Några viktiga satser om deriverbara funktioner.

Några viktiga satser om deriverbara funktioner.

1. Rolles sats.

2. Differentialkalkylens medelvärdessats (=Lagranges medelvärdessats).

3. Cauchys medelvärdessats.

Sats 1. Om funktionen f är deriverbar i en punkt x0 så är f kontinuerlig i samma punkt.

Anmärkning: Vi kan skriva satsen på kortare sätt:

Sats 1.{ f är deriverbar i punkten x0} ⇒ { f är kontinuerlig i punkten x0} Bevis:

Vi ska bevisa att lim( ( )) ( ₀)

0

x f x f

x

x =

→ eller ekvivalen lim( ( )) ( ₀)) 0

0

=

→ f x − f x

x

x .

Vi har

)]

)( ( ) [ ( lim )) ( )) ( (

lim ₀

0 0 0

0 0

x x x

x x f x x f

f x

f x x

x

x −

−

= −

− →

→

= ( ) ( ) lim( )

lim ₀

0 0

0 0

x x x

x x f x f

x x x

x ⋅ −

−

−

→

→ ( eftersom f är deriverbar i punkten x₀ )

= f′ x( ₀)⋅0= 0 V.SB.

Anmärkning. Omvänt påstående gäller inte. Funktionen kan vara kontinuerlig i en punkt utan att vara deriverbar i punken.

T ex 𝑦𝑦 = |𝑥𝑥| är kontinuerlig i punkten 𝑥𝑥 = 0 men saknar derivatan i denna punkt (vänsterderivatan är

−1 medan högerderivatan är 1)

========================================

Sats 2.

Om funktionen f är deriverbar i punkten c och om f har ett lokalt extremum, maximum eller minimum i c , så är

0 )

( =

′ c

f .

Anmärkning: Vi kan skriva satsen på kortare sätt:

Sats 2.

0 ) (

i minimum eller

maximum har

2.

punkten

i deriverbar är

1. ⇒ ′ =







 f c

c f

c f

Bevis:

Antag att f har maximum i punkten c och att derivatan i c , dvs

c x

c f x f

c

x −

−

→

) ( )

lim (

existerar. Eftersom f(c) är ett maximivärde är f(x)− f(c)≤0i en omgivning av punkten c. Därför i denna omgivning gäller :

O c

Figur. 1

Sida 1 av 11

a) ( ) ( ) 0 lim

) ( ) 0

( )

( ≥

−

= −

⇒ ′

− ≥

⇒ −

< → x c

c f x c f

c f x

c f x c f

x

c

x .

b) ( ) ( ) 0

lim ) ( ) 0

( )

( ≤

−

= −

⇒ ′

− ≤

⇒ −

> → x c

c f x c f

c f x

c f x c f

x x c .

Från a) och b) har vi f′ c( )≥0 och f′ c( )≤0 och därför f′ c( )=0V.S.B

Anmärkning: Kravet " f är deriverbar ipunktenc" är viktigt eftersom det finns funktioner som har extrempunkter i vilka funktionen saknar derivatan. Punkten c i nedanstående figur är en maximipunkt, medan derivatan saknas i c.

O c

Figur. 2 f(x)

===============================================

Sats 3. (Rolles sats, variant 1). Om funktionen f är 1. kontinuerlig i det slutna intervallet a≤ x≤b , 2. deriverbar i det öppna intervallet a<x<b 3. och om f(a)= f(b)=0,

så finns (minst) en punkt c i intervallet ( ba, )sådan att f'(c)=0.

O a b

c

Geometrisk tolkning av Rolles sats: Om de tre villkoren i Rolles sats är uppfyllda då finns det minst en punkt (c,f(c)) på kurvan y = f( x) sådan att tangenten i punkten är parallell med x-axeln.

Anmärkning: Antagandet " f är deriverbar i det öppna intervallet a<x<b" medför att f är kontinuerlig i det öppna intervallet a< x<b. I krav 1 kräver vi utöver detta att funktionen f är dessutom vänster kontinuerlig i a och höger kontinuerlig i b. Om detta är inte uppfylld kan det hända att f'(x)≠0 i hela ( ba, )som exempelvis för följande funktion:







=

<

<

=

≡

3 för 0

3 1

för 1/x

1 för 0 ) (

x x x x

f

Sida 2 av 11

Funktionen är deriverbar och kontinuerligt i intervallet 1< x<3 men ej kontinuerlig i ändpunkter. För denna funktion är f'(x)<0för alla x i intervallet 1< x<3. Med andra ord, det finns ingen c som satisfierar f'(c)=0; ingen tangent till kurvan y=f(x) är parallell med x axeln )

Bevis av Rolles sats:

Om funktionen f är konstant i intervallet [a,b] dvs om f(x)=0 för alla x i [a,b] är satsen trivial, för då är f'(x)=0 för alla x i intervallet (a, b) , och därmed vilken som helst punkt c i intervallet ( ba, ) satisfierar f'(c)=0.

Om funktionen f inte är konstant i intervallet då antar f värden ≠0. Vi kan t ex anta att f antar värden större än 0. Eftersom funktionen är kontinuerlig i det slutna intervallet antar funktionen sitt största (och sitt minsta) värde i en punkt c. Eftersom största värdet i vårt fall är > 0 måste punkten c ligga i det öppna intervallet ( ba, )där funktionen är deriverbar. Då gäller, enligt Sats 2, att f'(c)=0och därmed är Rolles sats bevisad.

Sats 4. (Rolles sats, variant 2): Om funktionen f är i) kontinuerlig i det slutna intervallet a≤ x≤b , ii) deriverbar i det öppna intervallet a<x<b iii) och om f(a)= f(b),

så finns (minst) en punkt c i intervallet ( ba, )sådan att f'(c)=0.

Sida 3 av 11

Bevis: Vi bildar en hjälpfunktion ϕ(x)= f(x)− f(a) som uppfyller alla tre villkor i, ii och iii för Sats 3 (Rolles sats, variant 1) och dessutom ϕ'(x)= f'(x) Därmed finns minst en punkt c i

intervallet( ba, ) sådan att ϕ'(c)=0 dvs f'(c)=0.

==========================================================

MEDELVÄRDESSATS FÖR DERIVATOR

Följande viktiga sats (Lagranges medelvärdessats ) kallas i många kursboken Differentialkalkylens medelvärdessats, ( eller enbart medelvärdessatsen) Sats 5 Differentialkalkylens medelvärdessats (Lagranges medelvärdessats ):

Om funktionen f är

i) kontinuerlig i det slutna intervallet a≤x≤b , ii) deriverbar i det öppna intervallet a<x<b

så finns (minst) en punkt c i intervallet ( ba, ), sådan att )

) ( ( )

( f c

a b

a f b

f = ′

−

− (*)

Geometrisk tolkning: Om f uppfyller villkoren i Lagranges medelvärdessats så finns det en punkt c i intervallet ( ba, ) sådan att tangenten i punkten (c,f(c)) är parallell med kordan mellan punkterna (a, f(a)) och (b,f(b))

Anmärkning: Likheten (*) kan skrivas f(b)= f(a)+ f′(c)(b−a)

Bevis för Differentialkalkylens medelvärdessats (Lagranges medelvärdessats ):

Vi bildar en hjälpfunktion ( ) ( )( )

) ( [ ) ( )

( x a

a b

a f b a f

f x f

x −

− + −

−

ϕ = ^]

som uppfyller alla tre villkor i, ii och iii för Sats 2 (Rolles sats, variant 1) . i) ϕ(x)är kontinuerlig i det slutna intervallet a≤ x≤b

ii) ϕ(x)är deriverbar i det öppna intervallet a<x<b, och

iii) ϕ(a)=ϕ(b)=0

Därför ( enligt Rolles sats) finns minst en punkt c i intervallet ( ba, ), sådan att ϕ'(c)=0 Sida 4 av 11

Eftersom

a b

a f b x f

f

x −

− −

= ( ) ( )

) ( ' ) (

ϕ' .

får vi ( ) ( ) 0

) ( ' ) (

' =

−

− −

= b a

a f b c f

f

ϕ c , för minst en punkt c i intervallet ( ba, ) ,

och därför ( ) ( ) ( )

c a f

b a f b

f = ′

−

− vad skulle bevisas.

Anmärkning: Notera att hjälpfunktionen ϕ( x) är differensen mellan funktionen f( x) och räta linjen genom punkterna (a, f(a)) och (b,f(b))

===========================================================

Nedanstående sats (Cauchys medelvärdessats):är inte obligatorisk i kursen. ( men vi använder satsen i beviset av L’Hospitals regel)

Sats 6 (Cauchys medelvärdessats): Om f och g är definierade på [a,b] och uppfyller följande villkor

i) f och g är kontinuerliga över slutna intervallet a≤ x≤b ii) f och g är deriverbara i det öppna intervallet a< x<b, iii) g'(x)≠0i intervallet (𝑎𝑎, 𝑏𝑏),

så finns (minst) en punkt i intervallet (𝑎𝑎, 𝑏𝑏) sådan att )

( '

) ( ) ( ) (

) ( ) (

c g

c f a g b g

a f b

f ′

− =

− .

Bevis av Cauchys medelvärdessats: Vi bildar en hjälp funktion

)) ( ) ( ))(

( ) ( ( )) ( ) ( ))(

( ) ( ( )

(x = f b − f a g x −g a − g b −g a f x − f a ϕ

som uppfyller alla tre villkor i, ii och iii för Sats 3 (Rolles sats, variant 2) . i) ϕ(x)är kontinuerlig i det slutna intervallet a≤ x≤b

ii) ϕ(x) är deriverbar i det öppna intervalleta<x<b, och

iii) ϕ(a)= f(b)g(a)− f(a)g(b)=ϕ(b)

Därför ( enligt Rolles sats) finns minst en punkt c i intervallet ( ba, ) , sådan att

0 ) ( ' c = ϕ

Eftersom

) ( ' )]

( ) ( [ ) ( ' )]

( ) ( [ ) (

' x = f b − f a g x − g b −g a f x ϕ

har vi

0 ) ( ' )]

( ) ( [ ) ( ' )]

( ) ( [ ) (

' c = f b − f a g c − g b −g a f c = ϕ

eller [f(b)− f(a)]g'(c)=[g(b)−g(a)]f'(c)

Enligt antagandet gäller g'(x)≠0i intervallet ( ba, ), som medför att g(b)≠ g(a). ( annars, om g(b)=g(a), enligt Rolles sats, har vi en punkt där g'(x)=0 som strider mot antagandet) .

Alltså kan vi dela föregående ekvation med g'(c)[g(b)−g(a)]. Vi får

) ( '

) ( ) ( ) (

) ( ) (

c g

c f a g b g

a f b

f ′

− =

−

vad skulle bevisas.

============================================================

Sida 5 av 11

Sida 6 av 11 ÖVNINGAR:

Uppgift 1. Låt f( x)vara kontinuerlig på ett intervall I =[a,b] och deriverbar på (a,b) . Antag att ekvationen f(x)=0 har i intervallet I

a) fyra olika lösningar b) n olika lösningar .

Visa att ekvationen f′ x( )=0 har a) minst tre olika lösningar b) minst (n-1) olika lösningar.

Lösning:

a) Låt x₁,x₂,x₃,x₄ beteckna de fyra lösningar till f(x)=0 som ligger i intervallet I.

Eftersom funktionen är deriverbar ( och därmed kontinuerlig) på I och dessutom 0

) ( , 0 )

(x₁ = f x₂ =

f finns det, enligt Rolles sats, minst en punkt c som ligger i ₁ (x₁,x₂) sådan att f′ c( ₁)=0. Med samma resonemang inser vi att det finns minst en punkt c i ₂

) ,

(x₂ x₃ sådan att f′ c( ₂)=0 och minst en punkt c i ₃ (x₃,x₄)sådan att f′ c( ₃)=0. Därmed har ekvationen f′ x( )=0minst 3 lösningar i intervallet I.

b) På samma sätt som i a) inser vi att ekvationen f′ x( )=0har minst en lösning c som ligger ₁ i (x₁,x₂), minst en lösning c i ₂ (x₂,x₃), ..., minst en lösning c_n−1 i (x_n−1,x_n). Därmed har ekvationen f′ x( )=0 minst (n-1) lösningar i intervallet I.

Uppgift 2. Fäljande funktioner, definierade på intervallet [a,b] har inte någon tangent som är parallell med den räta linjen genom punkterna (a,f(a)) och (b,f(b)):

a) f(x)=|x|, −1≤ x≤2. (Intervallet [a,b] =[-1,2] ))

b)







=

<

<

=

≡

3 för 1

3 1

för 1/x

1 för 0 ) (

x x x x

f (Intervallet [a,b] =[1,3] )

Vilken av de två antaganden i medelvärdessatsen som inte är uppfyllt?

Svar a) Antagandet att funktionen är deriverbar på det öppna intervallet a< x<bär inte uppfyllt.( Saknas derivatan i punkten 0)

Svar b) Antagandet att funktionen är kontinuerlig på hela slutna intervallet[ 1,3] är inte uppfyllt . ( Funktionen är diskontinuerlig i ändpunkter.)

Uppgift 3. Låt f(x)= x³+1.Bestäm en punkt c i intervallet ( ba, ) sådan att tangenten i punkten (c,f(c)) är parallell med linjen genom punkterna (a, f(a)) och (b,f(b)) där

=0

a och b=1.

Lösning: Enligt medelvärdessatsen finns det (minst) en punkt c i intervallet ( ba, ), sådan att

3 2

0 1

1 ) 2

0 ( 1

) 0 ( ) 1 ) (

) ( ( )

( f f f c c

c a f

b a f b

f =

−

⇔ −

= ′

−

⇔ −

= ′

−

− .

Härav 3

2 = 1

c och

3

± 1

=

c . Endast

3

= 1

c ligger i intervallet (0,1).

Svar:

3

= 1

c _







= =

3 3 3 1

Uppgift 4. Bevisa följande sats:

Antag att f är en funktion som är kontinuerlig på ett intervall I, deriverbar i alla intervallets inre punkter och dessutom att f′ x( )=0 för alla intervallets inre punkter. Då är f en konstant på I .

Tips: Använd "differentialkalkylens medelvärdessats"

Lösning: Låt x och ₁ x vara två godtyckligt valda punkter ₂ x och ₁ x i intervallet I. Vi ska ₂ visa att f(x₁)= f(x₂). Eftersom f är kontinuerlig på [x₁,x₂] och deriverbar på (x₁,x₂) kan vi tillämpa medelvärdessatsen på intervallet [x₁,x₂].

Enligt medelvärdessatsen har vi )

) ( ( ) (

1 2

1

2 f c

x x

x f x

f = ′

−

− för en punkt c i intervallet (x₁,x₂),

eller f(x₂)− f(x₁)= f′(c)(x₂ −x₁).

Eftersom, enligt antagande, f ′(c)= 0 , har vi 0

) ( )

(x₂ − f x₁ =

f eller f(x₂)= f(x₁) för två godtyckliga punkter i intervallet I.

Därmed har vi bevisat att f( x) är konstant på intervallet I.

Växande och avtagande funktioner:

Antag att funktionen f( x) är definierad på ett interval I och att x och ₁ x var två punkter i ₂ intervallet. Vi definierar växande och avtagande funktioner enligt följande:

Vi säger att

a) f är växande om för alla punkter i intervallet I gäller x₂ > x₁ ⇒ f(x₂)> f(x₁),

Sida 7 av 11

b) f är avtagande om x₂ > ⇒ x₁ f(x₂)< f(x₁) , c) f är icke-avtagande om x₂ > ⇒x₁ f(x₂)≥ f(x₁) d) f är icke- växande om x₂ > ⇒x₁ f(x₂)≤ f(x₁).

Uppgift 5. Antag att f(x) är kontinuerlig på ett interval I ( slutet, öppet eller halvöppet;

ändligt eller oändligt) och deriverbar på J där J är det öppna intervall som består av alla I:s inre punkter. ( T ex om I=( ba, ), I=[ ba, ), I=( ba, ]eller I=[ ba, ] så är J=( ba, )).

Bevisa följande:

Om f′ x( )>0 för alla x i J så är f växande

Tips: Använd "differentialkalkylens medelvärdessats"

Lösning:

Låt x och ₁ x var två punkter i intervallet I. Villkoren för användning av ₂ medelvärdessatsen i intervallet [x₁,x₂] ,

i) f kontinuerlig i det slutna intervallet x₁≤x≤x₂ , ii) f deriverbar i det öppna intervallet x₁<x<x₂ , är uppfyllda .

Enligt medelvärdessatsen har vi )

) ( ( ) (

1 2

1

2 f c

x x

x f x

f = ′

−

− för en punkt c i intervallet (x₁,x₂),

eller f(x₂)− f(x₁)= f′(c)(x₂−x₁).

Alltså, för x₂ > ochx₁ f′ c( )>0 gäller f(x₂)> f(x₁) dvs f är växande.

Komentar: Enligt ovanstående sats gäller fölande:

Om funktionen y= f( x) är deriverbar i det öppna intervallet (a, b) och 0

) ( >

′ x

f

i detta intervall så är funktionen växande i (a, b).

Om dessutom funktionen är kontinuerlig i a (eller i b eller i både a och b) så är f växande i [a, b) ( eller i (a, b] eller i [a, b].

Uppgift 6. Bestäm

a) det största öppna intervallet

b) det största intervallet ( oavsett öppet, slutet eller halvöppet) där funktionen f(x)=arctan(x² +6x) är växande.

Lösning:

a) _{2 2}

) 6 ( 1

6 ) 2

( x x

x x

f + +

= +

′ .

) 0 6 ( 1

6 0 2

)

( _{2 2} >

+ +

⇔ +

′ >

x x x x

f ( eftersom nämnaren är >0)

3 0

6

2 + > ⇔ >−

⇔ x x

Alltså är funktionen växande på det öppna intervallet (−3,∞).

Svar a) (−3,∞) är det största öppna intervallet där funktionen är växande Sida 8 av 11

b) Funktionen är kontinuerlig från höger i ändpunkten x=−3 (sammansatt av kontinuerliga funktioner) och därmed är funktionen kontinuerlig på intervallet[−3,∞).

Eftersom funktionen kontinuerlig på intervallet[−3,∞) och f′ x( )>0på (−3,∞) är funktionen växande på intervallet [−3,∞).

Svar b) [−3,∞) är det största öppna intervall där funktionen är växande.

Uppgift 7. Antag att f(x) är kontinuerlig på ett interval I ( slutet, öppet eller halvöppet) och deriverbar på J där J är det öppna intervall som består av alla I:s inre punkter. ( T ex om I=( ba, ), I=[ ba, ), I=( ba, ]eller I=[ ba, ] så är J=( ba, )).

Bevisa följande:

a) Om f′ x( )<0 för alla x i J så är f avtagande b) Om f′ x( )≥0 för alla x i J så är f icke- avtagande c) Om f′ x( )≤0 för alla x i J så är f icke-växande Tips: Använd "differentialkalkylens medelvärdessats"

Lösning:

Låt x och ₁ x var två punkter i intervallet I. Enligt medelvärdessatsen har vi ₂ )

) ( ( ) (

1 2

1

2 f c

x x

x f x

f = ′

−

− för en punkt c i intervallet (x₁,x₂),

eller f(x₂)− f(x₁)= f′(c)(x₂−x₁).

från x₂ > ochx₁ f′ c( )<0 { f′ x( )≥0 eller f′ x( )≤0} har vi

) ( )

(x₂ f x₁

f < { f(x₂)≥ f(x₁) eller f(x₂)≤ f(x₁)} dvs f är avtagande { icke-avtagande eller icke-växande}

Uppgift 8. Bestäm det största intervall

där funktionen f(x)=xlnx är växande respektive avtagande.

Lösning: Definitionsmängden är D=(0,∞) Derivatan : f′(x)=lnx+1

0 1

)

( = ⇔ = ⁻

′ x x e

f ,

0 1

)

( > ⇔ > ⁻

′ x x e

f

0 1

0 )

( < ⇔ < < ⁻

′ x x e

f

Notera att f(x)=xlnxär kontinuerlig i punkten x = e⁻¹ men ej definierad ix=0. Därför inkluderar vi ändpunkten x= e⁻¹ i intervall där funktionen växer / avtar.

Svar: [e⁻¹,∞) är det största intervall där funktionen är växande.

] , 0

( e⁻¹ är det största intervall där funktionen är avtagande.

Grafen till f(x)=xlnx

Sida 9 av 11

Uppgift 9. Använd differentialkalkylens medelvärdessats för att bevisa olikheten x

x)>

tan( , för )

0 2

( _{< x<}π

. Tips. Betrakta intervallet [0, x].

Lösning: Låt x vara ett tall i intervallet ) , 2 0

( π

. Då är funktionen f(t)=tan(t) kontinuerlig i det slutna intervallet [0, x] och deriverbar i det öppna intervallet (0,x). Alltså kan vi använda medelvärdessatsen på [0, x] med a= 0 och b=x. Med andra ord, det finns ett tal c i interavallet (0,x) sådant att

c x c x

x x c

x c x

x f f x

f = ⇔ = ⇔ = ⋅

−

⇔ −

= ′

−

−

2 2

2 cos

tan 1 cos

1 )) tan(

cos 1 0

) 0 tan(

) ) tan(

0 ( ) 0 ( ) (

Alltså x

x= ₂c⋅ cos

tan 1 (*)

för ett tal c i intervallet ) , 2 0

( π

.

Eftersom (0<cosc<1) i detta intervall har vi (0<cos²c<1)och därmed 1 cos

1

2 >

c . Från (*) har vi slutligen att tanx> 1⋅x

Eftersom x var ett godtyckligt tal från ) , 2 0

( π

har vi bevisat att tanx> x för alla x i ) , 2 0

( π

. Anmärkning. Man kan visa olikheten tan(x)> x , för

0 π2

<

< x på enklare sätt genom att visa att funktionen y=tan(x)−x är växande i intervallet

0_{< x<}π2 . Först tan(x)>x⇔tan(x)−x>0.

cos 0 cos 1 1

cos 1

2 2

2 − = − >

′=

x x

y x för

0_{< x<}π2

(notera att för 0<cosx<1 i detta intervall) Alltså är y=tan(x)−x växande i intervallet

0 π2

<

< x och dessutom y(0)=tan(0)−0=0. Därför tan(x)− x>0 dvs tan(x)>xi intervallet

0_{< x<}π2 . Grafen till y=tan(x)−x.

Sida 10 av 11

Sida 11 av 11