Periodisk summa av sinusar

Fö 3-4 – Periodiska signaler, Fourierserieanalys

1

Periodisk summa av sinusar

Exempel ‒

test av periodicitet:

Låt x ( ) t ^{= Asin ( ω}

^{t + α ) + Bsin ( ω}

^{t + β ) .} Om ω

ω

^{∈! ⇔ x} ( ) t ^{är T} -periodisk, dvs. x ( ) t ^{= x} ( ) ^{t +T}

med T = 2 π

ω

, där ^ω

= SGD ω (

, ω

)

= Greatest Common Devisor (GCD)

x

( )

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

w(t) = 2sin

( )

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

z(t) = cos 2π 3 ^{t −}

π 2

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ ^{+ 7sin} π^t + π 3

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎧

⎨

⎪⎪

⎪

⎪⎪

⎪⎪

Fö 3-4 – Periodiska signaler, Fourierserieanalys

2

Summa av cos/sin

x

( )

rödkurva

! = 3sin ^6t + π 3

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

blå kurva

"$$#$$%

+ 2cos 10t − 3π 4

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

grön kurva

"$$#$$%

ω_a

ω_b = 6

10 ∈! ⇒

ω₁ = SGD 6,10

( )

⇒ T = 2π

ω₁ = π sek

⎧

⎨

⎪⎪

⎪

⎩

⎪⎪

⎪

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

Fö 3-4 – Periodiska signaler, Fourierserieanalys

3

Fourierserieutveckling av periodiska signaler ( ) ( ) ( )

En fysikalisk periodisk signal ,

dvs. , kan uttryckas

som följande summa av sinusar:

-

T x t

x t = x t T+

x t ( ) ^{= X}

^{+ X ˆ}

^{sin k} ( ^ω

^{t + ϕ}

)

k=1

∑

( )

ω₁ = 2πf₁: grundvinkelfrekvens f₁ = 1

T : grundfrekvens

X₀: medelvärdesnivå

Xˆ₁sin

(

)

Xˆ_k sin k

(

)

⎫

⎬⎪

⎭⎪ deltoner

T = 2π ω₁

Fö 3-4 – Periodiska signaler, Fourierserieanalys

4

Ex: Approximation av fyrkantvåg

6

2 1 4 3

5 _{# terme}^r

x t

k N

( ) =

∑

^!

Gibbs fenomen

6

2 1 4 3

5

Fö 3-4 – Periodiska signaler, Fourierserieanalys

5

Fourierserieutveckling

JAVA-demo:

Generering av periodiska signaler med hjälp av (co)sinusformade basfunktioner:

www.falstad.com/fourier

OBS – testa även detta själv!

Fö 3-4 – Periodiska signaler, Fourierserieanalys

6

Spektrum ‒ grafisk frekvensbeskrivning av signal

m k ϕ_m

Enkelsidigt amplitudspektrum resp. fasspektrum

X ˆ

sin ( m ω

t + ϕ

)

Dubbelsidigt amplitudspektrum resp. fasspektrum

m k Xˆ_m

k –m

m

argC_−m

argC_m

–m m k

C_−m C_m

Delton m har vinkelfrekvens mω₁

= X ˆ

2 e

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

C_m

! " # # ## $ ⋅e

+ X ˆ

2 e

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

Cm∗ =C_−m

! ## " ## $ ⋅e

Fö 3-4 – Periodiska signaler, Fourierserieanalys

7

Spektrum ‒ grafisk frekvensbeskrivning av signal

Enkelsidigt

komplext spektrum

mω₁ ω

Xˆ_me^jϕm

( m k ) ( m k )

Dubbelsidigt

komplext spektrum

–mω₁ mω₁ ω

Antingen ω -axel eller k-axel

C_−m C_m

X ˆ

sin ( m ω

t + ϕ

)

= X ˆ

2 e

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

C_m

! " # # ## $ ⋅e

+ X ˆ

2 e

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

Cm∗ =C_−m

! ## " ## $ ⋅e

X ˆ

sin ( m ω

t + ϕ

)

= X ˆ

2 e

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

C_m

! " # # ## $ ⋅e

+ X ˆ

2 e

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

Cm∗ =C_−m

! ## " ## $ ⋅e

Fö 3-4 – Periodiska signaler, Fourierserieanalys

8

Fourierserieutveckling, sammanfattn:

x(t) = C

e

k=−∞

∑

^{= X}

^{+ X ˆ}

^{sin(k ω}

^{t + ϕ}

⁾

∑

X

= C

= 1

T x(t)dt

α α+T

∫

ˆ X

= 2 C

ϕ

= argC

+ π 2

Amplitudspektrum

Fasspektrum Samband:

Komplexa fourierserie- koefficienter

C

= 1

T x(t)e

α

α +T

∫ ^dt

där

Lasse Alfredsson:

X₀ = Medelvärdet

(liksp-/-strömskomponenten)

Centralt för fourierserieteorin är att de trigonometriska funktionerna bildar ett ON-system när man betraktar dem som vektorer i det lineära rummet av periodiska integrabla funktioner.

Detta tas åtminstone upp i Y:s Fourieranalyskurs!

Vad tas upp i I:arnas Transformkurs?

x t ( ) reellvärd

⇔ C

= C

Grundvinkelfrekvens ω₁ = 2π T

Fö 3-4 – Periodiska signaler, Fourierserieanalys

9

LTI-system: periodiskt in ⟹ periodiskt ut

C

= C

jk ω

Stabilt LTI-system

x(t) = C

e

k=−∞

∑

^{y(t) =}

^∑

^C

^{⋅H e} { }

Ex.1: y(t) = x t − t ( )

^{= C}

^e

^{( )}

⁼

k=−∞

∑

^C

^e

D_k

! " # # $ e

k=−∞

∑

Ex.2: y(t) = ′ x t ( ) ^{= C}

^{d e} ( )

dt =

k=−∞

∑

^{jk ω}

^⋅C

D_k

! " # $ # e

k=−∞

∑

Ex. 2 ⟹ Allmänt samband:

C

för den periodiska signalen x(t) kan

erhållas från C för derivatasignalen x’(t):

= Tavlan = D

e

k=−∞

∑

Fö 3-4 – Periodiska signaler, Fourierserieanalys

10

Kretsberäkningar ( här söks y(t) )

1. Fourierserieutveckla källsignalerna (t.ex. en källa ) x(t)

R , jk ω

L, 1 jk ω

C X ˆ

sin(k ω

^t + ϕ

⁾ → X

= ˆX

e

2. Använd likströmsteori för källornas medelvärden ( ) X

⇒ Y

3. Använd j ω -metoden för källornas deltoner:

Y

= ˆ Y

e

⟹ Delton k: y

(t) = ˆ Y

sin(k ω

t + ψ

)

4. Superposition ger tidsuttrycket för sökt storhet:

Beräkna sökt storhet på komplex form:

y(t) = Y

+ y

(t)

k=1

∞∑

= Y

+ Y ˆ

sin(k ω

t + ψ

)

k=1

∞∑

Lasse Alfredsson:

Poängtera repetition:

x_k(t)=Im{X_k*e^jkw₁^t}

Lasse Alfredsson:

Poängtera att här beaktar vi endast periodiska signaler !

Lasse Alfredsson:

Linjärt nät => jw-metoden

jw-metoden (sinussignaler):

¤ Ersätt 1) källor m. kompl. storh.

2) passiva kretselem. m.

komplexa impedanser

¤ Beräkna sökt komplex storhet m.h.a. likströmsteori

¤ Omvandla till motsv. tidsuttryck

Fö 3-4 – Periodiska signaler, Fourierserieanalys

11

Signalmedeleffekt

P = X

= 1

T x(t)

dt

α α +T

∫

Signal(medel)effekten P är ett storleksmått för en T-periodisk signal x(t)

( jämför med elektrisk aktiv effekt ):

Parsevals formel/teorem:

1

T x(t)²dt = X_e² = X₀² + Xˆ_ke²

k=1

∑

T

∫

∑

k=−∞

∑

P = 1

T x(t)

T

∫ ^{dt = C}

k=−∞

∑

Bevis (kolla själv!):

Fö 3-4 – Periodiska signaler, Fourierserieanalys

12

Fourieranalys & fouriersyntes

x(t) och ω

(eller T) är givna. Bestäm

C

= 1

T x t ( ) ^e

^dt

T

∫

Signalens frekvensspektrum, dvs. C

ritad som funktion av k, frekvens f eller vinkelfrekvens ω , är ofta av intresse.

Vanligen ritar man då amplitudspektrum och fasspektrum:

t

x(t) T

–f₁

f₁ –3f₁

3f₁

5f₁

7f₁ –5f₁

–7f₁

arg C

|C

|

k·f₁ –f₁ f₁

–3f₁ 3f₁ 5f₁ 7f₁ –5f₁

–7f₁

k·f₁

k k*

C

= C

Fourieranalys:

C

Fö 3-4 – Periodiska signaler, Fourierserieanalys

13

Fourieranalys & fouriersyntes

T

|C

|

k·f₁ –f₁ f₁

–3f₁ 3f₁ 5f₁ 7f₁ –5f₁

–7f₁

k·f₁ –f₁

f₁ –3f₁

3f₁

5f₁

7f₁ –5f₁

–7f₁

arg C

Fouriersyntes:

C

och ω

(eller T) är givna. Bestäm/skapa

x t

( )

k=−∞

∑

I praktiska sammanhang nöjer man sig med en approximation:

x_M

( )

k=−M

∑

1 1

, , , ,

M M M M

C

C

K C

C

x_M

( )

( )

t