Lösningar till Linjär algebra II

L¨osningar till Linj¨ar algebra II 121026

1. En godtycklig kvadratisk matris A s¨ags vara en normal matris precis om AA^H = A^HA. I v˚art fall ¨ar

A =

 1 + 2i a

−2 + i 1 − 2i



och allts˚a A^H =

 1 − 2i −2 − i a 1 + 2i

 . Ber¨akning ger att

AA^H =

 5 + |a[² −5i + a(1 + 2i) 5i + a(1 − 2i) 10

 och att

A^HA =

 10 −4 + 3i + a(1 − 2i)

−4 − 3i + a(1 + 2i) 5 + |a[²

 , och allts˚a g¨aller att AA^H = A^HA precis om

(1)







−5i + a(1 + 2i) = −4 + 3i + a(1 − 2i) 5i + a(1 − 2i) = −4 − 3i + a(1 + 2i) 5 + |a[²= 10

.

Den f¨orsta ekvationen i (1) kan f¨orenklas till 4ia = −4 + 8i som ger a = 2 + i. Den andra ekvationen i (1) ¨ar konjugatet av den f¨orsta ekvationen s˚a a = 2 + i uppfyller ¨aven den andra ekvationen. ¨Aven den tredje ekvationen i (1) uppfylls av a = 2 + i. Det finns allts˚a ett v¨arde p˚a a f¨or vilket matrisen A ¨ar en normal matris och det ¨ar a = 2 + i.

Vi betraktar nu matrisen A f¨or detta v¨arde p˚a a, dvs vi betraktar matrisen A =

 1 + 2i 2 + i

−2 + i 1 − 2i

 .

Eftersom denna matris A ¨ar en normal matris kan denna matris A skrivas A = U DU^H d¨ar U ¨ar en unit¨ar matris och D ¨ar en diagonalmatris. Vi best¨ammer nu s˚adana matriser U och D genom att f¨orst ber¨akna egenv¨ardena och egenvektorerna till A. Vi har att

det(λI − A) = 0 ⇐⇒

λ − 1 − 2i −2 − i 2 − i λ − 1 + 2i

= 0 ⇐⇒ λ²− 2λ + 10 = 0, som har l¨osningarna λ = 1 + 3i och λ = 1 − 3i. Egenv¨ardena till A ¨ar allts˚a 1 + 3i och 1 − 3i. En enkel r¨akning ger att motsvarande egenrum ¨ar EA(1 + 3i) = [(1 − 2i, 1)^T] och E_A(1 − 3i) = [(−1, 1 + 2i)^T]. En ON-bas i E_A(1 + 3i) ¨ar u₁= ^√1

6(1 − 2i, 1)^T och en ON-bas i E_A(1 − 3i) ¨ar u₂ = ^√1

6(−1, 1 + 2i)^T. Matrisen A h¨ar ¨ar en normal matris s˚a egenvektorer h¨orande till olika egenv¨arden ¨ar ortogonala. Vektorerna u₁ och u₂ ¨ar s˚aledes en ON-bas i C² enbart best˚aende av egenvektorer till A. (Den skal¨arprodukt i C² som h¨ar avses ¨ar standardskal¨arprodukten.) S¨att

U = (u₁, u₂) = 1

√

 1 − 2i −1 

och D = diag(1+3i, 1−3i) =

 1 + 3i 0  .

D˚a ¨ar U en unit¨ar matris (dvs U ¨ar en inverterbar matris med invers U⁻¹ = U^H), D ¨ar en diagonalmatris och A = U DU^H g¨aller.

2. a) Vektorrummen U och V ¨ar tv˚a delrum av R⁴ vilka b˚ada har dimension tre. Eftersom U och V ¨ar delrum av R⁴ g¨aller inklusionen U ⊆ U + V ⊆ R⁴, och eftersom dim U = 3 och dim R⁴ = 4 visar denna inklusion att dimensionen f¨or U + V ¨ar antingen tre eller fyra.

Anv¨ander vi sedan dimensionslagen

dim(U + V ) = dim U + dim V − dim(U ∩ V ) ⇐⇒

dim(U ∩ V ) = dim U + dim V − dim(U + V )

f˚ar vi att dimensionen f¨or U ∩ V ¨ar antingen 3 + 3 − 3 = 3 eller 3 + 3 − 4 = 2.

b) Vektorerna u1, u2 och u3 ¨ar en bas i U , och vektorerna v1, v2 och v3 ¨ar en bas i V . S¨att

A =



 u₁ u₂ u3



 och B =



 v₁ v₂ v3



. S¨att vidare

C =

 A B

A 0



=

















1 −1 −2 1

1 2 3 −1

2 2 1 1

1 1 3 −3

1 4 3 −1

2 −3 1 −3

1 −1 −2 1

1 2 3 −1

2 2 1 1

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0















 .

Vi omvandlar nu matrisen C till en trappmatris med hj¨alp av element¨ara radoperationer. Vi g¨or det genom att g¨ora f¨oljande.

1) Adderar rad 1 multiplicerad med −1 till raderna tv˚a, fyra och fem, samt adderar rad 1 multiplicerad med −2 till raderna tre och sex.

2) Multiplicerar rad sex med −1 och byter sedan plats p˚a rad tv˚a och rad sex.

3) Adderar rad tv˚a multiplicerad med −4 till rad tre, adderar rad tv˚a multiplicerad med

−2 till rad fyra, adderar rad tv˚a multiplicerad med −5 till rad fem och adderar rad tv˚a multiplicerad med −3 till rad sex.

4) Adderar rad sex multiplicerad med −1 till rad tre.

5) Adderar rad tre multiplicerad med −3 till rad fyra, adderar rad tre multiplicerad med

−6 till rad fem och adderar rad tre multiplicerad med −4 till rad sex.

6) Multiplicerar rad sex med −1 och byter sedan plats p˚a rad sex och rad fyra.

7) Adderar rad fyra multiplicerad med 3 till rad fem och adderar rad fyra multiplicerad med 2 till rad sex.

8) Adderar rad sex multiplicerad med −2 till rad fem.

9) Adderar rad fem multiplicerad med 3 till rad sex.

10) Multiplicerar rad sex med −1.

Detta omvandlar C till den radekvivalenta trappmatrisen

D =

















1 −1 −2 1

0 1 −5 5

0 0 5 −4

0 0 0 1

0 0 0 0

0 0 0 0

1 −1 −2 1

2 −2 −4 2

−2 3 4 −1

−2 3 −1 4

1 −2 3 −5

0 4 −5 9















 .

De tv˚a sista raderna till v¨anster i D ¨ar nollrader. Enligt teorin f¨or detta f¨orfaringss¨att ¨ar d˚a de tv˚a sista raderna till h¨oger i D en bas i U ∩V , dvs w₁= (1, −2, 3, −5) och w₂ = (0, 4, −5, 9)

¨

ar en bas i U ∩ V .

3. Vi l¨oser uppgiften genom att genomf¨ora f¨oljande punkter.

1) Matrisen f¨or F ber¨aknas i n˚agon bas i M2(R).

2) En bas ber¨aknas (n¨ar s˚adan finns) i nollrummet respektive v¨arderummet f¨or denna matris.

3) Av 2) f˚as sedan en bas (n¨ar s˚adan finns) i nollrummet respektive v¨arderummet f¨or F . Punkten 1). F¨or i = 1, 2 och j = 1, 2 l˚at H_ij beteckna den matris i M₂(R) som har en etta p˚a platsen (i, j) och nollor p˚a ¨ovriga platser och s¨att H = (H11, H12, H21, H22). D˚a ¨ar H en bas i M₂(R). Denna bas ¨ar standardbasen i M₂(R) och har f¨ordelen att det ¨ar enkelt att v¨axla mellan en matris i M₂(R) och koordinaterna f¨or matrisen i denna bas. Det underl¨attar v˚ara r¨akningar. Vi ber¨aknar nu matrisen f¨or F i denna bas H. Matrisr¨akning ger att

F (H₁₁) = AH₁₁+ H₁₁B =

 −5 4

−3 2

  1 0 0 0

 +

 1 0 0 0

  4 −2 3 −1



=

 −5 0

−3 0

 +

 4 −2

0 0



=

 −1 −2

−3 0



= (−1) ·

 1 0 0 0



+ (−2) ·

 0 1 0 0



+ (−3) ·

 0 0 1 0

 + 0 ·

 0 0 0 1



= (−1) · H₁₁+ (−2) · H₁₂+ (−3) · H₂₁+ 0 · H₂₂. Analogt f˚ar vi att

F (H₁₂) = 3 · H₁₁+ (−6) · H₁₂+ 0 · H₂₁+ (−3) · H₂₂, F (H₂₁) = 4 · H₁₁+ 0 · H₁₂+ 6 · H₂₁+ (−2) · H₂₂,

F (H₂₂) = 0 · H₁₁+ 4 · H₁₂+ 3 · H₂₁+ 1 · H₂₂. Matrisen f¨or F i basen H = (H₁₁, H₁₂, H₂₁, H₂₂) ¨ar allts˚a matrisen

M =









−1 3 4 0

−2 −6 0 4

−3 0 6 3

0 −3 −2 1







 .

Punkten 2. Vi ber¨aknar nu en bas (om s˚adan finns) i nollrummet respektive v¨arderummet till matrisen M . F¨or att enkelt kunna g¨ora det s˚a omvandlar vi f¨orst M med element¨ara rad- operationer till en reducerad trappmatris. Vi f˚ar att M ¨ar radekvivalent med den reducerade trappmatrisen

N =









1 0 −2 −1 0 1 ²₃ −¹₃

0 0 0 0

0 0 0 0







 .

(Den reducerade trappmatrisen N ¨ar entydigt best¨amd av M .)

Det linj¨ara ekvationtiossystemet N x = 0, x ∈ R⁴ har, som vi direkt ser, l¨osningsm¨angden x = 2s + t, −²₃s +¹₃t, s, t
T

= ¹₃s(6, −2, 3, 0)^T +¹₃t(3, 1, 0, 1)^T d¨ar s, t ∈ R ¨ar godtyckliga.

Nollrummet f¨or N ¨ar allts˚a linj¨ara h¨oljet av kolonnvektorerna u1 = (6, −2, 3, 0)^T och u₂ = (3, 1, 0, 1)^T. Dessa tv˚a vektorer, som ¨ar linj¨art oberoende, ¨ar ¨aven en bas i detta rum.

Men matriserna M och N har samma nollrum eftersom de ¨ar radekvivalenta. Vektorerna u₁ och u2 ¨ar d¨arf¨or ocks˚a en bas i nollrummet f¨or M.

De tv˚a f¨orsta kolonnerna i N ¨ar, som vi direkt ser, en bas i kolonnrummet f¨or N . Eftersom M ¨ar radekvivalent med N g¨aller motsvarande f¨or M . Dvs de tv˚a f¨orsta kolonnerna i M ¨ar en bas i kolonnrummet f¨or M . F¨or en godtycklig matris ¨ar kolonnrummet och v¨arderummet samma rum. De tv˚a f¨orsta kolonnerna i M , kolonnerna (−1, −2, −3, 0)^T och (3, −6, 0, −3)^T,

¨ar f¨oljaktligen en bas i v¨arderummet f¨or M . Eftersom (−1, −2, −3, 0)^T = −(1, 2, 3, 0)^T och (3, −6, 0, −3)^T = 3(1, −2, 0 − 1)^T ¨ar ocks˚a v₁ = (1, 2, 3, 0)^T och v₂ = (1, −2, 0, −1)^T en bas i v¨arderummet f¨or M .

Punkten 3. Vi vet nu att u1= (6, −2, 0, −3)^T och u2= (3, 1, 0, 1)^T ¨ar en bas i nollrummet f¨or M , och att v₁= (1, 2, 3, 0)^T och v₂ = (1, −2, 0 − 1)^T ¨ar en bas i v¨arderummet f¨or M , d¨ar M

¨ar matrisen f¨or den linj¨ara operatorn F : M₂(R) → M₂(R) i basen H = (H₁₁, H₁₂, H₂₁, H₂₂) i M2(R). Men

u₁ = (6, −2, 3, 0)^T ¨ar koordinatvektorn i basen H f¨or matrisen

U₁= 6 · H₁₁+ (−2) · H₁₂+ 3 · H₂₁+ 0 · H₂₂=

 6 −2

3 0

 , u2 = (3, 1, 0, 1)^T ¨ar koordinatvektorn i basen H f¨or matrisen

U₂= 3 · H₁₁+ 1 · H₁₂+ 0 · H₂₁+ 1 · H₂₂=

 3 1 0 1

 , v₁ = (1, 2, 3, 0)^T ¨ar koordinatvektorn i basen H f¨or matrisen

V1= 1 · H11+ 2 · H12+ 3 · H21+ 0 · H22=

 1 2 3 0

 , v₂ = (1, −2, 0, −1)^T ¨ar koordinatvektorn i basen H f¨or matrisen

V2 = 1 · H11+ (−2) · H12+ 0 · H21+ (−1) · H22=

 1 −2 0 −1

 . Det f¨oljer att matriserna U₁ och U₂ ovan ¨ar en bas i nollrummet f¨or F , och att matriserna V₁ och V₂ ovan ¨ar en bas i v¨arderummet f¨or F .

4. Ber¨akning ger att ekvationen det(λI −A) = 0 har l¨osningarna −5 och 1 (dubbelrot). Matrisen A har allts˚a egenv¨ardena −5 och 1. Ytterligare ber¨akning ger sedan att motsvarande egenrum

¨ar E_A(−5) = [(1, −1, 2)^T] och E_A(1) = [(1, 1, 0)^T, (−2, 0, 1)^T]. Vektorn u₁ = ^√1

6(1, −1, 2)^T ¨ar en ON-bas i E_A(−5). Gram-Schmidts metod ger att u₂= ^√1

2(1, 1, 0)^T och u₃ = ^√1

3(−1, 1, 1)^T

¨

ar en ON-bas i EA(1). Eftersom A ¨ar reell och symmetrisk ¨ar egenvektorer h¨orande till olika egenv¨arden ortogonala. Vektorerna u1, u2 och u3 ¨ar allts˚a en ON-bas i R³ enbart best˚aende av egenvektorer till A. (Den skal¨arprodukt i R³ som h¨ar avses ¨ar standardskal¨arprodukten.) S¨att

U = (u1, u2, u3) =









√1 6

√1 2 −^√1

3

−^√1

6

√1 2

√1 3

√2

6 0 ^√1

3









och D = diag(−5, 1, 1) =





−5 0 0 0 1 0 0 0 1



.

D˚a ¨ar U en ortogonalmatris (dvs en reell inverterbar matris U med invers U⁻¹= U^T), D ¨ar en diagonalmatris och A = U DU^T g¨aller.

Matrisuttrycket (x, y, z)A(x, y, z)^T kan nu skrivas (x, y, z)U DU^T(x, y, z)^T. Inf¨or nya variabler genom att s¨atta (u, v, w) = (x, y, z)U . Matrisuttrycket (x, y, z)A(x, y, z)^T ¨overg˚ar d¨arvid i matrisuttrycket (u, v, w)D(u, v, w)^T, dvs. i −5u²+ v²+ w². Eftersom U ¨ar en ortogonalmatris

¨overg˚ar vidare x² + y² + z² i u² + v² + w². Det givna maximumproblemet i variablerna x, y, z ¨overg˚ar s˚aledes i de nya variablerna u, v, w i problemet att best¨amma maximum av

−5u²+ v²+ w²d˚a u²+ v²+ w² = 1, och det g¨or vi nu. F¨or godtyckliga (u, v, w) som uppfyller u²+ v²+ w²= 1 har vi att

−5u²+ v²+ w² ≤ u²+ v²+ w²= 1 med likhet hela v¨agen ovan precis om

u²+ v²+ w² = 1 och − 5u²+ v²+ w²= u²+ v²+ w² ⇐⇒

u = 0 och v²+ w² = 1 ⇐⇒

(u, v, w) = (0, cos θ, sin θ) d¨ar θ ∈ [0, 2π[.

Maximum ¨ar allts˚a 1 och antas i punkterna (u, v, w) = (0, cos θ, sin θ) d¨ar θ ∈ [0, 2π[. Av (u, v, w) = (x, y, z)U och U⁻¹ = U^T f˚as (x, y, z) = (u, v, w)U^T. De punkter som ger maximum i variablerna x, y, z ¨ar s˚aledes punkterna

(x, y, z) = (0, cos θ, sin θ)U^T =

 1

√2cos θ − 1

√3sin θ, 1

√2cos θ + 1

√3sin θ, 1

√3sin θ



d¨ar θ ∈ [0, 2π[.

5. Ber¨akning ger att

A^HA =

 1 −1 0

1 0 −1







1 1

−1 0

0 −1



=

 2 1 1 2



och att

B^HB =





1 −1 0

1 0 −1









1 1 1

−1 0 1



=





2 1 0 1 2 0



.

Vi f˚ar att det(λI − A^HA) = 0 ⇐⇒ (λ − 2)²− 1 = 0 som har l¨osningarna 3 och 1, och att det(λI − B^HB) = 0 ⇐⇒ (λ − 3) (λ − 2)²− 1
= 0 som har l¨osningarna 3 (dubbelrot) och 1.

Egenv¨ardena (uppr¨aknade med sin multiplicitet och ordnade i fallande storleksordning) till A^HA respektive B^HB ¨ar allts˚a 3 och 1 respektive 3, 3 och 1. De singul¨ara v¨ardena (ordnade i fallande storleksordning) till A respektive B ¨ar allts˚a σA1 = √

3 och σA2 = 1 respektive σ_B1=√

3, σ_B2=√

3 och σ_B3= 1. Enkla ber¨akningar av egenrummen h¨orande till de erh˚allna egenv¨ardena f¨or A^HA samt B^HB ger att E_AHA(3) = [(1, 1)^T] och E_AHA(1) = [(1, −1)^T] samt att E_BHB(3) = [(1, 1, 0)^T, (0, 0, 1)^T] och E_BHB(1) = [(1, −1, 0)^T]. Vektorn vA1 = ^√1

2(1, 1)^T

¨ar en ON-bas i E_AHA(3), och vektorn v_A2 = ^√1

2(1, −1)^T ¨ar en ON-bas i E_AHA(1). Vek- torerna vB1 = ^√1

2(1, 1, 0)^T och vB2 = (0, 0, 1)^T ¨ar en ON-bas i E_B^H_B(3), och vektorn v_B3 = ^√1

2(1, −1, 0)^T ¨ar en ON-bas i E_BHB(1). Eftersom matriserna A^HA och B^HB ¨ar her- mitska g¨aller f¨or envar av dessa tv˚a matriser att egenvektorer h¨orande till olika egenv¨arden

¨ar ortogonala. Vektorerna v_A1 och v_A2 liksom vektorerna v_B1, v_B2 och v_B3 ¨ar f¨oljaktligen ortonormerade. Inf¨or nu vektorerna

(2) uAk = 1

σAk

A vAk, k = 1, 2, samt uBk= 1 σBk

B vBk, k = 1, 2, 3.

Ber¨akning av dessa vektorer ger att uA1 = ^√1

6(2, −1 − 1)^T och uA2 = ^√1

2(0, −1, 1)^T samt att u_B1 = ^√1

6(2, −1 − 1)^T, u_B2 = ^√1

3(1, 1, 1)^T och u_B3 = ^√1

2(0, −1, 1)^T. Enligt teorin f¨or singul¨arv¨ardesuppdelning ¨ar d˚a vektorena uA1 och uA2 liksom vektorerna uB1, uB2 och uB3

ortonormerade, och det ¨ar ocks˚a l¨att att direkt se att s˚a ¨ar fallet. Komplettera vektorerna u_A1 och uA2 till en ON-bas i C³ genom att s¨atta uA3= ^√1

3(1, 1, 1)^T(= uB2). Av definitionerna i (2) och omskrivningar f˚ar vi att

(A vA1, A vA2) = (σA1uA1, σA2uA2) ⇐⇒ A( vA1, vA2) = (uA1, uA2)

 σA1 0 0 σ_A2



⇐⇒ A( vA1, vA2) = (uA1, uA2, uA3)





σ_A1 0 0 σ_A2

0 0



 samt att

(B v_B1, B v_B1, B v_B3) = (σ_B1u_B1, σ_B2u_B2, σ_B3u_B3)

⇐⇒ B( v_B1, v_B2, v_B3) = (u_B1, u_B2, u_B3)





σ_B1 0 0

0 σ_A2 0

0 0 σB3



. S¨att

V_A= (v_A1, v_A2), U_A= (u_A1, u_A2, u_A3) och S_A=





σ_A1 0 0 σ_A2

0 0





samt

V_B= (v_B1, v_B2, v_B3), U_B= (u_B1, u_B2, u_B3) och S_B =





σB1 0 0

0 σ_A2 0

0 0 σB3



.

D˚a ¨ar matriserna VA och UA samt VB och UB unit¨ara (dvs ¨ar inverterbar och har invers lika med konjugatet av transponatet), och enligt ovan g¨aller att AV_A = U_AS_A samt att BV_B = U_BS_B, varav f¨oljer att A = U_AS_A(V_A)^H samt att B = U_BS_B(V_B)^H, vilket ¨ar de s¨okte singul¨arv¨ardesuppdelningarna.

(Normering och ortogonalitet i uppgiften ¨ar hela tiden med avseende p˚a standardskal¨arprodukten i respektive rum.)

6. a) Direkt ber¨akning ger att

 Im −A 0 λI_n

  λIm A B I_n



=

 Im(λIm) − AB ImA − AIn

0(λI_m) + (λI_n)B 0A + (λI_n)I_n



=

 λI_m− AB A − A 0 + λB 0 + λIn



=

 λI_m− AB 0

λB λIn



och att

 I_m 0

−B λIn

  λI_m A B In



=

 I_m(λI_m) + 0B I_mA + 0I_n

−B(λI_m) + (λIn)B −BA + (λI_n)In



=

 λI_m+ 0 A + 0

−λB + λB −BA + λI_n



=

 λI_m A

0 λI_n− BA



f¨or ett godtyckligt komplext tal λ. Determinantformlerna det

 X Z 0 Y



= det X det Y och det

 X 0

Z Y



= det X det Y och produktregeln f¨or determinanter ger vidare med matrisformlerna ovan att

det Imdet(λIn) det

 λI_m A B In



= det(λIm− AB) det(λI_n)

⇐⇒ λⁿdet

 λIm A B I_n



= λⁿdet(λI_m− AB) och att

det Imdet(λIn) det

 λIm A B I_n



= det(λIm) det(λIn− BA)

⇐⇒ λⁿdet

 λIm A B In



= λ^mdet(λIn− BA) f¨or ett godtyckligt komplext tal λ. S˚aledes g¨aller att

λ^mdet(λI_n− BA) = λⁿdet(λI_m− AB)

f¨or ett godtyckligt komplext tal λ, dvs det g¨aller att λ^mpBA(λ) = λⁿpAB(λ) f¨or ett godtyck- ligt komplext tal λ. Det medf¨or att p_BA(λ) = λ^n−mp_AB(λ) f¨or ett godtyckligt komplext tal λ 6= 0. Kontinuitet i λ = 0 ger sedan att detta ¨aven g¨aller f¨or λ = 0, och allts˚a att pBA(λ) = λ^n−mpAB(λ) f¨or ett godtyckligt komplext tal λ.

b) Notera f¨orst att

v ∈ EAB(λ) =⇒ ABv = λv =⇒ B(ABv) = B(λv)

=⇒ BA(Bv) = λ(Bv) =⇒ Bv ∈ E_BA(λ).

Dvs om v ∈ E_AB(λ) s˚a g¨aller att Bv ∈ E_BA(λ). L˚at nu λ 6= 0 vara ett gemensamt egenv¨arde till AB och BA. S¨att p = dim EAB(λ)
och l˚at v1, . . . , vp vara en bas i EAB(λ). Av ovan f¨oljer att Bv1, . . . , Bvp∈ E_BA(λ). Vi visar nu Bv1, . . . , Bvp ¨ar linj¨art oberoende. Vi har att

α1Bv1+ . . . αpBvp = 0 =⇒ A(α1Bv1+ . . . αpBvp) = A · 0 =⇒

α₁ABv₁+ . . . α_pABv_p= 0 =⇒ α₁λv₁+ . . . α_pλv_p = 0 =⇒

α₁v₁+ . . . α_pv_p = 0 =⇒ α₁= . . . = α_p = 0,

d¨ar vi ovan i tredje implikationen har anv¨ant att v₁, . . . , v_p ∈ E_AB(λ), i fj¨arde implikationen att λ 6= 0, och i femte implikationen att v₁, . . . , v_p ¨ar linj¨art oberoende emedan de ¨ar en bas i EAB(λ). Vektorerna Bv1, . . . , Bvp ¨ar allts˚a p stycken linj¨art oberoende vektorer i EBA(λ), och s˚aledes ¨ar dim E_BA(λ)
≥ p = dim E_AB(λ)
. Vi har allts˚a att dim E_BA(λ)
≥ dim E_AB(λ)
.

Om vi byter plats p˚a A och B och repeterar argumentet ovan f˚ar vi den motsatta olikheten och allts˚a har vi att dim EBA(λ)

= dim EAB(λ)

= p. Vektorerna Bv1, . . . , Bvp h¨ar ¨ar allts˚a p stycken linj¨art oberoende vektorer i E_BA(λ) d¨ar dim E_BA(λ)
= p. Dessa vektorer

¨ar f¨oljaktligen en bas i E_BA(λ).

c) Antag att AB ¨ar diagonaliserbar och att 0 inte ¨ar egenv¨arde till AB. L˚at λ1, . . . , λr vara samtliga olika egenv¨arden till AB. Eftersom AB ¨ar en m × m-matris och AB antas vara diagonaliserbar g¨aller att

(3) dim E_AB(λ₁)
+ . . . + dim E_AB(λ_r)
= m.

Talen λ1, . . . , λr ¨ar alla skilda fr˚an noll eftersom vi antar att 0 inte ¨ar egenv¨arde till AB.

Eftersom varje nollskilt egenv¨arde till en av AB och BA ¨ar egenv¨arde till b˚ada s˚a ¨ar talen λ₁, . . . , λ_r ocks˚a samtliga nollskilda egenv¨arden till BA. Av b) f¨oljer att

(4) dim E_AB(λ_k)
= dim E_BA(λ_k)
, k = 1, . . . , r.

Tillsammans visar (3) och (4) att

(5) dim E_BA(λ₁)
+ . . . + dim E_BA(λ_r)
= m.

Om n = m ¨ar ¨aven BA en m × m-matris och det f¨oljer d˚a av (5) att BA ¨ar diagonaliserbar.

(Obs att 0 inte kan vara egenv¨arde till BA om n = m eftersom p_BA(λ) = p_AB(λ) om n = m enligt a) och eftersom vi antar att 0 inte ¨ar egenv¨arde till AB. I fallet n = m ¨ar allts˚a λ1, . . . , λr samtliga egenv¨arden till BA.)

Antag nu att n > m. Talet 0 ¨ar d˚a ett egenv¨arde till BA eftersom p_BA(λ) = λ^n−mp_AB(λ) enligt a). Talen 0 och λ1, . . . , λr ¨ar allts˚a samtliga egenv¨arden till BA i detta fall. Matrisen BA, som ¨ar en n × n-matris, ¨ar i detta fall s˚aledes diagonaliserbar precis om

(6) dim E_BA(0)
+ dim E_BA(λ₁)
+ . . . + dim E_BA(λ_r)
= n.

Sj¨alvklart g¨aller att

(7) dim E_BA(0)
+ dim E_BA(λ₁)
+ . . . + dim E_BA(λ_r)
≤ n.

eftersom summadimensionen f¨or egenrummen till en n × n-matris alltid ¨ar mindre ¨an eller lika med n. Eftersom BA ¨ar en n × n-matris g¨aller enligt dimensionssatsen f¨or matriser att

(8) dim (Ker(BA)
+ rang(BA) = n.

Men rang(BA) ≤ rangA enligt en sats om rang, och rangA ≤ m eftersom A ¨ar en m×n-matris.

F¨oljaktligen g¨aller att

(9) rang(BA) ≤ m.

Av (8) och (9) f¨oljer att dim (Ker(BA)

≥ n − m, och eftersom Ker(C) = E_C(0) f¨or en godtycklig matris C f˚ar vi att

(10) dim EBA(0)
≥ n − m

Tillsammans visar (5), (7) och (10) att (6) g¨aller. Matrisen BA ¨ar s˚aledes diagonaliserbar

¨aven i detta fall.

d) Eftersom m ≤ n och (m, n) 6= (1, 1) s˚a g¨aller m ≥ 1 och n ≥ 2. S¨att C = (1, 1), D =

 1

−1



och E =

 1 −1 1 −1

 . D˚a ¨ar CD = 0 och DC = E. S¨att vidare

A =

 C 0 0 0



och B =

 D 0 0 0

 ,

d¨ar de i A och B ing˚aende nollmatriserna har s˚adana storlekar att A ¨ar en m × n-matris och B ¨ar en n × m-matris. D˚a ¨ar

AB =

 C 0 0 0

  D 0 0 0



=

 CD 0

0 0



=

 0 0 0 0



= 0 och

BA =

 D 0 0 0

  C 0 0 0



=

 DC 0

0 0



=

 E 0 0 0

 .

Det ¨ar klart att AB som ¨ar m×m-nollmatrisen har noll som egenv¨arde och ¨ar diagonaliserbar.

Notera vidare att

det(λI2− E) = det

 λ − 1 1

−1 λ + 1



= (λ − 1)(λ + 1) + 1 = λ². F¨or n × n-matrisen BA har vi d¨arf¨or att

det(λI_n− BA) = det

 λI2− E 0 0 λI_n−2



= det(λI₂− E) det(λI_n−2) = λ²λⁿ⁻²= λⁿ. Matrisen BA har s˚aledes ett enda egenv¨arde och det ¨ar talet 0. F¨or motsvarande enda egenrum EBA(0) = {X ∈ Cⁿ| BAX = 0} har vi att

EBA(0) = {(x1, . . . , xn) ∈ Cⁿ| x₁− x₂ = 0},

som har dimension n − 1. Det enda egenrummet till n × n-matrisen BA har allts˚a dimension mindre ¨an n och f¨oljaktligen ¨ar BA inte diagonaliserbar. Matriserna A och B ovan ¨ar s˚aledes ett exempel av s¨okt typ.