Matematisk statistik 9hp
F¨orel¨asning 2: Slumpvariabel
Anna Lindgren
6+7 september 2016
Grundl¨aggande begrepp
I Utfall– resultatet av ett slumpm¨assigt f¨ors¨ok. Bet. ω1, ω2, . . .
I H¨andelse– en samling av ett eller flera utfall. Bet.A, B, . . .
I Utfallsrum– m¨angden av m¨ojliga utfall. Bet.Ω
Kolmogorovs axiomsystem 0 ≤ P(A) ≤ 1
En sannolikhet ¨ar ett tal mellan 0 och 1 P(Ω) = 1
Sannolikheten attn˚agot allsskall h¨anda ¨ar 1 P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
Om och endast omAochB¨ardisjunkta
N˚agra viktiga samband
Additionssatsen:
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) Betingad sannolikhet:
P(A | B) = P(A∩B)P(B) Total sannolikhet:
P(A) =Pn
i=1P(A | Hi) ·P(Hi) omHi∩ Hj= ∅, i 6= joch
n
[
i=1
Hi= Ω
Bayes sats:
P(Hi | A) = P(A|HP(A)i)·P(Hi) Oberoende:
H¨andelsernaAochB¨ar oberoende ⇐⇒ P(A ∩ B) = P(A) · P(B)
Stokastisk variabel
Enstokastisk variabelellerslumpvariabel¨ar etttalvars v¨arde styrs av slumpen (en funktionΩ →R).
Bet.X, Y, . . ..
En stokastisk variabel ¨ar
I Diskret– om den kan anta ett ¨andligt antal (ex1, 3, π), eller uppr¨akneligt o¨andligt (ex0, 1, 2, . . .).
Ex:
I X = Antal s¨onderfallande partiklar i ett radioaktivt ¨amne under 1 s.
I Y = Antal personer av 100 som svarar ja p˚a fr˚agan ”Skulle du r¨osta ja om det vore EMU-val i dag?”
I Kontinuerlig– om den kan anta alla reella tal i ett intervall, typiskt resultatet av en m¨atning.
Ex:
Sannolikhetsfunktion
F¨or endiskrets.v.Xdefinierassannolikhetsfunktionensom pX(k) = P(X = k)
N˚agra egenskaper:
I 0 ≤ pX(k) ≤ 1, eftersom det ¨ar sannolikheter
I P(a ≤ X ≤ b) =
b
X
k=a
pX(k)
I X
alla k
pX(k) = 1. Slh attX skall antan˚agotv¨arde ¨ar 1.
Observera att en stokastisk variabel j¨amf¨ord med ett tal ¨ar en h¨andelse.
Exempel: Keno-3
I Keno-3 v¨aljs 3 av 70 nr. Vid dragning v¨aljs 20 av dessa 70 ut som vinstnummer. L˚atX = Antal vinstnr man prickar in.
Sannolikhetsfunktionen f¨orX ¨ar
k 0 1 2 3
pX(k) 0.36 0.45 0.17 0.02 Tv˚a vinstnr ger 5 kr och 3 vinstnr ger 90 kr.
a) Vad ¨ar sannolikheten att vinna n˚agot?
b) Vad ¨ar sannolikheten att man f˚att tv˚a vinstnummer under f¨oruts¨attning att man vunnit?
Binomialf¨ordelning
Beteckning: X ∈ Bin(n, p)
F¨orekomst: Ett slumpm¨assigt f¨ors¨ok med en h¨andelseAd¨ar P(A) = pupprepasnoberoende ggr,
X = Antal ggr A intr¨affar.
Sannolikhetsfunktion:
pX(k) =n k
pk(1 − p)n−k, k = 0, 1, . . . , n Ex: X =Antal sexor p˚a tio t¨arningskast.X ∈ Bin(10, 1/6)
Poissonf¨ordelning
Beteckning: X ∈ Po(μ)
F¨orekomst: R¨aknar antal h¨andelser.
Sannolikhetsfunktion:
pX(k) = e−μ·μk
k!, k = 0, 1, 2, . . .
Ex: Bilar som passerar p˚a en v¨ag. Antal radioaktiva s¨onderfall.
ffg-f¨ordeling
Beteckning: X ∈ ffg(p)
F¨orekomst: F¨ors¨oket med h¨andelsenAupprepas oberoende, d¨ar P(A) = p.X =Antal f¨ors¨oktillsA intr¨affarf¨orf¨orsta g˚angen.
Sannolikhetsfunktion:
pX(k) = p(1 − p)k−1, k = 1, 2, . . . Ex: Antal slantsinglingart.o.m.f¨orsta krona.X ∈ ffg(1/2).
Geometrisk f¨ordelning
Beteckning: Y ∈ Ge(p)
F¨orekomst: F¨ors¨oket upprepas.Y =Antal f¨ors¨okinnan Aintr¨affar f¨orsta g˚angen (dvsY = X − 1), d¨arP(A) = p.
Sannolikhetsfunktion:
pY(k) = p(1 − p)k, k = 0, 1, . . . Ex: Antal t¨arningskastinnanf¨orsta sexa.Y ∈ Ge(1/6).
T¨athetsfunktion
Enkontinuerligs.v.Xhar i st¨allet ent¨athetsfunktion fX(x).
P(X ∈ A) = Z
A
fX(x) dx
N˚agra egenskaper:
I fX(x) ≥ 0
I P(a ≤ X ≤ b) = Z b
a
fX(x) dx
I
Z ∞
−∞
fX(x) dx = 1. Slh attXskall antan˚agotv¨arde ¨ar 1.
Rektangel- eller likformig f¨ordelning
Beteckning: X ∈ R(a, b)ellerX ∈ U(a, b)(eng. uniform) T¨athetsfunktion:
fX(x) = ( 1
b−a, a ≤ x ≤ b 0 f.¨o.
1/(b−a)
Exponentialf¨ordelning
Beteckning: X ∈ Exp(λ)ellerX ∈ Γ (1, λ) T¨athetsfunktion:
fX(x) = (
λe−λx, x ≥ 0 0 x < 0
0 2 4 6
0 0.5 1 1.5 2
x fX(x)
λ = 2 λ = 1 λ = 1/2 λ = 1/4
Normalf¨ordelning
Beteckning: X ∈ N(μ, σ) T¨athetsfunktion:
fX(x) = 1
√
2πσ2e−
(x−μ) 2σ2
2
, −∞ < x < ∞
0.5
µ = 4
fX(x)
σ = 2 σ = 1
0.15
σ = 2
fX(x) µ = 0 µ = 10
F¨ordelningsfunktion
F¨or att r¨akna ut sannolikheter beh¨over man summerapX(k)eller integrerafX(x). Det kan d¨arf¨or vara anv¨andbart att ha en f¨ordelningsfunktion(borde heta kumulativ f¨ord.funk.)
FX(x) = P(X ≤ x)
N˚agra egenskaper:
I 0 ≤ FX(x) ≤ 1, eftersom det ¨ar en sannolikhet
I FX(x)¨ar v¨axande.
Diskret Kontinuerlig
FX(x) =X
k≤x
pX(k) FX(x) = Z x
−∞
fX(t) dt pX(k) = FX(k) − FX(k − 1) fX(x) = dxd FX(x)
F¨ordelningsfunktion
Diskret P(a < X ≤ b) =
b
X
k=a+1
pX(k) P(a < X ≤ b) = FX(b) − FX(a)
a b
k pX(k)
a b
k FX(x)
Kontinuerligt P(a < X ≤ b) =
Z b a
fX(x) dx P(a < X ≤ b) = FX(b) − FX(a)
fX(x) FX(x)
F¨ordelningsfunktion N(0,1)
FX(x) = Φ(x) d¨arΦ(x)r¨aknas ut numeriskt eller f˚as fr˚an tabell.
F¨ordelningsfunktion Ge(0.3)
FX(x) =
(1 − (1 − 0.3)bxc+1 x ≥ 0
0 x < 0
0.4 0.6 0.8 1
F¨ordelningsfunktion Exp(0.5)
FX(x) =
(1 − e−0.5x x ≥ 0
0 x < 0
Exempel — Gl¨odlampa
L˚atX = Livsl¨angden hos en gl¨odlampa (enhet: ˚ar). Antag att f¨ordelningen f¨orXbeskrivs av f¨oljande t¨athetsfunktion
fX(x) =
(e−x, x ≥ 0 0 x < 0
a) Ber¨aknaFX(x)samt skissa den ochfX(x).
b) Ber¨akna sannolikheten att lampan h˚aller minst tv˚a ˚ar.
c) Om vi sett att lampan lyst ett ˚ar, vad ¨ar sannolikheten att den lyser tv˚a ˚ar till?
α-kvantil, xα
Enkvantil,xα, till en s.v.X ¨ar en gr¨ans som ¨overskrids med slhα. Den f˚as som l¨osning till n˚agon av f¨oljande ekvationer.
FX(xα) =1 − α ⇐⇒
Z xα
−∞
fX(x) dx = 1 − α ⇐⇒
Z ∞ xα
fX(x) dx = α
x_a a 1−a
x f
−1
Exempel — Gl¨odlampa (forts.)
L˚atX = Livsl¨angden hos en gl¨odlampa i ˚ar. Antag att f¨ordelningen f¨or Xbeskrivs av f¨oljande t¨athetsfunktion
fX(x) =
(e−x, x ≥ 0 0 x < 0
a) Ber¨akna kvantilenxα som funktion avα.
b) Ber¨akna numeriskt de tre kvartilernax0.25,x0.50ochx0.75. (x0.50kallas ¨avenmedian)
c) G¨or en konkret tolkning avx0.25.
Sammanfattning
En stokastisk variabelX¨ar
diskret om den kan anta ett uppr¨akneligt antal v¨arden, typiskt positiva heltal.
kontinuerlig om den kan anta alla reella tal i ett intervall.
Xbeskrivs av:
I SannolikhetsfunktionpX(k) = P(X = k)omX¨ar diskret.
I T¨athetsfunktionfX(x)omX¨ar kontinuerlig.
I F¨ordelningsfunktionFX(x) = P(X ≤ x), bra att r¨akna ut sannolikheter med.
Enα-kvantil,xα, ¨ar en gr¨ans som ¨overskrids med slhα.
