Ove Edlund Inge S¨ oderkvist

Tentamen i Statistik 2: slumpmodeller och inferens Kurskod S0007M

Po¨ ang: 25 (5 uppgifter) Tentamensdatum 2012-05-28

Skrivtid 09.00 – 14.00 L¨ arare: Lars Bergstr¨ om

Ove Edlund Inge S¨ oderkvist

Till˚ atna hj¨ alpmedel: Kursboken: Moore/McCabe/Craig, anteckningar, minir¨ aknare

T¨ ank p˚ a att redovisa dina l¨ osningar p˚ a ett klart och tydligt s¨ att och motivera resonemangen.

F¨ or godk¨ ant kr¨ avs 12 p

LYCKA TILL!

Uppgift 1

a) En tentamen avslutas med 15 st flervalsfr˚ agor. F¨ or varje s˚ adan fr˚ aga finns fem svarsalternativ varav ett alternativ ¨ ar r¨ att. Olle har dispone- rat tiden fel och n¨ ar tentamenstiden n¨ astan ¨ ar slut uppt¨ acker han att han inte svarat p˚ a dessa fr˚ agor. Han hinner inte l¨ asa fr˚ agorna, utan kryssar i ett svarsalternativ f¨ or varje fr˚ aga helt slumpm¨ assigt. Ber¨ akna sannolikheten att Olle f˚ ar h¨ ogst 3 r¨ att p˚ a dessa 15 fr˚ agor. (2p) b) Av erfarenhet vet man 35 % av br¨ adorna fr˚ an ett s˚ agverk ¨ ar av h¨ ogsta

kvalitet. Vi plockar slumpm¨ assigt ut 150 br¨ ador fr˚ an detta s˚ agverk.

Anv¨ and normalapproximation f¨ or att ber¨ akna ett approximativt v¨ arde p˚ a sannolikheten att vi f˚ ar minst 60 br¨ ador av h¨ ogsta kvalitet ? (3p)

Uppgift 2

Av en f¨ argtillverkares produktion utg¨ ors 60 % av utomhusf¨ arg och 40 % av inomhusf¨ arg. Det ¨ ar 2 % sannolikhet att utomhusf¨ arg f˚ ar felaktig sam- mans¨ attning. F¨ or inomhusf¨ argen ¨ ar motsvarande sannolikhet 1 %. Givet att en f¨ argburk har felaktig sammans¨ attning, vad blir sannolikheten att det ¨ ar

inomhusf¨ arg? (5 p)

1

Uppgift 3

Man har funnit att andelen som anv¨ ander ett visst tv¨ attmedel ¨ ar 15 %. Efter en reklamkampanj f¨ or tv¨ attmedlet har en unders¨ okning omfattande 1750 deltagare givit att 297 av deltagarna anv¨ ander tv¨ attmedlet. Visar resultatet, p˚ a signifikansniv˚ an 0.05, att andelen som anv¨ ander tv¨ attmedlet har ¨ okat?

Tips: T¨ ank noga igenom vilka hypoteser som ¨ ar l¨ ampliga i sammanhanget. (5 p)

Uppgift 4

Man har slumpm¨ assigt valt ut och m¨ att 150 granar i ett omr˚ ade och kom- mit fram till att den genomsnittliga l¨ angden p˚ a tr¨ aden i urvalet ¨ ar 7 meter och att urvalets standardavvikelsen ¨ ar 1.2 meter. I ett annat omr˚ ade m¨ attes 100 slumpm¨ assigt utvalda granar av samma sort och den genomsnittliga l¨ angden blev 6.8 meter med standardavvikelsen 1.4 meter. Best¨ am ett 95 % konfidensintervall f¨ or skillnaden i l¨ angd hos granarna i de tv˚ a unders¨ okta omr˚ adena. Ange vilka approximationer du g¨ or och motivera eventuella an-

taganden. (5 p)

Uppgift 5

Olika typer av fel p˚ a hus har studerats f¨ or hus byggda av entrepren¨ or A och entrepren¨ or B. Felen har delats in i grupperna fel p˚ a husgrunden, fel p˚ a ytskiktet, fel p˚ a f¨ onster samt annat. Resultaten f¨ or antalet fel har samman- st¨ allts i f¨ oljande tabell:

Entrepren¨ or A Entrepren¨ or B

Fel p˚ a husgrunden 95 103

Fel p˚ a ytskiktet 87 91

Fel p˚ a f¨ onster 60 32

Annat fel 52 73

Indikerar resultatet att det finns n˚ agon skillnad mellan de olika entre- pren¨ orerna vad avser f¨ ordelningen av de olika typerna av fel? Ange tydligt hypoteser, testvariabel och resultat. Du ska ocks˚ a tolka resultatet i ord samt ange signifikansniv˚ a f¨ or eventuella slutsatser. (5p)

L¨ osningsskisser 1.

a) L˚ at X vara antalet r¨ att, X ∈ Bin(15, 0.2). Vi s¨ oker P (X ≤ 3) = P (X = 0) + P (X = 1)) + P (X = 2) + P (X = 3) = 3.53% + 13.19% + 23.09% + 25.01% = 64.81%.

b) L˚ at X vara antal br¨ ador av h¨ ogsta kvalitet. n = 150, p = 0.35. X ∈

Bin(150, 0.35) ¨ ar d˚ a approximativt normalf¨ ordelad enligt N (np, pnp(1 − p)) = N (52.5, 5.84). Vi s¨ oker P (X ≥ 60). Vilket efter standardisering och ta-

2

bell ger

P (Z ≥ 60 − 52.75

5.84 ) = P (Z ≥ 1.284) = 1 − 0.90 = 10%,

d¨ ar Z ∈ N (0, 1). Med halvkorrigering kan vi f˚ a ett mer exakt v¨ arde, P (X > 59.5) = 11.54%. (Exakt sannolikhet fr˚ an binomialf¨ ordelningen utan normalapproximation ¨ ar 11.60 %)

2.

Vi inf¨ or f¨ oljande beteckningar:

U = h¨ andelsen att det ¨ ar utomhusf¨ arg i f¨ argburken, P (U ) = 0.6 I = h¨ andelsen att det ¨ ar inomhusf¨ arg i f¨ argburken,P (I) = 0.4

F= h¨ andelsen att f¨ argen i f¨ argburken ¨ ar felaktigt sammansatt, P (F |U ) = 0.02, P (F |I) = 0.1

P (I|F ) = P (IochF )

P (F ) = P (F |I) ∗ P (I)

P (F |I) ∗ P (I) + P (F |U ) ∗ P (U ) = 0.01 ∗ 0.4

0.01 ∗ 0.4 + 0.02 ∗ 0.6 = 25%

3

L˚ at ˆ p vara andelen i ett stickprov av storleken n som anv¨ ander tv¨ attmedlet.

ˆ

p ¨ ar approximativt normalf¨ ordelat N (p, p(p(1 − p)/n. Vi testar hypotesen H

: p = p

= 0.15, mot H

: p > p

.

Givet att H

¨ ar sann ¨ ar Z = p − p ˆ

p(p

(1 − p

)/n approximativt normalf¨ ordeladN (0, 1) Vi observerar ˆ p = 297/1759 = 0.1697, n = 1750. vilket ger ett z-v¨ arde

z = 0.1697 − 0.15

p(0.15(1 − 0.15)/1750 = 2.3096.

P-v¨ ardet ¨ ar P (Z > z) ≈ 1% < 5%. Vi kan p˚ a 5 % signifikansniv˚ a f¨ orkasta H

och p˚ ast˚ a att reklamkampanjen har haft effekt och ¨ okat andelen som anv¨ ander tv¨ attmedlet.

4

Vi har tv˚ a stickprov. Stickprovstorlekarna n

= 150, n

= 100 ¨ ar s˚ a stora att vi kan anv¨ anda centrala gr¨ ansv¨ ardessatsen och s¨ aga att de tv˚ a stick- provsmedelv¨ arderna ¨ ar approximativt normalf¨ ordelade. Standardavvikelsen

¨

ar ok¨ and och har skattas fr˚ an stickproven med s

= 1.2m, s

= 1.4m.

T-kvoten

t = x ¯

− ¯ x

ps

/n

+ s

/n

3

¨ ar d˚ a t-f¨ ordelad med k frihetsgrader. Vi kan h¨ ar approximera k med min(n

− 1, n

− 1) = 99. Konfidensintervallet ges av

¯

x

− ¯ x

± t

q

s

/n

+ s

/n

,

d¨ ar t

svarande mot 99 frihetsgrader och konfidensgrad 95% ges av t

≈ 1.984. Detta ger KI = [−0.139, 0.539].

( Df skattad enligt sid 441, ger 189 frihetsgrader och KI ≈ [−0, 137; 0, 537]

enligt minitab).

5

Vi st¨ aller noll-hypotesen

H

: Det ¨ ar ingen skillnad mellan de tv˚ a entrepren¨ orerna vad avser f¨ ordelningen av olika fel p˚ a byggda hus.

mot

H

: Det finns en skillnad mellan de tv˚ a entrepren¨ orerna vad avser f¨ ordelningen av olika fel p˚ a byggda hus.

Vi bildar en tabell med f¨ orv¨ antade antal givet att H

¨ ar sann.

Entrepren¨ or A Entrepren¨ or B Fel p˚ a husgrunden 98.17 99.83 Fel p˚ a ytskiktet 88.25 89.75 Fel p˚ a f¨ onster 45.61 46.39

Annat fel 61.97 63.03

X

-v¨ ardet blir 12.42 vilket ¨ ar en observation fr˚ an χ

-f¨ ordelningen med 3 frihetsgrader. Tabell ger P-v¨ arde < 1% ( minitab ger p-v¨ arde ≈ 0.6%). Vi kan p˚ a 1 % signifikansniv˚ a p˚ ast˚ a att datat ger st¨ od f¨ or att p˚ ast˚ a att det finns en skillnad mellan enrepren¨ orerna vad avse f¨ ordelningen av olika fel p˚ a byggda hus.

4