SF1624 Algebra och geometri Lars Filipsson
Modul 1
1. M ˚AL FOR MODUL¨ 1 1. Vektorer.
• K¨anna till och f¨orst˚a vektorbegreppet och kunna r¨akna med vektorer
• K¨anna till och hantera de vanliga operationerna i rummen Rn
• F¨orst˚a, r¨akna ut och anv¨anda skal¨arprodukten mellan tv˚a vektorer
• Hantera fr˚agor om ortogonalitet, parallellitet och vinklar i rummen Rn
• F¨orst˚a, r¨akna ut och anv¨anda normen av en vektor, samt begreppet enhetsvektor
• Senare: Ber¨akna och anv¨anda projektionen av en vektor p˚a en annan vektor
• ¨Annu senare: ber¨akna och anv¨anda kryssprodukten mellan tv˚a vektorer 2. Linjer och plan.
• F¨orst˚a, ta fram och anv¨anda parameterframst¨allningar av linjer i Rn
• F¨orst˚a, ta fram och anv¨anda parameterframst¨allningar av plan i Rn
• F¨orst˚a, ta fram och anv¨anda skal¨arekvationer f¨or plan i R3
• Hitta sk¨arningspunkter, ber¨akna vinklar, ber¨akna avst˚and, (senare ber¨akna pro- jektioner)
3. Introduktion till linj¨ara ekvationssystem.
• K¨anna till principen f¨or l¨osning av linj¨ara ekvationssystem med elimination
• K¨anna till principen f¨or Gauss-elimination
2. INNEHALL I MODUL˚ 1 Vektorbegreppet i R2, R3 och Rn: Kap.1.1
Skal¨arprodukt, ortogonalitet och vinklar: Kap 1.2
3. REKOMMENDERADE OVNINGSUPPGIFTER¨ Ur boken:
Kap. 1.2: 9, 11, 13, 23, 27 Kap. 1.3: 5, 9, 15, 21, 33 Kap. 2.1: 13, 15, 19
Gamla examinationsuppgifter:
KS1: 100913 nr 2, 101129 nr 2(a+c), nr 3, 110912 nr 3, 110923 nr 3, 111014 nr 3, 111208 nr 3, 120919 nr 3, 121206 nr 2, nr 3, 130128 nr 3
4. EXTRA UPPGIFTER ATT ARBETA MED HEMMA
Uppgift 1. Best¨am en enhetsvektor som ¨ar parallell med vektorn 3
−4
. Finns det mer
¨an en?
Uppgift 2. L˚at ~u =2 3
och ~v =1 5
. (a) Ber¨akna ~u + ~v. Rita ¨aven figur.
(b) Ber¨akna ~u − ~v. Rita ¨aven figur.
(c) Ber¨akna −2~u. Rita ¨aven figur.
Uppgift 3. L˚at ~u =
1 2 3
. Ber¨akna ~u · ~u och f¨orklara vad detta tal har att g¨ora med k~uk.
Uppgift 4. L˚at L vara linjen genom punkterna (1, 0, −1) och (2, 3, −5).
(a) Best¨am en parameterframst¨allning av L.
b) Best¨am en parameterframst¨allning av linjen genom origo som ¨ar paralllell med L.
Uppgift 5. Best¨am en parameterform f¨or den linje genom origo i R3 som ¨ar ortogonal mot planet med ekvation x + 2y + 3z = 5.
Uppgift 6. Best¨am en parameterform f¨or planet genom punkterna (1, 2, 0), (2, 1, 1) och (0, −1, 5).
Uppgift 7. Best¨am en parameterform f¨or planet som inneh˚aller b˚ade punkten (1, 1, 0) och linjen med parameterform
x y z
= t
−1 0 2
, t ∈ R.
Uppgift 8. Best¨am en parameterform f¨or en linje som ligger i planet x + y + z = 1 Uppgift 9. Best¨am en parameterform f¨or en linje som inte sk¨ar planet x + y + z = 1 Uppgift 10. L˚at linjen L1ha parameterframst¨allningen
x y z
= t
−1 0 2
, t ∈ R, och l˚at linjen L2 ha parameterframst¨allningen
x y z
=
1 2 2
+ s
−1 2 0
, s ∈ R.
Avg¨or om linjerna L1och L2 sk¨ar varandra.
Uppgift 11. Best¨am alla eventuella sk¨arningspunkter mellan planet x + 2y − z = 1 och linjen med parameterframst¨allning
x y z
=
1 2 2
+ t
−1 2 0
, t ∈ R.
Uppgift 12. L˚at ~u =
1 2 2
och ~v =
−1 1 a
. Best¨am talet a s˚a att vinkeln mellan
~
u och ~v blir r¨at.
Uppgift 13. L˚at ~u =
1 1 0 0
och ~v =
2 0 2 0
. Best¨am vinkeln mellan ~u och ~v.
Uppgift 14. Betrakta planet med ekvation z = 19 − 2x − 3y.
(a) Avg¨or om punkten (2, 1, 12) ligger i planet.
(b) Best¨am en normalvektor till planet.
(c) Best¨am avst˚andet till planet fr˚an punkten (2, 3, 13).
Uppgift 15. Best¨am ekvationen f¨or ett plan som sk¨ar planet x + 2y + 2z = 0 under r¨at vinkel.
Uppgift 16. Skriv upp ett ekvationssystem vars l¨osningar ¨ar sk¨arningspunkterna mellan planen med ekvationer x+y+z = 1 och x+2y+2z = 0. Kan du l¨osa ekvationssystemet och hitta sk¨arningspunkterna?
H¨ar ¨ar n˚agra uppgifter som ¨ar ¨overkurs just nu, men som man m˚aste beh¨arska om ett par veckor:
Uppgift 17. L˚at ~v =1 3
och ~w =−1 5
. Best¨am projektionen av ~v p˚a ~w.
Uppgift 18. L˚at ~v =
1 2 1
. Best¨am projektionen av ~v p˚a linjen genom origo med
riktningsvektor
2 1
−2
.
Uppgift 19. Skriv vektorn ~v = 2 5
som en summa av tv˚a vektorer, den ena parallell med vektorn1
1
och den andra ortogonal mot samma vektor. )
Uppgift 20. Skriv vektorn ~w =
1
−1 2
som en summa av tv˚a vektorer, den ena parallell
med vektorn
1 0 2
och den andra ortogonal mot samma vektor.
Uppgift 21. Best¨am avst˚andet fr˚an punkten (1, 5) till linjen med ekvation y = 3x.
Titta inte i facit f¨orr¨an du har l¨ost uppgifterna s˚a bra du kan!
5. FACIT OCH LOSNINGSTIPS¨ 1. Det finns tv˚a: 3/5
−4/5
och−3/5 4/5
.
2. (a)3 8
2. (b) 1
−2
2. (c)−4
−6
3. ~u · ~u = 14 vilket ¨ar detsamma som k~uk2
4. (a) Till exempel (det finns m˚anga m¨ojliga r¨atta svar)
x y z
=
1 0
−1
+ t
1 3
−4
, t ∈ R.
(b) Till exempel
x y z
= t
1 3
−4
, t ∈ R.
(Du kan kolla ditt svar p˚a (a) genom att se om det finns t-v¨arden som ger de tv˚a punk- terna i uppgiften. Ditt svar p˚a (b) b¨or ha samma riktningsvektor som (a) och samtidigt ge punkten (0, 0, 0) f¨or n˚agot t-v¨arde )
5. Till exempel
x y z
= t
1 2 3
, t ∈ R (Planets normalvektor b¨or bli riktningsvektor f¨or din linje!) 6. Till exempel
x y z
=
1 2 0
+ s
1
−1 1
+ t
−1
−3 5
, s, t ∈ R.
7. Till exempel
8. Till exempel
x y z
=
1 0 0
+ t
−1 1 0
, t ∈ R.
(Ett s¨att att l¨osa uppgiften ¨ar f¨orst hitta tv˚a punkter som ligger i planet och sedan skri- va upp en parameterframst¨allning av linjen genom dessa punkter. Jag tog punkterna (1, 0, 0) och (0, 1, 0) men det finns ju fler... )
9. Till exempel
x y z
= t
−1 1 0
, t ∈ R.
10. Nej. (En eventuell sk¨arningspunkt (x, y, z) m˚aste uppfylla b˚ada parameterframst¨allningarna f¨or n˚agot v¨arde p˚a s och n˚agot v¨arde p˚a t. Speciellt m˚aste x = −t och samtidigt
x = 1 − s, och y = 0 och samtidigt y = 2 + 2s, och z = 2t och samtidigt z = 2.
Dessa villkor g˚ar inte att l¨osa f¨or s och t.)
11. En enda sk¨arningspunkt: (5/3, 2/3, 2). (Eventuella sk¨arningspunkter (x, y, z) m˚aste uppfylla b˚ade planets ekvation och linjens parameterframst¨allning. Man kan allts˚a ta uttrycken f¨or x, y och z p˚a linjen och stoppa in dem i planets ekvation och se om det g˚ar att best¨amma t s˚a att det funkar.)
12. a = −1/2 (Skal¨arprodukten ska bli 0)
13. 60 grader. (Anv¨and att ~u · ~v = k~ukk~vk cos θ. Vilken vinkel ¨ar det som har cosi- nusv¨ardet 1/2?)
14. (a) Ja.
(b) T ex
2 3 1
(c)p7/2
15. Till exempel 2x − y = 0 16.
(x + y + z = 1 x + 2y + 2z = 0 L¨osningarna ¨ar linjen med parameterframst¨allning
x y z
=
2
−1 0
+ t
0
−1 1
, t ∈ R.
17.−7/13 35/13
.
18.
4/9 2/9
−4/9
.
19. 2
5
=7/2 7/2
+−3/2 3/2
20.
1
−1 2
=
1 0 2
+
0
−1 0
21.p2/5
