Partiellt ordnade mängder, incidensalgebra och Möbius inverteringsformel

SJÄLVSTÄNDIGA ARBETEN I MATEMATIK

MATEMATISKA INSTITUTIONEN, STOCKHOLMS UNIVERSITET

Partiellt ordnade mängder, incidensalgebra och Möbius inverteringsformel

av

Karin Hedlund

2019 - No K19

Partiellt ordnade mängder, incidensalgebra och Möbius inverteringsformel

Karin Hedlund

Självständigt arbete i matematik 15 högskolepoäng, grundnivå

Handledare: Dan Petersen

Partiellt ordnade m¨angder, incidensalgebra och M¨obius inverteringsformel

Karin Hedlund

Inneh˚ all

1 Inledning 2

2 Principen om inklusion-exklusion 2

3 Talteoretiska M¨obiusfunktionen 3

4 Partiellt ordnade m¨angder 4

4.1 Grundl¨aggande definitioner . . . 4 4.2 Boolska algebran Bn . . . 6 4.3 Pom¨angden av delare Dn . . . 7

5 Incidensalgebra 9

6 M¨obiusinversionen 12

6.1 Olika ber¨akningar av M¨obiusfunktionen . . . 14 6.1.1 M¨obiusfunktionen av Bn. . . 15 6.1.2 M¨obiusfunktionen av Dn . . . 17

7 Sammanfattning 18

1 Inledning

M˚anga g˚anger kan tv˚a till synes helt olika ting visa sig h¨arstamma fr˚an samma k¨alla. Som en blyertspenna och en diamant. P˚a samma s¨att som olika f¨orh˚allanden p˚averkar utg˚angen i organisk kemi, s˚a kan samma g¨alla i matematik. Principen om inklusion-exklusion anv¨ands f¨or att ber¨akna unionen av olika m¨angder genom en alternerande addition och subtraktion av olika snittv¨arden. M¨obiusfunktionen s˚asom den introduceras i talteori ger ett v¨arde utifr˚an ett tals primtalsfaktoris- ering. Tv˚a vid f¨orsta anblick vitt skilda ber¨akningar, men det visar sig att de b˚ada ¨ar specialfall av en mer generell formel: M¨obius inverteringsformel. Denna uppsats kommer unders¨oka hur dessa tv˚a fall uppst˚ar ur M¨obius interterings- formel med grund i kapitel 3 i Enumerative Combinatorics[3] av Richard P.

Stanley.

2 Principen om inklusion-exklusion

L˚at X vara en ¨andlig m¨angd, l˚at A1, A2, ..., An vara delm¨angder av X. Vi ¨ar intresserade av| X \ (A1∪ A2∪ ... ∪ An)|, allts˚a hur m˚anga element som finns i X och inte i n˚agon av delm¨angderna. F¨or att finna svaret p˚a detta kan vi anv¨anda principen om inklusion-exklusion.

Sats 2.1. S˚a som principen om inklusion-exklusion ¨ar beskriven av Biggs[1, s.

113] s˚a g¨aller att om A1, A2, ..., An ¨ar ¨andliga m¨angder s˚a ¨ar

|A¹∪ A²∪ ... ∪ Aⁿ| = α¹− α²+ α3− ... + (−1)ⁿ⁻¹αn

d¨ar αi¨ar summan av kardinaliteten p˚a snitten av m¨angderna d¨ar snitten tas p˚a i m¨angder i taget.

Exempel 2.1. P˚a ett sjukhus befinner sig 35 patienter. Av dem har 14 halsont, 12 har hosta och 10 har feber. Det finns 7 patienter som har b˚ade halsont och hosta, 4 patienter som har hosta och feber samt 3 patienter som har halsont och feber. Det ¨ar 2 patienter som har alla tre symptom. Hur m˚anga patienter p˚a sjukhuset har inget av dessa symptom?

L¨osning. Vi betecknar symptomen s˚adana att S=halsont, C=hosta och F=feber. F¨orst l¨oser vi med hj¨alp av principen om inklusion-exklusion. D˚a ¨ar

α1=|S| + |C| + |F | = 14 + 12 + 10 = 36 α2=|S ∩ C| + |S ∩ F | + |C ∩ F | = 7 + 3 + 4 = 14

α3=|S ∩ C ∩ F | = 2.

Med definitionen av inklusion-exklusion f˚ar vi d˚a

|S ∪ C ∪ F | = α1− α2+ α3= 36− 14 + 2 = 24.

Allts˚a var det 35-24=11 patienter som inte hade n˚agot av dessa tre symptom.

3 Talteoretiska M¨ obiusfunktionen

Den talteoretiska M¨obiusfunktionen betecknas µ och karakt¨ariseras av

µ(d) =

( 1 om d = 1

0, om d inneh˚aller minst en upprepad primfaktor (−1)^k, om d best˚ar av k unika primfaktorer.

Exempel 3.1. µ(60) = 0 eftersom 60 = 2²·3·5, allts˚a inneh˚aller 60 en upprepad primfaktor, 2².

M¨obiusfunktionen har den speciella egenskapen f¨or delare d till ett tal n att X

d|n

µ(d) =

 0 om n > 1 1 om n=1.

Bevis. Antag att n = p₁^e1p^e₂²...p_r^erd¨ar pi¨ar primtal och ei∈ N. Varje delare till n ¨ar p˚a formen d = p^f₁¹p^f₂²...p^f_r^r. M¨obiusfunktionen µ(d) ¨ar lika med noll om inte varje fi ¨ar lika med 0 eller 1. D¨armed ¨ar varje delare d d¨ar µ(d)6= 0 en delm¨angd till{p1, p2, ..., pr} som inneh˚aller de primfaktorer pi d¨ar fi = 1.

Antalet s˚adana delm¨angder av storlek k ¨ar ^r_k

och µ(d) ¨ar (−1)^k, s˚a vi f˚ar X

d|n

= 1−

r 1

 +

r 2



− ... + (−1)^r

r r



= 0.

D¨ar vi anv¨ander symmetrin kring de binomiala talen f¨or att se att summan blir lika med 0 [1, s. 117].

Exempel 3.2. X

d|60

µ(d) =

= µ(1)+µ(2)+µ(3)+µ(4)+µ(5)µ(6)+µ(10)+µ(12)+µ(15)+µ(20)+µ(30)+µ(60) =

= 1− 1 − 1 + 0 − 1 + 1 + 1 + 0 + 1 + 0 − 1 + 0 = 0.

Vi kan ¨aven i talteori formulera M¨obiusinversionen.

Sats 3.1. L˚at g vara en funktion p˚aN och antag att f ¨ar funktionen som erh˚alls genom

f (n) =X

d|n

g(d).

D˚a f˚as g genom

g(n) =X

d|n

µ(d)f

n d

 .

Bevis. Genom substitution av f ⁿ_d

i den andra ekvationen f˚as X

d|n

µ(d)f

n d



=X

d|n

µ(d)X

c|n/d

g(c) = X

(c,d)∈S

Xµ(d)g(c).

Summan tas ¨over m¨angden S av alla par (c, d) f¨or vilka d| n och c | n/d.

Detta ¨ar samma m¨angd av par d¨ar c| n och d | n/c s˚a vi kan skriva om summan som

X

c|n

g(c) X

d|n/c

µ(d)

! .

Summan ¨over µ ¨ar lika med noll n¨ar n/c≥ 2 som vi s˚ag tidigare, d¨arf¨or ¨ar den enda ˚aterst˚aende termen n = c, vilket ger oss

g(n)X

d|1

µ(d) = g(n)µ(1) = g(n).

Vilket skulle visas [1, s.118].

4 Partiellt ordnade m¨ angder

Innan vi kan formulera M¨obius inverteringsformel s˚a m˚aste vi st¨alla upp n˚agra grundl¨aggande definitioner hos partiellt ordnade m¨angder.

4.1 Grundl¨ aggande definitioner

En partiellt ordnad m¨angd (pom¨angd) P ¨ar en m¨angd tillsammans med en re- lation≤ som uppfyller f¨oljande tre axiom.

1. F¨or alla t∈ P s˚a g¨aller det att t≤ t (reflexivitet).

2. Om s≤ t och t ≤ s s˚a ¨ar s = t (antisymmetri).

3. Om s≤ t och t ≤ u s˚a ¨ar s≤ u (transitivitet).

Vi s¨ager att tv˚a element t och s i P ¨ar j¨amf¨orbara om s ≤ t eller t ≤ s.

Vidare s¨ager vi att s och t ¨ar oj¨amf¨orbara om s6≤ t eller t 6≤ s.

Exempel 4.1. L˚at n∈ P . M¨angden [n] = {1, 2, ..., n} med sin vanliga ord- ningsf¨oljd bildar en partiellt ordnad m¨angd med n element med den speciella egenskapen att alla element ¨ar j¨amf¨orbara.

Exempel 4.2. L˚at n∈ N. M¨angden [2]ⁿav alla delm¨angder av [n] kan g¨oras till en pom¨angd Bn, den boolska algebran, genom att definiera S ≤ T om S ⊆ T som m¨angder. Vi s¨ager d˚a att Bn inneh˚aller delm¨angderna av [n] ordnat av inklusion.

Exempel 4.3. L˚at n∈ P . M¨angden av alla positiva heltal som delar n bildar en pom¨angd Dn genom att definiera i≤ j i Dn om j ¨ar delbar med i.

Definition 4.1. Om s, t∈ P , s˚a s¨ager vi att t t¨acker s om s < t och det inte finns n˚agot element u som uppfyller s < u < t. Vi betecknar detta som sl t.

En ¨andlig pom¨angd best¨ams helt och h˚allet av denna relation. Det g˚ar att rita upp pom¨angder i en graf kallad Hassediagram, d¨ar punkterna ¨ar elementen i P och kanterna ¨ar t¨ackningsrelationen. Relationen ritas p˚a ett s˚adant s¨att att om t t¨acker s, s˚a ritas t ovanf¨or s.

Exempel 4.4. Nedan visas Hassediagrammen f¨or pom¨angderna med maximalt tre element.

Exempel 4.5. Hassediagrammet f¨or B3visas nedan.

Definition 4.2. Vi s¨ager att P har ett minsta element ˆ0 om det existerar ett element ˆ0 ∈ P s˚adant att t≥ ˆ0 f¨or alla t ∈ P . P˚a samma s¨att s¨ager vi att P har ett st¨orsta element ˆ1 om det existerar ett element ˆ1∈ P s˚adant att t≤ ˆ1 f¨or alla t∈ P .

Definition 4.3. Ett maximalt element i en pom¨angd P ¨ar ett element som inte

¨ar mindre ¨an n˚agot annat element i P . Ett minimalt element ¨ar ett element som inte ¨ar st¨orre ¨an n˚agot annat element i P .

Definition 4.4. Om P ¨ar en ¨andlig pom¨angd s˚a ¨ar P^op samma pom¨angd P med elementen i omv¨and ordning s˚adant att

x≤ y i P ⇐⇒ y ≤ x i P^op

Definition 4.5. En delpom¨angd Q av P ¨ar en delm¨angd av P med en partiell ordning i Q d¨ar s≤ t om och endast om s ≤ t i P .

Definition 4.6. Ett slutet intervall i en pom¨angd P ¨ar en delpom¨angd p˚a formen [s, t] ={u ∈ P : s ≤ u ≤ t} f¨or n˚agra s≤ t.

Lemma 4.1. Det g˚ar att namnge elementen t1< t2... < tni en ¨andlig pom¨angd P p˚a s˚adant s¨att att om ti≤ tj s˚a implicerar det att i≤ j.

Bevis. Om P ¨ar ¨andligt s˚a har P maximala element. L˚at x vara ett max- imalt element och namnge det tn. Vidare har m¨angden P \ {tn} maximala element. S˚aledes kan ett maximalt element y v¨aljas och namnges tn−1. Up- prepas detta argument f˚as en namngiven ordning d¨ar om ti ≤ tj s˚a implicerar det att i≤ j [2, s. 14].

Definition 4.7. En kedja ¨ar en pom¨angd i vilken alla element ¨ar j¨amf¨orbara.

Exempel 4.6. De naturliga talenN bildar en kedja.

Definition 4.8. Om P och Q ¨ar pom¨angder ¨ar den direkta produkten av P och Q pom¨angden P×Q p˚a m¨angden{(s, t) : s ∈ P, t ∈ Q} s˚adant att (s, t)≤ (s⁰, t⁰) i P × Q om s ≤ s⁰ i P och t≤ t⁰ i Q.

F¨or att rita Hassediagrammet f¨or produkten P× Q s˚a ritas f¨orst Hassedia- grammet f¨or P . Sedan ers¨atts varje element t∈ P med en kopia av Q som vi betecknar Qt. Slutligen dras kanter mellan respektive element Qs och Qt om s och t ¨ar sammankopplade i P .

Exempel 4.7. Hassediagrammet f¨or den direkta produkten av pom¨angderna ritas enligt nedan.

Definition 4.9. Tv˚a pom¨angder P och Q ¨ar isomorfa om det existerar en ordningsbevarande bijektion φ : P → Q vars invers ocks˚a ¨ar ordningsbevarande, det vill s¨aga

s≤ t i P ⇐⇒ φ(s) ≤ φ(t) i Q

4.2 Boolska algebran B

Sats 4.1. Pom¨angden av delm¨angder till en m¨angd med n element, Bn, ¨ar iso- morf med pom¨angden{0, 1}ⁿ, produkten av kedjan med tv˚a element n g˚anger.

F¨or att visa att dessa tv˚a pom¨angder ¨ar isomorfa s˚a hj¨alper det att p˚aminna sig om att antalet delm¨angder till en m¨angd med n element ¨ar 2ⁿ och hur man bevisar det. Antag att vi har en m¨angd med n element, X ={x1, x2, ..., xn}, och Y ¨ar ett alfabet som best˚ar av ett och noll, Y ={0, 1}. Varje delm¨angd S av X ger ett ord av l¨angd n i Y genom f¨oljande funktion

Si=

 0, om xi∈ S/ 1, om xi∈ S.

Vilket d˚a motsvarar att om ett element fr˚an X finns i S s˚a f˚as en etta i ordet. D¨armed blir antalet delm¨angder s˚a m˚anga ord av l¨angd n som man kan konstruera av {0, 1}, vilket ¨ar 2ⁿ[1, s.98]. Det som ˚aterst˚ar nu ¨ar att visa att denna bijektion ¨ar ordningsbevarande. I Bn ordnas m¨angderna efter inklusion, s˚a S≤ T om S ⊆ T . P˚a liknande s¨att i{0, 1}ⁿs˚a ordnas m¨angderna genom att S≤ T om det ¨ar s˚a att varje position i T ¨ar st¨orre ¨an eller lika med elementet p˚a samma position i S. D¨armed ¨ar bijektionen ordningsbevarande.

Exempel 4.8. F¨or B2blir detta

{1, 2} 7→ 11 {1} 7→ 10 {2} 7→ 01

∅ 7→ 00

Sats 4.2. Den boolska algebran av en pom¨angd med n element ¨ar isomorf med den omv¨anda pom¨angden, Bn∼= Bn^op.

Bevis. Bn={S ⊆ [n]}. Definiera funktionen φ : Bn→ Bn^ops˚adan att φ(S) = [n]\ S = S^{.

φ ¨ar en bijektion, ty φ⁻¹= φ d˚a vi ˚aterf˚ar samma m¨angd om vi applicerar φ tv˚a g˚anger. Funktionen ¨ar ¨aven ordningsbevarande eftersom

S⊆ T ⇐⇒ S^{⊇ T^{ s˚a g¨aller att

S≤ T i Bn ⇐⇒ φ(S) ≤ φ(T ) i Bn^op.

4.3 Pom¨ angden av delare D

Sats 4.3. Om n =Qk

i=1p^a_iⁱ s˚a ¨ar Dn∼= [a1+ 1]× [a2+ 1]× ... × [ak+ 1].

Bevis. Om n =Qk

i=1p^a_iⁱs˚a kan ¨ar varje delare d =Qk

i=1p^b_iⁱd¨ar 0≤ bi≤ ai. Varje delare kan skrivas om som ett ord av l¨angd k d¨ar d7→ (x1x2...xk) och d¨ar varje element xiges av f¨oljande funktion.

xi= max{b : p^bi |

Vilket inneb¨ar att bokstaven i ordet motsvarar multipliciteten av primtals- faktorerna i d. Allts˚a kan d skrivas som en produkt av kedjor med respek- tive l¨angd lika med exponenten till vardera primtalsfaktor. Enligt aritmetikens fundamentalsats s˚a ¨ar detta en bijektion d˚a varje tal har en unik primtalsfak- torisering. Dessutom f˚ar vi ¨aven att bijektionen ¨ar ordningsbevarande enligt aritmetikens fundamentalsats som s¨ager att ett tal n ¨ar delbart med ett tal d om varje primtalsfaktor i n har st¨orre multiplicitet ¨an motsvarande i d.

Exempel 4.9. F¨or D45blir detta

457→ 21 157→ 11 97→ 20 57→ 01 37→ 10 17→ 00.

Exempel 4.10. Hassediagrammet f¨or delarna till 60 visas i nedan figur.

H¨ar ¨ar allts˚a D60∼= [3]× [2] × [2].

Sats 4.4. Pom¨angden av delare till n, Dn¨ar isomorf med den omv¨anda pom¨angden D^op_n .

Bevis. Definiera funktionen ϕ : Dn → Dn^op s˚adan att ϕ(d) = ⁿ_d. Detta ¨ar en bijektion, ty ϕ = ϕ⁻¹ eftersom ϕ(ϕ(d)) = _n/dⁿ = d. och d| e ⇐⇒ ⁿe | ⁿd

Funktionen ¨ar ¨aven ordningsbevarande eftersom d1≤ d2 ⇐⇒ n

d1 ≥ n d2

s˚a g¨aller att

d1≤ d2i Dn ⇐⇒ ϕ(d1)≤ ϕ(d2) i D_n^op.

5 Incidensalgebra

Om P ¨ar en pom¨angd s˚a l˚ater vi Int(P ) beteckna m¨angden av slutna intervall i P . L˚at K vara en kommutativ ring, h¨adanefter kommer ringen av komplexa tal,C, anv¨andas. D˚a definierar vi incidensalgebran I(P ) ¨over C som ringen av alla funktioner

f : Int(P )→ C d¨ar multiplikation ¨ar definierad av

f g([s, u]) = X

s≤t≤u

f ([s, t])g([t, u]).

H¨adanefter skrivs f ([s, u]) som f (s, u).

Proposition 5.1. Incidensalgebran I(P ) har en multiplikativ identitet δ som definieras av

δ(s, t) =

 1, om s=t 0, om s6= t.

Sats 5.1. Gruppen I(P )^× av inverterbara element i I(P ) verkar fr˚an h¨oger p˚a m¨angden av alla funktioner P → C.

Bevis.F¨or att verifiera att detta ¨ar en gruppverkan s˚a m˚aste vi verifiera att f δ(s, u) = f (s, u)

och

f (ξη)(s, u) = (f ξ)η(s, u).

F¨orst ber¨aknar vi f δ(s, u).

f δ(s, u) = X

s≤t≤u

f (s, t)δ(t, u) = f (s, u).

Sedan ber¨aknar vi f (ξη)(s, u) och (f ξ)η(s, u).

f (ξη)(t) = X

s≤t≤u

f (s, t)(ξη)(t, u) = X

s≤t≤u

f (s, t) X

t≤w≤u

ξ(t, w)η(w, u) =

= X

s≤t≤w≤u

f (s, t)ξ(t, w)η(w, u)

och

(f ξ)η(s, u) = X

s≤w≤u

(f ξ)(s, w)η(w, u) = X

s≤t≤w

f (s, t)ξ(t, w) X

s≤w≤u

η(w, u) =

= X

s≤t≤w≤u

f (s, t)ξ(t, w)η(w, u).

D¨armed verkar gruppen I(P )^×fr˚an h¨oger p˚a alla funktioner P → C.

Definition 5.1. M at(P ) ¨ar m¨angden av n× n-matriser M = (mij) s˚adana att mij = 0 om inte ti≤ tj.

Sats 5.2. Incidensalgebran I(P ) av en pom¨angd ¨ar isomorf med M at(P ) under matrismultiplikation.

Bevis. Identifiera incidensalgebran med m¨angden av alla funktioner f : P× P → C, d¨ar f(tⁱ, tj) = 0 om ti6≤ t^j. Identifiera mij= f (ti, tj).F¨or den j : e kolonnen i matrisen g¨aller f¨oljande.

















m11 m21 . . . m1j . . . m1j

m21 m22 . . . m2j . . . ... ... ... ... ... ... ... mj1 mj2 . . . mjj ... ... ... ... ... m(j+1)j . .. ... ... ... ... ... . .. ... mn1 mn2 . . . mnj . . . mjj

















F¨or elementen p˚a raderna i med 1≤ i ≤ j s˚a g¨aller att elementen ¨ar nollskilda om ti ≤ tj och elementen ¨ar lika med noll om ti och tj ¨ar oj¨amf¨orbara. F¨or elementen p˚a raderna j < i≤ n g¨aller att elementen ¨ar lika med noll i och med att i≥ j f¨or dessa element. Upprepas detta p˚a alla kolonner j med 1≤ j ≤ n s˚a f˚as en ¨overtriangul¨ar n× n-matris.

F¨or att incidensalgebran ska vara isomorf med matrisalgebran s˚a g¨aller att multiplikation ska bevaras. Multiplikation i incidensalgebran ¨ar definierad av

f g(i, j) = X

i≤ k≤j

f (i, k)g(k, j).

Samtidigt ¨ar matrismultiplikation mellan tv˚a n× n-matriser M = (mij) och N = (nij) definierad av

M N = Xn k=1

miknkj.

Eftersom mijkan definieras som f (i, j) enligt tidigare definition och nij som g(i, j) p˚a samma s¨att s˚a blir det tydligt att multiplikation bevaras.

I och med att incidensalgebran ¨ar isomorf med M at(P ) under matrismul- tiplikation ¨ar det enkelt att se att identiteten i incidensalgebran ¨ar precis den definierad i Proposition 5.1. Identitetsmatrisen f¨or ¨overtriangul¨ara matriser ¨ar just matriserna d¨ar elementen mij ¨ar lika med 1 om i = j och 0 annars, vilket blir den vanliga enhetsmatrisen.

Exempel 5.1. Incidensalgebran I(P ) till pom¨angden P i figur 2 ¨ar isomorf med algebran av alla matriser p˚a formen i figur 1.







∗ 0 ∗ 0

0 ∗ ∗ ∗

0 0 ∗ 0

0 0 0 ∗





 F igur 1.

Figur 2.

Sats 5.3. L˚at f∈ I(P ). D˚a ¨ar f¨oljande ekvivalent.

a. f har en v¨ansterinvers.

b. f har en h¨ogerinvers.

c. f har en dubbelsidig invers som ¨ar den unika v¨anster- och h¨ogerinversen.

d. f (t, t)6= 0 f¨or alla t ∈ P .

Bevis. I och med att incidensalgebran ¨ar isomorf med ringen av ¨overtriangul¨ara matriser d¨ar detta g¨aller, s˚a f¨oljer det att a,b och c ¨ar ekvivalenta.

Att f g = δ ¨ar ekvivalent med

f (s, s)g(s, s) = 1 f ¨or alla s∈ P och

f (s, u)g(s, u) = 0.

Vilket enligt definitionen blir X

s≤t≤u

f (s, t)g(t, u) = 0.

Om vi tar ut termen n¨ar s = s fr˚an summan s˚a f˚as f (s, s)g(s, u) + X

s<t≤u

f (s, t)g(t, u) = 0.

Sedan flyttas summan ¨over till h¨ogerledet och vi tar inversen av f p˚a b˚ada sidor.

g(s, u) =−f(s, s)⁻¹ X

s<t≤u

f (s, t)g(t, u) f ¨or alla s < u∈ P.

Det f¨oljer att f har en h¨ogerinvers g om och endast om f (s, s) 6= 0 f¨or alla s∈ P . P˚a samma s¨att visar hf = δ att f har en v¨ansterinvers h om och endast om f (s, s)6= 0 f¨or alla s ∈ P . Om fg = δ och hf = δ f¨oljer det att g = h och a,b,c och d ¨ar ekvivalenta.

Exempel 5.2. En funktion i I(P ) att betrakta ¨ar zetafunktionen ζ som definieras av

ζ(t, u) = 1 f¨or alla t≤ u i P .

Det f¨oljer d˚a att

ζ²(s, u) = X

s≤t≤u

ζ(s, t)ζ(t, u) = X

s≤t≤u

1 = #[s, u].

Zetafunktionen i kvadrat r¨aknar d¨armed antalet element i intervallet mellan s och u.

6 M¨ obiusinversionen

Zetafunktionen av en pom¨angd P ¨ar inverterbar och dess invers kallas f¨or M¨obiusfunktionen av P . M¨obiusfunktionen betecknas µ och karakt¨ariseras av

µ(s, s) = 1, f ¨or alla s∈ P.

µ(s, u) =− X

s≤t<u

µ(s, t), f ¨or alla s < u∈ P.

Det h¨ar f¨oljer fr˚an Sats 5.3 d¨ar µ ¨ar inversen till ζ. Eftersom zetafunktionen alltid antar v¨ardet 1 f¨or alla (s, t) s˚a f˚as ovanst˚aende definition.

Sats 6.1. (M¨obius inverteringsformel). L˚at P vara en ¨andlig pom¨angd.

L˚at f, g : P → C. D˚a ¨ar

g(t) =X

s≤t

f (s) f ¨or alla t∈ P

om och endast om

f (t) =X

s≤t

g(s)µ(s, t) f ¨or alla t∈ P.

Bevis. Enligt Sats 5.1 verkar gruppen I(P )^×fr˚an h¨oger p˚a alla funktioner P → C, formeln f¨or M¨obiusinversionen ¨ar d˚a p˚ast˚aendet att

f ζ = g ⇐⇒ f = gµ.

Som ¨ar sant eftersom ζ och µ ¨ar varandras inverser.

Sats 6.2. L˚at P vara en ¨andlig pom¨angd. L˚at f, g : P → C. D˚a ¨ar g(t) =X

t≤s

f (s) f ¨or alla t∈ P

om och endast om

f (t) =X

t≤s

g(s)µ(s, t) f ¨or alla t∈ P.

Bevis. Gruppen I(P^op)^×verkar fr˚an v¨anster p˚a m¨angden av alla funktioner P → C genom

(ξf )(t) =X

t≤s

ξ(t, s)f (s).

Formeln f¨or M¨obiusinversionen ¨ar d˚a p˚ast˚aendet att ζf = g ⇐⇒ f = µg.

Som ¨aven det ¨ar sant eftersom ζ och µ ¨ar varandras inverser.

Exempel 6.1. M¨obiusfunktionen p˚a en kedja ¨ar f¨oljande.

µ(i, j) =

( 1, om i = j -1, om i+1 = j

0, annars.

Bevis. Fr˚an ekvationerna

µ(s, s) = 1, f ¨or alla s∈ P µ(s, u) =− X

s≤t<u

µ(s, t), f ¨or alla s < u∈ P

s˚a f¨oljer det fr˚an den f¨orsta ekvationen att µ(i, j) = 1 om i = j. Fr˚an den andra ekvationen s˚a f¨oljer det att summan av M¨obiusfunktionen p˚a alla elementen som ligger under u n¨ar vi ber¨aknar µ(s, u) ska vara lika med noll. D¨armed f˚ar vi att M¨obiusfunktionen blir lika med noll n¨ar avst˚andet mellan i och j ¨ar st¨orre ¨an tv˚a.

Exempel 6.2. Ber¨akningen av µ(ˆ0, t) p˚a olika pom¨angder kan se ut som f¨oljande:

P˚a samma s¨att som vid ber¨akningen av M¨obiusfunktionen av en kedja s˚a f¨oljer det ¨aven h¨ar att summan av M¨obiusfunktionen av alla element som ligger under det elementet vi r¨aknar till ska bli samma som v¨ardet av M¨obiusfunktionen av det elementet. D¨armed kan vi se det som att summan av M¨obiusfunktionen fr˚an ett element tillsammans med alla som ligger under det ska bli lika med noll.

D¨arf¨or f˚ar vi till exempel i den andra figuren att alla element som t¨acker ˆ0 f˚ar v¨ardet -1 medan ˆ1 f˚ar v¨ardet 5.

6.1 Olika ber¨ akningar av M¨ obiusfunktionen

M¨obius inverteringsformel kan anv¨andas p˚a olika typer av pom¨angder med olika syften. H¨ar f¨oljer ett par exempel p˚a hur M¨obius inverteringsformel ber¨aknas och hur den generella formeln utmynnar i specifika fall. F¨or att kunna be- visa hur man ber¨aknar M¨obiusfunktionen f¨or olika pom¨angder beh¨over vi f¨orst produktsatsen.

Sats 6.3. L˚at P och Q vara ¨andliga pom¨angder och l˚at P × Q vara deras produkt. Om (s, t)≤ (s⁰, t⁰) i P× Q s˚a ¨ar

µP×Q((s, t), (s⁰, t⁰)) = µP(s, s⁰)µQ(t, t⁰).

Bevis. L˚at (s, t)≤ (s⁰, t⁰). D˚a ¨ar X

(s,t)≤(u,v)≤(s⁰,t⁰)

µP(s, u)µQ(t, v) = X

s≤u≤s⁰

µP(s, u)

! X

t≤v≤t⁰

µQ(t, v)

!

=

= δss⁰δtt⁰ = δ(s,t)(s⁰,t⁰).

δ i det h¨ar fallet ¨ar Kronecker delta, som definieras precis som i Proposition 5.1. Det som detta betyder f¨or beviset ¨ar just att enligt tidigare definition s˚a g¨aller att summan

X

s≤u≤s⁰

µP(s, u) = 0 om inte s = s⁰ d˚a den ¨ar lika med 1, och summan

X

t≤v≤t⁰

µQ(t, v) = 0

om inte t = t⁰, d˚a den ¨ar lika med 1. Vilket d˚a ger Kronecker deltat.

6.1.1 M¨obiusfunktionen av Bn

Exempel 6.3. L˚at P = Bn, den boolska algebran av rang n. D˚a ¨ar Bn∼= [2]ⁿ och M¨obiusfunktionen p˚a kedjan [2]ⁿ = {0,1} ges av µ(0, 0) = µ(1, 1) = 1 och µ(0, 1) =−1. Fr˚an Exempel 4.1 kan vi erinra oss delm¨angderna S och T som ord av l¨angd n med ettor och nollor, d¨ar de ocks˚a ¨ar ordnade p˚a s˚adant s¨att att om S≤ T s˚a g¨aller det att om ett element finns i S s˚a ska det ocks˚a finnas i T . Allts˚a om en etta finns i S s˚a ska den ocks˚a finnas i T . Enligt produktsatsen blir d˚a

µBn(S, T ) = µBn((s1s2...sn), (t1t2...tn)) = µ[2](s1, t1)µ[2](s2, t2)...µ[2](sn, tn).

Eftersom varje µ2(si, ti) ¨ar antingen lika med 1 om si= ti och lika med -1 om si 6= ti, allts˚a om ett element finns med i b˚ade S och T eller bara i T , s˚a blir M¨obiusfunktionen lika med

µ(S, T ) = (−1)^{|T \S|}. M¨obiusinversionen f¨or Bnblir d˚a

g(T ) =X

S⊆T

f (S), f ¨or alla S⊆ X

om och endast om

f (T ) = X

S⊆T

(−1)^{|T \S|}g(S), f ¨or alla S⊆ X.

Vilket ¨ar principen om inklusion-exklusion.

Om vi har en universell m¨angd X med delm¨angderna A1, ..., An⊆ X s˚a kan vi definiera en funktion ϕ : X → Bnd¨ar ett element x7→ (ϕ1(x), ϕ2(x), ..., ϕn(x)) i Bn∼= [2]ⁿs˚adant att

ϕi(x) =

 0 om x /∈ Ai

1 om x∈ Ai.

Informellt kan vi betrakta detta som att en etta betyder ”Ja” f¨or att x ¨ar ett element i m¨angden Ai och en nolla betyder ”Nej”.

Sedan definierar vi en funktion f : Bn → C, d¨ar f(w) = #{x | φ(x) = w}, som r¨aknar antalet element som endast uppfyller kraven f¨or de m¨angder i vilken de r¨aknas. Vi definierar ¨aven en funktion g : Bn → C, d¨ar g(w) =

#{x ∈ X | φ(x) ≥ w}, som r¨aknar alla element i en m¨angd Ai, men d¨ar ¨aven element som uppfyller andra m¨angder ocks˚a r¨aknas in. Applicering av M¨obius inverteringformel blir sedan att antalet element i olika m¨angder och snitten p˚a dessa adderas respektive subtraheras s˚asom i Principen om Inklusion-Exklusion.

I Sats 2.1 s˚a adderas och subtraheras kardinaliteten n¨ar snittet tas p˚a i m¨angder i taget. Att r¨akna snittet p˚a i m¨angder kan h¨ar ¨overs¨attas i den boolska algebran som att det kommer finnas i st ettor i ”ordet”.

Exempel 6.4. I Exempel 2.1 s˚a anv¨andes principen om inklusion-exklusion f¨or att r¨akna ut hur m˚anga patienter som inte hade n˚agot av de listade symptomen.

Om vi nu ist¨allet vill nyttja M¨obiusfunktionen s˚a tecknar vi f¨orst om m¨angderna till en boolsk algebra med tre element. D˚a f˚ar vi:

g(100) = antal patienter med halsont = 14 g(010) = antal patienter med hosta = 12 g(001) = antal patienter med feber = 10

g(110) = antal patienter med b˚ade halsont och hosta = 7 g(101) = antal patienter med b˚ade halsont och feber = 3 g(011) = antal patienter med b˚ade hosta och feber = 4 g(111) = antal patienter med halsont, hosta och feber = 2.

Det vi nu s¨oker ¨ar f(000), allts˚a hur m˚anga element som inte tillh¨or n˚agon av de tre m¨angderna. M¨obius inverteringsformel ger d˚a

f (000) = X

S⊆T

(−1)^|S\000|g(S) =

= (−1)^|111\000|· 2 + (−1)^|011\000|· 4 + (−1)^|101\000|· 3 + (−1)^|110\000|· 7+

+(−1)^|001\000|· 10 + (−1)^|010\000|· 12 + (−1)^|100\000|· 14 + (−1)^|000\000|· 35 =

=−2 + 4 + 3 + 7 − 10 − 12 − 14 + 35 = 11.

Precis som n¨ar vi anv¨ande inklusion-exklusion s˚a f˚ar vi svaret att 11 patienter inte har n˚agot av de listade symptomen. Det visar sig att M¨obiusinversionen p˚a de boolska algebran ger samma slags alternerande addition och subtraktion av v¨ardena p˚a snitten som i principen om inklusion-exklusion.

Nu gjordes detta algebraiskt, men genom att rita upp Hassediagrammet f¨or B3 enligt Exempel 4.5 och ber¨akna M¨obiusfunktionen µ(ˆ0, t) s˚a f˚as en grafisk representation av exakt de v¨arden som uppst˚ar n¨ar M¨obius inverteringsformel anv¨ands.

6.1.2 M¨obiusfunktionen av Dn

Exempel 6.5. L˚at f, g vara funktioner definierade p˚aN. M¨obius inverterings- formel ger d˚a att

f (n) =X

d|n

g(d) om och endast om

g(n) =X

d|n

f (d)µ(d, n).

Enligt Sats 4.3 s˚a ¨ar Dn∼= [a1+1]×[a2+1]×...×[ak+1]. Med produktsatsen blir d˚a

µDn(d, n) = µ[a1+1](x1, y1)µ[a2+1](x2, y2)...µ[ak+1](xk, yk) d¨ar

µ[ai+1]=

( 1 om xi= yi

-1 om xi+ 1 = yi

0 annars.

V¨aljer vi att ber¨akna M¨obiusfunktionen fr˚an ˆ0 = 1 till en delare d, d¨ar d| n, f˚as den talteoretiska M¨obiusfunktionen. Detta eftersom µ d˚a r¨aknas p˚a kedjorna som l¨angden till multipliciteten av en primfaktor, vilket d˚a precis ger den talteoretiska M¨obiusfunktionen.

Exempel 6.6.

µD60(1, 60) = µ[3](0, 2)µ[2](0, 1)µ[2](0, 1) = 0· (−1) · (−1) = 0

H¨ar ser vi ˚aterigen att den kvadratiska faktorn 2²ger att M¨obiusfunktionen f˚ar v¨ardet 0.

Exempel 6.7.

µD42(1, 42) = µ[2](0, 1)µ[2](0, 1)µ[2](0, 1) = (−1) · (−1) · (−1) = (−1) P˚a samma s¨att kan vi h¨ar se att eftersom 42 = 2· 3 · 7 s˚a inneh˚aller 42 tre unika primtalsfaktorer och M¨obiusfunktionen blir (−1)³ = (−1), s˚a som den definieras i talteori.

Exempel 6.8. I Exempel 4.10 visades Hassediagrammet f¨or m¨angden av delare till 60. Att ber¨akna M¨obiusfunktionen µ(ˆ0, t) p˚a denna pom¨angd ser ut som f¨oljer.

Det som kan observeras fr˚an ovanst˚aende Hassediagram ¨ar just att n¨ar en delare inneh˚aller en primfaktor i kvadrat s˚a blir M¨obiusfunktionen av det talet lika med noll.

7 Sammanfattning

Det som har visats ¨ar att beroende p˚a f¨orh˚allande s˚a mynnar M¨obius inverter- ingsformel ut i tv˚a v¨alk¨anda koncept. Detta genom att fokusera p˚a tv˚a olika sorters partiellt ordnade m¨angder och hur M¨obiusfunktionen ber¨aknas p˚a dem.

Principen om inklusion-exklusion och den talteoretiska M¨obiusfunktionen har allts˚a mer gemensamt ¨an vad som uppfattas vid en f¨orsta blick.

K¨ allf¨ orteckning

[1] N.L. Biggs. Discrete Mathematics. Oxford University Press, 2002.

[2] E. O’Donnell C.J. Spegiel. Incidence Algebras. Dekker, 1997.

[3] R.P. Stanley. Enumerative Combinatorics. Cambridge University Press, 1997.