Att funktionen f avbildar x avbildas på y betecknar vi x → y eller f ( x) = y . Om y  f (x ) säger vi att y är bilden av originalen x.

(1)

FUNKTIONER.

DEFINITIONSMÄNGD OCH VÄRDEMÄNGD.

Definition 1 En funktion (eller avbildning ) från en mängd A till en mängd B är en regel som till några element i A ordnar högst ett element i B.

Att funktionen f avbildar x avbildas på y betecknar vi x → y eller f ( x) = y . Om y  f (x ) säger vi att y är bilden av originalen x.

Att f är en funktion från A till B betecknar vi på följande sätt f : A → B

Mängden A är funktionens startmängd (eng: initial set ) . Mängden B är funktionens målmängd (eng: final set, target set )

B A f : 

y x

Definitionsmängden (eng: domain) D

f

till funktionen f är mängden av alla originaler dvs mängden av alla x på vilka f tillämpas (den gula mängden i grafen).

Värdemängden (eng: range) V

f

är mängden av alla bilder som fås då x genomlöper definitionsmängden, eller mer precis

} :

) (

{

_f

f

f x x D

V   .

Notera skillnaden mellan startmängden och definitionsmängen; värdemängden V och

_f

målmängden B ).

Generellt gäller: D

_f

 och A V

_f

 . B

(2)

Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR

Definitionsmängd

Sida 2 av 11

I envariabelanalys, som standard, gäller följande

överenskommelse:

Om vi inte anger, på explicit sätt, definitionsmängden för en funktion y=f(x), menar vi att funktionens definitionsmängd består av alla reella x för vilka f(x) är ett reellt tal.

Dvs, vi menar att D

f

( i ett sådant fall) är den största möjliga definitionsmängden för f(x).

Exempel 1. Låt f : R → R, där f ( x )  1  x

²

.

För den här funktionen är startmängden= R, målmängden = R, definitionsmängden=[-1,1] och värdemängden =[0,1]

Exempel 2. (Ett diskret exempel) För funktionen f som definieras med hjälp av grafen gäller: f : A  B , startmängden=A= } { 1 , 2 , 3 , 4

målmängden = B  { a , b , c , d , e } , definitionsmängden är D

_f

 { 1 , 2 , 3 } , värdemängden är V

_f

 { c a , } .

================================================================

I den här kursen (Envariabelanalys) betraktar vi reella funktioner y= f(x) av en reell variabel, med andra ord, både x och y är reella tal .

Alltså i vår kurs gäller oftast

f :R  R

För att definiera en funktion f måste vi ange 1. funktionens definitionsmängd D

f.

och

2. ett uttryck y= f(x) ( dvs en regel som till varje x  D

_f

ordnar exakt ett reellt tal f(x) ) . Lägg märke till att vi kan beteckna variabler med andra bokstäver:

T ex, vi betraktar f ( x )  3 x

²

 8 , x  R

och

g ( t )  3 t

²

 8 , t  R

som två lika funktioner

(3)

Funktion

dvs

f {f

V 

Definiti i figuren medan v , 1

 ( V

f

Grafen t definitio Motsvar För varj

Kurvan punkt p punkt p Kurvan motsvar ---

nens värdem

: )

(x x D

f 

ionsmängde n till höger värdemängd

] 8 , 6 [ ) 4

, 

till en funkt onsmängden

rande kurva je x i definit

x1

i figur A är å funktionsk å funktionsk i figur B (e rande punkt ---

mängd V_f är

f} D

en för funkti är D

_f

 ( 1 , 8 den består a

tion, G, är m n, dvs G=

a i xy-plane tionsmängd

figur A

f(x)

r

en funktio kurva. [Om kurvan.]

en ellips) är ter på grafen ---

r mängden av

ionen

f (x ) ]

8

av två interv

mängden av : )) ( , {(x f x t kallas

fun

den

D

f har v

onskurva ( f m x ligger i d

r INTE en fu n.

---

v alla

f

(

x

) d

)

vall

v alla punkt

f} D x .

nktionskurv

vi exakt en p

för varje ree definitionsm

funktionskur

---

då x variera

ter (x, f(x))

va

.

punkt

( x , f

figur

x1

ellt tal x=x1 mängden då

rva ( för mi

ar inom defi

) då x varie

))

(x

på fun

r B

har vi

högs

å har vi

exak

inst ett x=x1

finitionsmän

erar inom

nktionsgrafe

st en

motsv

kt en

motsv

1 har vi min ngden

en.

varande varande

nst

två

(4)

Armin Ha

Två fun (x f y

1

D

D 

T ex y

‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐

RESTRIKT respektiv funktion Med and definitio T ex. Om

2

[ Dg

Exemp

Rita fun

Lösning

Funktio Alltså D Vi ritar

1  

 x

Lägg m tillhör g

Vi ser a Därmed

 y{ V_f

Vi skriv

Exempe

alilovic: EXTR

nktioner : 1

) x D

x 

D

2 och f(x)

2,



x x

‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐

TION AV EN ve B där B



nen f till B.

dra ord, en re onsmängd (

m f(x)



x ]

4 ,

2 då är

pel 1:

nktionen y

g:

onens defini { 

 x R

D_f

den del av p

 2

. märke till att

grafen.

att 0 y 4 d är funktion

0 : 

R y

y

ver på korta

el 2:

RA ÖVNINGA

1 och y



g( ) g(x

 för

] 5 , 1

[ och

‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐

FUNKTION



A. Om f

estriktion g h A B



) .

2 , x

x



me

g restriktio

2,



x där

tionsmängd 2 1 

 x

R

parabeln y

punkten ( 2

4 .

nens värdem }

4 y

are sätt V_f AR

: )

(x x



D alla

x  D

₁ y



x²,

‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐

. Låt f och g ) ( )

(x  g x

har samma r

ed definition nen av funkt

r

 1  x  2

d är mängde }

2 som vi sk

2,



x där

2, 4) inte

mängd

) 4 , 0

[ .

Sida 4 av 11 D 2 ^{är lika om}

.

] 2 , 0

[

x ä

‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐

g vara två fu för alla

x 

regel som f (

nsmängden D tionen f till

2

. Bestäm f

en av alla re kriver på ko r

1

m och endast

r två olika fu

unktioner m

B

säger vi a

( uttryck f(x)=

] 5 , 1

[

Df ,

] 4 , 2

[

funktionens

eella tal x så ortare sätt D

t om

unktioner.

ed definition att g är restri

=g(x) ) men

och g(x)

värdemäng

ådana att

 1

2 , [1

f  D

Definition

nsmängder iktionen av

har en ”min

, )



x²



x

gd.

2 1  x 

.

) 2 .

nsmängd

A

ndre”

med

(5)

Låt y definitio

Lösning

x ä Funktion

Svar : D

Defini

1a)

Föl

y 

3

y  si y  ar

a

x

y 

polynom

1b)

Fu 1c )

y 

1d)

y 

1e )

y

1f )

y

1g ) Pot

I ) Om e

 x. Best onsmängd)

g.

r ett reellt ta nen antar alla

) , 0 [ 

f 

D ,

tionsmän

ljande elem

x

,

y 

⁵

in x

,

rctan x

,

y

,

x där

a 

m ,

y  a

unktionen

y )

 ln(x

är

x

 1

är defin

x yarcsin

arccosx



tensfunktion

exponent a ä

täm funktion och värdem

al om och en a värden y

V_f [0,

ngd för ele

entära funk

x

,

y 

⁷

x y  cos y  arccot

0

t ex

y

x

ⁿ

n

  

x y 

är

r definierad

nierad om

x

är definie är definier

nen

y  x

är positivt he

nens definit mängd. Rita

dast om x

0

)

ementära

ktioner är de

x

,

t x

e

x

y 

,

y

0

1

x a

a 



definierad d om

x  0

 0

x

erad om

 1

rad om

 1 

,

x

a där a är

eltal då är

y

tionsmängd grafen till f

0 .

a funktion

efinierade fö

y  5

x

y

, n är ett n

om

x  0

 1

 x

 1

 x

ett reellt tal

, x

a

y 

def

d ( dvs den funktionen.

ner.

ör

alla reell

x

 

 



  3 2

,

naturligt tal

är definiera

finierad för a

största möjl .

la x

.

d åtminston

alla x

liga

ne för x>0.

(6)

Definitionsmängd

Sida 6 av 11 t ex funktionen

y  x

⁴

,

har

D

_f

 (  ,  )

II ) Om exponent a är negativt heltal då är

y  x

^a

,

definierad för alla

x  0

t ex funktionen

1 ,

4 4

x x

y 

^



är definierad för alla

x  0

III) Om exponent a är ett positivt tal men inte heltal då är

y  x

^a

,

x  0

t ex funktionen ³

,

2

x

y 

x  0

.

III) Om exponent a är negativt tal men inte heltal då är

y  x

^a

,

x  0

t ex funktionen

1 ,

3 / 3 2

2

x x

y 

^



x  0

.

Anmärkning: Lägg märke till att följande två funktioner

y 

³

x

och ³

1

x

y 

inte har samma definitionsmängd:

3

x

y 

är definierad för alla x även negativa, t ex ³

 8   2

medan ³

,

1

x

y 

är definierad för

x  0

. De två funktioner är lika endast för

x  0

.

Alltså ³

1

3

x  x

är korrekt endast om

x  0

!!!

Exempel 3: Bestäm definitionsmängden till

x x

e x x

x x

y  5

³

 2  8  3 sin  4 cos 

^x

 arctan  arccot

Svar :

D_f  (, )  R (R= mängden av alla reella tal)

(7)

2.

Fun

Exempe Lösning

Svar: D

Exempe Lösning

Svar: D

Exempe Lösning

Svar:

F

3.

Fun

Exempe Lösning Svar:

D

4.

Den

ktionen

y

el 4:

Bestä

g.

x  3 

) , 3 [ 

f 

D

el 4:

Bestä

g.

x² 3

, ( 

f  D

el 5:

Bestä

g.

sin x 

Funktionen ä

nktionen

y

el 6.

Best

g.

x²



4

, ( 

f  D

rationella f

) (x

 u

äm definitio

3 0  x 

äm definitio

0. för alla

)

äm definitio

 2 k

0  

är definierad

( ln( x u



äm definitio 0

  



x

) , 2 ( )

2  



funktionen

y

är definiera

onsmängden .

onsmängden x.

onsmängden

 k x   2



om

2 k   x

))

är defini

onsmängden



2 eller )

) (

x q

x y  p

ad om u(x)

n till

y 

n till

y 

n till

y 



k

där k 



 k x   2

ierad om (u

n till

y  ln



2 x ,

är definier

0.

 3 x

2

 3 x

sin x

 , 2 1 0 



där k 0

0 ) (x  .

) 4 n( x

²



rad om (xq

 , 2 1



0 ) .

(8)

Definitionsmängd

Sida 8 av 11

Exempel 7. Bestäm definitionsmängden till

9 4

2 2



  x y x

Svar:

Funktionen är definierad om

x   3

5. Funktionen

x x x

y cos

tan  sin

 är definierad om cos x  0

,

dvs om

 

k x 

2

6. Funktionen

x x x

y sin

cot  cos

 är definierad om sin x  0

,

dvs om

x  k 

Exempel 7. Bestäm definitionsmängden till y  tan( x 3 )

Lösning.

cos( x3 ) 0

 

k x 

3 2



3 6



k

x 

Svar:

Funktionen är definierad om

3 6



k

x 

7. Funktionen y  arcsin( x u ( )) är definierad om

1

) (

1 

 u x

8. Funktionen y  arccos( x u ( )) är definierad om

1

) (

1 

 u x

Exempel 8.

Bestäm definitionsmängden till

)

arccos( 3 x

y 

(9)

Lösning. 1 3 3 1 3

3 1

1          

 x x x

Svar:

D_f [3,3]

Exempel 9.

Bestäm definitionsmängden till funktionen

3 4

³

 



 x

x x

y

.

Lösning:

a) Funktionen är definierad om

0 3 4

³



 x

x

.

0 3

4x

3 ^{– 0 +} ⁺ ⁺

3

x ^{– – –} ⁰ ⁺

3

4

³

 x

x

^{+ 0 –} ^ej

def

+

Definitionsmängden :

D

_f

 (  , 0 ]  ( 3 ,  )

Exempel 10.

Bestäm definitionsmängden för

x x

x y x

3 ) 5 6 ln(

2 2



 

Lösning:

b) Villkor :













0 3

0 5

6

2 2

x x

x

3 0

) (

0 ) 3 ( 0 3

5 1

) (

0 ) 1 )(

5 ( 0 ) 1 )(

5 ( 0 5

6

2





































x eller x

ium teckenstud x

x x

x

x ium

teckenstud x

x x

x

(10)

Definitionsmängd

Sida 10 av 11

Båda villkoren är uppfyllda för 3 x5. Svar: 3 < x < 5

Exempel 11.

Bestäm definitionsmängden för funktionen

f ( x )  ln( 3  x )  arcsin( x  2 )  e

^x

 3 sin x

Lösning:

Villkor 1:

3x0 x3 Villkor 2:

3 1

1 2 1











 x

x

Villkor 1 och 2 ger: 1 x 3 Svar: 1 x3

Exempel 12.

f ( x )  ln( 2  x )  arccos( x  2 )  4 x  4 cos x

Lösning:

Villkor 1:

2x0 x2 Villkor 2:









1 x 2 1

( vi adderar +2)

3 1  x 

Villkor 1 och2 ger: 1 x2 Svar: 1 x2

Exempel 13.

f ( x )  ln( x  3 )  32  2 x

²

 e

⁶^²^x

(11)

Svar: 3 x4

Exempel 14.

f ( x )  x  2  ln( 50  2 x

²

)  sin( x  4 )  arctan x

Svar: 2 x5