verkats av maskin B? Ange ditt svar i procent med en decimals noggrann-

1. En viss typ av komponenter tillverkas av en maskin A med sannolikheten 60 % och av en maskin B med sannolikheten 40 %. För de komponenter som tillver- kas i maskin A är sannolikheten 2 % att komponenter blir defekt. Motsvarande siffra för maskin B är 5 %.

a) Bestäm sannolikheten att en slumpmässigt vald komponent är defekt.

Ange ditt svar i procent med en decimals noggrannhet. (2p) b) Bestäm sannolikheten att en komponent som visat sig vara defekt har till-

verkats av maskin B? Ange ditt svar i procent med en decimals noggrann-

het. (2p)

2. På ett lager som håller vitvaror har man kunnat konstatera att antalet beställ- ningar på en viss typ av kylskåp som kommer in under en arbetsvecka kan be- skrivas av en Poissonfördelning med väntevärde μ

a) Hur många kylskåp av denna typ bör man ha på lagret vid starten av en ar- betsvecka om man vill att sannolikheten att lagret ska bli tomt vid arbets-

veckans slut ska vara högst 5 %? (2p)

b) Antag att antalet beställningar under olika arbetsveckor är oberoende. Be- trakta 10 arbetsveckor, där antalet beställningar är fördelat enligt Poisson- fördelningen som angivits i a) ovan. Vad blir standardavvikelsen för det totala antalet beställningar över tio veckors tid? Ange ditt svar med två de-

cimalers noggrannhet. (1p)

3. Ett företag som säljer en viss vara har efter kundundersökningar kunnat konsta- tera att fördelningen för vad en slumpmässigt vald kund är beredd att betala för en viss vara (enhet: kronor) kan beskrivas av en kontinuerlig fördelning med frekvensfunktion

⎪⎩

⎪ ⎨

⎧ − ≤ ≤

=

. . 0

200 20000 0

200 )

(

ö f x x

x f

a) Vad är sannolikheten att en kund är beredd att betala mer än 150 kronor för varan? Ange ditt svar i procent med två decimalers noggrannhet. (2p) b) Bestäm fördelningens väntevärde. Ange ditt svar med en decimals nog-

grannhet. (1p)

4. Det har visat sig att varvtalet vid tomgångskörning hos en slumpmässigt vald Volvo 744 av 1990 års modell kan beskrivas av en normalfördelning med vänte- värde μ

σ = 30 rpm.

a) Vad är sannolikheten att en slumpmässigt vald Volvo 744 av 1990 års mo-

dell har ett varvtal vid tomgångskörning som överstiger 800 rpm? Ange

ditt svar i procent med en decimals noggrannhet. (2p)

b) Bestäm det varvtal vid tomgångskörning som en slumpmässigt vald Volvo 744 av 1990-års modell överstiger med med sannolikheten 80 %. Ange ditt

svar i rpm, utan decimaler. (2p)

5. Man vill avgöra om en lång rulle metalltråd är gjord av ren koppar eller ej ge- nom att undersöka trådens resistans. Teoretiska beräkningar ger att trådens resi- stans är 55 Ohm per meter om den är gjord av ren koppar. Om mätapparaturen vet man att den ger ett mätresultat som kan beskrivas med hjälp av en normal- fördelning med väntevärde μ och standardavvikelse σ = 2. Man gör 8 mätningar av resistansen, vilka anges nedan:

53.7 56.1 55.2 52.3 58.9 55.2 51.1 53.2

a) Man beslutar sig för att använda ett enkelsidigt hypotestest där man förkas- tar nollhypotesen att tråden är gjord av rent koppar om medelvärdet av ob- servationerna överstiger en kritisk gräns k. Bestäm k då vi använder oss av en signifikansnivå på 5 %. Ange ditt svar med två decimalers noggrannhet. (2p) b) Ange den övre gränsen i ett dubbelsidigt 95 % konfidensintervall över trå-

dens förväntade resistans. Ange ditt svar med två decimalers noggrannhet (2p)

6. Ett 2

-försök gjordes med syftet att undersöka en viss kemisk process. Den uppmätta variabeln var procentuellt utbyte. Faktorerna och deras nivåer beskrivs nedan.

Tabell 1: Nivåer för de ingående faktorerna:

Faktor Låg nivå (–) Hög nivå (–)

Temperatur (A) 160

C 180

C

Katalysator (B) Leverantör 1 Leverantör 2 I varje försökspunkt gjordes tre oberoende körningar av processen. Försöksma- trisen i tabell 2 illustrerar nivåerna och resultaten vid det fullständiga faktorför- sök som gjordes.

Tabell 2: Resultaten presenterade i standardordning:

Försök nr A B Y

Y

Y

1 – – 59 61 60 2 – + 74 70 71 3 + – 50 54 53 4 + + 81 85 84 a) Skatta samspelseffekten för A och B. Ange ditt svar med en decimals nog-

grannhet. (1p) b) Bestäm standardavvikelsen för en effekt dvs s

Ange ditt svar med

minst två decimalers noggrannhet. (2p)

7. Kraftbolag önskar ofta göra prognoser av den maximala effekten (Y, enhet: me- gawatt) som efterfrågas per dag. Ett kraftföretag ville med hjälp av dagsmedel- temperaturen (X, enhet: °C, – 20 < X < 0) under en vintermånad i en region i norra Sverige hitta en modell över efterfrågad effekt. Resultatet av en enkel lin- jär regressionsanalys baserat på observationer över 30 dagar ges i tabell 3.

a) Hur stor påverkan på efterfrågad effekt har en ökning av dygnsmedeltem- peraturen med en °C? Besvara frågan genom att skapa ett 98 % konfidens- intervall (dubbelsidigt). Ange den övre gränsen i ett sådant intervall med

två decimalers noggrannhet. (2p)

b) Bestäm en punktskattning av den efterfrågade effekten om dygnmedeltem-

peraturen är -15 °C. (1p)

c) Bestäm modellen förklaringsgrad. Ange ditt svar i procent med en deci-

mals noggrannhet. (1p)

Tabell 3

The regression equation is

Effekt = 48,892 – 1.6433 Temperatur

Predictor Coef SE Coef T P Constant 48,892 15,6677 3.1205 0.036 Slope -1,643 0,177 9.284 0.000

Analysis of Variance

Source DF SS MS F P Regression 1 3375,6 3375,6 43,61 0,000 Residual Error 28 2168,4 77,4

Total 29 5544,0

Slut på del 1. Glöm inte att bifoga svarsbladet med tentan!

Tabell för svar till del 1.

Riv ut och lägg svarsbladet först i tentamen!

Namn...

Personnummer ...

Fråga Svar Poäng

a Sannolikhet 3.2 2

1

b Sannolikhet 62.5 2

a Antal 11 2

2

b Standardavvikelse 7.75 1

a Sannolikhet 6.25 2

3

b Väntevärde 66.7 1

a Sannolikhet 4.8 2

4

b Varvtal (rpm) 725 2

a Kritisk gräns 56.16 2

5

b Övre gräns 55.85 2

a Samspelseffekt 9.7 1

6

b Standardavvikelse 1.08 2

a Övre gräns -1.20 2

b Punktskattning 73.54 1

7

c Förklaringsgrad 60.9 1

Totalt antal poäng 25

Lycka till!

Vid bedömningen av lösningarna av uppgifterna i del 2 läggs stor vikt vid hur lösningarna är motiverade och redovisade. Tänk på att noga redovisa införda beteckningar och eventuella antaganden.

8. Ett gammaldags signalsystem för elektroniska pulser består av en sändare och en mottagare. Hos mottagaren finns tre möjliga kanaler för att ta mot pulser; A, B och C. Det är samma sannolikhet för en puls att hamna hos var och en av de öppna kanalerna. Sändaren skickar ut en serie på fem pulser med intervallet 1 ms mellan varje puls. Tiden det tar för en puls att färdas mellan sändare och mottagare anses vara försumbar, men man vet att mottagaren behöver 1,2 ms för att behandla en signal. Detta betyder att den kanal som tar emot signalen är stängd under behandlingstiden, innan den återigen kan öppnas för att ta mot pulser. Antag att kanalen A behand- lar en puls korrekt, medan kanalerna B och C utför en defekt behandling.

Betrakta 3000 pulsserier, var och en bestående av 5 pulser som sänds med intervallet 1 ms. Efter att en pulsserie om fem pulser sänts så har sändaren ett uppehåll på 10 ms innan den startar nästa pulsserie. Detta gäller alla 3000 pulsserier. Bestäm sannolikheten att minst 4950 signaler har behand- lats korrekt. Antag att behandlingen i sändaren av var och en av pulsseri-

erna kan ses som oberoende händelser. (10p)

9. Man vill jämföra effekten av en ny typ av foder för boskap innan och efter två månaders utfodring. Man valde att testa fodret på sju slumpmässigt ut- valda kalvar i samma ålder. Värdena som erhölls var vikt (enhet: kilo) före och efter utfodring.

Kalv 1 2 3 4 5 6 7

Före 300 270 340 328 296 335 290

Efter 335 314 372 365 338 372 318

Normal viktökning för en kalv i den givna åldern är 30 kilo över två må- naders tid. Mätvärdena för vikten kan antas vara observationer på normal- fördelade stokastiska variabler. Undersök om man kan påvisa någon effekt i form av tillväxtökning för denna nya typ av foder med hjälp av ett lämp- ligt konfidensintervall med konfidensgrad 95 %. De antaganden som görs

ska tydligt framgå. Tolka dina slutsatser tydligt i ord. (8p)

10. Vid tillverkning av hållare till rullningslager stansas hållaren ur mässings-

plåt. För att ta upp de grader som uppstår vid stansningen blästras hållaren

före montering. För att minska kostnaden för denna operation önskar man

byta den hittills använda sjösanden mot stålsand. Tanken på detta är inte

ny, men de försök som gjorts gav ett ganska negativt resultat. Genom mer

systematiskt planerade försök tror man sig nu kunna anpassa blästrings-

dens. Som resultatparameter beslutade man sig för att studera hur ytjämn- heten (enhet: mm) påverkades av fyra olika faktorer. Dessa anges i tabell 3. Därefter gjorde man ett fullständigt 2

-faktorförsök utan replikat. Resul- tatet anges i tabell 4.

a) Bestäm en skattning av fyrfaktorsamspelet samt ange vilka effekter som är signifikanta med 1 % signifikansnivå. Hypoteser, beslutsvariabel och eventuella antaganden ska tydligt framgå. Ange också och motivera

med ord nivån på respektive faktor då man önskar maximera ytjämnheten. (8p) b) Ange den skattade modellen samt de antaganden som ligger till

grund för denna modell. Ange dessutom en skattning av standardavvikel-

sen för resultatvariabeln Y. (4p)

Tabell 3: Faktorerna och deras respektive nivåer

Faktorer Låg nivå (–) Hög nivå (+)

Blästringshastighet (A, enhet: %) 80 100 Blästringstid (B, enhet: minuter) 2.5 5

Sandstorlek (C) liten stor

Sandens kondition (D) gammal ny

Tabell 4: Resultat av försöket samt försöksplan

A B C D Y

– – – – 3.83

+ – – – 4.85

– + – – 2.92

+ + – – 3.65

– – + – 4.24

+ – + – 4.97

– + + – 4.04

+ + + – 5.27

– – – + 4.16

+ – – + 7.16

– + – + 4.23

+ + – + 6.42

– – + + 2.65

+ – + + 4.24

– + + + 3.45

+ + + + 3.78

Tabell 5: Skattningar av huvudeffekter och samspel t.o.m. ordning 3

Estimated Effects and Coefficients for Y (coded units)

Term Effect Coef Constant 4,3663 A 1,3525 B -0,2925 C -0,5725 D 0,2900 A*B -0,2325 A*C -0,3825 A*D 0,4250 B*C 0,4025 B*D 0,2100 C*D -1,3900 A*B*C 0,0425 A*B*D -0,2850 A*C*D -0,4350 B*C*D -0,1500

Uppgift 8

F¨or en signalserie ¨onskar vi bilda en sannolikhetsf¨ordelning. F¨or detta ut- nyttjar vi f¨oljande f¨orh˚allanden som ges via texten:

F¨or den f¨orsta signalen som s¨ands ut g¨aller att:

P (signal hamnar i kanal A) = P (signal hamnar i kanal B) = P (signal hamnar i kanal C) = 1/3

P (signal hamnar i kanal A i steg i+1|signal i kanal A i steg i) = P (signal hamnar i kanal B i steg i+1|signal i kanal B i steg i) = P (signal hamnar i kanal C i steg i+1|signal i kanal C) = 0

P (signal hamnar i kanal A i steg i+1|signal i kanal B i steg i) = P (signal hamnar i kanal A i steg i+1|signal i kanal C i steg i) = 1/2

P (signal hamnar i kanal B eller C i steg i+1|signal i kanal A i steg i) = 1 Vi kan ur f¨orh˚allandet att en signal inte kan hamnar i samma kanal tv˚a pulser i f¨oljd inse att det m¨ojliga pulser som behandlas korrekt (dvs hamnar i kanal A) kommer anta n˚agot av v¨ardena 0,1, 2,3.

P (0 signaler behandlas r¨att) = P (B eller C i steg 1)P(B eller C i steg 2|B eller C i steg 1)P (B eller C i steg 3|B eller C i steg 2)P (B eller C i steg 4|B eller C i steg 3)P (B eller C i steg 5|B eller C 4 steg 1) =²30.5⁴=₂₄¹

P (1 signal behandlas r¨att) = P (signal skickas r¨att i steg 1, men fel i ¨ovriga)P (signal r¨att i steg 2, men fel i ¨ovriga)...P (signal r¨att i steg 5, men fel i ¨ovriga) =

1

30.5³+ 3 ∗ ²₃∗ 0.5³+²₃0.5⁴= ₂₄⁸

P˚a liknande s¨att kan vi sedan resonera vidare och hitta P (2 signaler behandlas r¨att) = ¹³₂₄

P (3 signaler behandlar r¨att) = ₂₄² E[ξ] = ₂₄⁸ ∗ 1 + ¹³24∗ 2 +24² ∗ 3 = ⁵3

V [ξ] = (−⁵3)^{2 1}₂₄+ (−²3)^{2 8}₂₄+ (¹₃)^{2 13}₂₄+ (⁴₃)^{2 2}₂₄ = 0.4722

Vi bildar η =”antal signaler som behandlas korrekt d˚a 3000 signalserier skickas ut”, och kan med hjl¨ap av CGS inse att

η ∈ N(5000, 37.6)

P (η > 4950) = 1 − φ(−1, 33) = 0.91

1

Uppgift 9

Vi har en situation med stickprov i par d¨ar proven kommer enligt.

(ξ₁, η₁), (ξ₂, η₂), ...(ξ₇, η₇)

ξ_i ¨ar vikten i kilo f¨ore utfodring hos kalv i η_i ¨ar vikten i kilo efter utfodring hos kalv i

d¨ar x_i¨ar en observation p˚a ξ_i∈ N(μi, σ₁), i = 1, 2, ..., 7 och y_i ¨ar en observation p˚a η_i∈ N(μi+ 4, σ2), i = 1, 2, ..., 7 Bilda zi= yi− xⁱ som ¨ar en observation p˚a ςi= η_i− ξi∈ N(4, σ)

Bilda medelv¨ardet ¯z = P7 i=1

zi= 36.43

Skatta standardavvikelsen σ genom f¨oljande:

σ^∗_obs= s = s

1 7−1

P7 i=1

(zi− ¯z)²= 5.5

Om vi skapar ett 95% konfidensintervall f˚ar vi att:

z ± t¯ 0.025(7 − 1) ·^√s₇= 36.43 ± 2.447 ·^5.5√₇

= [31.34, 41.51]

Svar: Vi kan med 95% s¨akerhet p˚avisa att fodret ger en f¨orv¨antad tillv¨axt¨okning, d˚a den f¨orv¨antade vikt¨okningen ligger mellan gr¨anserna 31.34 − 41.51 kilo, dvs intervallet innhe˚aller inte den normala vikt¨okningen 30 kilo.

2

Uppgift 10

a)

Skatta f¨orst samspelet av ordning 4 genom:

ef f ekt = ¯Y₍₊₎− ¯Y₍₋₎= −0.155

F¨or att ta reda p˚a vilka efekter som ¨ar signifikanta s˚a beh¨over vi testa H₀: μ_{ef f ekt}= 0

H₁: μ_{ef f ekt}6= 0

Som testvariabel kan vi anv¨anda T = ^{ef f ekt}_s ⁻⁰

ef fekt

Vi f¨orkastar H0 om |T | > tα/2(f ), d¨ar f = 5

sef f ektskattas genom att vi anv¨ander samspeltermer av ordningen 3 och 4 och vi f˚ar att s²_{ef f ekt}= ¹₅

P5 i=1

Z_i²=¹₅((0.0425)²+ (−0.285)²+ ...) = 0.064 dvs sef f ekt=√

0.064 = 0.2525

Ur tabell f˚ar vi att t0.005(5) = 4.032 med detta s˚a f˚ar vi att f¨oljande effekter

¨ ar

signifikanta huvudeffekt A samt samspelet CD

Bilda en samspelsplott mellan C och D. Utifr˚an denna s˚a f˚ar vi att ytj¨amnheten maximeras om C p˚a l˚ag niv˚a och D p˚a h¨og niv˚a. Samt vi har att huvudfaktor A

ska var p˚a h¨og niv˚a.

Slutsats: F¨or att f˚a en maximal ytj¨amnhet b¨or vi ha h¨og bl¨astringshastighet (A),

Stor sandstorlek (C) och ny sand (D).

b)

Modellantagande: Y_i = β₀+ β₁X₁+ β₂X₃ + β₃X₄+ β₄X₃X₄+ ε_i , i = 1, 2, ..., 16

d¨ar Xi©−1 om faktorn p˚a l˚ag niv˚a

1 om faktorn p˚a h¨og niv˚ai = 1, 3, 4 och (X1: A, X3: C och X4: D) εi∈ N(0, σ) , i = 1, 2, ..., 16

ε1, ε2, ..., ε16oberoende stokastiskavariabler Den skattade modellen blir:

ˆ

y = 4.3663 +^1.3525₂ · X¹+^−0.5725₂ · X³+^0.29₂ · X⁴+^−1.39₂ · X³X4=

= 4.3663 + 0.67625 · X¹− 0.28625 · X³+ 0.145 · X⁴− 0.695 · X³X4

Spridningen f¨or Y ber¨aknas genom

s²_{ef f ekt}= V [Y₍₊₎− ¯Y₍₋₎] = V [Y₍₊₎] + V [ ¯Y₍₋₎] = ^s₈² +^s₈² = 0.2525² => s =

√4 ∗ 0.2525²= 0.505

3