MA2018 Tillämpad Matematik III-Statistik, 3.5hp. 2021-08-11 Hjälpmedel: Penna, radergummi och linjal. Räknedosa och medföljande formelsamling är tillåtna!
Tentamen består av 20 frågor! Endast Svarsblanketten ska lämnas in! Inget tentamensomslag!
För bedömning och betygsgränser se kursens hemsida. Lösningsförslag anslås på kursens hemsida efter tentamen.
Lycka till! Mats 0729 773 575 Del A
1. Vid en produktion kan två olika fel, A och B, uppkomma på den tillverkade detaljen. Man vet att P A 0.1, P B 0.2 och P A B 0.05. Beräkna sannolikheten att exakt ett av felen uppkommer på en slumpmässigt vald detalj. (1p)
Lösningsförslag: P exakt ett av felen PA BC PAC B P A P B 2P A B 0.1 0.2 2 0.05 0.2 0.1 0.2 2 0.05
0.2
Rätt svarsalternativ: b a 0.15 b 0.20 c 0.25 d 0.30 e Inget av a till d.
2. En grupp bestående av 15 kvinnor och 5 män ska utse en kommitté bestående av 5 personer. Hur stor är sannolikheten att minst en man ingår i kommittén om alla i gruppen har samma chans att utses? Ange ditt svar i % avrundat till en decimal. (1p)
Lösningsförslag: P minst en man 1 P ingen man 1
15 5
5 0 20
5
1 15 14 13 12 11 20 19 18 17 16 0.806
1 15 14 13 12 11 20 19 18 17 16
, Binomial 15, 5 Binomial 5, 0 Binomial 20, 5
,
PDF HypergeometricDistribution 5, 5, 20 , 0 N 0.806308, 0.806308, 0.806308
Rätt svarsalternativ: b a 19.4 b 80.6 c 44.0 d 56.0 e Inget av a till d.
3̅4. När ett företag skickar varor till sina återförsäljare sker detta med antingen buss, tåg eller flyg. 60% sker med buss, 30% med tåg och 10% med flyg. Andelen transportskadade varor är 4% med buss, 2% med tåg och 1% med flyg.
3. Hur stor andel av alla varor kan man räkna med att få transportskadade? Ange ditt svar i % avrundat till en decimal. (1p) Lösningsförslag: Låt T vara händelsen en vara blir transportskad. Enligt förutsättningarna är
P Buss 0.6, P Tåg 0.3 och P Flyg 0.1 samt P T Buss 0.04, P T Tåg 0.02 och P T Flyg 0.01 P T P Buss T P Tåg T P Flyg T
P Buss P T Buss P Tåg P T Tåg P Flyg P T Flyg 0.6 0.04 0.3 0.02 0.1 0.01 0.031
s 0.6, 0.3, 0.1 ; p 0.04, 0.02, 0.01 ; s.p
0.031
Rätt svarsalternativ: d a 7.0 b 4.6 c 5.2 d 3.1 e Inget av a till d.
4. Om man mottar en transportskadad vara, hur stor är sannolikheten att det skickats med flyg? Ange ditt svar i % avrundat till en decimal. (1p)
Lösningsförslag: Vi får P Flyg T P Flyg TP T P Flyg P T Flyg
P T uppg 3 0.1 0.010.031 0.032.
s p
s.p P Skickas med Buss,Tåg,Flyg 0.774194, 0.193548, 0.0322581
Rätt svarsalternativ: b a 2.5 b 3.2 c 6.7 d 7.5 e Inget av a till d.
5̅6. I en av högskolans alla hissar finns en skylt som säger “högst 6 personer eller 400 kg”. Personvikten i kg hos en slumpvis utvald hissåkare antas vara N 70, 10 .
5. Beräkna väntevärde och varians för den sammanlagda vikten för 6 personer. (1p) Lösningsförslag: Vi harΞi N 70, 10 och Y i 16 Ξi
E Y E i 16 Ξi i 16 EΞi 6 70 420 V Y V i 16 Ξi i 16 V Ξi 6 102 600
6 70, 6 102 420, 600
Rätt svarsalternativ: c a Μ,Σ2 420, 60 b Μ,Σ2 420, 360
c Μ,Σ2 420, 600 d Μ,Σ2 420, 3600 e Inget av a till d.
6. Vad är sannolikheten att 6 personer väger mer än 400 kg. Ange ditt svar i % avrundat till en decimal. (1p) Lösningsförslag: Vi har Y i 16 Ξi vikt för 6 personer
Y N420, 600
P Y 400 1 P Y 400 1 400 420
600 1 0.82 1 1 0.82 0.82 0.7923
1 CDFNormalDistribution420, 600 , 400., CDF NormalDistribution 0, 1 , 0.82 0.792892, 0.793892
Rätt svarsalternativ: e a 63.0 b 89.3 c 77.5 d 20.7 e Inget av a till d.
7̅8. Den stokastiska variabeln Ξ har sannolikhetsfunktionen f x k4x x3 0 x 2
0 annars , där k är en konstant.
7. Bestäm k. (1p)
Lösningsförslag: Definition, f x x 1 02k4x x3 x 1 k2x2 x44
0
2 1 k8 164 1 k 14
Solve
0 2
k 4 x x3 x 1, Plot1 4
4 x x3, x, 0, 2
k 1 4,
0.5 1.0 1.5 2.0 0.2
0.4 0.6 0.8
Rätt svarsalternativ: e a 34 b 1 c 43 d 32 e Inget av a till d.
8. Bestäm väntevärdet för Ξ exakt. (1p)
Lösningsförslag: EΞ x f x x 02x144x x3 x 14 4 x33 x55
0
2 1
4323 325 146415 1615.
0 2
x1 4
4 x x3 x 16
15 Rätt svarsalternativ: a
a 1615 b 2115 c 2615 d 1 e Inget av a till d.
9. Vid en tillverkningsprocess är felsannolikheten 1%. Om man tillverkar 500 enheter, vad är sannolikheten att högst 5 är felaktiga?
Ange ditt svar i % avrundat till en decimal. (1p)
Lösningsförslag: LåtΞ antal felaktiga enheter,Ξ Bin 500, 0.01 Po 5 , n 10, p 0.1 P högst 5 felaktiga P Ξ 5 tabell0.61596
CDF BinomialDistribution 500, 0.01 , 5 , CDF PoissonDistribution 5 , 5 N,
CDFNormalDistribution500 0.01, 500 0.01 1 0.01 , 5 Inte så bra då V Ξ 10 0.615962, 0.615961, 0.5
Rätt svarsalternativ: d a 30.8 b 38.4 c 50.0 d 61.6 e Inget av a till d.
10. Enligt reklamen för Sverigelotten vinner man på var fjärde lott. Hur stor är sannolikheten att du får minst en vinstlott om du köper 10 st Sverigelotter? Ange ditt svar i % avrundat till en decimal. (1p)
Lösningsförslag: LåtΞ antalet vinstlotter. Om reklamen är sann så ärΞ Bin 10, 0.25 P minst en vinstlott P Ξ 1 1 P Ξ 0 tabell1 0.05631 0.94369 1 CDF BinomialDistribution 10, 0.25 , 0
0.943686
Rätt svarsalternativ: e a 18.7 b 89.3 c 81.2 d 75.6 e Inget av a till d.
Del B
11̅12. I en fabrik produceras brickor. Varje tillverkad bricka blir, oberoende av de övriga, defekt med sannolikheten 0.005. Efter tillverkning packas brickorna (utan kontroll) i kartonger med 100 brickor i varje. En kartong anses dålig om den innehåller mer än 3 defekta brickor.
11. Beräkna approximativt sannolikheten att en kartong är dålig. (1p)
Lösningsförslag: LåtΞ antal defekta brickor i en kartong,Ξ Bin 100, 0.005 . Då n 10 och p 0.1 ärΞ Po 0.5 , Λ np
P kartong dålig PΞ 4 1 PΞ 3 tabell1 0.99825 0.00175
1 CDF BinomialDistribution 100, 0.005 , 3 , CDF PoissonDistribution 0.5 , 3 0.00167327, 0.00175162
Rätt svarsalternativ: b
a 1.21 b 0.18 c 0.41 d 0.53 e Inget av a till d.
12. Beräkna approximativt sannolikheten att i ett parti med 10 000 kartonger finns mer än 25 dåliga. (1p) Lösningsförslag: SättΖ antal dåliga kartonger bland 10 000
Med sannolikhet p 0.0018 beräknad i föregående uppgift blirΖ Bin 10 000, 0.0018
EΖ np 10 000 0.0018 18 och V Ζ np 1 p 10 000 0.0018 1 0.0018 17.9676 ΖCGSN18, 17.9676
PΖ 25 1 PΖ 25 1 17.967625 18 1 1.65 1 0.9505 0.0495
1 CDF BinomialDistribution 10 000, p , 25 ,
CDFNormalDistribution10 000 p, 10 000 p 1 p , 25, CDF NormalDistribution 0, 1 , 1.65 . p 0.0018 0.0444593, 0.0493282, 0.0494715
Rätt svarsalternativ: d
a 3 b 7 c 2 d 5 e Inget av a till d.
13̅14. Ett bostadsområde planeras för 1000 hushåll. En undersökning visar att antalet barn i förskoleålder per hushåll Ξ, följer
fördelningen x 0 1 2 3
p x 0.5 0.3 0.15 0.05 . Låt sedan Y = antalet barn per 1000 hushåll.
13. Bestäm väntevärde Μ och varians Σ2 för Y. (1p) Lösningsförslag: LåtΞi antal barn i ett hushåll och
Μ E Ξi 0.5 0 0.3 1 0.15 2 0.05 3 0.75 Σ2 V Ξi EΞi2
0.752 0.5 02 0.3 12 0.15 22 0.05 32 0.752 0.7875 E Y E i 11000Ξi i 11000E Ξi och V Y V i 11000ΞiOber i 11000V Ξi
E Y 1000 0.75 750 och V Y 1000 0.7875 787.5 x 0, 1, 2, 3 ; p 0.5, 0.3, 0.15, 0.05 ;
ΜX p.x, ΣX2 p.x2 ΜX2 0.75, 0.7875
ΜY 1000 ΜX, Σ2Y 1000 ΣX2 750., 787.5
Rätt svarsalternativ: c a Μ,Σ2 750, 1350 b Μ,Σ2 650, 787.5
c Μ,Σ2 750, 787.5 d Μ,Σ2 650, 1350 e Inget av a till d.
14. Hur många dagisplatser ska man planera i bostadsområdet så att sannolikheten att alla barn i förskoleålder får plats blir minst 95%? Det vill säga bestäm A så att P Y A 0.95 och avrunda uppåt till närmsta 100-tal. (1p)
Lösningsförslag: Låt Y antalet barn i 1000 hushåll. Vi ska bestämma P Y A 0.95
Y i 11000Ξi. Med stöd från Centrala gränsvärdessatsen kan vi nu säga att Y N750, 787.5och
P Y A P Y A A 750
787.5 0.95 A 750
787.5 1.65 A 750 1.65 787.5 796.3
FindRootCDFNormalDistributionΜY, Σ2Y , A 0.95, A, 750 A 796.159
InverseCDFNormalDistributionΜY, Σ2Y , 0.95
796.159
Rätt svarsalternativ: a a 800 b 700 c 600 d 500 e Inget av a till d.
15̅16. Ett elektrisk instrument består av tre komponenter som alla fungerar oberoende av varandra och är defekta med sanno- likheten 0.10. För att ett instrument ska fungera krävs det att minst två av dessa komponenter är felfria.
15. Beräkna sannolikheten att ett slumpmässigt valt instrument fungerar. (1p) Lösningsförslag: LåtΞ antal icke fungerande komponenter,Ξ Bin 3, 0.10
P instrument fungerar PΞ 1 tabell0.9720
CDF BinomialDistribution 3, 0.1 , 1 ,
i 0 1
Binomial 3, i 0.1i 1 0.1 3 i
0.972, 0.972
Rätt svarsalternativ: c a 2.7 b 24.3 c 97.2 d 44.7 e Inget av a till d.
16. Instrumenten säljs i förpackningar om 250 st. Beräkna approximativt sannolikheten att högst 10 av dessa inte fungerar? (1p) Lösningsförslag: LåtΞ antal icke fungerande instrument,Ξ Bin 250, 1 0.972 Bin 250, 0.028
EΞ 250 0.028 7, n 10 och p 0.1 Ξ Po 7 och P Y 10 tabell0.9015 CDF PoissonDistribution 7. , 10 , CDF BinomialDistribution 250, 0.028 , 10 0.901479, 0.904506
Rätt svarsalternativ: a
a 90 b 97 c 87 d 77 e Inget av a till d.
17̅18. Vid ett reningsverk mättes dagligen syrekoncentrationen i vattnet. Den ansågs vara N Μ,Σ. Av erfarenhet kan man anta att Σ 2 mg/l. Efter 30 dagar fick man medelvärdet av syrekoncentrationen till x 2.52 mg/l.
17. Bestäm ett 99% konfidensintervall för den genomsnittliga syrekoncentrationen Μ? Avrunda, nedåt på nedre gräns och uppåt på övre gräns, till 3 decimaler. (1p)
Lösningsförslag: Stickprovet gerΜ x 2.52 ochΣ 2.0 känd
Ett 99 konfidensintervall förΜ x Λ0.005 Σn , medΛ0.005 2.5758
Μ 2.52 2.5758 302 , 99 Μ 2.52 0.940549 , 99 Μ 1.579, 3.461 , 99
x 2.52, Σ 2, Λ 2.5758, Λ Σ 30
2.52, 2, 2.5758, 0.940549
x 1, 1 Λ Σ 30 1.57945, 3.46055
Rätt svarsalternativ: e a Μ 2.052, 2.988 b Μ 1.672, 3.368 c Μ 1.804, 3.236 d Μ 1.580, 3.460 e Inget av a till d.
18. Vilket är det minsta antal dagar som man måste mäta syrekoncentrationen om man vill ha ett 99% konfidensintervall som är högst 1 mg/l långt? (1p)
Lösningsförslag: Sök n då intervallängden är 2Λ0.005 Σn 1 n 2 2.5758 22 106.156
Reduce2 2.5758 2 n
1, n Integers
n n 107.
Solve2 2.5758 2 n
1, n
n 106.156
Rätt svarsalternativ: a a 107 b 117 c 127 d 137 e Inget av a till d.
19̅20. Allsvenskan är igång igen efter EM-uppehållet. Efter lördagens matcher genomförde ett fotbollsmagasin en internetunder- sökning bland sina läsare. I denna deltog 1944 personer varav 1069 svarade NEJ på frågan: Kommer Halmstad BK åka ur Allsven- skan?
19. Kan man med utgångpunkt från denna undersökning säga att en majoritet av magasinets läsare tror att Halmstad BK klarar sig kvar i Allsvenskan i år? Besvara frågan med ett 95% konfidensintervall för p = andelen NEJ-svar. Avrunda, nedåt på nedre gräns och uppåt på övre gräns, till 3 decimaler. (1p)
Lösningsförslag: Ξ antal NEJ–svar,Ξ Bin 1069, p , p nΞCGSN p, p 1 pn
Konfidensintervall för p : p p ΛΑ2 p 1 p
n , 1 Α 100
Λ0.025 1.96 ger konfidensgrad 95 och från stickprovet fås p 10691944 0.55 Detta ger p 0.55 0.0221 , 95 dvs p 0.527, 0.573 , 95
Λ0.025 1.96, p
1069
1944., n 1944, e Λ0.025
p 1 p
n
1.96, 0.549897, 1944, 0.0221159
p e, e 0.527781, 0.572013
Rätt svarsalternativ: d a Nej eftersom p 0.500, 0.600 95 b Nej eftersom p 0.497, 0.603 95
c Ja eftersom p 0.530, 0.571 95 d Ja eftersom p 0.527, 0.573 95 e Inget av a till d.
20. Hur många behöver svara på frågan för att längden på konfidensintervallet ovan ska bli högst 0.03? Använd skattningen av p ovan och avrunda uppåt till närmsta 10-tal. (1p)
Lösningsförslag: Vi söker N så 2 1.96 0.55 1 0.55
N 0.03 N 2 1.960.03 20.55 1 0.55 4226
Reduce2 1.96 p 1 p N
0.03, N Integers
N N 4226.
Rätt svarsalternativ: c a 1520 b 3550 c 4230 d 9510 e Inget av a till d.
