Kontrollskrivning 25 nov 2013
Tid: 13.15-15.00
Kurser: HF1008 Analys och linjär algebra (analysdelen) HF1006 Linjär algebra och analys (analysdelen) Lärare: Armin Halilovic, Inge Jovik, Richard Eriksson Examinator: Armin Halilovic
Hjälpmedel: Endast utdelat formelblad (miniräknare är inte tillåten)
Förbjudna hjälpmedel: Telefon, laptop och alla elektroniska medel som kan kopplas till internet. Inga toabesök eller andra raster.
För godkänt krävs 5 poäng av 9 möjliga poäng. Godkänd KS ger bonus enligt kurs-PM.
Fullständiga lösningar och svar skall presenteras till alla uppgifter där ej annat anges. Denna lapp får ej behållas utan lämnas in tillsammans med lösningarna.
Uppgift 1.
Bestäm inversen till funktionen , 3 1 2
) 1
( = x+ − ≤x≤ x
f . (1)
Uppgift 2.
Rita kurvan 2
) 1 (
1
= +
y x . (1)
Uppgift 3.
Beräkna gränsvärdet 2
2
2
1 2 lim5
x x
x x
x +
+ +
∞
→ . (1)
Uppgift 4.
a) Bestäm lutningen av kurvan + − = 7 i punkten ( , ) = (2,1) (1) b) Beräkna genom logaritmisk derivering derivatan av funktionen ( ) = (1) c) Bestäm för vilka x som funktionen ( )= − − 1 är växande respektive (1) avtagande.
Uppgift 5. Låt
3 ) 3 ln(
) 2
( −
= − x x x
f .
a) Bestäm funktionens (eventuella) extrempunkter och deras typ (max-, min- eller terrasspunkt).
b) Bestäm funktionens alla asymptoter.
c) Rita grafen till funktionen. (3)
FACIT Uppgift 1.
Bestäm inversen till funktionen , 3 1 2
) 1
( = x+ − ≤x≤ x
f . (1)
Lösning: Från , 3 1
2 ) 1
( = x+ − ≤x≤ x
f har vi att f(−3)≤ f(x)≤ f(1) dvs −1≤ f(x)≤1. Vi löser ut x ur ekvationen
1 2 2
1⇔ = −
= x+ x y
y .
Alltså inversen är f −1(y)=2y−1eller ekvivalent f−1(x)=2x−1.
Svar. f−1(y)=2y−1, där −1≤ y≤1 . ( Alternativt svar f−1(x)=2x−1) Uppgift 2.
Rita kurvan 2
) 1 (
1
= + y x Lösning:
Definitionsmängd x≠−1.
Derivatan: 3 3
) 1 ( ) 2 1 ( 2
' +
= − +
−
= −
x x y
Stationära punkter saknas eftersom ekvationen y'=0 dvs 0 ) 1 (
2
3 = +
−
x har ingen lösning.
Asymptoter:
i) 0
) 1 ( lim 1 ) (
lim 2 =
= +
±∞
→
±∞
→ f x x
x
x ⇒ x-axeln är en horisontell (=vågrät) asymptot
ii) =+∞
= +
+
+ →−
−
→ 1 1 ( 1)2
lim 1 ) (
lim f x x
x x
+∞
+ =
=
+
− →−
−
→ 1 1 ( 1)2
lim 1 ) (
lim f x x
x x
Alltså är x=−1 en vertikal (=lodrät) asymptot.
Notera att f(x)>0för alla x.
Grafen:
Svar: Se grafen.
Uppgift 3.
Beräkna gränsvärdet 2
2
2
1 2 lim5
x x
x x
x +
+ +
∞
→ . (1)
Lösning:
2 2
2
1 2 lim5
x x
x x
x +
+ +
∞
→ = 5
1 5 1
/ 2
/ 1 / 2 lim5 )
1 / 2 (
) / 1 / 2 5 lim (
2 2
2 2
= + =
+
= + +
+ +
∞
→
∞
→ x
x x x
x
x x x
x x
Svar 5.
Uppgift 4.
a) Bestäm lutningen av kurvan + − = 7 i punkten ( , ) = (2,1) (1) b) Beräkna genom logaritmisk derivering derivatan av funktionen ( ) = (1)
c) Bestäm för vilka x som funktionen ( )= − − 1 är växande respektive (1) avtagande.
Lösningar:
4a) + − = 7 Derivera implicit! Vi deriverar både VL och HL map x och får 3 + 3 − ( + ) = 0. Vi löser ut y’ och får
=
I punkten (2,1) får vi derivatan (=lutningen) ( , ) = = − Svar 4a) −11
4b) = ( ) = Derivera logaritmiskt:
Logaritmera både VL och HL: = ln = ∙ = ( )
Derivera map x: = → = = 2
Svar 4b) =
c) ( ) = − − 1
För att avgöra för vilka x som funktionen växer respektive avtar deriverar vi f(x) och får: ( ) =
− 1
Funktionen växer om ( ) > 0, i vårt fall − 1 > 0 ⇔ > 1 som gäller för > 0 Funktionen avtar om ( ) < 0, i vårt fall − 1 < 0 ⇔ < 1 som gäller för < 0 Svar 4c) Funktionen växer för > 0. Funktionen avtar för < 0.
Uppgift 5. Låt
3 ) 3 ln(
) 2
( −
= − x x x
f .
a) Bestäm funktionens (eventuella) extrempunkter och deras typ (max-, min- eller terrasspunkt).
b) Bestäm funktionens alla asymptoter.
c) Rita grafen till funktionen. (3)
Lösning:
a) 2 2 ) 3 (
) 3 ln(
2 2 )
3 (
) 3 ln(
2 ) 3 3( 2 )
( −
−
= −
−
−
−
− −
′ =
x x x
x x x
x f
1 ) 3 ln(
2 ) 3 ln(
2 0 ) 3 ln(
2 2 ) 0
3 (
) 3 ln(
2 0 2
)
( 2 = ⇔ − − = ⇔ − = ⇔ − =
−
−
⇔ −
′ = x x x
x x x
f
e x
e
x− = ⇔ = +
⇔ 3 3
Alltså x1 = 3+e är en stationärpunkt.
e e x e
f 2ln( ) 2
)
( 1 = = .
För att bestämma typ kollar vi första derivatans tecken:
2 ) 3 ln(
2 0 ) 3 ln(
2 2 ) 0
3 (
) 3 ln(
2 0 2
)
( 2 > ⇔ − − > ⇔− − >−
−
−
⇔ −
′ > x x
x x x
f
(dela med – 2) ⇔ln(x−3)<1⇔ x−3<e⇔x<3+e. På samma sätt f′ x( )<0 om x> 3+e
Teckentabell:
3 3+e ∞
) ( x
f′ + 0 –
f( x) växer max avtar Alltså är x1 = 3+e en maximipunkt, ymax=
e 2.
Svar a) x1 = 3+e är en maximipunkt b) Asymptoter:
i) Funktionen är definierad om x>3.
Eftersom ⋅ − =∞⋅ −∞ =−∞
= −
→ + ln( 3) ( )
3 ) 2
(
lim3 x
x x
x f har funktionen har en lodrät(= vertikal)
asymptot x=3.
ii) Vi undersöker om funktionen har en vågrät asymptot.
1 0 3 2 2 lim ] '
, 3 [
) 3 ln(
lim2 ) (
lim = − =
∞
= ∞
−
= −
∞
→
∞
→
∞
→
Hospital x x L
x x
f x x
x .
Därmed är y=0 dvs x-axeln en vågrät(=horisontell) asymptot.
Svar b) Funktionen har en lodrät asymptot x=3 och en vågrät asymptot y=0.
c) Grafen till funktionen ritar vi med hjälp av a och b delen . Lägg märke till att f(x)=0 om 1
3=
−
x dvs om x=4.
