Matematisk statistik 9 hp F¨orel¨asning 4: Flerdim

Repetition 2D stokastisk variabel

Matematisk statistik 9 hp

F¨orel¨asning 4: Flerdim

Johan Lindstr¨om

13+14 september 2016

Repetition 2D stokastisk variabel Transformer Inversmetoden

Transformation av stokastiska variabler

Givet en s.v. X. Vilken f¨ordelning f˚ar Y = g(X)?

Om Y ¨ar diskret kan man r¨akna ut sannolikhetsfunktionen

p Y (k) = X

j;g(j)=k

p X (j)

dvs P(Y = k) f˚as genom att ”l¨agga ihop p X (j) f¨or alla j s˚adana att

g(j) = k”.

Metod om Y ¨ar kontinuerlig:

1. S¨att upp F Y (y) = P(Y ≤ y).

2. Stoppa in Y = g(X) och uttryck F Y (y) som fkn av F X (·).

3. Derivera f¨or att f˚a f Y (y) som fkn av f X (·)

Repetition 2D stokastisk variabel Transformer Inversmetoden

Inversmetoden

F¨or att dra slumptal fr˚an en f¨ordelning med f¨ordelningsfunktion F Y (y):

1. R¨akna ut F _Y ⁻¹ (y)

2. Dra slumptal fr˚an en R(0, 1)-f¨ordelning.

3. Ber¨akna F _Y ⁻¹ (y) f¨or varje slumptal.

Repetition 2D stokastisk variabel Transformer Inversmetoden

Kontinuerlig f¨ordelning Exp(1/2)

−0.20 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

0.2 0.4 0.6 0.8 1

Inversmetoden

fX(x)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

0 0.5 1 1.5 2

f_Y(y) Önskad täthet

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

FY(y)

Önskade slumptal

Repetition 2D stokastisk variabel Exempel Oberoende Betingade Simulering Tot slh

Tv˚adim. stokastisk variabel (X, Y)

Simultan f¨ordelningsfunktion: F X,Y (x, y) = P(X ≤ x, Y ≤ y)

Simultan sannolikhetsfunktion: p X,Y (j, k) = P(X = j, Y = k)

Simultan t¨athetsfunktion: f X,Y (x, y) = ∂ ²

∂x∂y F X,Y (x, y)

N˚agra egenskaper:

I P[(X, Y) ∈ A] = X

(j,k)∈A

p X,Y (j, k)

I P[(X, Y) ∈ A] =

Z Z

A

f X,Y (x, y) dxdy

I p X (j) = X

k

p X,Y (j, k) Marginell slh.funkt. f¨or X

I f Y (y) =

Z ∞

−∞

f X,Y (x, y) dx Marginell t¨athet f¨or Y

Repetition 2D stokastisk variabel Exempel Oberoende Betingade Simulering Tot slh

Sannolikheten att hamna i A ¨ar integral av t¨atheten ¨over A

P(X ∈ A) =

Z

A

f X (x) dx P((X, Y) ∈ A) =

Z Z

A

f X,Y (x, y) dxdy

| A |

x

f

(x)

Repetition 2D stokastisk variabel Exempel Oberoende Betingade Simulering Tot slh

Ex: Radioaktivt s¨onderfall

Vid observation av s¨onderfall beskrivs den simultana f¨ordelningen f¨or

tidpunkten f¨or f¨orsta, X, och andra, Y, s¨onderfallet av

f X,Y (x, y) = e ^−y , 0 ≤ x ≤ y

0 1

2 3

0 1 2 3 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

f_X,Y(x,y) = e^−y, 0≤ x ≤ y

Repetition 2D stokastisk variabel Exempel Oberoende Betingade Simulering Tot slh

Ex: Om f X,Y (x, y) = e ^−y , 0 ≤ x ≤ y

I Vad blir f X (x) och f Y (y)?

0 1 2 3

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

x

f

(x) = e

, x ≥ 0

0 1 2 3 4 5

0

0.1

0.2

0.3

0.4

y

f

(y) = y e

, y ≥ 0

Repetition 2D stokastisk variabel Exempel Oberoende Betingade Simulering Tot slh

Oberoende stokastiska variabler

Oberoende

H¨andelserna A och B ¨ar oberoende ⇐⇒ P(A ∩ B) = P(A) · P(B)

X och Y ¨ar oberoende stokastiska variabler

⇐⇒

F X,Y (x, y) = F X (x) · F Y (y) f¨or alla (x, y)

⇐⇒ ⇐⇒

p X,Y (j, k) = p X (j) · p Y (k) f X,Y (x, y) = f X (x) · f Y (y)

alla (j, k) alla (x, y)

Repetition 2D stokastisk variabel Exempel Oberoende Betingade Simulering Tot slh

Betingade f¨ordelningar

Betingad slh

P(A | B) = P(A ∩ B)

P(B)

I Betingad sannolikhetsfunktion f¨or X givet att Y = k

p X|Y=k (j) = p X,Y (j, k)

p Y (k)

I Betingad t¨athetsfunktion f¨or X givet att Y = y

f X|Y=y (x) = f X,Y (x, y)

f Y (y)

Repetition 2D stokastisk variabel Exempel Oberoende Betingade Simulering Tot slh

Ex (forts): Om f X,Y (x, y) = e ^−y , 0 ≤ x ≤ y

I Vad blir f _Y|X=x (y) och f _X|Y=y (x)?

0 1 2 3

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

x

f

(x) = 1/y, 0 ≤ x ≤ y

0 1 2 3 4 5

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

y

f

(y) = e

, y≥ x

y=1

y=2

y=3

x=1

x=2

x=3

Repetition 2D stokastisk variabel Exempel Oberoende Betingade Simulering Tot slh

Simulering av tv˚adim. f¨ordelning mha betingning

Vet man f¨ordelningen f¨or X och f¨or Y | X = x kan man f¨orst simulera

X och sedan Y via Y | X = x.

Om f X,Y (x, y) = e ^−y , 0 ≤ x ≤ y blir (enligt ex. p˚a tavlan)

f X (x) = e ^−x , x ≥ 0 dvs X ∈ Exp(1)

f _Y|X=x (y) = e ^−(y−x) , y ≥ x dvs Y | X = x ∈ ⁰⁰ x + Exp(1) ⁰⁰

N stycken par (X, Y) kan d˚a simuleras med

x = exprnd(1,N,1);

y = x + exprnd(1,N,1);

Repetition 2D stokastisk variabel Exempel Oberoende Betingade Simulering Tot slh

0 1 2 3 4 5 6 7 8

0 1 2 3 4 5 6 7 8

Simulerade (X,Y) då f_X,Y(x,y) = e^−y, 0 ≤ x ≤ y

x = exprnd(1,800,1)

y = x + exprnd(1,800,1)

Repetition 2D stokastisk variabel Exempel Oberoende Betingade Simulering Tot slh

Satsen om total sannolikhet igen

Total slh

P(A) = P

i P(A | H i ) · P(H i )

I F¨or sannolikhetsfunktioner

p X (j) = X

k

p X|Y=k (j) · p Y (k)

I F¨or t¨athetsfunktioner

f X (x) =

Z ∞

−∞

f X|Y=y (x) · f Y (y) dy

Repetition 2D stokastisk variabel Exempel Oberoende Betingade Simulering Tot slh

Exempel: kombinera diskret och kontinuerligt

Vi ¨ar intresserade av Y = antalet fel hos en komponent under 1 h men

vi vet att felintensiteten varierar slumpm¨assigt fr˚an komponent till

komponent. Vi antar att X = felintensiteten (h ⁻¹ ) f¨or en komponent

¨ar X ∈ Exp(1) och Y | X = x ∈ Po(x), dvs

f X (x) = e ^−x , x ≥ 0 resp. p _Y|X=x (k) = e ^−x x ^k

k! , k = 0, 1, 2, . . .

Vilken f¨ordelning har d˚a Y?

p Y (k) =

Z ∞

−∞

p _Y|X=x (k) · f X (x) dx =

Z ∞

0

e ^−x x ^k

k! · e ^−x dx

=

Z ∞

0

x ^k

k! · e ^−2x dx = [y = 2x] = 1

2 ^k+1 k!

Z ∞

0

y ^k · e ^−y dy

= 1

2 ^k+1 = 1

2 · (1 − 1

2 ) ^k , k = 0, 1, 2, . . . dvs Ge(1/2).