ 7 ⇔
−√
7 ≤ x och x ≤ −1
eller
1 ≤ x och x ≤√ 7
b. |x2 − 4| > 3 ⇔ x2− 4 < −3 eller 3 < x2− 4 ⇔ x2 < 1 eller 7 < x2 ⇔
− 1 < x och x < 1 eller x < −√
7 eller√
7 < x
c. |x2 − 2| ≥ 3 ⇔ x2− 2 ≤ −3 eller 3 ≤ x2− 2 ⇔ x2 ≤ −1 eller 5 ≤ x2 ⇔ 5 ≤ x2 ⇔ x ≤ −√
5 eller√ 5 ≤ x d. √
4x − x2 ≤ 1 ⇔ 0 ≤ 4x − x2 och 4x − x2 ≤ 1 ⇔
x2− 4x + 4 ≤ 4 och 3 ≤ x2− 4x + 4 ⇔ (x − 2)2 ≤ 4 och 3 ≤ (x − 2)2 ⇔
− 2 ≤ x − 2 och x − 2 ≤ 2 och x − 2 ≤ −√
3 eller√
3 ≤ x − 2
⇔
0 ≤ x och x ≤ 4 och x ≤ 2 −√
3 eller 2 +√
3 ≤ x
⇔
0 ≤ x och x ≤ 2 −√
3 eller 2 +√
3 ≤ x och x ≤ 4
3.5 a. Falsk. Utsagan ((x = 1 och x = 2) och x = 3) är falsk för alla x. Men man kan naturligtvis säga rötterna till ekvationen (x − 1)(x − 2)(x − 3) = 0 är talen 1 och 2 och 3.
b. Sann. c. Sann
d. Falsk. Då x = 3 är (x − 1)(x − 2)(x − 3) = 0 sann men (x = 1 eller x = 2) falsk.
e. Falsk. Då x = 4 är (((x = 1 eller x = 2) eller x = 3) eller x = 4) sann men (x − 1)(x − 2)(x − 3) = 0 falsk
f. Sann.
