REALIZACE PROGRAMU PRO OPTIMALIZACE TVARU A VELIKOSTI VNITˇRNÍCH PÁNEVNÍCH DLAH Z ˇREZ˚U CT

(1)

REALIZACE PROGRAMU PRO

OPTIMALIZACE TVARU A VELIKOSTI VNITˇ RN´ICH P´ ANEVN´ICH DLAH Z ˇ REZ˚ U

CT

Bakal´ aˇrsk´ a pr´ ace

Studijn´ı program: B3944 – Biomedic´ınská technika Studijn´ı obor: 3901R032 – Biomedic´ınská technika Autor práce: Bc. Martin Hunˇek

Vedouc´ı pr´ace: MUDr. Jaroslav ˇSr´am

(2)

IMPLEMENTATION OF PROGRAM FOR SHAPE AND DIMENSIONS

OPTIMIZATION OF PELVIS INTERNAL FIXATOR BASED UPON

COMPUTER-ASSISTED TOMOGRAPHY IMAGES

Bachelor thesis

Study programme: B3944 – Biomedical technology Study branch: 3901R032 – Biomedical technology

Author: Bc. Martin Hunˇek

Supervisor: MUDr. Jaroslav ˇSr´am

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

Abstrakt

Tato práce se zabývá návrhem postup˚u a tvorbou konkrétn´ı implementace vyhodnocován´ı prostorových dispozic pánve. Jako zdroj p˚uvodn´ıch dat je v této práci uvaˇzován pˇredem definovaný CT ˇrez pˇredem vyexportovaný z formátu DICOM do formátu JPEG.

Prvn´ım výstupem této práce má být kˇrivka rozhran´ı kost-ostatn´ı tkáˇn z dodaného ˇrezu (v pánevn´ı rovinˇe) v m´ıstech pro pˇrikládán´ı vnitˇrn´ı dlahy. Druhým pak nástroj na porovnán´ı pravé a levé strany pánve pro úˇcely pozdˇejˇs´ıho statistického zpracován´ı. Posledn´ım výstupem této práce bude dokumentace k vytvoˇreným program˚um vˇcetnˇe vˇsech zdrojových kód˚u. Dosaˇzené výsledky budou pr˚ubˇeˇznˇe kontrolovány a konzultovány s prax´ı na pracoviˇsti vedouc´ıho práce.

Kl´ıˇcová slova: poˇc´ıtaˇcové vidˇen´ı, úprava obrazu, grafické transformace, metoda nejmenˇs´ıch ˇctverc˚u, LabView

Abstract

This thesis describes the design of procedures and the creation of a specific implementation for evaluation of the spatial disposition of the pelvis. As the source of the original data in this thesis are considered a pre-defined CT slice exported from DICOM format to JPEG. The first output of this thesis to the curve of the border bone-other tissue from the supplied slice (pelvic plane) in place for attaching the inner plate. The second output is a tool to compare the right and left sides of the pelvis for later statistical processing.

The final output of this thesis is documentation for the programs, including all the source code. The obtained results has been conti- nuously reviewed and discussed with the practice at the workplace of the supervisor.

Keywords: computer vision, image editing, graphical transformati- ons, least squares method, LabView

(8)

Podˇ ekov´ an´ı

T´ımto bych chtˇel podˇekovat vedouc´ımu mé práce za vstˇr´ıcný a trpˇelivý pˇr´ıstup a za rady ohlednˇe realizace. Rovnˇeˇz bych touto cestou chtˇel podˇekovat i dalˇs´ım lidem, kteˇr´ı mi poskytli cenné rady, ˇci jakkoliv pˇrispˇeli k realizaci této práce.

Jmenovitˇe bych chtˇel podˇekovat vedouc´ımu práce MUDr. ˇSˇrámovi (za obˇetavý a trpˇelivý pˇr´ıstup), konzultantovi Ing. Hanˇcilovi (za pomoc pˇri tvorbˇe programu), Mgr. Stebelovi, Ph.D. (za pomoc s volbou algoritmu prokládán´ı kruˇznice kˇrivkou) a vneposledn´ı ˇradˇe doc. RNDr. Satrapovy, Ph.D. za tvorbu ˇsablony pro tvorbu závˇereˇcných prac´ı v LÂTEXu pomoc´ı které je tato práce vysázena.

(9)

Obsah

Seznam zkratek . . . 12

1 Uvod´ 13 2 K ˇcemu to vˇsechno je? 14 3 Vyhodnocován´ı obrazových dat 16 3.1 Prahován´ı . . . 17

3.2 Hranov´a detekce . . . 18

3.3 V´ybˇer kˇrivky . . . 22

3.4 Sezn´amen´ı s prostˇred´ım LabView . . . 23

3.5 Implementace programu . . . 25

3.5.1 Prvn´ı krok – naˇcten´ı obrazu . . . 25

3.5.2 Druh´y krok – filtrov´an´ı obrazu . . . 27

3.5.3 Tˇret´ı krok – odblokov´an´ı extrakce . . . 29

3.5.4 Ctvrt´ˇ y krok – extrakce kˇrivky . . . 29

3.5.5 Pátý a ˇsestý krok – pˇredzpracován´ı a uloˇzen´ı . . . 31

3.6 Uˇzivatelsk´e rozhran´ı . . . 34

4 Analýza z´ıskaných kˇrivek 38 4.1 Formát vstupn´ıch dat . . . 38

4.2 Grafick´e transformace . . . 39

4.2.1 Translace . . . 39

4.2.2 Rotace . . . 40

4.3 Anal´yza d´elky kˇrivky . . . 41

4.4 Anal´yza kˇrivosti . . . 43

4.4.1 P˚uvodn´ı z´amˇer . . . 43

4.4.2 Minimalizace funkce metodou nejmenˇs´ıch ˇctverc˚u . . . 45

4.5 Anal´yza vzd´alenosti kˇrivek . . . 48

4.6 Implementace programu . . . 49

4.6.1 Funkce Circulal fit . . . 50

4.6.2 Hlavn´ı program – pˇr´ıprava a zobrazen´ı dat . . . 50

4.6.3 Mˇeˇren´ı vzd´alenosti kˇrivek . . . 52

4.6.4 Mˇeˇren´ı d´elek . . . 55

4.6.5 Proloˇzen´ı kruˇznice a uloˇzen´ı v´ysledk˚u . . . 55

(10)

4.8 V´ystupn´ı data ke statistick´emu zhodnocen´ı . . . 59

5 Z´avˇer 61

Pˇr´ılohy 65

A Obsah CD 65

B Dokumentace k programu pro extrakci kˇrivky 66

C Dokumentace k programu pro srovn´an´ı z´ıskan´ych kˇrivek 83

(11)

Seznam obr´ azk˚ u

2.1 Omega dlaha (obr´azek poskytnut vedouc´ım pr´ace) . . . 15

3.1 Rozd´ıly v SI sklouben´ı mezi pacienty . . . 16

3.2 P˚uvodn´ı ˇrez bez ´uprav . . . 17

3.3 Histogram s nastaven´ım prahov´eho filtru . . . 18

3.4 Rez po aplikován´ı prahového filtru . . . 19ˇ 3.5 Rez po aplikován´ı Laplaceova filtru . . . 20ˇ 3.6 Ukázka kódu v LabView (zmˇena cesty k souboru) . . . 24

3.7 Naˇcten´ı obrazu a zobrazen´ı n´ahledu . . . 26

3.8 Prahován´ı obrazu a filtrován´ı ˇcástic . . . 28

3.9 Extrakce kˇrivky . . . 30

3.10 Otoˇcen´ı a uloˇzen´ı kˇrivky . . . 32

3.11 N´ahled a nastaven´ı prahov´an´ı . . . 35

3.12 Pˇr´ıklad nastaven´ı filtru ˇc´astic . . . 36

3.13 V´ybˇer oblasti z´ajmu . . . 37

4.1 Spoleˇcná ˇcást kódován´ı ASCII, CP1250 a UTF–8 (zdroj:[1]) . . . 38

4.2 Ukázka formátován´ı dat v souboru kˇrivky (zvýraznˇen jeden ˇrádek) . . 39

4.3 Algoritmus pro v´ypoˇcet d´elky kˇrivky . . . 42

4.4 Nalezen´ı stˇredu ´useˇcky pomoc´ı kruˇz´ıtka . . . 44

4.5 Vliv aproximace na v´yslednou vzd´alenost . . . 48

4.6 Druh´a revize funkce Circular fit . . . 51

4.7 Naˇcten´ı soubor˚u a geometrick´e transformace . . . 53

4.8 Mˇeˇren´ı pr˚umˇern´e vzd´alenosti mezi kˇrivkami . . . 54

4.9 Hledán´ı bodu s minimáln´ı vzdálenost´ı od stˇredu a mˇeˇren´ı délek . . . 56

4.10 Proloˇzen´ı kruˇznice a uloˇzen´ı v´ysledk˚u . . . 58

(12)

Seznam zkratek

ASCII American Standard Code for Information Interchange, 7 bitové kódován´ı anglických znak˚u

CD Compact disc, kompaktn´ı disk, optické záznamové médium z osm- desátých let 20. stolet´ı

CP1250 K´odovac´ı sada ˇceˇstiny pouˇz´ıvan´a v Microsoft Windows

\CR Carriage Return, znak návratu na zaˇcátek ˇrádku

CSV Comma separated value, textový formát dat, sloupce oddˇeleny ˇcárkou CT Computer-assisted tomography, poˇc´ıtaˇcový tomograf

DICOM Standard pro v´ymˇenu medic´ınsk´ych dat

GMRES Generalized minimal residual method, metoda zobecnˇených rezidu´ı, iteraˇcn´ı metoda pro numerické ˇreˇsen´ı soustav lineárn´ıch rovnic JPEG Joint Photographic Experts Group, metoda ztrátové komprimace ob-

razov´ych dat, rovnˇeˇz i tv˚urci t´eto metody

\LF Line Feed, znak nov´eho ˇr´adku

PDF Portable document format, pˇrenositelný formát dokument˚u, formát který by mˇel zajistit stejný vzhled dokument˚u nezávisle na pouˇzitém softwaru

Real-Time Oznaˇcen´ı ˇcasovˇe krytických systém˚u vyˇzaduj´ıc´ıch odezvy v reálném ˇcase

RGB Red Green Blue, kódován´ı barev pomoc´ı ˇcervené, zelené a modré ba- revné sloˇzky

ROI Region of Interest, oblast z´ajmu

SI Sakroiliak´aln´ı sklouben´ı, spojen´ı os sacrum a os ilium

UTF-8 Univerzáln´ı kódován´ı vˇsech pouˇz´ıvaných znak˚u, minimáln´ı délka znaku 8 bit˚u

x86 Zkratka pro architekturu procesor˚u kompatibiln´ıch s procesorem Intel 8086/80286/386/486

(13)

1. Uvod ´

Práce je souˇcást´ı výzkumného projektu vedeného na spináln´ı jednotce Krajské ne- mocnice v Liberci. Smyslem této práce tedy je vytvoˇren´ı nástroj˚u k z´ıskáván´ı dat o prostorových dispozic´ıch dlah. Tyto data byla doposavad z´ıskávána obkreslován´ım na pap´ır z monitoru. To mohlo vést k nepˇresnostem a neumoˇzˇnovalo to objektivn´ı zhodnocen´ı.

Pˇri tvorbˇe tˇechto nástroj˚u tedy bylo zapotˇreb´ı se na tyto nedostatky zamˇeˇrit a záro- veˇn pˇr´ıliˇs nezat´ıˇzit zdravotnický personál sloˇzitost´ı obsluhy. Souˇcást´ı práce rovnˇeˇz musel být vhodný algoritmus pro vzájemné porovnán´ı levé a pravé strany pánve, coˇz byl jeden z poˇzadavk˚u od vedouc´ıho práce, který toto potˇreboval pro vyhodnocen´ı hypotézy, ˇze podle jedné ze stran lze zrekonstruovat druhou.

Vytvoˇrené nástroje nejsou m´ınˇeny jako zdravotnický prostˇredek¹ a proto nesm´ı být pouˇzity k léˇcen´ı konkrétn´ıho pacienta², ale pouze k ovˇeˇren´ı hypotéz ohlednˇe vnitˇrn´ıch dlah pánve. Jako takové nepodléhaj´ı schvaluj´ıc´ımu procesu zdravotnických prostˇredk˚u. Pokud by bylo rozhodnuto o jejich nasazen´ı v procesu léˇcby pacient˚u, bylo by nutné je podstoupit patˇriˇcnému schvalovac´ımu procesu. Za t´ımto úˇcelem byla tato práce doplnˇena o kompletn´ı dokumentaci.

1Ve smyslu zákona 123/2000Sb. – O zdravotnických prostˇredc´ıch (ve znˇen´ı pozdˇejˇs´ıch pˇredpis˚u)[22, zákon 123/2000Sb.]

2Dle definice v§ 2, odstavc´ıch 1 a 2, z´akona 123/2000Sb.

(14)

2. K ˇ cemu to vˇsechno je?

Jak jiˇz bylo zm´ınˇeno v úvodu, práce je ˇreˇsen´ım úkolu, jak vyhodnocovat r˚uzné parametry kˇrivek z obrazových dat. Pˇriˇcemˇz takto z´ıskaná data budou pozdˇeji pouˇzita jak pro výpoˇcet tvaru pr˚umˇerné pánevn´ı dlahy, tak pro ovˇeˇren´ı pˇredpokladu ˇze pomoc´ı kˇrivky z´ıskané z jedné ze stran lze urˇcit tvar druhé strany. Coˇz by bylo moˇzné uplatnit v pˇr´ıpadech zlomenin pánevn´ıho kruhu kdy je jedna ze stran neporuˇsená.

Data jsou sb´ırána za úˇcelem modelace nebo modifikace Omega dlahy, jak byla nazvána pánevn´ı dlaha vyvinutá na pracoviˇsti vedouc´ıho práce ve spolupráci s fir- mou MEDIN, a. s. Dlaha dostala jméno podle svého tvaru kterým pˇripom´ıná velké ˇrecké p´ısmeno Ω. Na rozd´ıl od nˇej je ovˇsem vˇetˇsinou um´ıst’ována obrácenˇe (obrázek 2.1). Podrobnˇejˇs´ı informace o této dlaze lze z´ıskat ze zdroje [20].

Pokud se na základˇe takto z´ıskaných dat podaˇr´ı nalézt dostateˇcnˇe malý poˇcet r˚uzných tvar˚u dlahy, tak by mohla být dlaha dodávána z výroby jiˇz pˇred mode- lovaná a t´ım by se sn´ıˇzila potˇreba ruˇcn´ıho ohýbán´ı dlahy pˇri zákroku a mohlo by doj´ıt i ke zkrácen´ı doby zákroku. Zároveˇn by vˇsak byly zachovány výhody sériové výroby jako jsou niˇzˇs´ı výrobn´ı náklady a náklady na logistiku.

V pˇr´ıpadˇe, ˇze by se podaˇrilo statisticky prokázat symetrii pánve, bylo by moˇzné provádˇet u pacient˚u se zlomeninami pánve individuáln´ı modelaci dlahy na základˇe vyˇsetˇren´ı poˇc´ıtaˇcovým tomografem a následném vyhodnocen´ı nepoˇskozené ˇcásti.

Coˇz m˚uˇze vést k dalˇs´ımu urychlen´ı výkonu a t´ım niˇzˇs´ı zátˇeˇzi pro pacienta, avˇsak se zde ztrác´ı výhody sériové výroby zm´ınˇené v pˇredchoz´ım odstavci.

(15)

Obrázek 2.1: Omega dlaha (obrázek poskytnut vedouc´ım práce)

(16)

3. Vyhodnocov´ an´ı obrazov´ ych dat

V této kapitole bude podrobnˇeji vysvˇetlena problematika z´ıskán´ı kˇrivky z ˇrezu ve formátu JPEG pˇr´ıpadnˇe z bitmapy. Je zde pˇredevˇs´ım vyuˇzito základn´ıch metod poˇc´ıtaˇcového vidˇen´ı, avˇsak zde nejsou pouˇzité ˇzádné optimalizace. Pro nˇe zde nen´ı uplatnˇen´ı, protoˇze se nejedná o takzvaný Real-Time systém, u kterého by bylo nutné docilovat velmi krátkých ˇcas˚u zpracován´ı.

Obr´azek 3.1: Rozd´ıly v SI sklouben´ı mezi pacienty

Dalˇs´ım rozd´ılem od technických aplikac´ı, na který bylo nutné brát zˇretel, je fakt, ˇze lidské tˇelo se liˇsˇs´ı ˇclovˇek od ˇclovˇeka. Tyto rozd´ıly spolu s promˇenlivou kvalitou sn´ımk˚u (pohyb pacienta, odliˇsná nastaven´ı CT), pak zp˚usobuj´ı komplikace pˇri au- tomatické identifikaci objekt˚u v ˇrezu. Tyto rozd´ıly jsou patrné ve stydké sponˇe, v acetabulu i v SI sklouben´ı. Vybraná SI sklouben´ı jsou vyobrazena na obrázku 3.1, kde je vidˇet rozd´ıl jak ve tvaru, tak i v pouˇzitém mˇeˇr´ıtku.

D´ıky tˇemto komplikac´ım nebylo moˇzné doc´ılit zcela automatického reˇzimu vyhod- nocován´ı, ale pouze reˇzimu poloautomatického. Kde je po obsluze vyˇzadováno spe- cifikován´ı oblasti zájmu a výbˇer nejbliˇzˇs´ıho bodu ke stˇredu acetabula.

Kaˇzdý krok zpracován´ı obrazu je vˇzdy doplnˇen o výsledný obraz po aplikován´ı daného filtru. Jako vzorový ˇrez je pouˇzit jeden z iniciáln´ıch sn´ımk˚u (obrázek 3.2), které byly za úˇcelem této práce (a na n´ı navazuj´ıc´ımu výzkumu) poskytnuty vedouc´ım práce. V rámci ochrany osobn´ıch údaj˚u z nich byly vymazány údaje, které by umoˇzˇnovaly identifikovat konkrétn´ıho pacienta.

(17)

Obr´azek 3.2: P˚uvodn´ı ˇrez bez ´uprav

3.1 Prahov´ an´ı

Prvn´ım krokem k z´ıskán´ı kˇrivky je prahován´ı. Jedná o v zásadˇe jednoduchou operaci, pˇri které je p˚uvodnˇe obraz v systému RGB nebo ˇsedotónový pˇreveden na binárn´ı.

Postup prob´ıhá tak, ˇze jsou nejprve stanoveny takzvané prahovac´ı hodnoty. Ty lze z´ıskat napˇr´ıklad z jasového histogramu, nebo empiricky metodou pokus-omyl. Z histogramu lze za pomoc´ı nˇekteré z iteraˇcn´ıch metod z´ıskat lokáln´ı minima výskyt˚u jasových hodnot. Mé zkuˇsenosti ze zpracovaných sn´ımk˚u ukazuj´ı, ˇze ideáln´ı spodn´ı hodnota prahového filtru se nacház´ı v intervalu od prvn´ıho lokáln´ıho minima vpravo od globáln´ıho maxima histogramu. Rovnˇeˇz se ukazuje, ˇze maximáln´ı spodn´ı hodnota prahového filtru nepˇresahuje druhou pˇetinu jasového rozsahu. Za typickou hodnotu nastaven´ı lze oznaˇcit hladinu 75 pˇri osmibitové barevné hloubce. Histogram s t´ımto nastaven´ım filtru ukazuje obrázek 3.3 (zelená oblast je vyhodnocena jako kost, tedy s hodnotou jedna).

(18)

Obr´azek 3.3: Histogram s nastaven´ım prahov´eho filtru

Dalˇs´ı metodou, jak nastavit prahový filtr je za pomoc´ı hypotézy, ˇze relativn´ı plocha kterou kost v ˇrezu zab´ırá se v´ıce ménˇe nemˇen´ı. Tedy po prvotn´ı identifikaci ideáln´ıho nastaven´ı se seˇcte poˇcet pixel˚u s hodnotou jedna po prahován´ı a ten se vydˇel´ı cel- kovým poˇctem pixel˚u v obraze. T´ım je z´ıskána relativn´ı plocha kosti v ˇrezu. Úlohou pˇri zpracován´ı dalˇs´ıch sn´ımk˚u je tento pomˇer udrˇzet s co nejmenˇs´ı odchylkou.

V programu je pouˇzit uˇzivatelsky nastavitelný interval prahového filtru, ale nastaven´ı se automaticky nemˇen´ı. T´ım, ˇze rozd´ıly mezi sn´ımky nemaj´ı na nastaven´ı filtru takˇrka vliv, tak jsem se rozhodl automatický výpoˇcet parametru neimplementovat.

Toto opatˇren´ı mˇelo za následek sn´ıˇzen´ı jak výpoˇcetn´ıho ˇcasu, tak ˇcasu potˇrebného na vývoj.

Dalˇs´ım krokem je samotná aplikace nastaveného filtru. Tedy celý obraz je prohledán a pokud se hodnota jasu v pixelu nacház´ı ve specifikovaném rozsahu, tak se tomuto pixelu pˇriˇrad´ı hodnota jedna, v opaˇcném pˇr´ıpadˇe hodnota nula. T´ımto je pak celý obraz pˇreveden do binárn´ı podoby 3.4.

3.2 Hranov´ a detekce

Hranová detekce je hlavn´ı sloˇzkou tohoto programu. Uˇz pˇri iniciáln´ım návrhu programu jiˇz bylo patrné, ˇze rozhran´ı kost / ostatn´ı tkáˇn bude moˇzné nejlépe z´ıskat za pomoci derivace v obraze. Nebo pˇresnˇeji diferenci jasových hodnot ve vˇsech smˇerech, tedy pro osy i x i y pro pixely (pro voxely i osa z). Diference mus´ı být pouˇzita m´ısto derivace, jelikoˇz obraz má koneˇcný poˇcet hodnot. To znamená, ˇze

(19)

Obrázek 3.4: ˇRez po aplikován´ı prahového filtru

obrazová funkce nen´ı diferencovatelná na celém intervalu obrazu (pokud nen´ı konstantn´ı jasová hodnota konstantn´ı). Dále bylo vzato do úvahy Marrova teorie [6], která ˇr´ıká, ˇze druhá derivace (/diference) poskytuje lepˇs´ı výsledky pˇri detekci hran neˇz derivace (/diference) prvn´ıho ˇrádu.

Z koneˇcného poˇctu bod˚u vycház´ı i metoda za jej´ıchˇz pomoc´ı je v obraze hrana de- tekována. Je zde totiˇz vyuˇz´ıváno hlavnˇe konvoluce. Funguje to tak, ˇze je pˇredem stanovena matice ve speciáln´ım tvaru (tzv. konvoluˇcn´ı maska), taková pro kterou plat´ı, ˇze souˇcet vˇsech prvk˚u matice je roven nule. To zajist´ı, ˇze pokud je obra- zová funkce konstantn´ı, tak výsledný obraz po konvoluci má konstantn´ı obrazovou funkci s hodnotou 0. Dalˇs´ım krokem je posouván´ı této konvoluˇcn´ı masky po obraze a jej´ımu násoben´ı s odpov´ıdaj´ıc´ımi body. Souˇcet tˇechto souˇcin˚u v kaˇzdém bodˇe posunut´ı konvoluˇcn´ı masky je novou hodnotou tohoto bodu (rozhoduj´ıc´ı je typicky stˇred konvoluˇcn´ı masky). Obvykle jsou konvoluˇcn´ı masky voleny tak, ˇze nav´ıc v sobˇe obsahuj´ı i filtr pro potlaˇcen´ı ˇsumu (dle [18], s. 83).

(20)

Obr´azek 3.5: ˇRez po aplikov´an´ı Laplaceova filtru

h1 =

"

1 0

0 −1

# , h2 =

"

0 1

−1 0

#

↓

grad(i)(x, y) =|i(x, y) − i(x + 1, y + 1)| + |i(x, y + 1) − i(x + 1, y)|

(3.1)

Jednou z nejjednoduˇsˇs´ıch konvoluˇcn´ıch masek je Roberts˚uv operátor (3.1). Jeho jis- tou výhodou a zároveˇn i nevýhodou je malá velikost konvoluˇcn´ı masky. To znamená i malou výpoˇcetn´ı nároˇcnost kv˚uli menˇs´ımu poˇctu matematických operac´ı. Zároveˇn malá konvoluˇcn´ı maska pˇrináˇs´ı d´ıky menˇs´ımu okol´ı i vˇetˇs´ı citlivost na ˇsum, který zde nen´ı nikterak filtrován. To je hlavn´ım d˚uvodem proˇc nen´ı v praxi pˇr´ıliˇs nasazována, avˇsak m˚uˇze dobˇre poslouˇzit pro vysvˇetlen´ı principu pouˇzit´ı konvoluˇcn´ıch masek obecnˇe. Pod konvoluˇc´ımi maskami 3.1 je rozepsán postup konvoluce pro z´ıskán´ı obrazové funkce po hranové detekci grad(i) (dle [7], s. 2). Pˇriˇcemˇz grad(i)(x, y) je vypoˇc´ıtaným elementem této funkce, i je p˚uvodn´ı obrazová funkce. Rozepsaný

(21)

vzorec lze z´ıskat napˇr´ıklad jako roznásoben´ı konvoluˇcn´ı masky po prvc´ıch s matic´ı obrazových bod˚u stejné velikosti (rovnice 3.2).

i2x2=

"

i(x, y) i(x, y + 1) i(x + 1, y) i(x + 1, y + 1)

#

i3x3 =







i(x− 1, y − 1) i(x − 1, y) i(x − 1, y + 1) i(x, y− 1) i(x, y) i(x, y + 1) i(x + 1, y− 1) i(x + 1, y) i(x + 1, y + 1)







(3.2)

Sloˇzitˇejˇs´ı, ale zato pouˇz´ıvanˇejˇs´ı maskou je Lapace˚uv operátor. Ten aproximuje druhou derivaci, je invariantn´ı v˚uˇci otoˇcen´ı, vytváˇr´ı dvojitou odezvu na tenké linie a je lineárn´ı (dle [7] a [12], s. 87). Pˇr´ıklady moˇzných konvoluˇcn´ıch masek jsou uvedeny v rovnici 3.3 a obrázek po aplikaci konvoluce má ˇc´ıslo 3.5. Jak je na tomto obrázku patrné, tak jediné co zbývá pro z´ıskán´ı fináln´ı kˇrivky je specifikován´ı oblasti zájmu a výbˇer stˇredu soustavy.

h4 =







0 1 0

1 −4 1

0 1 0





, h8 =







1 1 1

1 −8 1

1 1 1





 (3.3)

Mimo tˇechto konvoluˇcn´ıch masek existuj´ı pochopitelnˇe i dalˇs´ı. Napˇr´ıklad existuj´ı i varianty Lapaceova operátoru s vyˇsˇs´ı váhou smˇerem k rozhodnému bodu masky, které jiˇz nejsou invariantn´ı k otoˇcen´ı. Dále bych mohl jmenovat operátor podle Prewittové, Sobel˚uv operátor, Robinson˚uv operátor a Kirsch˚uv operátor. Vˇsechny tyto operátory aproximuj´ı prvn´ı derivaci, nejsou invariantn´ı na otoˇcen´ı, jsou ne- lineárn´ı a konvoluce se u nich provád´ı pro osm smˇer˚u pˇriˇcemˇz výsledkem je nejvˇetˇs´ı absolutn´ı hodnota.

Krom konvoluce existuje i ponˇekud jiný pˇr´ıstup, který bych zde mˇel zm´ınit. U nˇeho je pouˇzito binárn´ıch morfologických operac´ı, konkrétnˇe eroze a následné odeˇcten´ı od p˚uvodn´ıho obrazu. Eroze se provád´ı tak, ˇze se nejdˇr´ıv urˇc´ı tvar okol´ı, které pokud bod má, tak se nahrad´ı jedniˇckou, pokud takové okol´ı nemá, tak se nahrad´ı v novém obrazu nulou. Po odeˇcten´ı od originálu jsou z´ıskány hrany obrazu s velikost´ı a orientac´ı danou zvoleným okol´ım.

Vˇsechny operace zm´ınˇené v této kapitole jsou bˇeˇznˇe pouˇz´ıvané v pr˚umyslu v oblasti poˇc´ıtaˇcového vidˇen´ı. Jsou výpoˇcetnˇe nenároˇcné a snadno paralelizovatelné. To

(22)

umoˇzˇnuje jejich pouˇz´ıván´ı i v Real-time systémech, kde je výpoˇcetn´ıˇcas kritický. Zde vˇsak nebylo nutné porovnávat, ˇci dokonce pozmˇeˇnovat výpoˇcetn´ı algoritmy, jelikoˇz zde ˇcas natolik kritický nen´ı. V programu byl proto ponechán výchoz´ı algoritmus hranové detekce, který jakoˇzto souˇcást firemn´ıho tajemstv´ı nen´ı pˇresnˇe znám. Avˇsak podle [12] se lze domn´ıvat, ˇze se jedná o Laplacián h8 z rovnice 3.3.

3.3 V´ ybˇ er kˇrivky

Jak jiˇz bylo zm´ınˇeno na zaˇcátku kapitoly, kv˚uli pˇr´ıliˇsným rozd´ıl˚um mezi pacienty nebylo moˇzné dosáhnou automatického vyhodnocen´ı. Hlavn´ı kámen úrazu nastal právˇe u výbˇeru oblasti zájmu, potaˇzmo kˇrivky. Standardn´ı hledán´ı tvar˚u, jako se pouˇz´ıvá v pr˚umyslových aplikac´ı by zde nejsp´ıˇse selhalo, nebo by pˇri nejmenˇs´ım mˇelo velmi n´ızkou úspˇeˇsnost. Proto byla zvolena varianta, kdy oblast vyb´ırá uˇzivatel a má tak zároveˇn i moˇznost kontroly správnosti výbˇeru. Uvaˇzovaná kˇrivka se mu totiˇz oznaˇc´ı v obraze modrou barvou (podrobnˇeji se t´ım budu zabývat v kapitole Uˇzivatelské rozhran´ı).

Z programového hlediska je pro z´ıskán´ı kˇrivky potˇreba specifikovat oblast zájmu (v kódu oznaˇceno jako ROI), prahovou hodnotu hrany, minimáln´ı délku kˇrivky, smˇer vyhledáván´ı, typ výbˇeru a v neposledn´ı ˇradˇe samotný pˇredzpracovaný obraz. Oblast zájmu mus´ı specifikovat uˇzivatel tak, aby obdéln´ık výbˇeru obsáhl celou uvaˇzovanou kˇrivku, aby se nedotýkala okraje výbˇeru jinde neˇz na konc´ıch a tak aby konce kˇrivky byly jeden pˇred SI sklouben´ım a jeden pˇred stydkou sponou. Prahová hodnota hrany reprezentuje minimáln´ı hodnotu, kdy program vyhodnot´ı zmˇenu jasu jako hranu.

V naˇsem pˇr´ıpadˇe, kdy jiˇz pouˇz´ıváme pˇredzpracovaný binárn´ı obraz je to hodnota jedna.

Minimáln´ı délka kˇrivky se ukázala jako dosti d˚uleˇzitý parametr. Slouˇz´ı totiˇz k od- filtrován´ı menˇs´ıch oblast´ı, které se obˇcas v ˇrezu objev´ı a to pak vede k vyhodnocen´ı

´

uplnˇe jiné kˇrivky. Pˇri ladˇen´ı bylo zjiˇstˇeno, ˇze spolehlivˇe funguje parametr s hodnotou sto. V pˇr´ıpadˇe pokud by byla vyhodnocována ˇspatná kˇrivka, je v programu ponechána moˇznost uˇzivatelské zmˇeny za bˇehu.

Smˇer vyhledáván´ı se naopak ukázal jako ménˇe významný parametr. Ve zkratce jde o to jakým smˇerem bude v ROI kˇrivka vyhledávána. Správné je jakékoliv nastaven´ı, pˇri kterém vyhledáván´ı postupuje smˇerem od stˇredu obrazu k okraji. Nevhodná volba zp˚usob´ı pouze vyˇsˇs´ı nároˇcnost na pˇresnost specifikován´ı ROI. Typ výbˇeru

(23)

umoˇzˇnuje zvolit jestli bude vybrána nejbliˇzˇs´ı kˇrivka od startu hledán´ı, nejdelˇs´ı kˇrivka nebo kˇrivka s nejvˇetˇs´ım jasovým gradientem. Pˇriˇcemˇz posledn´ı jmenovaná nepˇripadá v úvahu kv˚uli binárn´ımu obrazu (tedy gradient je vˇsude stejný). Mezi prvn´ımi dvˇema lze libovolnˇe volit a záleˇz´ı na preferenc´ıch kaˇzdého uˇzivatele.

Posledn´ım údajem který je v tomto kroku nutné dodat je stˇred acetabula. Tedy pˇresnˇeji bod na kˇrivce s minimáln´ı vzdálenost´ı od stˇredu acetabula. Na základˇe konzultac´ı s vedouc´ım práce bylo rozhodnuto, ˇze vhodnou aproximac´ı tohoto bodu bude pr˚useˇc´ık spojnice pˇrilehlého stˇredu hlavice femuru a protˇejˇs´ıho SI sklouben´ı s kˇrivkou. Tento úzus umoˇzˇnuje minimalizovat chyby zp˚usobené subjektivn´ım hod- nocen´ım obsluhy. Osobn´ı zkuˇsenost mi ukázala, ˇze pˇresná identifikace tohoto bodu m˚uˇze být pro ménˇe trénované oko pˇrinejmenˇs´ım nejednoznaˇcná.

3.4 Sezn´ amen´ı s prostˇred´ım LabView

V pˇredchoz´ıch kapitolách jsem struˇcnˇe probral kroky spojené se z´ıskán´ım kˇrivky rozhran´ı kost/ostatn´ı tkán. Ted’ je na ˇcase popsat vývojové prostˇredky pouˇzité k tvorbˇe samotného programu. Tedy pˇri tvorbˇe program˚u jsem pouˇz´ıval hlavnˇe prostˇred´ı LabView s modulem Vision Assistant od firmy National Instruments ve verzi 2012.

D˚uvodu k pouˇzit´ı tohoto vývojového prostˇred´ı bylo hned nˇekolik. V prvn´ıˇradˇe v nˇem pracuje konzultant práce Ing. Hanˇcil. Coˇz se ukázalo jako nesporná výhoda, protoˇze to umoˇzˇnovalo mnohem efektivnˇejˇs´ı a rychlejˇs´ı spolupráci pˇri ˇreˇsen´ı problém˚u s im- plementac´ı.

Druhou výhodou byla urˇcitá abstrakce od bˇeˇzných prvk˚u objektovˇe orientovaného programován´ı, jako tvorba vlastn´ıch tˇr´ıd, dˇediˇcnosti, distribuce událost´ı nebo vytvá- ˇren´ı datových struktur. Jelikoˇz se jedná o grafický programovac´ı jazyk, tak je zde moˇzné soustˇredit se v´ıce na ˇreˇsený úkol neˇz na jeho formáln´ı zápis. Tedy progra- mován´ı v tomto jazyce spoˇc´ıvá v propojován´ı jiˇz naprogramovaných funkˇcn´ıch blok˚u, ovládac´ıch prvk˚u, konstant a tak podobnˇe.

Prostˇred´ı LabView má pochopitelnˇe i nˇejaké nevýhody. Osobnˇe za nejvˇetˇs´ı z nich povaˇzuji svázanost s platformou Microsoft Windows a architekturou x86. Prostˇred´ı existuje i ve variantˇe pro MacOS X a Linux, ale na tˇechto platformách nedosahuje ani zdaleka plné funkcionality. D´ıky tomu jsou pak i vytvoˇrené programy svázané s Win- dows. Na druhou stranu vytváˇret kv˚uli multiplatformitˇe celý program napˇr´ıklad v C++ by ˇcasovou nároˇcnost´ı neodpov´ıdalo výsledk˚um. Zvláˇstˇe pokud pouˇzit´ı na

(24)

alternativn´ıch platformách nebylo souˇcást´ı zadán´ı.

Ted’ k samotnému prostˇred´ı. Pˇri otevˇren´ı projektu se objev´ı dvˇe okna. Jedno pro tvorbu vnitˇrn´ı struktury programu a jedno pro návrh uˇzivatelského rozhran´ı. Pˇri pˇridán´ı prvku do jednoho z oken se vytvoˇr´ı i koresponduj´ıc´ı prvek ve druhém z nich (pokud existuje, napˇr´ıklad matematické operace nemaj´ı uˇzivatelské rozhran´ı). Prvky se pˇridávaj´ı pomoc´ı pravého tlaˇc´ıtka myˇsi a jejich nab´ıdka záleˇz´ı na zakoupených rozˇsiˇruj´ıc´ıch modulech. Typická podoba kódu je vidˇet napˇr´ıklad na obrázku 3.6.

Obrázek 3.6: Ukázka kódu v LabView (zmˇena cesty k souboru)

R˚uzné barvy ˇcar na obrázku reprezentuj´ı r˚uzné typy promˇenných. Kupˇr´ıkladu zelená teˇckovaná ˇcára reprezentuje promˇennou typu binárn´ıho ˇc´ısla. Tedy m˚uˇze nabývat pouze hodnot jedna (pravda, TRUE, T) nebo nula (nepravda, FALSE, F). Kon- stanta logické jedniˇcky je konec konc˚u na obrázku také vidˇet (b´ılé zarámované T v zeleném poli). Modrozelená odpov´ıdá cestˇe k souboru, r˚uˇzová ˇretˇezci a ˇzlutoˇcerná znaˇc´ı chybové zprávy. Zde zobrazené zarámován´ı odpov´ıdá konstrukci switch/case z konvenˇcn´ıch jazyk˚u. LabView neodliˇsuje mezi konstrukc´ı obyˇcejné podm´ınky (if v konvenˇcn´ıch jazyc´ıch) a switch/case. Jediný rozd´ıl je vˇetˇs´ı poˇcet stav˚u a jiný typ vstupn´ı promˇenné.

Zobrazená ˇcást programu mˇen´ı ˇcást cesty k obrazu ˇrezu a vytváˇr´ı z n´ı dvˇe nové pro soubor s daty kˇrivky. Podm´ınka pro výbˇer se realizuje mimo zobrazený výˇrez 3.6, jedná se vˇsak pouze o porovnán´ı souˇradnice X stˇredu acetabula s polovinou ˇs´ıˇre obrazu. Tedy urˇcen´ı jaká strana se právˇe vyhodnocuje. T´ımto opatˇren´ım je zajiˇstˇeno, ˇze pokud jsou vyhodnocovány obˇe strany, tak druhá z vyhodnocovaných stran nepˇrep´ıˇse data prvn´ı. Zároveˇn je formou názvu souboru ˇrezu zajiˇstˇen unikátn´ı identifikátor aniˇz by bylo nutné vyhodnocovat text na sn´ımku a ten pak patˇriˇcnˇe anonymizovat aniˇz by se ztratila jednoznaˇcnost. Nehledˇe na moˇznost zpˇetnˇe identifikovat eventuáln´ı ˇspatnˇe vyhodnocený sn´ımek.

(25)

3.5 Implementace programu

Program je koncipován sekvenˇcnˇe do ˇsesti krok˚u. V této ˇcásti jsou vˇsechny kroky podrobnˇeji popsány, ty komplikovanˇejˇs´ı jsou nav´ıc doplnˇeny o obrázek zdrojového kódu. Nejedná se vˇsak o kompletn´ı program, ten je k dispozici v pˇr´ıloze a v dokumentaci k program˚um.

3.5.1 Prvn´ı krok – naˇ cten´ı obrazu

Prvn´ı ˇcást programu zajiˇst’uje výbˇer, naˇcten´ı obrazu z formátu JPEG a zobrazen´ı náhledu. Krom toho je na obrázku 3.7 vidˇet zablokován´ı ovládac´ıch prvk˚u, vypnut´ı extrakce kˇrivky a sn´ımán´ı souˇradnice stˇredu acetabula, zaznamenán´ı poˇctu pixel˚u v ose X, smazán´ı výbˇeru oblasti zájmu a zastaven´ı programu pokud uˇzivatel nevy- bere odpov´ıdaj´ıc´ı soubor.

K zablokov´an´ı tlaˇc´ıtka

”OK“ je pˇrikroˇceno, aby nedoˇslo k exportován´ı kˇrivky, aniˇz by byly nastaveny souˇradnice stˇredu acetabula. To by pak zp˚usobilo problémy pˇri pozdˇejˇs´ım zpracován´ı dat, protoˇze se dále pˇredpokládá, ˇze tento bod má souˇradnice [0; 0]. Tud´ıˇz by nebylo moˇznˇe kˇrivku rozdˇelit na frontáln´ı a dorzáln´ı ˇcást a ty zpra- covávat samostatnˇe. Jedná se tak zároveˇn i o prvek kontroly uˇzivatele.

Vypnut´ım extrakce kˇrivky a sn´ımán´ı stˇredu acetabula je zabránˇeno uˇzivateli aby mohl vyexportovat kˇrivku aniˇz by zkontroloval nastaven´ı prahového filtru a filtru pro potlaˇcen´ı malých objekt˚u. Opomenut´ı této kontroly by mohlo vést napˇr´ıklad k vyhodnocován´ı vnitˇrku kosti m´ısto vnˇejˇs´ıho obrysu, pokud by byly okraje ménˇe kontrastn´ı. Aˇckoliv se nejedná o nikterak pravdˇepodobnou chybu pˇri standardn´ım nastaven´ı, tak k n´ı teoreticky m˚uˇze doj´ıt pokud by bylo zpracováváno v´ıce sn´ımk˚u s velmi odliˇsnou kvalitou. Jedná se tak v´ıce ménˇe o preventivn´ı opatˇren´ı pro eliminaci opomenut´ı uˇzivatele.

Zaznamenán´ı poˇctu pixel˚u v ose X je d˚uleˇzité pro pozdˇejˇs´ı vyhodnocen´ı, která strana pánve je vyhodnocována. To je v pozdˇejˇs´ıch kroc´ıch programu provedeno porovnán´ım Xové souˇradnice stˇredu acetabula s polovinou rozmˇeru osy X. Pokud je souˇradnice stˇredu menˇs´ı neˇz polovina sn´ımku, jedná se o pravou stranu pánve (na sn´ımku vlevo), pokud je naopak vˇetˇs´ı, jedná se o levou stranu pánve (na sn´ımku vpravo).

Vymazán´ı oblasti zájmu (ROI) taktéˇz d˚uleˇzité pro eliminaci chyb obsluhy. Pokud by

(26)

Obr´azek 3.7: Naˇcten´ı obrazu a zobrazen´ı n´ahledu

(27)

k vymazán´ı nedoˇslo, tak by se mohlo stát, ˇze by uˇzivatel neurˇcoval ROI pro kaˇzdý sn´ımek, ale nam´ısto toho ponechával nastaven´ı ze sn´ımku minulého. To by vzhledem ke znaˇcné rozd´ılnosti jednotlivých sn´ımk˚u mohlo vést minimálnˇe zkresleným údaj˚um o délkách jednotlivých úsek˚u. Na vinˇe by v takovém pˇr´ıpadˇe bylo nepˇresné zamˇeˇren´ı konc˚u kˇrivek.

3.5.2 Druh´ y krok – filtrov´ an´ı obrazu

V druhém kroku je realizováno filtrován´ı ˇcástic a prahový filtr (obrázek 3.8). Kv˚uli moˇznosti manuálnˇe mˇenit nastaven´ı je celý tento cyklus um´ıstˇen do tzv.

”while smyˇcky“. Pˇriˇcemˇz jej´ı ukonˇcen´ı je v´az´ano na stisknut´ı tlaˇc´ıtka

”Next“. Provádˇen´ı smyˇcky je kv˚uli úspoˇre systémových prostˇredk˚u omezeno na 100 ms. Avˇsak toto omezen´ı nemá témˇeˇr ˇzádný vliv na plynulost uˇzivatelského rozhran´ı.

Uvnitˇr smyˇcky je vˇzdy nejdˇr´ıve vynulována oblast zájmu. Toto opatˇren´ı zabraˇnuje uˇzivateli vybrat oblast aniˇz byly nastaveny filtry. Pˇresnˇeji ˇreˇceno, pokud se mu podaˇr´ı vybrat oblast zájmu, tak je mu nejpozdˇeji do 100 ms smazána. Tedy uˇzivatel nem˚uˇze zapomenout minimálnˇe potvrdit nastaven´ı filtr˚u.

Dále je ve smyˇcce vykonáno prahován´ı obrazu podle uˇzivatelského nastaven´ı. To je tvoˇreno samostatnými spodn´ımi a horn´ımi hranicemi pro vˇsechny tˇri barvy. Jedná se o obdobu postupu uvedeného v kapitole Prahován´ı, avˇsak zde rozdˇelenou do tˇr´ı sloˇzek (RGB). Rozdˇelen´ı je výsledkem ladˇen´ı v raných fáz´ı vývoje programu, kdy jsem pˇredpokládal lepˇs´ı dosaˇzené výsledky pokud bude moˇzné nastavit sloˇzky sa- mostatnˇe. Tento pˇredpoklad se pozdˇeji ukázal jako nepodloˇzený. Je tedy moˇzné nahradit pouˇzitý prahový filtr pˇrevodem obrazu do ˇsedotónového formátu a ten poté prahovat podle hodnoty jasu (jak bylo uvedeno ve zm´ınˇené kapitole).

Poté je aplikován filtr ˇcástic. Ten má za úkol odstranit ˇcástice menˇs´ı neˇz je urˇcitý, uˇzivatelsky definovatelný poˇcet pixel˚u. Tento filtr se ukázal jako velmi uˇziteˇcný v pˇr´ıpadech, kdy se v obraze vyskytuje ˇsum, artefakty menˇs´ıho rozsahu a kdy pacient˚um byly podány kontrastn´ı látky. Hlavnˇe posledn´ı zm´ınˇený pˇr´ıpad by jinak mohl zp˚usobit pozdˇejˇs´ı chyby v detekci kˇrivky, nebo j´ı minimálnˇe zt´ıˇzit formou obt´ıˇznˇejˇs´ıho urˇcován´ı oblasti zájmu.

Jakmile je provedena filtrace ˇcástic je výsledný obraz pˇrekreslen v hlavn´ım pracovn´ım oknˇe. To umoˇzˇnuje pr˚ubˇeˇznou kontrolu nastaven´ı jeˇstˇe pˇred jejich koneˇcným potvrzen´ım. Po potvrzen´ı totiˇz program pˇrejde do dalˇs´ıho kroku a parametry filtr˚u

(28)

Obrázek 3.8: Prahován´ı obrazu a filtrován´ı ˇcástic

(29)

tak jiˇz nen´ı moˇzn´e mˇenit.

3.5.3 Tˇret´ı krok – odblokov´ an´ı extrakce

Ve tˇret´ım kroku je povolen výbˇer souˇradnic stˇredu acetabula a extrakce kˇrivky. Tento krok zde nen´ı vyobrazen, jedná se vˇsak pouze o propojen´ı dvou funkˇcn´ıch blok˚u chybovým vodiˇcem a pˇriˇrazen´ı konstanty

”Enabled“ do obou blok˚u. Je vhodné zde zm´ınit, ˇze i kdyˇz by zde nebyl chybový vodiˇc vlastnˇe potˇreba, tak zajiˇst’uje i jednu zaj´ımavou funkci. V LabView se totiˇz vykoná funkˇcn´ı blok aˇz kdyˇz jsou k dispozici signály ze vˇsech vstup˚u. Tyto signály mohou m´ıt i nulovou hodnotu, ale mus´ı k bloku dorazit. Pˇr´ıkladem m˚uˇze být chybový vodiˇc, t´ım v ideáln´ım pˇr´ıpadˇe proud´ı prázdná data, ale ty jsou následuj´ıc´ımu bloku pˇredána aˇz po vykonán´ı pˇredchoz´ıho bloku.

Toho je v programu nˇekolikrát vyuˇzito k urˇcen´ı poˇrad´ı vykonáván´ı funkˇcn´ıch blok˚u.

3.5.4 Ctvrt´ ˇ y krok – extrakce kˇrivky

Ctvrtá ˇcást zajiˇst’uje zachytáván´ı událost´ı z hlavn´ıho pracovn´ıho okna. Tˇemitoˇ událostmi se rozum´ı hlavnˇe událost s ˇc´ıslem dva (kreslen´ı) a událost osm (dvojité kliknut´ı). Podle ˇc´ısla události je provedená odpov´ıdaj´ıc´ı akce ve struktuˇre

”case“.

Na obrázku 3.9 je zobrazeno zpracován´ı kreslen´ı, dvojité kliknut´ı zde zobrazeno nen´ı.

Kaˇzdých 10 ms je sn´ımána posledn´ı událost v oknˇe. Pokud nen´ı zaznamenána událost dvojitého kliknut´ı, je provedena vyobrazená ˇcást kódu. Tedy nejdˇr´ıve se vymaˇzou pˇrekrývaj´ıc´ı vrstvy z náhledu a pracovn´ıho okna. Pak se sestav´ı popis oblasti zájmu, který je následnˇe pˇredán k separaci kˇrivky z filtrovaného obrazu. Odtud jsou z´ıskány souˇradnice bod˚u kˇrivky. Následuj´ıc´ı funkˇcn´ı bloky vyznaˇcuj´ı vyhodnocovanou kˇrivku do obou oken.

Pokud je naopak zachycena událost dvojkliku, tak dojde k zaznamenán´ı souˇradnic a odblokován´ı tlaˇc´ıtka

”OK“. T´ım je uˇzivateli umoˇznˇen export dat kˇrivky a zároveˇn jsou souˇradnice stˇredu acetabula nad t´ımto tlaˇc´ıtkem zobrazeny. To umoˇzˇnuje záro- veˇn kontrolu souˇradnic v˚uˇci aktuáln´ı poloze kurzoru v pracovn´ım oknˇe. Ta je spolu s ostatn´ımi údaji na spodn´ı hranˇe okna. Po stisknut´ı tlaˇc´ıtka

”OK“ program opust´ı

”while smyˇcku“ a d´ale jiˇz pokraˇcuje bez interakce s obsluhou.

(30)

Obr´azek 3.9: Extrakce kˇrivky

(31)

3.5.5 P´ at´ y a ˇsest´ y krok – pˇredzpracov´ an´ı a uloˇzen´ı

V pˇredposledn´ım kroku je zjiˇstˇena strana která byla zaznamenávána, kˇrivka je zde pˇrevádˇena na reálné rozmˇery, otáˇcena a posunuta stˇredem acetabula do stˇredu souˇradného systému. Dále je vytvoˇrena cesta k souboru do kterého se budou data zapisovat a následnˇe se provede samotný zápis.

Jak je vidˇet na obrázku 3.10, tak nejprve dojde k rozkladu souˇradnic stˇredu acetabula na dvˇe samostatná ˇc´ısla (souˇradnice X a Y v pixelech). Souˇcasnˇe je porovnán´ım souˇradnice stˇredu acetabula a poloviny rozmˇeru obrazu na ose X zjiˇstˇeno, která strana pánve se právˇe zpracovává. To ovlivˇnuje zda bude výsledná kˇrivka otáˇcena podle osy Y , aby j´ı bylo moˇzné pozdˇeji porovnat s kˇrivkou z druhé strany.

Pokud je zpracovávána pravá strana pánve (kód na obrázku 3.10, tak docház´ı pouze k otáˇcen´ı podle osy X. K tomuto je pˇrikroˇceno kv˚uli rozd´ıl˚um v chápán´ı souˇradného systému v obraze jak je uloˇzen v poˇc´ıtaˇci a mezi souˇradným systémem jak jej vn´ımá ˇclovˇek. Zat´ımco v poˇc´ıtaˇci je bod s nulovými souˇradnicemi vlevo nahoˇre, tak ˇclovˇek pˇredpokládá nulu souˇradného systému vlevo dole. Zároveˇn v poˇc´ıtaˇci je kladný smˇer na ose Y smˇerem dolu, tak ˇclovˇek pˇredpokládá kladnou zmˇenu souˇradnic smˇerem k horn´ımu okraji obrazu.

p = [realny rozmer]

[rozmer v pixelech] (3.4)

Pˇrepoˇcet na reálné rozmˇery je provádˇen pomoc´ı pˇrepoˇcetn´ıho koeficientu. Jeho výpoˇcet je vidˇet v rovnici 3.4, kde oba tyto parametry zadává uˇzivatel v pˇredchoz´ı ˇcásti programu podle mˇeˇr´ıtka ve sn´ımku. Reálný rozmˇer tedy bývá 10 cm, ale rozmˇer v pixelech je promˇenlivý v závislosti na rozliˇsen´ı sn´ımk˚u.

(32)

Obr´azek 3.10: Otoˇcen´ı a uloˇzen´ı kˇrivky

(33)





 x⁰ y⁰ 1





=







p 0 0

0 −p 0

0 0 1





 ·







1 0 −sx

0 1 −sy

0 0 1





 ·





 x y 1







↓





 x⁰ y⁰ 1





=







p 0 −ps^x 0 −p psy

0 0 1





 ·





 x y 1







↓

x⁰ = p· x + 0 · y − p · sx· 1 y⁰ = 0· x − p · y + p · sy · 1

1 = 0· x + 0 · y − 1 · 1

↓ x⁰ = px− ps^x y⁰ =−py + ps^y

↓

x⁰ = p (x− s^x) y⁰ =−p (y − s^y)

(3.5)

Celkový pˇrepoˇcet souˇradnic vˇcetnˇe posunut´ı a posunut´ı do nuly lze nalézt v rovnic´ıch 3.5. Kde x⁰ a y⁰ jsou nové souˇradnice bodu v reálném rozmˇeru, x a y jsou steré souˇradnice v pixelech, sx a sy jsou souˇradnice stˇredu acetabula v pixelech a p je pˇrepoˇcetn´ı koeficient mˇeˇr´ıtka. Jedná se o kombinaci zmˇeny mˇeˇr´ıtka a translace (v´ıce se touto problematikou zabývám v kapitole Translace) pro pravou ˇcást pánve.

Otoˇcen´ı pro levou ˇcást je moˇzné doc´ılit pˇridán´ım znaménka m´ınus k pˇrepoˇcetn´ımu koeficientu p v prvn´ım ˇrádku prvn´ı matice.

Sestaven´ı cesty k souboru pro export dat jsem jiˇz zmiˇnoval v kapitole Seznámen´ı s prostˇred´ım LabView. Ve zkratce jde o to, aby bylo moˇzné jednoznaˇcnˇe identifikovat pacienty a zároveˇn, aby data jedné strany pánve nepˇrepisovala data druhé strany.

Pro splnˇen´ı prvn´ı podm´ınky jsem zvolil oznaˇcen´ı dat názvem souboru ˇrezu. T´ım pádem nen´ı nutné ˇc´ıst data ze sn´ımku a pˇredcház´ı se tak moˇznému zdroji problém˚u.

Splnˇen´ı druh´e podm´ınky lze ˇreˇsit dvˇema zp˚usoby. Prvn´ım by bylo oddˇelit strany ve vnitˇrn´ı struktuˇre souboru. To by vˇsak znamenalo komplikace v pˇr´ıpadech, kdy by se vyhodnocovala pouze jedna strana, nebo v pˇr´ıpadech opakovan´eho mˇeˇren´ı.

Daleko jednoduˇsˇs´ı a bezpeˇcnˇejˇs´ı zp˚usob spoˇc´ıv´a v pouˇzit´ı dvou soubor˚u, kaˇzd´y pro jednu stranu. Vyˇsˇs´ı bezpeˇcnost je zp˚usobena kontrolou, ˇze byly vyhodnoceny obˇe

(34)

strany a zároveˇn zde z˚ustává moˇznost opakován´ı chybného mˇeˇren´ı pouze na jedné stranˇe.

K odliˇsen´ı stran je pouˇzito ˇretˇezc˚u

”R.csv“ pro pravou stranu a

”L.csv“ pro levou stranu. Pˇriˇcemˇz jimi je nahrazena p˚uvodn´ı pˇr´ıpona ˇrezu

”.jpg“. Vyhodnocovan´ı kritérium je pouˇzito stejné jako u pˇrepoˇctu souˇradnic. Po vytvoˇren´ı cesty je provedeno uloˇzen´ı do textového souboru. Jako oddˇelovaˇc souˇradnic je pouˇzit stˇredn´ık, jako desetinný oddˇelovaˇc ˇcárka, oddˇelen´ı bod˚u zajiˇst’uje nový ˇrádek pomoc´ı znak˚u

\CR a \LF a ˇc´ısla jsou zapsána jako text se tˇremi desetinými m´ısty. T´ım je dosaˇzen formát standardn´ıho souboru typu CSV v adaptaci pro ˇceské Microsoft Windows a lze tedy pro ˇcten´ı dat pouˇz´ıt bˇeˇzné tabulkové procesory (napˇr´ıklad LibreOffice Calc nebo Microsoft Excel).

V posledn´ım kroku jsou pak pouze vyˇciˇstˇeny chybové zprávy a vyhodnoceno tlaˇc´ıtko posledn´ıho sn´ımku. Pokud bylo stisknuto, tak po uloˇzen´ı dat dojde k vypnut´ı programu. Pokud ne, dojde k otevˇren´ı souborového dialogu pro výbˇer dalˇs´ıho sn´ımku a program bˇeˇz´ı od zaˇcátku.

3.6 Uˇzivatelsk´ e rozhran´ı

Uˇzivatelské rozhran´ı odpov´ıdá sekvenˇcn´ımu bˇehu programu, pˇriˇcemˇz staˇc´ı aby uˇziva- tel postupoval pˇri ovládán´ı zleva doprava a nemˇel by narazit na vˇetˇs´ı problémy.

Po startu programu se nejdˇr´ıve objev´ı klasický souborový dialog. V nˇem uˇzivatel mus´ı vybrat vyhodnocovaný sn´ımek ve formátu JPEG a pˇr´ıponou

”.jpg“. Stoj´ı za zm´ınku, ˇze výstupn´ı data budou uloˇzena do stejného adresáˇre odkud byla z´ıskána data vstupn´ı a budou m´ıt prvn´ı ˇcást názvu spoleˇcnou (rozˇs´ıˇrenou o

”R.csv“ nebo

”L.csv“ viz v´yˇse).

Po úspˇeˇsném naˇcten´ı souboru se vlevo nahoˇre objev´ı náhled p˚uvodn´ıho sn´ımku.

V tuto chv´ıli je od uˇzivatele poˇzadována kontrola nastaven´ı prahového filtru (obrázek 3.11) a filtru pro odstranˇen´ı drobných ˇcástic. Prvn´ı z jmenovaných je aktivn´ı vˇzdy a je k nastaven´ı pomˇernˇe benevolentn´ı. K problém˚um s implicitn´ım nastaven´ım vˇsak m˚uˇze docházet u málo kontrastn´ıch sn´ımk˚u. Uˇzivatel by si mˇel dát hlavnˇe pozor, aby nedocházelo k rozpoznán´ı okoln´ıch struktur pánve jako kosti a zároveˇn aby jiˇz nedocházelo ke zmˇenám na rozhran´ı pánevn´ıho kruhu.

Filtr pro odstranˇen´ı drobných ˇcástic nen´ı vˇzdy potˇreba, takˇze se m˚uˇze stát, ˇze nebude ve výchoz´ım stavu zapnutý. Pokud vˇsak bude uˇzivatel zpracovávat velmi zaˇsumˇený

(35)

Obrázek 3.11: Náhled a nastaven´ı prahován´ı

obraz m´a moˇznost filtr aktivovat. Pokud je nastaven´ı filtru neaktivn´ı lze ho pˇridat pomoc´ı poloˇzky

”Insert Element Before“ z kontextov´e nab´ıdky nastaven´ı filtru. D´ale doporuˇcuji vybrat u

”Measurement Parameter“ moˇznost

”Area“, doln´ı hranici ne- chat na hodnotˇe nula, horn´ı hranici nastavit minim´alnˇe na 5 a zaˇskrtnout volbu

”Range“ (pˇr´ıklad nastaven´ı je na obrázku 3.12). Bˇehem nastavován´ı filtru se m˚uˇze stát, ˇze z pracovn´ıho okna zmiz´ı obraz. To je zp˚usobené nevhodným nastaven´ım filtru nebo nezaˇskrtnutou volbou

”Range“, kdy filtr zobrazuje ˇcásti, které by se mˇely z obrazu odstranit. Uˇzivatel si mus´ı dát pozor, aby pˇred potvrzen´ım nastaven´ı vidˇel v pracovn´ım oknˇe opravdu ten obraz, který chce vyhodnocovat. K tomuto nastaven´ı se lze vrátit pouze po restartu programu nebo naˇcten´ı nového sn´ımku.

Po potvrzen´ı nastaven´ı filtr˚u tlaˇc´ıtkem

”Next“, pˇricház´ı na ˇradu práce v hlavn´ım oknˇe. Konkrétnˇe je nutné identifikovat stˇred acetabula a vymezit oblast zájmu.

Osobnˇe doporuˇcuji nejdˇr´ıv pˇrepnout v panelu nástroj˚u na úseˇcku (na obrázku 3.13 vlevo nahoˇre, pátá poloˇzka shora), tou si vyznaˇcit spojnici stˇredu hlavice femuru a protˇejˇs´ıho SI sklouben´ı. Poté pˇrepnout zpˇet na kurzor a dvakrát kliknout na pr˚u- seˇc´ık této úseˇcky a uvaˇzované kˇrivky. T´ım dojde k oznaˇcen´ı stˇredu acetabula, coˇz

(36)

Obrázek 3.12: Pˇr´ıklad nastaven´ı filtru ˇcástic je indikováno nenulovými souˇradnicemi nad tlaˇc´ıtkem

”OK“ a jeho odblokov´an´ım.

Následnˇe zvolit ikonu otoˇceného obdéln´ıku (sedmá shora, z ostatn´ıch tvar˚u program kˇrivku nevyhodnocuje). Táhnut´ım v odraze je pak vytvoˇrena oblast zájmu, kterou je moˇzno pomoc´ı kurzoru dále upravovat. Kˇrivka je v obraze zvýraznˇena modrou barvou stejnˇe jako v náhledu.

Pokud program vybral správnou kˇrivku, tak máte vyhráno a stiskem tlaˇc´ıtka

”OK“

se kˇrivka uloˇz´ı a pokud nebylo pˇredt´ım stisknuto tlaˇc´ıtko

”Toto je posledn´ı sn´ımek“, tak program zaˇcne zase od zaˇcátku. Pokud vˇsak takové ˇstˇest´ı nemáte, zbývá nˇekolik moˇznost´ı jak situaci ˇreˇsit. Prvn´ı moˇznost´ı je upravit oblast zájmu tak, aby v n´ı byla ideálnˇe pouze kˇrivka kterou chcete. Kdyˇz to nezabere nebo to z nˇejakého d˚uvodu nejde, je zde moˇznost zmˇenit minimáln´ı délku kˇrivky. To zajist´ı, ˇze kˇrivky nesplˇnuj´ıc´ı toto kritérium budou ignorovány, pozor vˇsak aby nebyla minimáln´ı délka nastavená na pˇr´ıliˇs vysoké ˇc´ıslo, pak by mohly být ignorovány vˇsechny kˇrivky.

Posledn´ı moˇznost´ı je zmˇena reˇzimu vyhled´av´an´ı kˇrivky z

”Closest To Search Start“

na ”Maximal Length“ ˇci opaˇcnˇe. Obvykle má hledán´ı kˇrivky s maximáln´ı délkou vˇetˇs´ı úspˇeˇsnost, zvláˇstˇe pokud nen´ı v oblasti zahrnuta obvodová kˇrivka.

(37)

Obrázek 3.13: Výbˇer oblasti zájmu

(38)

4. Anal´ yza z´ıskan´ ych kˇrivek

V této ˇcásti se práce zabývá zpracován´ım jiˇz dˇr´ıve z´ıskaných kˇrivek. K tomuto úˇcelu jsem naprogramoval samostatný program. K rozdˇelen´ı jsem pˇristoupil na základˇe rozd´ılných funkcionalit a pro vˇetˇs´ı pˇrehlednost.

4.1 Form´ at vstupn´ıch dat

Vstupn´ı data jsou zakódována do bˇeˇznˇe pouˇz´ıvaného formátu CSV, v modifikaci pouˇz´ıvané v ˇCeské republice na platformˇe MS–Windows. Tj. data jsou oddˇelena m´ısto ˇcárkou stˇredn´ıkem, jako desetinný oddˇelovaˇc je pouˇzita ˇcárka a ˇrádky jsou oddˇeleny kombinac´ı znak˚u\CR a \LF. Kódován´ı souboru je nastaveno na znakovou sadu Windows CP1250, avˇsak protoˇze soubor obsahuje pouze ˇc´ısla, stˇredn´ık, ˇcárka a ˇr´ıd´ıc´ı znaky, je kompatibiln´ı s kódován´ım ASCII a t´ım i se standardn´ım UTF-8 (dle [10]).

Obrázek 4.1: Spoleˇcná ˇcást kódován´ı ASCII, CP1250 a UTF–8 (zdroj:[1]) Data jsou rozdˇelena do dvou sloupc˚u, prvn´ı obsahuje souˇradnice na ose X, druhý souˇradnice na ose Y. Kaˇzdá ze souˇradnic je zapsaná ve formˇe celé ˇcásti ˇc´ısla a tˇrech

(39)

desetinných m´ıst oddˇelených ˇcárkou (jako text).

Obrázek 4.2: Ukázka formátován´ı dat v souboru kˇrivky (zvýraznˇen jeden ˇrádek)

Program pˇredpokládá existenci dvou takovýchto soubor˚u (dvou kˇrivek k vzájem- nému porovnán´ı). Soubory mus´ı být ve stejném adresáˇri a jména soubor˚u se mus´ı liˇsit pouze v koncové ˇcásti. Jeden soubor mus´ı konˇcit ˇretˇezcem

”R.csv“ a druh´y ˇretˇezcem

”L.csv“. T´ımto jsou od sebe odliˇseny strany jednotlivé kˇrivky podle stran, pˇri otev´ırán´ı jednoho ze soubor˚u je druhý dohledán automaticky (pokud chyb´ı, je program zastaven).

4.2 Grafick´ e transformace

Po naˇcten´ı obou kˇrivek je zahájena smyˇcka, ve které m˚uˇze uˇzivatel upravovat vzájem- né posunut´ı a natoˇcen´ı levé kˇrivky v˚uˇci pravé. D˚uvodem proˇc toto nen´ı imple- mentováno i naopak je ten, ˇze jde o porovnán´ı dvou kˇrivek a tedy jde o relativn´ı vzdálenosti a ne o vzdálenosti v˚uˇci souˇradnému systému.

Tedy jakákoliv grafická transformace provedená na jedné ze kˇrivek bude m´ıt stejné následky jako tatáˇz transformace provedená na druhé ze kˇrivek, avˇsak s opaˇcnými parametry.

4.2.1 Translace

Prvn´ı pouˇzitou grafickou transformac´ı je translace neboli posunut´ı. To je moˇzné realizovat dvˇema zp˚usoby. Prvn´ım z nich je za pomoci translaˇcn´ı transformaˇcn´ı matice 4.1. Touto matic´ı se vynásob´ı vektor starých souˇradnic rozˇs´ıˇrený o jedniˇcku a výsledkem je vektor souˇradnic (opˇet rozˇs´ıˇrený o jedniˇcku) posunutých o vektor um´ıstˇený v tˇret´ım sloupci transformaˇcn´ı matice.

(40)





 x⁰ y⁰ 1





=







1 0 sx

0 1 sy

0 0 1





 ·





 x y 1





 (4.1)

Druhým ekvivalentn´ım zp˚usobem je prosté pˇriˇcten´ı hodnoty posunu ke zvolené souˇradnici. Ekvivalence obou zápis˚u m˚uˇze být dokázána roznásoben´ım matice a vektoru 4.2.





 x⁰ y⁰ 1





=







1 0 sx

0 1 sy

0 0 1





 ·





 x y 1







↓

x⁰ = 1· x + 0 · y + sx· 1 y⁰ = 0· x + 1 · y + sy · 1 1 = 0· x + 0 · y + 1 · 1

↓ x⁰ = x + sx

y⁰ = y + sy

(4.2)

Ve výˇse uvedených zápisech s reprezentuje vektor posunut´ı, x a y reprezentuj´ı p˚uvodn´ı souˇradnice bodu a x⁰ a y⁰ reprezentuj´ı nové souˇradnice. V programu byl pouˇzit druhý zp˚usob a to z d˚uvodu posunu vˇzdy jen jedn´ım smˇerem v daný okamˇzik.

4.2.2 Rotace

Dalˇs´ı z pouˇzitých grafických transformac´ı je rotace ˇcili natoˇcen´ı. Opˇet se jedná o transformaci, která se obvykle provád´ı pomoc´ı transformaˇcn´ı matice. Tentokrát vˇsak nen´ı úplnˇe jednoznaˇcná, závis´ı na tom, zda je úhel natoˇcen´ı pozitivn´ı ve smˇeru hodinových ruˇciˇcek, ˇci protismˇeru. Podle toho se mˇen´ı znaménko u ˇclen˚u se sinem.





 x⁰ y⁰ 1





=







cos (ϕ) sin (ϕ) 0

− sin (ϕ) cos (ϕ) 0

0 0 1





 ·





 x y 1





 (4.3)

V pˇr´ıpadˇe 4.3 se jedná o matici rotace, kde pozitivn´ı hodnota parametru ϕ zp˚usobuje rotaci po smˇeru hodinových ruˇciˇcek. Násoben´ım uvedené matice a vektoru opˇet

(41)

m˚uˇzeme z´ıskat soustavu rovnic pro nov´e souˇradnice (dle 4.4).





 x⁰ y⁰ 1





=







cos (ϕ) sin (ϕ) 0

− sin (ϕ) cos (ϕ) 0

0 0 1





 ·





 x y 1







↓

x⁰ = cos (ϕ)· x + sin (ϕ) · y + 0 · 1 y⁰ =− sin (ϕ) · x + cos (ϕ) · y + 0 · 1

1 = 0· x + 0 · y + 1 · 1

↓

x⁰ = cos (ϕ)· x + sin (ϕ) · y y⁰ =− sin (ϕ) · x + cos (ϕ) · y

(4.4)

I v tomto pˇr´ıpadˇe bylo pouˇzito transformace pomoc´ı sloˇzkového tvaru, ale zde jiˇz bylo moˇzné bez vˇetˇs´ıch problém˚u pouˇz´ıt i maticový tvar výpoˇctu.

4.3 Anal´ yza d´ elky kˇrivky

Pˇri analýze délky kˇrivky bylo nutné provést nˇekolik aproximac´ı. Je totiˇz nutné uvˇedomit si, ˇze data byla z´ıskána pˇrevodem z prostoru N² do prostoru R². Kde prostor N² je nespojitý prostor celých kladných dvojic ˇc´ısel tvoˇr´ıc´ı vektory. Tento prostor je klasickou reprezentac´ı obrazových dat ve formˇe bitmap rastrové grafiky.

Neboli kaˇzdá souˇradnice pixelu je celým ˇc´ıslem. Jak bylo jiˇz popsáno dˇr´ıve, pˇrepoˇcet dat uskuteˇcnˇen násoben´ım odeˇcteného mˇeˇr´ıtka p˚uvodnˇe celoˇc´ıselnými souˇradnicemi s posunutým stˇredem soustavy do stˇredu acetabula. Pˇri tomto pˇrepoˇctu vˇsak zvˇetˇsuj´ı rozd´ıly mezi jednotlivými body, takˇze vzniká linearizovaná spojitá po ˇcástech dife- rencovatelná kˇrivka (s nespojitou prvn´ı derivac´ı).

Ulohu v´´ ypoˇctu délky kˇrivky pak lze realizovat za pomoc´ı L2 metriky (Eukleidovské metriky) pro mˇeˇren´ı vzdálenosti krajn´ıch bod˚u takto vzniklých úseˇcek. Suma tˇechto d´ılˇc´ıch metrik pak odpov´ıdá délce kˇrivky.

dp(a; b) =

n

X

i=1

|aⁱ− bⁱ|^p

!¹_p

, p∈ N, n ∈ N (4.5)

Rovnice 4.5 vyjadˇruje obecnou definici Lp metriky ze kter´e lze z´ıskat poˇzadovanou

(42)

Obrázek 4.3: Algoritmus pro výpoˇcet délky kˇrivky

(43)

L2 metriku na prostoru R² pomoc´ı dosazen´ı dvojky jak za parametr p, tak za parametr n. Parametr p zde reprezentuje stupeˇn metriky, parametr n dimenzi prostoru.

Vstupn´ımi hodnotami a, b se rozum´ı body v prostoru s danou dimenz´ı n.

d2(a; b) = P2

i=1|ai− bi|²¹₂ lc=PN

i=1d2(Xi−1; Xi), X = (xi; yi)

↓ lc=PN

i=1

q

(xi−1− xⁱ)²+ (yi−1− yⁱ)²

(4.6)

Délka kˇrivky je poˇc´ıtána samostatnˇe na obou kˇrivkách ve dvou intervalech. To vyplývá z poˇzadavk˚u vedouc´ıho, aby bylo moˇzné stanovit poˇzadovanou délku vnitˇrn´ı pánevn´ı dlahy jak frontálnˇe, tak dorzálnˇe od acetabula. Takto z´ıskaná data pak mohou být poˇzita napˇr´ıklad pro porovnán´ı parametr˚u levé a pravé kˇrivky, ovˇeˇren´ı hypotéz existence univerzáln´ıch délek nebo pˇr´ıpadné korelace délky dle skupin pacient˚u (napˇr´ıklad podle pohlav´ı).

4.4 Anal´ yza kˇrivosti

Pro z´ıskán´ı údaj˚u o polomˇeru kˇrivky je nejprve zapotˇreb´ı seznámit se z nˇekterými pojmy

”pokroˇcilé“ matematiky. V prvn´ı ˇradˇe je nutná znalost matematických prostor˚u, hlavnˇe jde o prostory normované, coˇz je nutná podm´ınka pro výpoˇcty, které jsou uvedeny dále. Dalˇs´ı znalost´ı potˇrebnou pro úplné porozumˇen´ı je teorie kolem metrik, ˇci alespoˇn Eukleidovské metriky, která je v programu pouˇzita.

4.4.1 P˚ uvodn´ı z´ amˇ er

P˚uvodn´ım zámˇerem bylo rádius kˇrivky mˇeˇrit pomoc´ı nˇekolika náhodnˇe vybraných bod˚u (minimálnˇe tˇr´ı), ze kterých by bylo moˇzné naj´ıt stˇred prokládané kruˇznice.

Tento stˇred kruˇznice lze ve zkratce naj´ıt jako bod ve kterém L2 metriky ke vˇsem zvoleným bod˚um rovnaj´ı. Polomˇer prokládané kruˇznice se pak rovná této spoleˇcné hodnotˇe L2 metriky.

Geometricky si lze pˇredstavit tuto úlohu obdobnˇe jako hledán´ı stˇredu úseˇcky pomoc´ı kruˇz´ıtka. Tedy do kruˇz´ıtka se nastav´ı vzdálenost delˇs´ı neˇz je hledaná polovina úseˇcky.

Poté se vynesou relevantn´ı ˇcásti kruˇznic z obou krajn´ıch bod˚u. Tyto ˇcásti kruˇznic

(44)

se protnou pˇresnˇe ve dvou bodech a jejich propojen´ım vznikne pr˚useˇc´ık s úseˇckou, který odpov´ıdá jej´ımu stˇredu.

Obr´azek 4.4: Nalezen´ı stˇredu ´useˇcky pomoc´ı kruˇz´ıtka

Podobnˇe lze postupovat i v tomto pˇr´ıpadˇe, avˇsak zde projen´ım pr˚useˇc´ık˚u kruˇznic z krajn´ıch bod˚u nez´ıskáme pˇr´ımo polohu stˇredu prokládané kruˇznice, ale pouze pˇr´ımku na které se nacház´ı. Dalˇs´ı úvahou je moˇzné tuto pˇr´ımku redukovat na po- lopˇr´ımku. To lze doc´ılit porovnán´ım kˇrivky s úseˇckou propojuj´ıc´ı dva krajn´ı zvolené body. Na té stranˇe úseˇcky, kde se nalézá tˇret´ı zvolený bod se od kˇrivky dál nem˚uˇze nacházet stˇred kruˇznice. Pr˚useˇc´ık p˚uvodn´ı pˇr´ımky urˇcuj´ıc´ı polohu stˇredu a kˇrivky je hraniˇcn´ım bodem vzniklé polopˇr´ımky. Pokud by doˇslo k pˇr´ıpadu, kdy zvolené tˇri body leˇz´ı na pˇr´ımce, tak tuto metodu nen´ı moˇzné pouˇz´ıt, protoˇze by stˇred kruˇznice vycházel v nekoneˇcnu na obou stranách pˇr´ımky.

Kdyˇz budeme poˇc´ıtat, ˇze v prvn´ım kroku nenastaly ˇzádné pot´ıˇze, tak lze pˇristoupit k samotnému výpoˇctu vzdálenosti. To lze realizovat jako úlohu hledán´ı vázaného extrému funkce rozd´ılu metrik. Pˇr´ıkladem minimalizované funkce m˚uˇze být napˇr´ı- klad tato funkce 4.7, kde a a b jsou krajn´ı body, c je prostˇredn´ı bod a S odpov´ıdá hledanému stˇredu kruˇznice.

d2(a; S) + d2(b; S)− 2d²(c; S) = 0 (4.7) Z uvedeného postupu jiˇz vyplývá jeho hlavn´ı nevýhoda. Ta spoˇc´ıvá v silné závislosti na zvolených bodech. Jelikoˇz z´ıskaná kˇrivka rozhran´ı kost–ostatn´ı tkán nepˇripom´ıná

(45)

ani zdaleka kruˇznici, nelze postupovat pomoc´ı náhodného výbˇeru bod˚u, aniˇz by se to podepsalo významnou mˇerou na pˇresnosti namˇeˇrených dat. Pˇr´ıkladem ne- vhodné kˇrivky pro tuto metodu m˚uˇze být kˇrivka, která má v´ıce úsek˚u s rozd´ılným polomˇerem.

4.4.2 Minimalizace funkce metodou nejmenˇs´ıch ˇ ctverc˚ u

Jelikoˇz výˇse uvedený pˇr´ıklad v´ıce ménˇe odpov´ıdá ˇreˇsenému problému, tak bylo nutné pˇrij´ıt s ˇreˇsen´ım, které nezáleˇz´ı na pouze omezené podmnoˇzinˇe z´ıskaných bod˚u na zkoumaném intervalu. M´ısto toho bylo nutné pouˇz´ıt vˇsechny body. K tomuto

´

uˇcelu se náramnˇe hod´ı minimalizace funkce metrik mezi uvaˇzovanou ˇcást´ı kruˇznice a body kˇrivky. K samotnému ˇreˇsen´ı parametr˚u je zde pak pouˇzita metoda nejmenˇs´ıch ˇctverc˚u s aproximac´ı kruˇznic´ı.

(x− m)²+ (y− n)² = r² (4.8)

Na zaˇcátku vyház´ım z obecné rovnice kruˇznice 4.8, kde x a y jsou body kruˇznice, m je Xovou souˇradnic´ı stˇredu, n je Yovou souˇradnic´ı stˇredu a r je polomˇerem kruˇznice.

Z této rovnice je pak dále tvoˇrena funkce, jej´ıˇz suma pro vˇsechny body kˇrivky je minimalizována. Pro tento úˇcel mus´ı být upravena do tvaru 4.9, kde z˚ustávaj´ı jako parametry m, n a r. P´ısmena x a y jsou zde ale body kˇrivky a ne kruˇznice, jako tomu bylo v rovnici 4.8. N odpov´ıdá poˇctu bod˚u kˇrivky ve vyˇsetˇrovaném rozdahu.

F (m, n, r) =

N

X

i=1

(xi− m)²+ (yi − n)²− r²2

(4.9)

∂F

∂m =P 2 (m − xi) = 0

∂F

∂n =P 2 (n − yi) = 0

∂F

∂r =−2r = 0

(4.10)

Klasickým ˇreˇsen´ım je poloˇzen´ı parciáln´ıch derivac´ı, podle vˇsech promˇenných, rovno nule a ˇreˇsit systém rovnic o v´ıce neznámých, jak to ukazuj´ı rovnice 4.10. Dalˇs´ı moˇznost´ı je linearizace této funkce a jej´ı pˇreveden´ı do maticového tvaru tak zvané soustavy normáln´ıch rovnic. Vzhledem k vˇetˇs´ımu poˇctu dat byla zvolena druhá metoda ˇreˇsen´ı. Postup linearizace ukazuj´ı rovnice 4.11. Pr˚ubˇeh úpravy spoˇc´ıvá nejprve v roznásoben´ı závorek, poté pˇreveden´ı vˇsech ˇclen˚u krom x² a y² na pravou stranu.

(46)

Dalˇs´ım krokem je substituce 4.12, ˇc´ımˇz je doc´ıleno lineárn´ı závislosti rovnice na zkou- maných parametrech.

(x− m)²+ (y− n)² = r²

↓

x² − 2mx + m²+ y²− 2ny + n² = r²

↓

x² + y² = 2mx + 2ny− m²− n²+ r²

↓

x²+ y² = Ax + By + C

(4.11)

A = 2m B = 2n C = r²− m²− n²

(4.12)

Metoda soustavy normáln´ıch rovnic 4.13 je zaloˇzena na rozˇs´ıˇren´ı p˚uvodn´ı soustavy rovnic Ax = b na obou stranách rovnice transponovanou matic´ı A^>. T´ım se z p˚uvodnˇe obdéln´ıkové matice typuR^m×n, kde m > n, stane ˇctvercová matice typu R^n×n. Je vˇsak nutné si uvˇedomit, ˇze se nejedná o soustavy ekvivalentn´ı, tedy ˇze pokud má p˚uvodn´ı soustava ˇreˇsen´ı, tak ˇreˇsen´ı normáln´ı soustavy je ˇreˇsen´ım soustavy p˚uvodn´ı. Avˇsak jiˇz nemus´ı platit, ˇze ˇreˇsen´ı p˚uvodn´ı soustavy je zároveˇn i ˇreˇsen´ım soustavy normáln´ı. P˚uvodn´ı soustava je totiˇz zpravidla pˇreurˇcená, zat´ımco normáln´ı soustava má stejný poˇcet rovnic jako parametr˚u.

Ax = b→ A^>Ax = A^>b (4.13)

V´ypoˇcet matice norm´aln´ı soustavy je vidˇet v rovnici 4.14, kde x1 aˇz xn a y1 aˇz yn

odpov´ıdaj´ı dvojic´ım souˇradnic dat a n zde znamená poˇcet dat. Jak je v rovnici vidˇet, tak p˚uvodn´ı data jsou pro dalˇs´ı výpoˇcty nahrazena jejich souˇcty, souˇcty kvadrát˚u nebo souˇcty souˇcin˚u. Hlavn´ı výhodou je vˇsak to, ˇze je výsledná matice ˇctvercová a tedy lze pouˇz´ıt vˇetˇsinu klasických metod lineárn´ı algebry (kupˇr´ıkladu je moˇzné pˇri splnˇen´ı dalˇs´ıch kritéri´ı vytvoˇrit inverzn´ı matici, m´ısto matice pseudoinverzn´ı u obdéln´ıkových matic).