FMS032: MATEMATISK STATISTIK AKFÖR V
EXEMPEL PÅ DUGGAUPPGIFTER, AVSNITT SANNOLIKHETSTEORI
UPPGIFTER
Kortare uppgifter
1. På en arbetsplats skadas 1% av personalen under ett år. 40% av alla skadade var kvinnor. 30% av de anställda var kvinnor. Vad är sannolikheten att en kvinnlig anställd råkar ut för en skada enligt denna undersökning?
2. Längderna (m) hos olika typer av plankor (A, B och C) anses vara normalfördelade med följande väntevärden och varianser:
Typ µ σ2
A 2 0.2
B 1 0.1
C 3.2 0.2
Man tar slumpmässigt en planka av varje typ. Vad är sannolikheten att den sammanlagda längden hos A- och B-plankorna överstiger C-plankans längd?
3. För att kontrollera en tillverkningsprocess stoppar man bandet och väljer på måfå 15 enheter som man undersöker. Om fler än 2 av dessa är defekta justeras processen. Vad är sannolikheten att proces- sen justeras om felsannolikheten för en tillverkad enhet är 0.05 och enheter blir defekta oberoende av varandra?
4. Antalet rapporterade fel från en produktionsprocess under ett dygn anses vara poissonfördelat. I genomsnitt inträffar 3.2 fel per dygn. Vad är sannolikheten att att antalet fel överstiger 5?
5. (Forts. på 4) Tiden mellan två fel är exponentialfördelad med väntevärde 7.5 (timmar). Vad är san- nolikheten att det dröjer mer än 10 timmar mellan två rapporterade fel?
6. En grov modell för fosforhalten i den östra delen av en sjö är att den är normalfördelad med väntevär- de 6 och varians 9. Fosforhalten i den västra delen antas också normalfördelad men med väntevärde 2 och varians 4. Vad är sannolikheten att fosforhalten i ett prov från den östra delen understiger fosforhalten i ett prov från den västra delen?
7. (Forts. på 6) Vad är sannolikheten att medelvärdet av fyra prov från den östra delen överstiger 8?
8. (Forts. på 6 och 7) Ibland händer det att ett prov hanteras fel och måste slängas. Detta inträffar med sannolikheten 0.1 för ett prov och proven antas oberoende. Vad är sannolikheten att bland de fyra proven från östra delen finns det minst tre som kan användas?
9. Antalet samtal till ett företags callcenter under en tiominutersperiod antas vara Poissonfördelat med väntevärde 1.2. Vad är sannolikheten att det kommer fler än ett men färre än fyra samtal under perioden 9.30 – 9.40?
10. (Forts. på 9) Om det kommer många samtal under en tiominutersperiod får kunderna förstås vänta i telefon. Sannolikheten för kö antas vara 0 om antal samtal är ett och 0.5 om antal samtal är två.
Kommer det fler än två samtal blir det alltid kö. Vad är sannolikheten att det blir kö under en slumpmässigt vald tiominutersperiod?
11. Till ett större evenemang får varje person köpa max tre biljetter. En person som kommer till kassan köper en biljett med sannolikheten 0.2 och två biljetter med sannolikheten 0.7. Vad är väntevärde och varians för antalet biljetter som en person köper?
12. När sidan hos en kub bestäms kommer bestämningen att variera enligt en stokastisk variabel med väntevärde 0.9 (dm) och varians 0.1. Ange de approximativa värdena på väntevärde och varians hos kubens volym som man får med hjälp av Gauss approximationsformler.
13. Beräkna P (Ac| B) om P (A) = 0.5, P (B) = 0.3 samt P (A ∪ B) = 0.6.
14. Bestäm medianen till ξ om f(x) = 1/x2, x > 1.
15. Den stokastiska variabeln ξ har täthetsfunktionen (frekvensfunktionen) f (x) = 1
2(1 + θx), −1 ≤ x ≤ 1 där −1 ≤ θ ≤ 1. Beräkna väntevärdet av ξ.
16. Inför en intervjuundersökning på gator och torg tränade en organisation sina ja-sägande medlemmar i att bli utvalda för att bli intervjuade. På så vis lyckades organisationen få upp sannolikheten för att en slumpvis utvald person var en tränad medlem till 0.35 Bland övriga stadsbesökare den dagen var endast 10% positiva till intervjufrågan. Beräkna sannolikheten att en slumpvis utvald stadsbesökare den dagen svarade ja.
17. Om ξ ∈ Bin(5, 0.5) och η ∈ P o(6) samt ξ och η är oberoende, vad är då P (ξ + η = 1)?
18. För händelserna A och B gäller att P (A) = 0.35, P (B|A) = 1 och P (B|Ac) = 0.10. Beräkna P (B).
19. Om f(x) = 2/x3för x ≥ 1 och 0 annars, vad blir då E(ξ)?
20. Den stokastiska variabeln ξ antar värdena 3, 7 och 8 med sannolikheterna 0.3, 0.6 resp. 0.1. Beräkna väntevärdet av ξ.
Mer omfattande uppgifter
21. Byggelement av en viss sort kan vara behäftade med fel av två typer, typ I med sannolikheten 0.05 och typ II med sannolikheten 0.10. Ett byggelement kan vara behäftat med fel av båda typerna sam- tidigt. De två feltyperna antas förekomma oberoende av varandra. Ett byggelement måste kasseras om minst en av feltyperna förekommer.
(a) Bestäm sannolikheten för att ett element måste kasseras.
(b) En byggmästare köper 20 av ovanstående byggelement. Vad är sannolikheten att han måste kassera minst 2 stycken?
22. Ett bostadsområde planeras för 1000 hushåll och man funderar på hur många parkeringsplatser för de boende man ska planera. En undersökning visar att antalet bilar per hushåll är 0, 1 eller 2 med sannolikheten 0.3, 0.6 respektive 0.1. Antal bilar per hushåll är oberoende.
(a) Beräkna väntevärde och varians för antalet bilar hos ett slumpmässigt valt hushåll.
(b) Vad är sannolikheten att de 1000 hushållen totalt kommer att ha mer än 850 bilar?
(c) Hur många parkeringsplatser ska man planera om sannolikheten att alla bilar ska få plats ska minst vara 95%?
(d) Vad är sannolikheten att de tre hushållen i trappuppgång 28C tillsammans har fler än 4 bilar?
23. Vi ställer till med fest. I genomsnitt gäller att var fjärde gäst inte tar någon snaps alls, hälften dricker en snaps och var sjunde tar två. Resten klämmer i sig tre snapsar.
(a) Ange sannolikhetsfunktionen för det antal snapsar en slumpvis vald gäst dricker.
(b) Vad är väntevärde och varians för det antalet snapsar en slumpmässigt vald gäst dricker?
(c) Vi bjuder 98 slumpmässigt valda gäster till festen. Vi köper sprit så att det räcker till precis etthundra snapsar. Beräkna approximativt sannolikheten att någon får svaret ”Tyvärr, snapsen är slut!” när han eller hon vill ha en till.
24. Vid en trottoar skall sättas kantstenar vilkas längd (i meter) kan anses vara likafördelade och obe- roende slumpvariabler med väntevärdet 0.5 och standardavvikelsen 0.2. Stensättaren hinner under en dag med 100 stenar. Bestäm approximativt sannolikheten att den sammanlagda längden av dessa stenar överstiger 49 meter.
LÖSNINGAR
Kortare uppgifter
1. P(skada)=0.01; P(kvinna)=0.3; P(kvinna|skada)=0.4 P(skada|kvinna)= P(skada∩kvinna)
P(kvinna) = P(kvinna|skada)P(skada)
P(kvinna) = 0.40.3·0.01 = 0.0133.
2. ξA∈ N 2,√ 0.2
; ξB∈ N 1, √ 0.1
; ξC ∈ N 3.2, √ 0.2 ξA+ ξB− ξC ∈ N 2 + 1 − 3.2,√
0.2 + 0.1 + 0.2
=N −0.2, √ 0.5 P(ξA+ ξB− ξC > 0)=1−Φ(0−(−0.2)√0.5 ) = 1− 0.6103 = 0.3897
3. ξ - antalet defekta ∈ Bin(15, 0.05)
P(ξ > 2)=1−P(ξ ≤ 2) = 1 − 0.96328 = 0.0362.
4. ξ-antalet rapporterade fel ∈ Po(3.2) P(ξ > 5)=1−P(ξ ≤ 5)=1−0.8946=0.1054.
5. Om ξ-”tiden mellan två fel” är exponentialfördelad med väntevärde 7.5 är motsvarande frekvens- funktion (täthetsfunktion) f(x) = 7.51 e−7.5x , x > 0.
P (ξ > 10) =R∞
10 1
7.5e−7.5x dx = [−e−7.5x ]∞10= e−7.510 = 0.2636.
6. ξ1– P-halt i ett prov från östra delen, ξ1∈ N (6, 3);
ξ2– P-halt i ett prov från västra delen, ξ1 ∈ N (2, 2) P(ξ1 < ξ2)=P(ξ1− ξ2< 0), men eftersom ξ1− ξ2∈ N
6− 2,√
32+ 22
=N 4, √ 13
så är P(ξ1− ξ2< 0)=Φ(0√−413) = 1− Φ(√413) = 1− 0.8665 = 0.1335
7. Om ξ1, . . . , ξ4är de fyra proven gäller att ¯ξ∈ N 6, √3
4
. P(¯ξ > 8)= 1−Φ(81.5−6) = 1−0.9082 = 0.0918
8. ξ=antal prov av de fyra som måste slängas, ξ ∈ Bin(4, 0.1). P(minst tre kan användas)=P(ξ ≤1)=0.9477 9. ξ-antalet samtal, ξ ∈ Po(1.2). P(1 < ξ < 4) = P (ξ ≤ 3) − P (ξ ≤ 1) = 0.9662 − 0.6626 =
0.3036
10. ξ-antalet samtal, A-kö. P(A)=P∞
i=0P (A|ξ = i) · P (ξ = i) = P (A|ξ = 0) · P (ξ = 0) + P (A|ξ = 1) · P (ξ = 1) + P (A|ξ = 2) · P (ξ = 2) +P∞
i=3P (A|ξ = i) · P (ξ = i).
Men eftersom P (A|ξ = 0) = P (A|ξ = 1) = 0, P (A|ξ = 2) = 0.5 och P (A|ξ = i) = 1 då i ≥ 3 gäller att P (A) = 0.5 · P (ξ = 2) + P (ξ ≥ 3) = 0.5(P (ξ ≤ 2) − P (ξ ≤ 1)) + 1 − P (ξ≤ 2) = 0.5 · (0.8795 − 0.6626) + 1 − 0.8795 = 0.2289
11. ξ-antal köpta biljetter; P (ξ = 1) = 0.2; P (ξ = 2) = 0.7; P (ξ = 3) = 0.1.
E(ξ) = 1· 0.2 + 2 · 0.7 + 3 · 0.1 = 1.9
V (ξ) = (1− 1.9)2· 0.2 + (2 − 1.9)2· 0.7 + (3 − 1.9)2· 0.1 = 0.29 12. ξ-sidan av kuben; E(ξ) = µ = 0.9, V (ξ) = 0.1. g(x) = x3, g0(x) = 3x2.
Enligt Gauss approximationsformler E(g(ξ)) ≈ g(µ) = µ3 = 0.93= 0.729 V (g(ξ))≈ [g0(µ)]2· V (ξ) = [3µ2]2· V (ξ) = [3 · 0.92]2· 0.1 = 0.5905
13. P (A) = 0.5, P (B) = 0.3, P (A ∪ B) = 0.6. Additionsformeln P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A∩ B) ger först sannolikheten för snittet
P (A∩ B) = P (A) + P (B) − P (A ∪ B) = 0.5 + 0.3 − 0.6 = 0.2 P (Ac| B) = 1 − P (A | B) = 1 − P (A∩ B)
P (B) = 1− 0.2 0.3 = 1
3 Alternativt kan man räkna ”direkt”
P (Ac| B) = P (Ac∩ B)
P (B) = [Rita venn-diagram] = P (B)− P (A ∩ B)
P (B) = 0.3− 0.2
0.3 = 1
3 14. Medianen x0.50 delar täthetsfunktionens area i två lika stora delar.
1
2 =
Z x0.50
−∞
f (x) dx = Z x0.50
1
1 x2 dx =
−1 x
x0.50
1
= 1− 1 x0.50
=⇒ x0.50= 2 15. Väntevärdet av ξ blir
E(ξ) = Z ∞
−∞
x fX(x) dx = Z 1
−1
x1
2(1 + θx) dx = 1 2
x2 2 +θx3
3
1
−1
=
= 1
2
12
2 +θ· 13
3 −(−1)2
2 −θ· (−1)3 3
= 1 2· 2θ
3 = θ 3
16. P (ja) = P (medlem)P (ja|medlem) + P (ej medlem)P (ja|ej medlem) = 0.35 · 1 + 0.65 · 0.1 = 0.415.
17. P (ξ + η = 1) = P (ξ = 0, η = 1) + P (ξ = 1, η = 0) =
P (ξ = 0)P (η = 1) + P (ξ = 1)P (η = 0) = (0.5)5 · 6e−6 + 5(0.5)5 · e−5 = 11e−6/32 = 8.52 10−4.
18. P (B) = P (A)P (B|A) + P (Ac)P (B|Ac) = 0.35· 1 + 0.65 · 0.1 = 0.415., d.v.s. samma beräkningar som i uppgift 16.
19. E(ξ) =R∞
1 x2/x3dx = [−2/x]∞1 =−0 + 2/1 = 2.
20. E(ξ) = 3 · 0.3 + 7 · 0.6 + 8 · 0.1 = 5.9.
Mer omfattande uppgifter
21. (a) P(fel av typ I)=0.05; P(fel av typ II)=0.10; Vi söker P(ett element kasseras)=P(fel av typ I ∪ fel av typ II)=
P((fel av typ I) + P(fel av typ II) − P(fel av typ I ∩ fel av typ II).
Eftersom felen uppträder oberoende av varandra gäller
P(fel av typ I ∩ fel av typ II)=P(fel av typ I)·P(fel av typ II)=0.05·0.10=0.005, vilket ger P(ett element kasseras)=0.05+0.10−0.005=0.145.
(b) ξ - antal element av de 20 som måste kasseras ∈ Bin(20, 0.145).
P(minst 2 kasseras)=P(ξ ≥ 2)=1−P(ξ ≤ 1)= 1−(200 )0.14500.85520−(201 )0.14510.85519= 0.8086.
22. ξ-antal bilar ett slumpmässigt valt hushåll har;
p0=P(ξ = 0)=0.3, p1=P(ξ = 1)=0.6, p2=P(ξ = 2)=0.1.
(a) E(ξ)=0 · p0+ 1· p1+ 2· p2 = 0· 0.3 + 1 · 0.6 + 2 · 0.1 = 0.8.
V(ξ)=(0 − 0.8)2· p0+ (1− 0.8)2· p1+ (2− 0.8)2· p2 = (0− 0.8)2· 0.3 + (1 − 0.8)2· 0.6 + (2− 0.8)2· 0.1 = 0.36.
(b) Om ξiär antal bilar som hushåll i har, söker vi P(P1000
i=1 ξi> 850).
Enligt centrala gränsvärdessatsen gäller attP100
i=1ξi∈∼N 1000 · 0.8, √
1000· 0.36
= N 800,√
360
. Vi har alltså P(P1000
i=1 ξi> 850) = 1− P(P1000
i=1 ξi ≤ 850) ≈ 1 − Φ(850√−800360 ) = 0.0042.
(c) Bestäm n så att 0.95≤ P (P1000
i=1 ξi ≤ n) ≈ 1 − Φ(n−800√360 ).
Med utnyttjande av normalfördelningens kvantiler får vi (skissa på papper!) att n√−800
360 ≥ λ0.05, vilket är identiskt med att n ≥ 800 + λ0.05
√360 = 831.21. Man ska alltså planera för 832 platser.
(d) Om antalet bilar totalt i de tre hushållen ska överstiga 4 måste samtliga hushåll ha 2 bilar vardera eller två av hushållen 2 bilar var och det återstående 1 bil. I det senare fallet kan den enstaka bilen placeras på tre olika sätt. Eftersom antalet bilar per hushåll är oberoende får vi P(ξ1+ ξ2+ ξ3 > 4) =
P (ξ1 = 2)· P (ξ2 = 2)· P (ξ3 = 2) + 3· P (ξ1 = 1) · P (ξ2 = 2) · P (ξ3 = 2) = 0.13+ 3· 0.6 · 0.1 · 0.1 = 0.0190.
23. (a) Låt ξ vara antalet snapsar en slumpvis vald gäst tar. Sannolikhetsfunktionen för ξ är given i uppgiften:
k 0 1 2 3
p(k) 14 12 17 283 där p(3) = 1 − (p(0) + p(1) + p(2))
(b) Väntevärde och varians för ξ
E(ξ) = X
k
kp(k) = 0· 1
4 + 1· 1
2 + 2· 1
7+ 3· 3 28 = 31
28 ≈ 1.1071 E(ξ2) = X
k
k2p(k) = 02· 1
4+ 12· 1
2 + 22· 1
7 + 32· 3 28 = 57
28 ≈ 2.0357 V (ξ) = E(ξ2)− E(ξ)2= 635
784 ≈ 0.8099
(c) Vi bjuder 98 slumpvis valda gäster. Sannolikheten att 100 snapsar inte räcker till alla 98 söks.
Låt η = P98
i=1ξi där ξiär fördelade enligt a). Enligt CGS är då η approximativt normalför- delad.
E(η) = nE(ξi) = 98· 31
28 ≈ 108.5 V (η) = nV (ξi) = 98· 635
784 ≈ 79.375 η ∈∼ N (108.5,√
79.375) P (η > 100) = 1− P (η ≤ 100) ≈ 1 − Φ
100√− 108.5 79.375
≈
≈ 1 − Φ(−0.9541) ≈ Φ(0.95) ≈ 0.8289 24. Sätt ξilika med längd i meter på kantsten nr i. Låt
η = X100 i=1
ξi,
dvs sammanlagda längden av 100 stenar som en stensättare hinner med på en dag. ξ1, ξ2, . . . , ξnär oberoende och likafördelade och n = 100 är ganska stort. Alltså säger centrala gänsvärdessatsen att ηär ungefär normalfördelad.
E(η) = E(
X100 i=1
ξi) = X100
i=1
E(ξi) = 100· 0.5 = 50.
V (η) = V ( X100
i=1
ξi) |{z}= oberoende
X100 i=1
V (ξi) = 100· 0.22 = 4.
Alltså η∈∼N (50, 2) och
P (η > 49) = P (η− 50
2 > 49− 50
2 )≈ 1 − Φ(−0.5) = Φ(0.5) = 0.6915.
