Undersökning av Mekaniska Problem med hjälp av Datoralgebra

(1)

Undersökning av Mekaniska Problem med hjälp av Datoralgebra

Stefan Gramfält

gramfalt@kth.se

Maj 21, 2015

SA104X Examensarbete inom Teknisk Fysik, Grundnivå Institutionen för Mekanik

Kungliga Tekniska Högskolan (KTH) Handledare: Nicholas Apazidis

(2)

Abstract

When investigating mechanical problems it is often more convenient to deal with scalars rather than vectors. In this project methods stemming from the field of analytical mechanics, which lets one derive the equations of motion using scalar quantities instead of vectors, have been used.

Two mechanical problems were investigated, a double pendulum with a spring and particles orbit in a sphere. The equations of motion of the two systems were derived with the assistance of computer algebra, using Maple and the external package Sophia. The systems were investigated with regard to periodicity and conserved quantities.

Sammanfattning

Vid undersökning av mekaniska problem är det oftare smidigare att utgå från skalära storheter än vektorstorheter. I detta projekt har metoder från den analytiska mekaniken använts vilka låter ett systems rörelseekvationer härledas med just skalära storheter istället för vektorstorheter. Två mekaniska system har undersökts, en dubbelpendel med fjäder och en partikels banrörelse i en halvsfär. Systemens rörelseekvationer har tagits fram och lösts med hjälp av datoralgebra, i Maple med det externa programpaketet Sophia. Systemen har sedan undersökts med avseende på periodicitet och bevarade storheter.

(3)

Innehållsförteckning

1 Introduktion... 1

1.1 Bakgrund ... 1

1.2 Syfte ... 1

2 Teori ... 2

2.1 Analytisk mekanik... 2

2.1.1 Generaliserade koordinater ... 2

2.1.2 Lagrange-funktionen och verkansfunktionalen ... 2

2.1.3 Minsta verkans princip och Euler-Lagranges ekvationer ... 2

2.2 Dynamiska system... 4

2.2.1 Bevarade storheter ... 4

2.2.2 Periodisk och kaotisk rörelse ... 4

2.2.3 Fasrummet... 4

3 Metod ... 5

3.1 Datoralgebra ... 5

3.1.1 Maple ... 5

3.1.2 Sophia ... 5

3.2 Modell ... 5

3.2.1 Dubbelpendel med fjäder ... 6

3.2.2 Banrörelse i halvsfär ... 7

4 Resultat ... 8

4.1 Dubbelpendel med fjäder ... 8

4.1.1 Parametervärden ... 8

4.1.2 Begynnelsevärden ... 8

4.1.3 Små energier ... 8

4.1.4 Stora energier ... 9

4.2 Banrörelse i halvsfär... 11

4.2.1 Parametervärden ... 11

4.2.2 Begynnelsevärden ... 12

4.2.3 Start vid halvsfärens kant ... 12

4.2.4 Start en bit ned från halvsfärens kant ... 14

5 Diskussion ... 15

6 Referenser ... 16

7 Bilaga A ... 17

(4)

8 Bilaga B ... 19

(5)

1

1 Introduktion 1.1 Bakgrund

Den klassiska mekaniken så som den formulerades av Newton, med flera beskriver objekts rörelse med hjälp av vektorsamband. Även om detta betraktelsesätt är fullt fungerande leder det lätt till komplicerade uttryck när objekten och rörelsebanan inte har en enkel geometri.

Inom den analytiska mekaniken, som är en vidareutveckling av den klassiska mekaniken, används istället skalära samband för att beskriva rörelsebanan. Ofta leder detta till en mer framkomlig väg för att ta fram ett systems rörelseekvationer. Men även om den analytiska mekaniken erbjuder en smidig metod för att ta fram rörelseekvationer låter de sig sällan lösas för hand, annat än i väldigt enkla fall. Här är datorn ett oumbärligt hjälpmedel.

Genom att utgå från principer i den analytiska mekaniken och använda datorn som hjälpmedel kan relativt komplicerade dynamiska system modelleras förhållandevis enkelt. Ett klassiskt exempel på ett komplicerat dynamiskt system är dubbelpendelns rörelse. Detta till synes enkla system uppvisar ett synnerligen komplicerat rörelsemönster. Dubbelpendelns enkla geometri och vår intuitiva förståelse för dess rörelse gör den, och olika varianter av den, till ett lämpligt objekt att studera komplicerade dynamiska system genom.

Men dynamiska system måste inte vara komplicerade för att ha intressanta egenskaper. Något som är av stor vikt inom den analytiska mekaniken är bevarade storheter, exempelvis energi och rörelsemängdsmoment. Dessa studeras lämpligtvis genom någon typ av banrörelse.

1.2 Syfte

Syftet med detta projekt är att visa hur komplicerade mekaniska system kan modelleras relativt enkelt med metoder från den analytiska mekaniken tillsammans med mjukvara för symboliska beräkningar. Vidare är syftet även att analysera dessa system för att se vilka slutsatser som kan dras gällande periodicitet, rörelsebana och bevarade storheter. Mer precist är det, av skäl givna i avsnittet ovan, en variant av dubbelpendelns rörelse som skall modelleras och analyseras – en dubbelpendel med fjäder. Detta för att analysera ett komplicerat system. Sedan skall även att en partikels banrörelse i en halvsfär analyseras och modelleras för att närmre studera bevarade storheter, också detta av skäl givna ovan.

Figur 1. Dubbelpendel med fjäder. [4] Figur 2. Banrörelse i halvsfär.

(6)

2

2 Teori

I avsnittet “Analytisk mekanik” redogörs för hur ett konservativt dynamiskt systems rörelseekvationer kan härledas med metoder från den analytiska mekaniken. I avsnittet

“Dynamiska system” beskrivs några egenskaper och typer av dynamiska system.

2.1 Analytisk mekanik

Nedan följer en kort redogörelse för hur ett konservativt dynamiskt systems rörelseekvationer kan härledas från minsta verkans princip, eller Hamiltons princip, som den även kallas. Fokus ligger på användning av enkla operationella beteckningar, analoga med de för vanlig

funktionsanalys, istället för precisa matematiska definitioner. Detta låter härledningen utföras helt i generaliserade koordinater. Innehållet i detta avsnitt kommer från Tong [1].

2.1.1 Generaliserade koordinater

Betrakta ett partikelsystem med 𝑁 stycken partiklar. Det krävs som bekant 3𝑁 koordinater för att utrycka dessa partiklars positioner i rummet. Uttryck därför partiklarnas positioner 𝒓_𝑖 i

koordinaterna 𝑞_𝑘 där 𝑘 = 1,2, . . . ,3𝑁. Partikelsystemet sägs nu ha 3𝑁 frihetsgrader. Vid olika tvångsvilkor kan antalet frihetsgrader minska men det ligger utanför ramen för detta projekt och kommer således inte att behandlas. Det rum som de generaliserade koordinaterna spänner upp kallas konfigurationsrummet.

2.1.2 Lagrange-funktionen och verkansfunktionalen Definiera Lagrange-funktionen

ℒ(𝑞_𝑘 , 𝑞̇_𝑘, 𝑡) = 𝑇(𝑞̇_𝑘) − 𝑉(𝑞_𝑘) , (1) där 𝑇(𝑞̇_𝑘) =¹₂∑ 𝑚(𝑞̇_𝑘 _𝑘)² är den kinetiska energin och 𝑉(𝑞_𝑘) är den potentiella energin, och verkansfunktionalen

𝑆 = ∫ ℒ(𝑞_𝑡^𝑡² _𝑘 , 𝑞̇_𝑘, 𝑡)𝑑𝑡

1 . (2)

Det gäller nu att den väg i konfigurationsrummet ett konservativt dynamiskt system tar under tiden 𝑡₁ → 𝑡₂ är ett extremum av 𝑆. Att ett konservativt dynamiskt system beter sig på detta vis kallas minsta verkans princip och är en naturlag.

2.1.3 Minsta verkans princip och Euler-Lagranges ekvationer

Minsta verkans princip

Betrakta verkan 𝑆 som definerad i (2), givet en godtycklig start- och slutpunkt, 𝑞_𝑘(𝑡₁) och 𝑞_𝑘(𝑡₂), båda i konfigurationsrummet. Det är än så länge obestämt vilken väg i

konfigurationsrummet 𝑆 tar mellan punkterna 𝑞_𝑘(𝑡₁) och 𝑞_𝑘(𝑡₂), rättare sagt tar 𝑆 alla vägar mellan punkterna 𝑞_𝑘(𝑡₁) och 𝑞_𝑘(𝑡₂). Inför en liten variation av repektive väg 𝑞_𝑘→ 𝑞_𝑘+ 𝛿𝑞_𝑘. Variationen av 𝑆 ges nu av

𝛿𝑆 = 𝛿 ∫ ℒ(𝑞_𝑡^𝑡² 𝑘 , 𝑞̇_𝑘, 𝑡)𝑑𝑡

1 . (3)

(7)

3

Enligt minsta verkans princip gäller nu att av alla vägar är den verkliga vägen den väg som extremerar 𝑆, alltså den väg som uppfyller

𝛿𝑆 = 0 . (4)

Variationen av ändpunkterna är per definition lika med noll eftersom det är vägen mellan punkterna som varieras och inte punkterna själva,

𝛿𝑞_𝑘(𝑡₁) = 𝛿𝑞_𝑘(𝑡₂) = 0 . (5)

Euler-Lagranges ekvationer

Euler-Lagranges ekvationer vilka är en uppsättning differentialekvationer som beskriver systemets rörelse, fås med minsta verkans princip. Utveckling av (3) medelst (4) ger:

𝛿𝑆 = 𝛿 ∫ ℒ(𝑞_𝑡^𝑡² _𝑘 , 𝑞̇_𝑘 , 𝑡)𝑑𝑡

1

= ∫ 𝛿 ℒ(𝑞_𝑡^𝑡² _𝑘 , 𝑞̇_𝑘, 𝑡)𝑑𝑡

1

= ∫ [_𝜕𝑞^𝜕ℒ

𝑘𝛿𝑞_𝑘+_𝜕𝑞̇^𝜕ℒ

𝑘𝛿𝑞̇_𝑘] 𝑑𝑡

𝑡₂

𝑡1 = 0 . (6)

Partialintegration av den andra termen innanför klammerparentesen i (6) samt användning av randvillkoren (5) ger:

𝛿𝑆 = ∫ [𝜕ℒ

𝜕𝑞_𝑘− 𝑑 𝑑𝑡(𝜕ℒ

𝜕𝑞̇_𝑘)] 𝛿𝑞_𝑘 𝑑𝑡

𝑡2 𝑡₁

+ [𝜕ℒ

𝜕𝑞̇_𝑘𝛿𝑞_𝑘]

𝑡₁ 𝑡₂

= ∫ [_𝜕𝑞^𝜕ℒ

𝑘−_𝑑𝑡^𝑑 (_𝜕𝑞̇^𝜕ℒ

𝑘)] 𝛿𝑞_𝑘 𝑑𝑡

𝑡₂

𝑡₁ = 0 . (7)

Det gäller nu att uttrycket innanför klammerparentesen i (5) är lika med noll. Detta kan på ett enkelt sätt konstateras genom att säga att eftersom variationen av vägen, 𝛿𝑞_𝑘, är godtycklig måste det vara uttrycket innanför klammerparentesen som är noll för att likheten skall gälla.

Euler-Lagranges ekvationer:

[_𝜕𝑞^𝜕ℒ

𝑘−_𝑑𝑡^𝑑 (_𝜕𝑞̇^𝜕ℒ

𝑘)] = 0 . (8)

Ekvationerna i (8) är de eftersöka ekvationerna vilka bestämmer systemets rörelse.

(8)

4

2.2 Dynamiska system

Ett dynamiskt system är kort en matematisk modell där positionen i rummet beror av tiden.

Nedan redogörs för några egenskaper och koncept som är viktiga vid analys av dynamiska system.

2.2.1 Bevarade storheter

Konservativa system och energins bevarande

Ett konservativt dynamiskt system är ett system där den mekaniska energin bevaras. För ett sådant system gäller att summan av den kinetiska och potentiell energin är konstant.

Rörelsemängdsmomentets bevarande Rörelsemängdsmomentet

𝑳 = 𝒓 × 𝒑 ,

där 𝒓 är partikelns ortsvektor och 𝒑 är partikelns rörelsemängd, bevaras vid rotationsrörelse givet att inget yttre vridmoment verkar på partikeln.

2.2.2 Periodisk och kaotisk rörelse

Periodisk rörelse

En periodisk rörelse är en rörelse vilken upprepas vid givna tidsintervall. Detta gör att rörelsen går att förutse. Ett typexempel på ett periodiskt system är en enkel pendel som svänger fram och tillbaka utan inverkan av friktion. En rörelse som är nära på men inte helt periodisk kallas kvasiperiodisk.

Kaotisk rörelse

Kaotisk rörelse är motsatsen till periodisk, den är aperiodisk. En kaotisk rörelse är i princip omöjlig att förutse annat än under korta initiala tidsperioder. Det finns inte någon enhetlig definition av kaos men två egenskaper som brukar användas för att definiera kaos är [2]:

1) Känsligt beroende av begynnelsevärden – att små ändringar i begynnelsevärdena leder till stora ändringar i tidsutvecklingen.

2) Täta periodiska banor i fasrummet (se nedan) 2.2.3 Fasrummet

Vid undersökning av dynamiska system studeras ofta fasrummet. Fasrummet ger en effektiv representation av ett systems tillstånd och tidsutvecklingen i fasrummet visar symmetrier som annars hade varit svåra att upptäcka. För det mesta har tidsutvecklingen någon typ av periodiska banor, vilket gör att det även går att tala om periodiska banor för kaotiska system trots att de inte är periodiska.

(9)

5

3 Metod

I avsnittet “Datoralgebra” presenteras den mjukvara som har använts under projektet. I avsnittet

“Modell” formuleras den matematiska modellen av de två systemen, dubbelpendeln med fjäder och banrörelse i halvsfär.

3.1 Datoralgebra

System för datoralgebra låter användaren utföra matematiska beräkningar på ett sätt likt hur de utförs för hand. De låter användaren förenkla matematiska uttryck, lösa ut variabler, etc. Utöver detta använder dessa system oftast olika typer av numeriska metoder för ekvationslösning, interpolation, etc. Dessa system förenklar avsevärt arbetet vid matematiska beräkningar.

3.1.1 Maple

Maple är ett av de större systemen för datoralgebra. Det har en mängd funktioner och tillägg för beräkningar, visualiseringar, presentationer etc. Huvudidén är, likt för de andra

datoralgebrasystemen, att låta användaren använda matematisk notation vid beräkningar. Maple saknar dock specialanpassade verktyg för behandling av mekaniska problem, för detta krävs externa programpaket.

3.1.2 Sophia

Sophia[3,4] är ett programpaket till Maple utvecklat vid mekanikinstitutionen på KTH för behandling av komplicerade mekaniska problem. Det låter användaren modellera dynamiska problem med hjälp av roterande koordinatsystem, hastigheter, etc. Sophia innehåller även rutiner för visualisering rörelsen.

3.2 Modell

I teoriavsnittet har det visats att ett konservativt dynamiskt systems rörelse ges av Euler- Lagranges ekvationer. Det har även visats hur dessa ekvationer erhålls genom derivering av Lagrange-funktionen, vilken ges av den kinetiska och potentiella energin uttryckta i

generaliserade koordinater. Tillvägagångssättet för att ställa upp de matematiska modellerna av systemen som skall undersökas kommer därför att bli:

1) Införa ett lämpligt val av generaliserade koordinater som kan beskriva systemens rörelse.

2) Ta fram uttryck för den kinetiska och potentiella energin.

3) Bearbeta dessa uttryck med datoralgebra för att ta fram respektive systems rörelseekevationer.

(10)

6 3.2.1 Dubbelpendel med fjäder

Införande av generaliserade koordinater Inför ett fixt högersystem med koordinataxlar enligt Figur 3. Vinkeln 𝑞₁ och dess tidsderivata 𝑞̇₁ beskriver den övre stångens rotationsrörelse kring 𝑂, vinkeln 𝑞₂ och dess tidsderivata 𝑞̇₂ den nedre, lätta stångens rotationsrörlese kring 𝐴, slutligen bestämmer positionen 𝑞₃ och dess tidsderivata 𝑞̇₃ partikelns rörelse längs den nedre stången.

Figur 3. En dubbelpendel med fjäders rörelse under inverkan av gravitationen. En stång med massan m1 och längd l1 roterar fritt kring O. I stången med massa m1 är en annan lätt stång fäst, vilken roterar fritt kring A. Längs den glatta lätta stången kan en partikel med massan m2 röra sig under inverkan av en fjäder med fjäderkonstant k och naturlig längd l0. [4]

Systemets kinetiska och potentiella energi

Systemets kinetiska energi ges av summan av den övre stångens kinetiska energi och partikelns kinetiska energi:

𝑇 = 𝑇_𝑠+ 𝑇_𝑝 . Den övre stångens kinetiska energi ges av

𝑇_𝑠 =¹₂𝑚₁𝑣_𝐺² +¹₂𝐼_𝐺 𝑞̇₁² ,

där 𝑣_𝐺 är stångens masscentrums hastighet och 𝐼_𝐺 = ₁₂¹ 𝑚₁𝑙₁² är stångens tröghetsmoment kring dess masscentrum,

och partikelns kinetiska energi ges av

𝑇_𝑝 = ¹₂𝑚₂𝑣_𝑝² , där 𝑣_𝑝 är partikelns hastighet.

Systemets potentiella energi ges av den övre stångens lägesenergi, partikelns lägesenergi samt energin lagrad i fjädern:

𝑉 = 𝑉_𝑠+ 𝑉_𝑝+ 𝑉_𝑘 .

(11)

7 Stångens potentiella energi ges av

𝑉_𝑠 = −𝑚₁𝑔₂^𝑙𝑐𝑜𝑠(𝑞₁) , partikelns potentiella energi ges av

𝑉_𝑝 = −𝑚₂𝑔(𝑙₁𝑐𝑜𝑠(𝑞₁) + (𝑙₀+ 𝑞₃) 𝑐𝑜𝑠(𝑞₁+ 𝑞₂)) , och fjäderns potentiella energi ges av

𝑉_𝑘 = ¹₂𝑘𝑞₃² .

Nu kan Euler-Lagranges ekvationer för systemet formuleras och lösas med hjälp av datoralgebra, se Bilaga A.

Kommentar

Notera att partikelns jämviktsläge i 𝑞₃ när dubbelpendeln hänger rakt ner är ^𝑚𝑔_𝑘 , där 𝑘 är fjäderkonstanten och 𝑔 är tyngdkraftsaccelerationen.

3.2.2 Banrörelse i halvsfär

Införande av generaliserade koordinater

Inför koordinater enligt Figur 4. 𝑞₁ och 𝑞₂ är vinkel- respektive höjdkoordinat för partikeln i cylindriska koordinater. 𝑞₁ och dess

tidsderivata 𝑞̇₁ beskriver partikelns cirkulationsrörelse medan 𝑞₂ och dess tidsderivata 𝑞̇₂ beskriver partikelns rörelse i höjdled.

Systemets kinetiska och potentiella energi Systemets kinetiska och potentiella energi ges av

𝑇 = ¹₂m𝑣² , 𝑉 = −𝑚𝑔𝑞₂ . Nu kan Euler-Lagranges ekvationer för systemet formuleras och lösas med hjälp av datoralgebra, se Bilaga B.

Kommentar

I lösningen framtagen med datoralgebra har sfärisk symmetri använts, vilket ger att den matematiska modellen endast är giltig för 𝑞₂ ≤ 0, se Bilaga B.

Figur 4. En partikels rörelse under inverkan av gravitationen.

En liten partikel med massan m rör sig inuti en glatt sfär med radien R.

(12)

8

4 Resultat

I detta avsnitt presenteras resultatet av undersökningen av de två mekaniska systemen beskrivna ovan.

4.1 Dubbelpendel med fjäder

Systemet undersöktes för stora och små energier relativt dess statiska läge. Energi kunde tillföras både genom ändring av parameter- och begynnelsevärdena (se nedan).

4.1.1 Parametervärden

Valet av parametervärden hade stor inverkan på hur systemet uppträdde. En enkel uppsättning parametervärden där inget var mycket större än de andra valdes. Parametervärdena som användes var

𝑚₁ = 1 𝑘𝑔, 𝑚₂ = 1 𝑘𝑔, 𝑙₁ = 1 𝑚, 𝑙₀ =¹₂ 𝑚, 𝑘 = 50 𝑁𝑚⁻¹, 𝑔 = 9,8 𝑚𝑠⁻² , där 𝑔 är värdet av tyngdkraftsaccelerationen, övriga parametrar som i Figur 3.

4.1.2 Begynnelsevärden

Med parametervärdena fixa tillfördes energi till systemet relativt dess statiska läge genom att ändra begynnelsevärdena. Detta gjordes genom att ändra vinkeln 𝑞₁(0) medan vinkeln 𝑞₂(0) sattes till noll, vilket motsvarar att släppa pendeln raklång från olika avvikelser från lodlinjen.

𝑞₃(0) sattes till 𝑚𝑔/𝑘 för att vara i jämviktsläge då pendeln hängde raklång ned.

Begynnelsevärdena som användes var

𝑞₁(0) = 𝜃, 𝑞̇₁(0) = 0, 𝑞₂(0) = 0, 𝑞̇₂ = 0, 𝑞₃ =^9,8₅₀ 𝑚, 𝑞̇₃ = 0 , där 𝜃 valdes till en liten vinkel för små energier och en stor vinkel för stora energier.

4.1.3 Små energier

För att studera systemet vid små energier sattes 𝑞₁(0) till ett litet värde, 0,1 𝑟𝑎𝑑, varefter det ökades i små steg, 0,1 𝑟𝑎𝑑, två gånger.

Periodisk eller kaotisk rörelse

Systemet var nära på periodisk, kvasi-periodisk, vid varje energinivå (se Figur 5). Inget drastiskt hände heller när energin ökades i små steg, det enda som hände var att amplituden ökade medan kvasi-periodiciteten bestod (samma figur).

(13)

9

Figur 5. De tre generaliserade koordinaterna q1, q2 och q3 uttryckta som funktioner av tiden för tre olika begynnelsevärden q1(0) i var sitt diagram.

Bevarade storheter

Energin bevarades, den var konstant vid varje energinivå (se Figur 6).

Figur 6. Systemets totala energi uttryckt som funktion av tiden för tre olika begynnelsevärden q1(0).

4.1.4 Stora energier

För att studera systemet vid stora energier sattes 𝑞₁(0) till ett stort värde, 2,0001 𝑟𝑎𝑑, varefter det ökades i väldigt små steg, 0,0001 𝑟𝑎𝑑, två gånger.

Ingen periodicitet kunde urskiljas i någon av de generaliserade koordinaterna vid någon

energinivå (se Figur 7). När energin ökade, trots att ökningen var väldigt liten, följde respektive koordinats banor varandra till en början för att sedan separera och gå helt olika vägar (samma figur). Systemet var känsligt för ändringar i begynnelsevärdena vid stora energier.

(14)

10

Figur 7. De tre generaliserade koordinaterna q1, q2 och q3 uttryckta som funktioner av tiden för tre olika begynnelsevärden q1(0) i var sitt diagram.

Fasporträtten för respektive koordinat visade på någon form av regelbundenhet (se Figur 8, Figur 9, Figur 10) trots att de generaliserade koordinaternas rörelse inte visade några tecken på

periodicitet. Vid ökande tider uppstod någon form av förtätningar av banorna.

Figur 8. Fasporträtt av den generaliserade koordinaten q1(t) och dess tidsderivata för en och samma lösning över tre, succesivt ökande, tidsintervall. Porträttet till vänster är över minst tidsintervall och det till höger över störst tidsintervall.

(15)

11

Även vid stora energier bevarades energin (se Figur 11).

Figur 11. Systemets totala energi uttryckt som funktion av tiden för tre olika begynnelsevärden q1(0).

4.2 Banrörelse i halvsfär

I detta system kunde partikeln inte ges någon sådan begynnelsehastighet i höjdled, 𝑞̇₂(0), att den hamnade utanför halvsfären för modellen skulle stämma, se kommentaren i avsnitt 3.2.2. Vidare gav den sfäriska symmetrin att systemet var oberoende av 𝑞₁.

4.2.1 Parametervärden

Parametervärdena som användes var

𝑚 = 1 𝑘𝑔, 𝑅 = 1 𝑚, 𝑔 = 9,8 𝑚𝑠⁻² ,

där 𝑔 är värdet av tyngdkraftsaccelerationen, övriga parametrar som i Figur 4.

(16)

12 4.2.2 Begynnelsevärden

Systemet undersöktes genom att för två positioner, 𝑞₂(0) = 0 och 𝑞₂(0) = −0,3 𝑚, i höjdled ge partikeln en låg-, en medel-, och en hög begynnelse-vinkelhastighet. Systemet undersöktes även för en väldigt hög vinkelhastighet, 𝑞̇₁(0) = 500 𝑟𝑎𝑑 ⋅ 𝑠⁻¹, vid sfärens kant, 𝑞₂(0) = 0.

Begynnelsevärdena som användes var:

𝑞̇₁(0) = 1 𝑟𝑎𝑑 ⋅ 𝑠⁻¹ 𝑞̇₁(0) = 4 𝑟𝑎𝑑 ⋅ 𝑠⁻¹ 𝑞̇₁(0) = 30 𝑟𝑎𝑑 ⋅ 𝑠⁻¹

, 𝑞₂(0) = 0 (a)

𝑞̇₁(0) = 1 𝑟𝑎𝑑 ⋅ 𝑠⁻¹ 𝑞̇₁(0) = 4 𝑟𝑎𝑑 ⋅ 𝑠⁻¹ 𝑞̇₁(0) = 30 𝑟𝑎𝑑 ⋅ 𝑠⁻¹

, 𝑞₂(0) = −0,3 𝑚 (b)

𝑞̇₁(0) = 500 𝑟𝑎𝑑 ⋅ 𝑠⁻¹, 𝑞₂(0) = 0 . (c)

4.2.3 Start vid halvsfärens kant Begynnelsevärden (a), (c)

Vid den lägsta begynnelsehastigheten kom partikeln att utföra en tydligt periodisk rörelse både i höjd- och i vinkelled (se Figur 12). När begynnelsehastigheten ökade avtog amplituden på svängningarna, både i höjd- och i vinkelled (samma figur), för att vid den högsta hastigheten gå mot en perfekt bana kring kanten (se Figur 13).

Figur 12. De generaliserade koordinaterna q1 och q2 uttryckta som funktioner av tiden för 3 olika begynnelsevärden u1(0)=𝑞̇1(0) i var sitt diagram.

(17)

13

Figur 13. Den generaliserade koordinaten q2 uttryckt som funktion av tiden för begynnelsevärdet u1(0)=𝑞̇1(0)=500.

Både energin och rörelsemängdsmomentet bevarades vid samtliga hastigheter (se Figur 14 och Figur 15).

Figur 14. Systemets totala energi och rörelsemängdsmoment uttryckta som funktioner av tiden för 3 olika begynnelsevärden u1(0)=𝑞̇1(0) i var sitt diagram.

Figur 15. Systemets totala energi och rörelsemängdsmoment uttryckta som funktioner av tiden för begynnelsevärdet u1(0)=𝑞̇1(0)=500 i var sitt diagram.

(18)

14 4.2.4 Start en bit ned från halvsfärens kant Begynnelsevärden (b)

Vid de två lägre hastigheterna betedde sig systemet på samma sätt som ovan (jämför Figur 12 och Figur 16). Vid den högsta hastigheten kom däremot partikeln att passera sfärens kant (se Figur 16), vilket betydde att efter det var modellen ogiltig (se kommentar i 3.2.2). Partikeln kastades ur sin bana.

Figur 16. De generaliserade koordinaterna q1 och q2 uttryckta som funktioner av tiden för 3 olika begynnelsevärden u1(0)=𝑞̇1(0) i var sitt diagram.

Även här bevarades både energin och rörelsemängdsmomentet i de två fallen med lägre begynnelsehastighet (se Figur 17). I fallet med den högsta begynnelsehastighet gäller inte resultatet då partikeln är här kastad ur sin bana (se ovan).

Figur 17. Systemets totala energi och rörelsemängdsmoment uttryckta som funktioner av tiden för 3 olika begynnelsevärden u1(0)=𝑞̇₁(0) i var sitt diagram.

(19)

15

5 Diskussion

I samtliga fall gick det att konstatera att energin var bevarad, vilket var viktigt då hela teorin bygger på detta faktum. Dubbelpendeln med fjäderns rörelse visade sig vara kvasiperiodisk för små energier, något som var väntat. Vid stora energier försvann all form av periodicitet, systemet blev även känsligt för ändringar av begynnelsevärdena. Detta är ett tecken på att rörelsen var kaotisk. Fasporträtten visade även, för respektive koordinat, en del förtätningar av banorna vilket skulle kunna vara ytterligare ett tecken på att rörelsen var kaotisk. Men här skall det understrykas att villkoret ”täta periodiska banor i fasrummet” som brukar nämnas vid definition av kaos gäller hela systemets fasrum, i detta fall ett sexdimensionellt fasrum. Några direkta slutsatser gällande fasporträtten och kaos kan således inte dras men skulle kunna vara något värt att undersöka vidare. Frågeställningen skulle då bli vilka slutsatser som kan dras gällande hela systemets fasrum utifrån respektive koordinats fasrum.

För partikeln i halvsfären visade det sig att förutom systemets energi var även

rörelsemängdsmomentet bevarat, detta var ett viktigt resultat då det är en grundläggande fysikalisk princip. Det visade sig även att partikelns rörelse var periodisk vid den lägsta hastigheten för att närma sig en perfekt bana när hastigheten ökades. Detta känns igen från situationer med omloppsbanor och centripetalkrafter i fysiken.

Slutligen visar det här projektet på hur smidigt det går att undersöka komplicerade mekaniska problem med metoder från den analytiska mekaniken tillsammans med programpaketet Sophia och Maple.

(20)

16

6 Referenser

[1] Tong D. Classical Dynamics. Föreläsningsanteckningar. Cambridge, Department of Applied Mathematics and Theoretical Physics, 2004.

[2] Bishop R. Chaos. The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Fall 2009 Edition). Zalta E (ed.). URL = <http://plato.stanford.edu/archives/fall2009/entries/chaos/>.

[3] Lesser M, Lennartsson A. Sophia, ver. 6. Programvara. Stockholm, Institutionen för mekanik, 2000.

[4] Apazidis N. Computer Algebra Assisted Mechanics. Stockholm, Institutionen för mekanik.

(21)

17

7 Bilaga A

Maplekod för Dubbelpendel med fjäder. Kräver det externa programpaketet Sophia.

Verktyg och rutiner

Generaliserade koordinater och koordinatsystem

Masscentras position och hastighet

Lagrange-funktionen

Rörelseekvationer

(22)

18 Ekvationssystem

Parametervärden

Begynnelsevärden stora energier

Begynnelsevärden små energier

(23)

19

8 Bilaga B

Maplekod för Banrörelse i halvsfär. Kräver det externa programpaketet Sophia.

Verktyg och rutiner

Generaliserade koordinater och koordinatsystem

Partikelns position och hastighet

Lagrange-funktionen

Rörelsemängdsmoment

Total energi

Rörelseekvationer

(24)

20 Ekvationssystem

Parametervärden

Begynnelsevärden