Tentamen i Differentialkalkyl Kurskod M0029M M0036M MAM281 MAM221 Tentamensdatum 2007-12-18
Totala antalet uppgifter: 6 Skrivtid 09.00 – 14.00
Kursansvarig: Ove Edlund
Jourhavande l¨ arare: Ove Edlund Tel: 070-2828661
Resultatet meddelas: p˚ a studentportalen. F¨ or att se n¨ ar den r¨ attade skrivningen kan h¨ amtas ut, g˚ a till www.ltu.se/atorget.
Till˚ atna hj¨ alpmedel: Inga
Till alla uppgifterna ska fullst¨ andiga l¨ osningar l¨ amnas. Resonemang, inf¨ orda beteckningar och utr¨ akningar f˚ ar inte vara s˚ a knapph¨ andigt presenterade att de blir sv˚ ara att f¨ olja. ¨ Aven endast delvis l¨ osta problem kan ge po¨ ang.
Enbart svar ger 0 po¨ ang.
Institutionen f¨ or matematik
1 (3)
1. (a) Vad ¨ ar koefficienten svarande till x
6i binomialutvecklingen av
x + 2
x
10(3 p) (b) Best¨ am alla l¨ osningar till
x
2+ y
2= 2
x y = 1 (2 p)
(a) What is the coefficient for x
6in the bino- mial expansion of
x + 2
x
10(3 p) (b) Find all solutions to
x
2+ y
2= 2
x y = 1 (2 p)
2. Visa att formeln f¨ or geometrisk summa g¨ aller f¨ or alla naturliga tal n, d˚ a a 6= 1 och a 6= 0:
n
X
k=0
a
k= a
n+1− 1 a − 1 .
Du f˚ ar v¨ alja om du vill visa formeln med induktion eller h¨ arleda den. (5 p)
Show the formula for the geometric sum for all natural numbers n, when a 6= 1 and a 6= 0:
n
X
k=0
a
k= a
n+1− 1 a − 1 .
You may choose if you want to show it with mathematical induction, or by deriving it.
(5 p)
3 Best¨ am f¨ oljande gr¨ ansv¨ arden (a) lim
x→∞
(x + 1)(x − 1) − ln x
2 x
2+ 100 x (2 p) (b) lim
x→0
tan 3 x
x (1 p)
(c) Anv¨ and derivatans definition f¨ or att h¨ arleda d
dx
√ x = 1 2 √
x (2 p)
Find the following limits (a) lim
x→∞
(x + 1)(x − 1) − ln x
2 x
2+ 100 x (2 p) (b) lim
x→0
tan 3 x
x (1 p)
(c) Use the definition of the derivative to show d
dx
√ x = 1 2 √
x (2 p)
4 En f¨ onsterruta har formen av en halvcirkel ovanp˚ a en rektangel. Givet att f¨ onsterrutans area ska vara 2 m
2, vilka dimensioner p˚ a f¨ onsterrutan minimerar omkretsen? (5 p)
A window has the shape of a semicircle on top of a rectangle. Given that the area of the win- dow should be 2 m
2, what dimensions of the window minimizes the circumference? (5 p)
2 (3)
5 (a) Best¨ am Taylorpolynomet av grad 4 som approximerar
f (x) = e
−x2runt x = 0. (4 p)
(b) Felets storlek f¨ or polynomet ovan ges av Lagranges restterm
E(x) = f
(5)(s) 5! x
5.
Vilket fel beskriver resttermen, och vad kan s¨ agas om v¨ ardet p˚ a s? (Beskriv ba- ra detta utan att g¨ ora n˚ agra r¨ akningar.) (1 p)
(a) Find the Taylor polynomial of degree 4 that approximates
f (x) = e
−x2round x = 0. (4 p)
(b) The size of the error for the polynomial above is given by Lagrange remainder
E(x) = f
(5)(s) 5! x
5.
What error does the remainder describe, and what can be said about the value of s? (Describe this without doing any cal-
culations.) (1 p)
6 L¨ os en och endast en av de tre f¨ oljande uppgifterna
Solve one and only one of the following assignments
6.1 Visa att
arcsin x = arctan
x
√ 1 − x
2(5 p)
Show that
arcsin x = arctan
x
√ 1 − x
2(5 p)
6.2 Visa kvotregeln f¨ or derivator, dvs om f och g ¨ ar deriverbara i x och g(x) 6= 0 s˚ a ¨ ar f /g deriverbar i x, och
d dx
f (x) g(x)
= f
0(x)g(x) − f (x)g
0(x) g(x)
2Show the quotient rule for derivatives, i.e. if f and g are differentiable at x and g(x) 6= 0, then f /g is differentiable at x, and
d dx
f (x) g(x)
= f
0(x)g(x) − f (x)g
0(x) g(x)
2(5 p) (5 p)
6.3 Visa att
cos(s − t) = cos s cos t + sin s sin t (5 p)
Show that
cos(s − t) = cos s cos t + sin s sin t (5 p)
3 (3)
Svar till tentamen: M0029M – 2007-12-18
1. (a) 180 (b) x = 1
y = 1 eller x = −1 y = −1
2. Basfall d˚ a n = 0: V.L. = a
0= 1, H.L = a
1− 1 a − 1 = 1 Induktionsantagande: Utsagan sann d˚ a n = p:
p
X
k=0
a
k= a
p+1− 1 a − 1 . Induktionssteg: Visa utsagan d˚ a n = p + 1:
V.L. =
p+1
X
k=0
a
k=
p
X
k=0
a
k+ a
p+1= a
p+1− 1
a − 1 + a
p+1= a
p+1− 1
a − 1 + a
p+1(a − 1) a − 1
= a
p+1− 1 + a
p+2− a
p+1a − 1 = a
p+2− 1
a − 1 = H.L.
D¨ arav f¨ oljer enligt induktionsaxiomet att utsagan ¨ ar sann f¨ or alla tal n = 0, 1, 2, 3, . . ..
3. (a) 1
2 (b) 3 (c) d
dx
√ x = lim
h→0
√ x + h − √ x
h = lim
h→0
( √
x + h − √ x)( √
x + h + √ x) h( √
x + h + √ x)
= lim
h→0
h h( √
x + h + √
x) = 1
√ x + √
x = 1 2 √
x
4.
x
y
