H˚allfasthetsl¨ara med partiella differentialekvationer - f¨orel¨asningsanteckningar till matematikdelen

H˚ allfasthetsl¨ ara med partiella differentialekvationer -

f¨ orel¨ asningsanteckningar till matematikdelen

Egmont Porten

Som kurslitteratur anv¨ ander vi

Torbj¨ orn Eriksson m. fl.: Fysikens matematiska metoder, 3. upplagan, 2001 Teoretisk fysik, KTH

Per Gradin och Egmont Porten tackar KTH:s grupp i teoretisk fysik f¨ or tillst˚ andet

att dela ut kopior.

1 F¨ orel¨ asning 1: Inledning till partiella differ- entialekvationer

1.1 Partiella differentialekvationer

En differentialekvation ¨ ar en ekvation som innerh˚ aller en funktion u(x

, . . . , x

) och ¨ andligt m˚ anga av deras partiella derivator. Om u = u(x) ¨ ar en envariabel- funktion s˚ a kallas ekvationen f¨ or ordin¨ ar. Om u beror p˚ a flera variabler s˚ a kallas ekvationen f¨ or partiell.

Exempel f¨ or partiella differentialekvationer:

(1) u

+ u

= 0 (Laplaceekvation), (2) u

− u

= 0 (V˚ agekvation),

(3) u

+ u

= g, g = g(x, y) en given funktion (Poissonekvation), (4) u

− 6uu

+ u

= 0 (Korteweg-deVries-ekvation),

(5) u

= u

− uu

(Burgers ekvation).

En linj¨ ar differentialekvation ¨ ar en differentialekvation T = 0 d¨ ar T kan skrivas som en summa av en given funktion g(x

, . . . , x

) och uttryck av formen

a(x

, . . . , x

) × (partiell derivata av u),

t.ex. xy

u

eller (x + y)u. Ovan ¨ ar (1-3) linj¨ ara men (4-5) ¨ ar icke-linj¨ ara.

En linj¨ ar ekvation kallas f¨ or homogen om g(x

, . . . , x

) ≡ 0, annars kallas den f¨ or inhomogen.

I exemplet ovan ¨ ar (1-2) homogena, (3) ¨ ar inhomogen (om g(x, y) inte ¨ ar kon- stant 0).

Ovning: Klassificera f¨ ¨ oljande ekvationer: u

−u

−(u

/2+u

)

= 0 (Boussinesq), u

− itu

(Mizohata), u

− u

− g = 0 (v¨ armeledning).

En funktion u ¨ ar en l¨ osning till en differentialekvation p˚ a ett omr˚ ade D om alla derivator som f¨ orekommer i ekvationen ¨ ar definierade p˚ a D och uppfyller differentialekvationen. F¨ or att undvika patologiska fall ¨ ar det f¨ ornunftigt att kr¨ ava till och med att u ¨ ar C

-glatt

d¨ ar k ¨ ar ekvationens grad.

Ovning: Visa att ¨

a) u(x, y) = ln px

+ y

l¨ oser Laplaceekvationen p˚ a R

\{(0, 0)}.

1

F¨ orkortningen C

menar att de partiella derivatorna upp till grad k ¨ ar kontinuerliga.

b) t+x

/2 och e

/(2 √

πt) l¨ oser v¨ armeledningsekvationen. P˚ a vilka m¨ angder g¨ aller det?

1.2 Klassiska ekvationer och problem i tv˚ a variabler

Vi presenterar ekvationerna utan fysikalisk h¨ arledning.

1.2.1 V˚ agekvationen p˚ a hela axeln Vi vill l¨ osa

u

− u

= 0 (1)

med u f¨ oreskriven f¨ or t = 0. Vi ska se att det ¨ ar m¨ ojligt att f¨ oreskriva b˚ ade u och dess tidsderivata u

l¨ angs t = 0. Vi s¨ oker allts˚ a en l¨ osning u = u(t, x) till (1) som uppfyller begynnelsevillkoren

u(x, 0) = u

(x), u

(x, 0) = v

(x), med givna funktioner u

(x), v

(x).

Steg 1: Varje l¨ osning till (1) kan skrivas som u(x, t) = f (x + t) + g(x − t).

Skriv om (1) som

 ∂

∂x + ∂

∂t

  ∂

∂x − ∂

∂t



u = 0. (2)

Vi betraktar variabelbytet

ξ = x + t, η = x − t, som ¨ ar ekvivalent med

x = 1

2 (ξ + η), t = 1

2 (ξ − η), och h¨ arleder

∂

∂ξ = ∂x

∂ξ

∂

∂x + ∂t

∂ξ

∂

∂t = 1 2

 ∂

∂x + ∂

∂t

 ,

∂

∂η = ∂x

∂η

∂

∂x + ∂t

∂η

∂

∂t = 1 2

 ∂

∂x − ∂

∂t



.

Med (2) inser vi att (1) ¨ ar ekvivalent med

∂

u

∂ξ∂η = 0.

F¨ or en l¨ osning u ¨ ar

oberoende av ξ, d.v.s.

∂u

∂η = h(η).

vad som medf¨ or (om l¨ osningen ¨ ar global) att u(ξ, η) = u(ξ, η = 0) +

Z

h(s) ds = f (ξ) + g(η) = f (x + t) + g(x − t).

Steg 2: d’Alemberts l¨ osningsformel. F¨ or att uppfylla begynnelsevillkoren m˚ aste vi arrangera att

f (x) + g(x) = u

(x), (3)

f

(x) − g

(x) = v

(x). (4)

Integration av (4) ger

f (x) − g(x) = C + Z

a

v

(s) ds, (5)

d¨ ar a och C ¨ ar relaterade enligt C = f (a) − g(a).

L¨ osningen till det linj¨ ara ekvationssystemet (3), (5) ¨ ar f (x) = 1

2



u

(x) + Z

a

v

(s) ds + C

 , g(x) = 1

2



u

(x) + Z

a

v

(s) ds − C

 . Oberoende av valet f¨ or a f˚ ar vi

u(x, t) = f (x + t) + g(x − t)

= 1 2



u

(x − t) + u

(x + t) + Z

x−t

v

(s) ds



. (6)

V˚ ar konstruktion ger f¨ oljande

Sats 1.1 Om u

∈ C

(R) och v

∈ C

(R) s˚ a definierar (6) en C

-glatt l¨ osning p˚ a

hela planet R

. F¨ or givna begynnelsevillkor u

och v

¨ ar l¨ osningen unik.

Anm¨ arkning 1.2 Satsen inneb¨ ar att det betraktade problemet ¨ ar r¨ att st¨ allt (correctly posed):

• En l¨ osning exiterar (existens).

• L¨ osningen ¨ ar entydig (entydighet).

• L¨ osningen beror kontinuerligt av givna data (stabilitet).

Vi n¨ amnar n˚ agra klassiska exempel f¨ or r¨ att st¨ allda problem.

1.2.2 V¨ armeledningsekvation Vi betraktar v¨ armeledningsekvationen

u

= u

, t > 0 med bynnelsevillkoret

u(x, 0) = u

, x ∈ R.

Om u

ligger i ett l¨ ampligt funktionsrum ¨ ar problemet r¨ att st¨ allt och l¨ osningen kan ber¨ aknas enligt

u(x, t) = 1

√ 4πt Z

R

u

(x

)e

dx

. Observera att u(x, t) inte ¨ ar definierad f¨ or t ≤ 0.

1.2.3 Laplaceekvation

L˚ at D vara ett begr¨ ansat omr˚ ade i R

med glatt rand ∂D (d.v.s. att ∂D ¨ ar f¨ orening av ¨ andligt m˚ anga glatta slutna kurvor. Vi betrakta f¨ oljande randv¨ ar- desproblem (Dirichletproblem):

u

(x, y) + u

(x, y) = 0, (x, y) ∈ D, (7)

u(x, y) = u

(x, y), (x, y) ∈ ∂D. (8)

(7) kallas f¨ or Laplaceekvationen, (8) f¨ or Dirichletrandvillkoret. Dirichletprob-

lemet ¨ ar l¨ osbart om det finns, f¨ or varje kontinuerlig funktion u

(x, y) definierad

p˚ a ∂D, en funktion u(x, y) som ¨ ar glatt p˚ a D, kontinuerlig p˚ a D = D ∪ ∂D och

uppfyller (7) och (8).

1.3 Klassifikation av linj¨ ara differentialekvationer

Betrakta en andragradsekvation

au

+ 2bu

+ cu

+ du

+ eu

+ f u = g

med en obekant funktion u = u(x, y), en given funktion g = g(x, y) och reella koefficienter a, b, . . . , f . Diskriminanten ¨ ar uttrycket

∆ = b

− ab.

Ekvationen kallas f¨ or 1. elliptisk om ∆ < 0, 2. hyperbolisk om ∆ > 0, 3. parabolisk om ∆ = 0.

I synnerheten ¨ ar Laplaceekvationen elliptisk, v˚ agekvationen hyperbolisk och v¨ ar- meledningsekvationen parabolisk.

Sats 1.3 F¨ or en ekvation med konstanta reella koefficienter finns alltid ett linj¨ art koordinatbyte s˚ adant att den kvatratiska delen av den transformerade ekvationen blir lika med:

1. u

+ u

, om ∆ < 0, 2. u

− u

, om ∆ > 0, 3. u

, om ∆ = 0.

En ekvation med variabla koefficienter kan byta typen. T.ex. ¨ ar u

+ x

u

= 0

elliptisk f¨ or x > 0, hyperbolisk f¨ or x > 0 och parabolisk l¨ angs y-axeln {x = 0}.

2 F¨ orel¨ asning 2: Fouriermetoden

2.1 Superpositionsprincipen

En homogen linj¨ ar PDE skriver vi kort som Lu = 0 (t.ex. L = ∆).

Sats 2.1 Om u

, u

l¨ oser ekvationen Lu = 0 s˚ a ¨ ar Au

+ Bu

ocks˚ a en l¨ osning f¨ or alla tal A, B.

F¨ or konkrethets skull bevisar vi det f¨ or v¨ armeledgningsekvationen u

− u

= 0, d.v.s. L =

−

:

L(Au

+Bu

) = (Au

+Bu

)

−(Au

+Bu

)

= A((u

)

−(u

)

)+B((u

)

−(u

)

) = 0 och satsen f¨ oljer.

Ovning 2.2 Visa att u ¨

+ Au

¨ ar en l¨ osning till den inhomogena ekvationen Lu = g om u

l¨ oser den och u

l¨ oser den motsvarande homogena ekvationen Lu = 0

2.2 Fourierserier

Vi vill approximera en funktion u(x) p˚ a ett ¨ andligt intervall [0, L]. Fourierkoef- ficienterna definieras som

a

= 2 L

Z

u(x) cos 2nπx

L dx, n = 0, 1, 2, . . . , b

= 2

L Z

0

u(x) sin 2nπx

L dx, n = 1, 2, . . . . Under relativt milda f¨ oruts¨ attningar konvergerar

1 2 a

+

∞

X

n=1

a

cos 2nπx

L +

∞

X

n=1

b

sin 2nπx L mot u. Alternativt kan man framst¨ alla u genom sinusserien

∞

X

n=1

c

sin nπx L , d¨ ar koefficienter c

ber¨ aknas enligt

c

= 1 L

Z

−L

˜

u(x) sin nπx

L dx = 2 L

Z

u(x) sin nπx

L dx, n = 1, 2, . . . .

H¨ ar ¨ ar ˜ u den udda utvidgningen av u till intervallet [−L, L].

Det kan h¨ anda att Fourierserien inte konvergerar i alla x (till exempel i spr˚ angst¨ allen).

Den exakta teorin ¨ ar mycket subtil.

2.2.1 V¨ armeledgningsekvationen p˚ a intervallet Vi vill l¨ osa v¨ armeledgningsekvationen

u

− u

= 0 (9)

med begynnelsev¨ arden

u(x, 0) = u

(x), (10)

och randv¨ arden

u(0, t) = u(L, t) = 0, t > 0. (11) F¨ or att f˚ a enklare formler betraktar vi L = 1.

Steg 1: L¨ osningar i produktform. F¨ or l¨ osningar p˚ a formen u(x, t) = X(x)T (t) blir (9)

X

T = XT

, som vi kan skriva (i punkter d¨ ar X 6= 0 eller T 6= 0)

X

X = T

T .

Eftersom den ena sidan ¨ ar oberoende av t och den andra av x ¨ ar b˚ ada lika med samma konstant C. Vi f˚ ar

X

= CX, (12)

T

= CT. (13)

Steg 2: L¨ osning av (12-13). F¨ or C = 0 f˚ ar vi l¨ osningar ax + b varav bara noll¨ osningen uppfyller randvillkoren. F¨ or C > 0 f˚ ar vi a cosh( √

Cx)+b sinh( √ Cx) och randvillkoren igen ger a = b = 0.

F¨ or C < 0 l¨ osningarna ¨ ar a cos( √

−Cx) + b sin( √

−Cx). Randvillkoret f¨ or x = 0 ger a = 0. Randvillkoret i x = 1 implicerar att C = −(πn)

, n = 1, 2, . . ., och vi f˚ ar som relevanta l¨ osningar sin(nπx).

F¨ or T beh¨ over vi bara l¨ oser T

= −(πn)

T och f˚ ar T (t) = a e

. Steg 3: L¨ osningsmetod f¨ or (9-15). Skrev u

som en sinusserie

∞

X

n=1

c

sin(nπx).

Den s¨ okta l¨ osningen ¨ ar

u(x, t) =

∞

X

n=1

c

sin(nπx) e

. (14)

Ovning 2.3 H¨ ¨ arled en l¨ osningmetod f¨ or problemet (9), (10) med konstanta randv¨ arden

u(0, t) = A, u(1, t) = B, t > 0. (15) Tips: Anv¨ and en l¨ osning av formen ax + b.

2.2.2 Egenskaper av (14)

L¨ osningen (14) ¨ ar definierad under milda f¨ oruts¨ attningar, t.ex. om u

¨ ar styckvis kontinuerlig och uppfyller

Z

|u

| dx = M < ∞. (16)

I s˚ a fall g¨ aller att c

≤ 2M och konvergensen u

=

∞

X

n=1

c

sin(nπx).

g¨ aller i n¨ asta varje x ∈ [0, 1].

(16) ⇒  

 c

sin(nπx) e

 ≤ 2M e

, vad som medf¨ or:

a) L¨ osningen ¨ ar C

p˚ a (0, 1) × 0, ∞ ¨ aven om u

bara ¨ ar styckvis kontinuerlig.

Det menar ocks˚ a att v¨ armeledningsekvationen med omv¨ and tid inte ¨ ar ett r¨ att st¨ allt problem.

b) F¨ or t → ∞ beter u(x, t) sig asymptotiskt som c

sin(πx) e

.

2.2.3 Den inhomogena v¨ armeledningsekvationen Nu vill vi l¨ osa

u

− u

= h(x, t) (17)

med begynnelsev¨ arden

u(x, 0) = u

(x), (18)

och randv¨ arden

u(0, t) = u(1, t) = 0, t > 0. (19) Antag att

u(x, t) =

∞

X

n=1

a

(t) φ

(x), φ

(x) = sin(nπx), l¨ oser problemet och skrev

h(x, t) =

∞

X

n=1

b

(t) φ

(x).

(17) blir

∞

X

n=1



−(nπ)

a

− da

dt − b



φ

= 0 J¨ amf¨ orelse av koefficienter ⇒

da

dt + (nπ)

a

= −b

, n =, 1, 2, . . . . (20) I det homogena fallet, d.v.s. b

≡ 0, ¨ ar e

en l¨ osning. F¨ or kvoten av l¨ osningen till (20) och e

g¨ aller

d dt



a

e



= −b

e

. Integralkalkylens huvudsats ⇒

a

(t) e

− a

(0) = − Z

0

b

(τ ) e

dτ eller

a

(t) = a

(0) e

− Z

0

b

(τ ) e

dτ. (21) Formeln best¨ ammer a

(t) f¨ or alla t > 0 eftersom (18) ger

a

(0) = 2 Z

0

u

(x) sin (nπx) dx. (22)

Tillsammans ger (21) och (22) en metod f¨ or att konstruera l¨ osningen.

2.3 Sammanfattning

L¨ osningsmetoderna in denna f¨ orel¨ asning beror p˚ a serieutvecklingar, n¨ armare be- st¨ amt p˚ a m¨ ojligheten att hitta till varje f¨ ornunftig funktion u(x) en sinusutveck- ling. Vi ska anv¨ anda ett analogt tillv¨ agag˚ angss¨ att f¨ or funktioner u(x, y) som ¨ ar definierade p˚ a ett omr˚ ade D ⊂ R

.

S˚ asom ovan ska vi hitta en familj funktioner φ

(x, y) som r¨ acker f¨ or att framst¨ alla varje f¨ ornunftig funktion u(x, y) som en serie

u(x, y) =

∞

X

n=0

a

φ

(x, y).

Vi ska hitta φ

(x, y) som l¨ osningar av differentialekvationer som dessutom upp- fyller l¨ ampliga randvillkor.

Vi har inte s¨ arskilt betonat att framst¨ allningen som sinusserie ¨ ar entydig eftersom

det ¨ ar v¨ alk¨ ant fr˚ an Fourierteori. I allm¨ anheten kr¨ aver denna aspekt en detaljerad

behandling.

3 F¨ orel¨ asning 3

3.1 Randv¨ ardesproblem till Helmholtzekvationen

Helmholtzekvationen ¨ ar

∆Ψ(r) + k

Ψ(r) = 0. (23)

Vi ska betrakta den f¨ or ett begr¨ ansat omr˚ ade D ⊂ R

och kr¨ ava p˚ a randen S ett av f¨ oljande randvillkor

Ψ(r) = 0 (Dirichletvillkor) (24)

∇Ψ(r) · ˆ n = 0 (N eumannvillkor). (25) Vi antar att S ¨ ar glatt och betecknar med ˆ n den yttre normalvektorn p˚ a S med l¨ angd 1.

Sats 3.1 Om Ψ(r) uppfyller

∆Ψ(r) + λΨ(r) = 0

f¨ or en konstant λ och ett av villkoren 24 eller 25 s˚ a g¨ aller λ ≥ 0.

Bevis: Vi ska visa att vart och ett av villkoren (24) och (25) ger Z

D

Ψ∆Ψ dxdy = − Z

D

∇Ψ · ∇Ψ dxdy (26)

Satsen ¨ ar en direkt konsekvens ty 0 ≥ −

Z

D

∇Ψ · ∇Ψ dxdy = Z

D

Ψ∆Ψ dxdy = −λ Z

D

|Ψ|

dxdy.

Eftersom R

D

|Ψ|

dxdy ≥ 0 f¨ oljer λ ≥ 0.

F¨ or att inse (26) till¨ ampar vi Greens sats Z

S

P dx + Q dy = Z Z

D

(Q

− P

) dxdy, som ger f¨ or P = −ΨΨ

, Q = ΨΨ

Z

S

(−ΨΨ

dx + ΨΨ

dy)

= Z Z

D

(Ψ

Ψ

+ ΨΨ

+ Ψ

Ψ

+ ΨΨ

) dxdy

= Z Z

D

∇Ψ · ∇Ψ dxdy + Z Z

D

Ψ∆Ψ dxdy. (27)

Om Ψ = 0 p˚ a S f¨ orsvinner R

S

(−ΨΨ

dx + ΨΨ

dy) och (26) f¨ oljer.

F¨ or att utnyttja Neumannvillkoret parametriserar vi S genom b˚ agl¨ angden σ. Vi tar allts˚ a en parametrisering (x(t), y(t)) s˚ a att hastighetsvektorn ( ˙x(t), ˙ y(t)) pekar i positiv rikting och har l¨ angd 1. Sedan g¨ aller

ˆ

n(x(t), y(t)) = ( ˙ y(t), − ˙x(t)) och d¨ armed

Z

S

Ψ∇Ψ · ˆ n dσ = Z

S

(−ΨΨ

dx + ΨΨ

dy).

Allts˚ a f¨ oljer (26) fr˚ an (27). 2

Anm¨ arkning 3.2 Sats 3.1 ¨ ar en positivitetsegenskap av −∆ eftersom −∆Ψ = λΨ kan uppfattas som en egenv¨ ardesekvation. Satsen s¨ ager att egenv¨ ardena λ ¨ ar icke-negativa.

3.2 Helmholtzekvation p˚ a skivan och Besselfunktioner

Eftersom v˚ art huvudm˚ al ¨ ar att l¨ osa (23) p˚ a skivor ¨ ar det naturligt att anv¨ anda pol¨ ara koordinater.

3.2.1 ∆ i pol¨ ara koordinater F¨ or pol¨ ara koordinater r, φ g¨ aller

x = r cos φ, y = r sin φ

∂

∂r = ∂x

∂r

∂

∂x + ∂y

∂r

∂

∂y = cos φ ∂

∂x + sin φ ∂

∂y

och ∂

∂φ = ∂x

∂φ

∂

∂x + ∂y

∂φ

∂

∂y = −r sin φ ∂

∂x + r cos φ ∂

∂y I matrisnotation



∂r∂

∂φ



=

 cos φ sin φ

−r sin φ r cos φ

 

∂x∂

∂y



⇒



∂x∂

∂y



=  cos φ −

sin φ sin φ

cos φ

 

∂r∂

∂φ



Nu visar en direkt r¨ akning

∂

Ψ

∂x

+ ∂

Ψ

∂y

= 1 r

∂

∂r r ∂Ψ

∂r + 1 r

∂

Ψ

∂φ

.

3.2.2 Egenfunktioner

I pol¨ ara koordinater skrivs Helmholtzekvationen 1

r

∂

∂r r ∂Ψ

∂r + 1 r

∂

Ψ

∂φ

+ k

Ψ = 0. (28)

F¨ or att Ψ = Ψ(r, φ) ¨ ar en funktion p˚ a (en del av) planet m˚ aste Ψ(r, φ) = Ψ(r, φ + 2πm))

g¨ alla f¨ or alla heltal m.

Produktansatsen Ψ(r, φ) = R(r)Φ(φ) leder till R

R + 1 r

R

R + 1

r

Φ

Φ + k

= 0 eller

r

R

R + r R

R + r

k

= − Φ

Φ (29)

med vinkelvillkoret

Φ(r, φ) = Φ(r, φ + 2πm), m ∈ Z. (30) B˚ ada sidor av (29) liknar en konstant ν. Tillsammans ger Φ

= νΦ och (30) att ν = −n

med n ∈ Z och

Φ(φ) = A cos(nφ) + B sin(nφ).

F¨ or R f˚ ar vi Besselekvationen

r

R

+ rR

+ (k

r

− n

)R

= 0.

Enligt h¨ arledningen betraktar vi den f¨ or r > 0 och n ∈ Z. Om R

(r) ¨ ar en l¨ osning s˚ a l¨ oser

R

cos(nφ), R

sin(nφ) (31)

Helmholtzekvationen (28). Eftersom R

(r) i allm¨ anheten bara ¨ ar definierad f¨ or r > 0 kan det h¨ anda att l¨ osningen (31) inte ¨ ar definierad i origo. D¨ arf¨ or kr¨ aver vi dessutom att R

(r) till˚ ater en kontinuerlig utvidgning i r = 0.

Studiet av Besselekvationen f¨ orenklas

genom koordinatbytet x = kr som ger x

R

+ xR

+ (x

− n

)R = 0 (32) Som en ordin¨ ar andragradsekvation har (32) en allm¨ an l¨ osning beror p˚ a tv˚ a parametrar. Man vet att en enparameterfamilj AJ

bara till˚ ater kontinuerlig

2

S˚ a blir vi av med spektralparametern k fr˚ an (23).

utvidging i r = 0. S˚ adana funktioner kallas ocks˚ a Besselfunktioner av f¨ orsta slaget.

F¨ or att hitta ett element J

i familjen b¨ orjar vi med ansatsen J

(x) =  x

2



X

j=0

a

 x 2



och f˚ ar

J

(x) =

∞

X

j=0

(−1)

j!(n + j)!

 x 2



, n = 0, 1, 2 . . . . Vi sammanfattar de viktigaste egenskaperna:

• Efter kontinuerlig utvidgning g¨ aller J

(0) = 1, J

(0) = J

(0) = . . . = 0.

• J

har o¨ andligt m˚ anga positiva nollst¨ allen 0 < j

< j

< . . . som alla ¨ ar olika.

• Vi har

J

(x) = r 2

πx cos 

x − nπ 2 − π

4



+ E

(x) med |E

(x)| ≤

.

Om vi kr¨ aver Dirichletvillkoret Ψ(1, φ) = 0 f˚ ar vi f¨ oljande l¨ osningar till (28):

Ψ

(r, φ) = J

(j

r) cos(nφ), n = 0, 1 . . . , s = 1, 2, . . . , (33) Ψ

(r, φ) = J

(j

r) sin(nφ), n = 1, 2, . . . , s = 1, 2, . . . . (34) Allts˚ a f˚ ar tv˚ a linj¨ art oberoende funktioner Ψ

och Ψ

till egenv¨ ardena k = j

, n ≥ 1. F¨ or egenv¨ ardena k = j

, s = 0, 1, . . ., f˚ ar vi en funktion J

(j

r).

Observera att Ψ

och Ψ

motsvarar samma egenv¨ arde j

.

Vi s¨ ager att tv˚ a reella funktioner u(x, y), v(x, y) p˚ a skivan {x

+ y

< 1} ¨ ar ortogonala om RR

x²+y²<1

u(x, y)v(x, y) dxdy = 0.

Sats 3.3 Tv˚ a olika funktioner i (33), (34) ¨ ar ortogonala.

Bevis: Om Ψ

och Ψ

¨ ar tv˚ a av dessa funktioner som motsvarar olika egenv¨ arden j

6= j

ber¨ aknar vi

j

Z Z

x²+y²<1

Ψ

Ψ

dxdy = Z Z

x²+y²<1

(∆Ψ

)Ψ

dxdy = − Z Z

x²+y²<1

∇Ψ

·∇Ψ

dxdy

= Z Z

x²+y²<1

Ψ

∆Ψ

dxdy = j

Z Z

x²+y²<1

Ψ

Ψ

dxdy, vad som ger RR

x²+y²<1

Ψ

Ψ

dxdy = 0. Dessutom Z Z

x²+y²<1

Ψ

Ψ

dxdy = Z

0

(J

(j

r))

r dr Z

0

cos(nφ) sin(nφ) dφ = 0, vad som avslutar beviset.

3.2.3 Egensv¨ angingar av ett membran Vi betraktar

∆u − u

= u

+ u

− u

= 0, x

+ y

< 1, (35) med randvillkor

u(x, y, t) = 0, x

+ y

= 1. (36) I pol¨ ara koordinater blir det

u(1, φ, t) = 0

och vi f˚ ar tv˚ a extravillkor f¨ or periodicitet och kontinuitet i origo:

u(r, φ, t) = u(r, φ + 2π, t), u(r, φ, t) < ∞.

Separationsansatsen u(r, φ, t) = Ψ(r, φ)T (t) i (35)

⇒ ∆Ψ Ψ = T

T = −k

. Andra delen T

= −k

T ger

T (t) = A cos(kt) + B sin(kt) Som i (37) leder ansatsen Ψ(r, φ) = R(r)Φ(φ) till l¨osningar

R

(A cos(nφ) + B sin(nφ)) d¨ ar n ∈ Z och R

l¨ oser Besselekvationen

r

R

+ rR

+ (k

r

− n

)R

= 0.

Eftersom R

¨ ar begr¨ ansad n¨ ara r = 0 ¨ ar den en Besselfunktion av f¨ orsta slaget CJ

(kr). Slutligen menar R

(1) = 0 att k m˚ aste tillh¨ ora J

:s nollst¨ allen

j

< j

< . . . . Totalt har vi hittat l¨ osningarna

J

(j

r)vin

(nφ)vin

(j

t) (37)

d¨ ar vin

, vin

¨ ar cos eller sin.

3.2.4 Serieutveckling

F¨ or en funktion u = u(x, y) definierad p˚ a skivan x

+ y

< 1 betraktar vi prob- lemet att framst¨ alla u genom en serie

∞

X

n=0

∞

X

s=1

a

Ψ

+

∞

X

n=1

∞

X

s=1

b

Ψ

. (38)

Funktionalanalys l¨ ar oss att detta kan g¨ oras (f¨ or f¨ ornunftiga funktioner u) om funktionerna Ψ

¨ ar parvis ortogonala (se sats 3.3) och bildar en fullst¨ andig bas till ett l¨ ampligt Hilbertrum. F¨ or bakgrunden om Hilbertrumteori och fullst¨ adighet av systemet {Ψ

, Ψ

} h¨ anvisar vi till kapitel 4 och avsnitt 5.9 i kursboken.

Allts˚ a ¨ ar en entydig framst¨ allning (38) m¨ ojlig. Koefficienterna a

, b

ges genom a

=

RR

x²+y2<1

u(x, y)Ψ

(x, y) dxdy RR

x²+y2<1

|Ψ

(x, y)|

dxdy , (39) b

=

RR

x²+y2<1

u(x, y)Ψ

(x, y) dxdy RR

x²+y2<1

|Ψ

(x, y)|

dxdy . (40) Anm¨ arkning 3.4 a) Serieutveckling som ovan ¨ ar en generalisering av framst¨ allning med avseende p˚ a ortogonaler baser {v

, . . . , v

} av R

. I s˚ a fall definieras ortog- onalitet med avseende p˚ a skal¨ arprodukten u · v. F¨ or en godtycklig vektor g¨ aller

v =

k

X

n=1

a

v

med a

= v · v

v

· v

= v · v

kv

k

. I v˚ ara formler spelar

(u, v) = Z Z

x²+y2<1

u(x, y)v(x, y) dxdy rollen av skal¨ arprodukten.

b) Sinusutvecklingen i avsnitt 2.2 ¨ ar ett exempel f¨ or utveckling genom fullst¨ andiga ortogonalbaser.

3.2.5 Begynnelsev¨ ardesproblem

Nu vill vi l¨ osa (35) med randvillkor (36) och f¨ oreskrivna v¨ arden u(x, y, 0) = u

(x, y) och u

(x, y, 0) = v

(x, y). F¨ or enkelhets skull antar vi v

= 0.

Som i f¨ oreg˚ aende avsnitt skriver vi u

(x, y) =

∞

X

n=0

∞

X

s=1

a

Ψ

+

∞

X

n=1

∞

X

s=1

b

Ψ

.

Eftersom v

= 0 anv¨ ander vi bara cos(nφ)-termer och f˚ ar l¨ osningen

∞

X

n=0

∞

X

s=1

a

Ψ

cos(nφ) +

∞

X

n=1

∞

X

s=1

b

Ψ

cos(nφ).

4 F¨ orel¨ asning 4: Fundamentall¨ osningar

4.1 Elektrostatik

V˚ art m˚ al ¨ ar att l¨ osa den 3-dimensionella Poissonekvationen

∆u = u

+ u

+ u

= g(x, y, z). (41) En fysikalisk tolkning ¨ ar att g(x, y, z) ¨ ar en laddning och u den motsvarande potentialen.

F¨ or en isolerad laddning e i origo genererar kraftf¨ altet E = E(r) = e

r

r

med r = (x, y.z), r = |r| = px

+ y

+ z

. En potential till E ¨ ar Newtonpoten- tialen

G = G(r) = e r . Man kollar n¨ amligen utan problem att

E = −∇G.

Naturligtvis finns en 1-parameterfamilj potentialer G(r) + C. Bland dem ¨ ar G den unika potentialen med

G(r) −→ 0, om r → ∞.

Om laddningen sitter i punkten r

f˚ ar man f¨ altet e

|r − r

|

(r − r

) = E(r − r

) och potentialen

e

|r − r

| = G(r − r

).

F¨ or att inse att punktladdningar och deras potentialer uppfyller (41) beh¨ over vi funktioner som representerar punktladdningar.

4.2 Impulsfunktioner

Impulsfunktioner ¨ ar inte vanliga funktioner som ¨ ar definierade genom funktionsv¨ arden i alla punkter i R

. Vi konstruerar standardimpulsfunktionen (eller Diracfunk- tionen) δ som gr¨ ansv¨ ardet av

T

(r) =



4π³

om r ≤ ,

0 om r > .

Observera att vi har

Z Z Z

R³

T

(r) dxdydz = 1

f¨ or alla  > 0. Eftersom vi deriverar egenskaper av δ som gr¨ ansv¨ arde av egen- skaper av T

f˚ ar vi

Z Z Z

R³

δ(r) dxdydz = 1.

Allm¨ annare vi f˚ ar

Z Z Z

R³

δ(r)ϕ(r) dxdydz = ϕ(0) f¨ or varje kontinuerlig funktion ϕ(r).

Vi definierar impulsfunktionen δ

med enhetsimpuls i (r)

som gr¨ ansv¨ ardet av T

(r − r

) och f˚ ar

Z Z Z

R³

δ

(r)ϕ(r) dxdydz = ϕ(r

).

F¨ or impulsfunktionen aδ

med styrka a g¨ aller Z Z Z

R³

aδ

(r)ϕ(r) dxdydz = a Z Z Z

R³

δ

(r)ϕ(r) dxdydz = ϕ(r

).

R¨ akningar med Diracfunktioner genomf¨ or man enligt f¨ oljande princip: En kon- tinuerlig funktion f (r) ¨ ar k¨ and om vi k¨ anner v¨ ardena

Z Z Z

R³

f (r)ϕ(r) dxdydz

f¨ or alla testfunktioner ϕ(r), d.v.s. f¨ or alla glatta funktioner som f¨ orsvinner utanf¨ or en tillr¨ ackligt stor boll. Analogt kan man betrakta δ-funktionen som den gener- aliserade funktion som ger φ(0) som evaluering f¨ or en testfunktion.

Nu uttrycker vi r¨ akneoperationer genom integration efter multiplikation med test- funktioner. Ett exempel ¨ ar x-derivatan: F¨ or en C

-funktion f g¨ aller

Z Z Z

R³

∂f

∂x (r)ϕ(r) dxdydz = Z

−R

dy Z

−R

dz

Z

−R

∂f

∂x (r) ϕ(r) dx



(42)

= Z

−R

dy Z

−R

dz



− Z

−R

f (r) ∂ϕ

∂x (r) dx



= − Z Z Z

R³

f (r) ∂ϕ

∂x (r) dxdydz d¨ ar R > 0 ¨ ar s˚ a stort att ϕ f¨ orsvinner utanf¨ or {|x| < R} × {|y| < R} × {|z| < R}.

Analogt f˚ ar vi f¨ or δ-funktionen Z Z Z

R³

∂δ

∂x (r)ϕ(r) dxdydz = − Z Z Z

R³

δ(r) ∂ϕ

∂x (r) dxdydz = −φ

(0)

Allts˚ a ¨ ar

den generaliserade funktion som ger −

(0) som evaluering f¨ or en

testfunktion ϕ.

4.3 Newtonpotentialen

Sats 4.1 Newtonpotentialen G

(r) =

uppfyller

∆G

= −δ. (43)

F¨ orst tolkar vi (43): F¨ or en C

-funktion u och en testfunktion ϕ g¨ aller Z Z Z

R³

∆u ϕ dxdydz = Z Z Z

R³

u ∆ϕ dxdydz. (44)

Detta f¨ oljer fr˚ an (42) och analoga identiteter f¨ or

och

. Enligt (44) betyder (43) att vi har

−ϕ(0) = Z Z Z

R³

G

∆ϕ dxdydz = lim

↓0

Z Z Z

|r|>

G

∆ϕ dxdydz f¨ or varje testfunktion ϕ.

Bevis av Sats 4.1: F¨ or en fixerad testfunktion ϕ v¨ aljer vi R > 0 s˚ a stort att ϕ f¨ orsvinner utanf¨ or {|r| < R}. F¨ or 0 <  < R g¨ aller

Z Z Z

|r|>

G

∆ϕ dxdydz

= Z Z Z

<|r|<R

G

∆ϕ dxdydz − Z Z Z

<|r|<R

∆G

ϕ dxdydz

= Z Z Z

<|r|<R

div (G

∇ϕ − ϕ∇G

) dxdydz

= Z Z

|r|=

G

∇ϕ · n dS − Z Z

|r|=

ϕ∇G

· n dS

= I

− II

.

Tredje likheten f¨ oljer fr˚ an Gauss’ divergenssats och n ¨ ar den normalvektor p˚ a sf¨ aren {|r| = } som har l¨ angd 1 och pekar mot origo.

Eftersom Z Z

|r|=

G

∇ϕ · n dS = 1 4π

Z Z Z

|r|<

div(∇ϕ) dxdydz = 1 4π

Z Z Z

|r|<

∆ϕ dxdydz

och Z Z Z

|r|<

|∆ϕ| dxdydz ≤ 4

3 π

max

R³

|∆ϕ|

f˚ ar vi I

−→ 0 f¨ or  ↓ 0.

Vi ber¨ aknar

∇G

= ∇ 1

4πr = − 1

4πr

r ⇒ ∇G

· n =



− 1 4πr

 r · 

− r r



= 1

4πr

. Eftersom area({r = 1}) =

och φ ¨ ar kontinuerlig

II

= 1 4π

Z Z

|r|=

ϕ dS = 1 4π

Z Z

|r|=1

ϕ  r





dS −→ ϕ(0).

4.4 Poissonekvationen i hela rummet

Vi antar att g(x, y, z) ¨ ar en C

-funktion som f¨ orsvinner utanf¨ or en tillr¨ ackligt stor boll. Vi vill l¨ osa Poissonekvationen

∆u(x, y, z) = g(x, y, z) (45)

med en funktion u(x, y, z) s˚ adan att

u(x, y, z) → 0 om r = |(x, y, z)| → ∞ (46) F¨ or tv˚ a funktioner f (r) och h(r) definierar vi faltningen

(f ∗ h)(r) = Z Z Z

R³

f (r

)h(r − r

) dx

dy

dz

= Z Z Z

R³

f (r − r

)h(r

) dx

dy

dz

. Observera att

(g ∗ δ)(r) = Z Z Z

R³

g(r

)δ(r − r

) dx

dy

dz

= g(r) Faltning av (43) ger

g(r) = (g ∗ δ)(r) = −(g ∗ ∆G

)(r) = −∆(g ∗ G

)(r).

H¨ ar f¨ oljer sista likheten fr˚ an

 f ∗ ∂h

∂x



(r) = ∂

∂x (f ∗ h)(r) (47)

och analoga identiteter f¨ or

och

. H¨ ogerledet i (47) ¨ ar Z Z Z

R³

f (r

) lim

→0

h(r + (, 0, 0) − r

) − h(r − r

)

 dx

dy

dz

= lim

→0

1

 Z Z Z

R³

f (r

) h(r + (, 0, 0) − r

) − h(r − r

)
dx

dy

dz

= lim

→0

1

 (f ∗ h)(r + (, 0, 0)) − (f ∗ h)(r)

= = ∂

∂x (f ∗ h)(r).

Sammanfattat har bevisat en del av f¨ oljande

Sats 4.2 Om g(x, y, z) ¨ ar en C

-funktion som f¨ orsvinner utanf¨ or en tillr¨ ackligt stor boll s˚ a ¨ ar faltningen −g ∗ G

C

-glatt och uppfyller (45) och (46).

Bevis: Det stannar att kolla (46). Eftersom g(x, y, z) f¨ orsvinner utanf¨ or en tillr¨ ackligt stor boll B

(0) g¨ aller

K = max

(x,y,z)∈R³

|g(x, y, z)| = max

(x,y,z)∈BR(0)

|g(x, y, z)| < ∞

F¨ or |(x, y, z)| > R f˚ ar vi

| − g ∗ G

(x, y, z)| ≤ K

4π(|(x, y, z)| − R) −→ 0 om |(x, y, z)| → ∞ vad som medf¨ or (46) 2

4.5 Poissonekvationen p˚ a bollen

P˚ a enhetsbollen

B = {r : |r| < 1}

med rand

S = {r : |r| = 1}

betraktar vi Poissonekvationen

∆u(x, y, z) = g(x, y, z), (x, y, z) ∈ B (48) med randvillkoret

u(x, y, z) = u

(x, y, z), (x, y, z) ∈ S. (49) I det homogena fallet g(x, y, z) ≡ 0 kan l¨ osningen uttryckas genom integralformeln

u(r) = Z Z

S

P (r, r

)u

(r

) dr

(50) med Poissonk¨ arnan

P (r, r

) = 1 4π

1 − |r|

|r

− r|

.

I det inhomogena fallet antar vi att g(x, y, z) ¨ ar C

-glatt i en omgivning {r < 1+}

av B ∪ S. Efter multiplikation med en l¨ amplig funktion kan vi dessvidare anta att g(x, y, z) f¨ orsvinner f¨ or r > 1 + . Sats 4.2 ger en funktion v(x, y, z) som uppfyller

∆v(x, y, z) = g(x, y, z)

p˚ a hela rummet. F¨ or att korrigera randvillkoren l¨ oser vi problemet

∆w(x, y, z) = 0 om (x, y, z) ∈ B w(x, y, z) = u

(x, y, z) − v(x, y, z) om (x, y, z) ∈ S m.h.a. (50) och f˚ ar l¨ osningen till (48), (49) som

u(x, y, z) = v(x, y, z) + w(x, y, z).

Anm¨ arkning 4.3 Problemet (48), (49) ¨ ar inte bara l¨ osbart f¨ or bollar. Redan

f¨ or begr¨ ansade omr˚ aden med glatt rand blir beviset betydligt sv˚ arare eftersom

en explicit l¨ osning till det homogena problemet som (50) saknas.

5 F¨ orel¨ asning 5: Variationskalkyl

5.1 Brachistochronproblemet

˚ Ar 1696 betraktade Johan Bernoulli f¨ oljande problem: en partikel med massa m glider friktionsfritt fr˚ an en punkt A = (a, y

) till en punkt B = (b, y

) inom det vertikala x, y-planet. Vi antar att tyngdkraften verkar i riktningen av y-axeln (den pekar allts˚ a ned˚ at!), att a < b, y

< y

och att partikeln startar fr˚ an vila.

Problemet ¨ ar att hitta den deriverbara kurva y(x) s˚ adan att partikeln beh¨ over den kortaste m¨ ojliga tiden.

Kurvans b˚ agl¨ angdselement ¨ ar

ds = p

1 + (y

)

dx och dess hastighet ¨ ar

v = ds dt . Eftersom energin

mv

2 − mgy

¨

ar konstant och lika med −mgy

f¨ or x = 0 vi f˚ ar

⇒ mv

2 = mg(y − y

) och falltiden fr˚ an A till B blir

T = Z

TA

dt = Z

A

ds v = 1

√ 2g Z

a

p1 + (y

)

√ y − y

dx.

Vi kan anta y

= 0 och har att hitta kurvan y(x) s˚ adan att integralen

I[y] = Z

a

s

1 + (y

)

y dx

blir minimal.

5.2 Variationsproblem

F¨ or en C

-funktion F = F (x, q, p) betraktar vi integralen I[y] =

Z

F (x, y(x), y

(x)) dx

som en funktional p˚ a m¨ angden C

([a, b]), d.v.s. som en avbildning I : C

([a, b]) −→ R

y 7−→ I[y].

M˚ alet ¨ ar att hitta extremalfunktioner, d.v.s. funktioner som minimerar eller maximerar I[y]. Ofta l¨ agger vi till randvillkor som

y(a) = y

, y(b) = y

(51)

i brachistochronproblemet.

5.3 Euler-Lagrange-ekvationen

F¨ or en given funktion y = y(x) betraktar vi en 1-parameter-variation

˜

y(x, α) = y(x) + αη(x) (52)

d¨ ar vi uppfattar η(x) ∈ C

([a, b]) som en st¨ orning. Om randvillkoret (51) g¨ aller kr¨ aver vi att

η(a) = 0, η(b) = 0. (53)

Om y extremerar I[y] s˚ a ¨ ar α = 0 ett lokalt extremum av funktionen α 7→

I[y(x) + αη(x)] och f¨ or dess derivata g¨ aller d

dα    

I[y(x) + αη(x)] = 0. (54)

En station¨ ar funktion ¨ ar en funktion y s˚ adan att (53) g¨ aller f¨ or alla st¨ orningar η.

Anm¨ arkning 5.1 Vi har sett att varje extremalfunktion ¨ ar station¨ ar. Omv¨ and- ningen g¨ aller inte. Situationen ¨ ar analog till kritiska punkter av en funktion. De kan ocks˚ a vara sadelpunkter.

Vid f¨ orsta ¨ ogonkastet verkar det vara mycket komplicerat att verifiera (54) f¨ or alla till˚ atna st¨ orningar ty de variera inom ett vektorrum av o¨ andlig dimension.

And˚ ¨ a visar f¨ oljande sats att det r¨ acker att kolla en differentialekvation som inte beror p˚ a η!

Sats 5.2 Vi betraktar en funktional I[y] med randvillkoren (51). D˚ a ¨ ar en C

- funktion y = y(x) station¨ ar om och endast om Euler-Lagrange-ekvationen

F

(x, y, y

) − d

dx F

(x, y, y

) = 0 (55)

g¨ aller.

H¨ ogersidan av (55) ¨ ar en funktion i x. Andra termen blir d

dx F

(x, y(x), y

(x))

= F

(x, y(x), y

(x)) + y

(x)F

(x, y(x), y

(x)) + y

(x)F

(x, y(x), y

(x)).

Ett utf¨ orligare s¨ att att skriva (55) ¨ ar allts˚ a

F

− F

− y

F

− y

F

= 0.

Den ¨ ar en ordin¨ ar andragradsdifferentialekvation.

Anm¨ arkning 5.3 I litteraturen betecknar man ofta de oberoende variablerna av F med x, y och y

. Det betyder att man anv¨ ander y och y

b˚ ade som oberoende variabler i F och som symboler f¨ or en ok¨ and funktion och dess derivata. T.ex. blir Euler-Lagrange-ekvationen till

F

− d

dx F

= 0.

Senare ska vi ocks˚ a anv¨ anda denna f¨ orkortning.

Bevis av sats 5.2: F¨ or en st¨ orning η med (53) ger partiell integration d

dα    

I[y(x) + αη(x)]

= d

dα    

Z

F (x, y(x) + αη(x), y

(x) + αη

(x)) dx

= Z

a

d dα

F (x, y(x) + αη(x), y

(x) + αη

(x)) dx

= Z

a

(F

(x, y, y

)η + F

(x, y, y

)η

) dx

= Z

a



F

(x, y, y

) − d

dx F

(x, y, y

)

 η dx.

Om y(x) uppfyller (55) s˚ a f¨ orsvinner

I[y(x) + αη(x)] f¨ or varje η. Om y(x)

¨

ar station¨ ar f¨ oljer (55) fr˚ an variationskalkylens huvudlemma.

Lemma 5.4 Om f (x) ¨ ar kontinuerlig p˚ a [a, b] och Z

a

f (x)η(x) dx = 0

g¨ aller f¨ or varje funktion η ∈ C

([a, b]) med η(a) = η(b) = 0 s˚ a ¨ ar f konstant 0.

Bevis: Om f (x

) 6= 0 i en x

∈ (a, b) s˚ a finns  > 0 s˚ adant att a < x

−  <

x

+  < b och f (x) inte byter tecken i (x

− , x

+ ). Om en funktion η(x) ≥ 0

¨

ar positiv i x

och 0 utanf¨ or (x

− , x

+ ) s˚ a f¨ oljer Z

a

f (x)η(x) dx 6= 0.

Beviset ¨ ar klart. 2

5.4 F¨ orsta integraler

I m˚ anga till¨ ampningar (som brachistochronen) beror F inte explicit p˚ a x, d.v.s.

F = F (q, p).

I s˚ a fall ¨ ar

E(p, q) = F (p, q) − pF

(p, q) en f¨ orsta integral av Euler-Lagrange-ekvationen, d.v.s. att

d

dx (F (y, y

) − y

F

(y, y

))

= y

F

(y, y

) + y

F

(y, y

) − y

F

(y, y

) − (y

)

F

(y, y

) − y

y

F

(y, y

)

= y



F

(y, y

) − d

dx F

(y, y

)



= 0

g¨ aller f¨ or varje l¨ osning y = y(x).

F¨ or att best¨ amma den allm¨ anna l¨ osningen f˚ ar vi f¨ oljande strategi:

a) Skriv om E(y, y

) = c f¨ or att f˚ a dy

dx = y

= f (y, c).

b) Fr˚ an dx = dy/f (y) f˚ ar vi en ekvation x =

Z dx =

Z

dy/f (y, c) + d

som vi l¨ oser f¨ or y. Observera att vi f˚ ar tv˚ a integrationskonstanter c, d.

Exempel 5.5 F¨ or brachistochronen f˚ ar vi

F (q, p) = s

1 + p

q , E(q, p) = s

1 + p

q − p

pq(1 + p

) = 1

pq(1 + p

)

Fr˚ an E(u, u

) = c f˚ ar vi y =

och y

= dy

dx = r 1

c

y − 1 ⇒ dx = dy q

c²y

− 1

⇒ x = d +

Z dy

q

− 1

= d +

Z c √ y dy

p1 − c

y = d + 1 c

Z r τ 1 − τ dτ.

Substitutionen τ = sin

θ, dτ = 2 sin θ cos θ = sin 2θ ger Z r

τ

1 − τ dτ = 2

Z sin θ

cos θ cos θ sin θ dθ = 2 Z

sin

θ dθ

= Z

(1 − cos 2θ) dθ = θ − sin 2θ 2 + ˜ d Allts˚ a f˚ ar vi

x = 1 c



θ − sin 2θ 2

 + d och

y = τ

c

= sin

θ

c

= 1 − cos 2θ 2c

. Med A =

, φ = 2θ f˚ ar vi

x = A(φ − sin φ) + d, y = A(1 − cos φ), vad som ¨ ar brachistochronens standardframst¨ allning.

5.5 Generaliseringar

5.5.1 Flera envariabelfunktioner F¨ or en funktion

F (x, q

, . . . , q

, p

. . . , p

)

s¨ oker vi station¨ ara funktioner y(x) = (y

(x), . . . , y

(x)) med v¨ arden i R

till funktionalen

I[y

, . . . , y

] = Z

a

F (x, y(x), . . . , y

(x), y

(x), . . . , y

(x)) dx.

Om y:s v¨ arden i a och b ¨ ar f¨ oreskrivna visar man som f¨ orut att y(x) ¨ ar station¨ ar om och endast om systemet

F

(x, y, y

) − d

dx F

(x, y, y

) = 0

g¨ aller f¨ or j = 1, . . . , N och a < x < b.

5.5.2 Flera oberoende variabler F¨ or en funktion

F (x, y, q, p

, p

) s¨ oker vi station¨ ara funktioner u(x, y) till funktionalen

I[u] = Z Z

D

F (x, y, u, u

, u

) dxdy

d¨ ar D ¨ ar ett begr¨ ansat omr˚ ade i R

med glatt rand S. Om u:s randv¨ arde p˚ a S ¨ ar f¨ oreskrivna s˚ a ¨ ar u station¨ ar om och endast om den partiella differentialekvationen

F

− ∂

∂x F

(x, y, u, u

, u

) − ∂

∂y F

(x, y, u, u

, u

) = 0 g¨ aller f¨ or (x, y) ∈ D. Utf¨ orligare blir t.ex. andra termen

∂

∂x F

(x, y, u, u

, u

) = F

(x, y, u, u

, u

) + u

F

(x, y, u, u

, u

) + u

F

(x, y, u, u

, u

) + u

F

(x, y, u, u

, u

).

Euler-Lagrange-ekvationen ¨ ar ett medel att h¨ arleda fysikaliskt relevanta differen- tialekvationer.

Exempel 5.6 F¨ or

F = F (p

, p

) = 1

2 p

+ p

, F

= p

, F

= p

blir

F

= 0, ∂

∂x F

(x, y, u, u

, u

) = u

, ∂

∂y F

(x, y, u, u

, u

) = u

. Allts˚ a ¨ ar Euler-Lagrange-ekvationen ekvivalent med Laplaceekvationen

u

+ u

= 0.