Tentamen i Differentialkalkyl Kurskod M0029M M0036M MAM281 MAM221 Tentamensdatum 2008-08-20
Totala antalet uppgifter: 6 Skrivtid 09.00 – 14.00
L¨ arare: Ove Edlund
Jourhavande l¨ arare: Ove Edlund Tel: 070-2828661
Resultatet meddelas: p˚ a studentportalen. F¨ or att se n¨ ar den r¨ attade skrivningen kan h¨ amtas ut, g˚ a till www.ltu.se/atorget.
Till˚ atna hj¨ alpmedel: Inga
Till alla uppgifterna ska fullst¨ andiga l¨ osningar l¨ amnas. Resonemang, inf¨ orda beteckningar och utr¨ akningar f˚ ar inte vara s˚ a knapph¨ andigt presenterade att de blir sv˚ ara att f¨ olja. ¨ Aven endast delvis l¨ osta problem kan ge po¨ ang.
Enbart svar ger 0 po¨ ang.
Institutionen f¨ or matematik
1 (3)
1. (a) Vad ¨ ar koefficienten svarande till x 2 i binomialutvecklingen av
x 2 + 2
x
7
(3 p) (b) Best¨ am alla l¨ osningar till
x 2 + 4 y 2 = 1
2 x 2 − y 2 = 1 (2 p)
(a) What is the coefficient for x 2 in the bino- mial expansion of
x 2 + 2
x
7
(3 p) (b) Find all solutions to
x 2 + 4 y 2 = 1
2 x 2 − y 2 = 1 (2 p)
2. Anv¨ and induktion f¨ or att visa att
n
X
k=1
(k + 2)(k − 1) = n(n − 1)(n + 4) 3
Use induction to show that
n
X
k=1
(k + 2)(k − 1) = n(n − 1)(n + 4) 3
(5 p) (5 p)
3 Best¨ am f¨ oljande gr¨ ansv¨ arden (a) lim
x→∞ (x 2 + 3 x) ln x (1 p) (b) lim
x→0 (x 2 + 3 x) ln x (1 p) (c) lim
x→1
sin x
x (1 p)
(d) lim
x→1
√ x + 1 − √ x 2 + 1
x − 1 (2 p)
Find the following limits (a) lim
x→∞ (x 2 + 3 x) ln x (1 p) (b) lim
x→0 (x 2 + 3 x) ln x (1 p) (c) lim
x→1
sin x
x (1 p)
(d) lim
x→1
√ x + 1 − √ x 2 + 1
x − 1 (2 p)
4 Givet kurvan y = f (x) som ges av funktionen f (x) = x
1 + x 2
best¨ am asymptoterna, var funktionen ¨ ar v¨ axande och avtagande, alla lokala maxima och minima, var den ¨ ar konvex och konkav, inflexionspunkterna, samt skissa kurvan.(5 p)
Consider the curve y = f (x) given by the function
f (x) = x 1 + x 2
Find the asymptotes, where the function is increasing and decreasing, all local maxima and minima, where it is concave up and con- cave down, points of inflection, and sketch the
curve. (5 p)
2 (3)
5 B˚ at A styr rakt v¨ asterut med hastighet 20 km/h, och b˚ at B styr rakt s¨ oderut med has- tighet 16 km/h. Klockan 15.00 ¨ ar A bel¨ agen 8 km rakt norr om B. Med vilken hastighet avl¨ agsnar sig b˚ atarna fr˚ an varandra klockan 15.15?
Boat A cruises straight westwards with speed 20 km/h, and boat B cruises straight south- wards with speed 16 km/h. At time 15.00, A is 8 km straight north of B. At what speed do the two boats move away from each other at time 15.15?
6 L¨ os en och endast en av de tre f¨ oljande uppgifterna
Solve one and only one of the following assignments
6.1 Funktionen f ¨ ar deriverbar i punkten x. Visa att f ¨ ar kontinuerlig i x. (5 p)
The function f is differentiable in x. Show that f is continuous in x. (5 p)
6.2 Visa produktregeln f¨ or derivator, dvs d
dx f (x)g(x) = f 0 (x)g(x) + f (x)g 0 (x)
Show the product rule for derivatives, i.e.
d
dx f (x)g(x) = f 0 (x)g(x) + f (x)g 0 (x)
(5 p) (5 p)
6.3 Visa att
cos(s − t) = cos s cos t + sin s sin t (5 p)
Show that
cos(s − t) = cos s cos t + sin s sin t (5 p)
3 (3)
Svar till tentamen: M0029M – 2008-08-20
1. (a) 560 (b) x = √
5/3
y = 1/3 , x = − √ 5/3
y = 1/3 , x = √ 5/3
y = −1/3 eller x = − √ 5/3 y = −1/3
2. Basfall d˚ a n = 1: V.L. = 3 · 0 = 0, H.L = 1 · 0 · 5 3 = 0 Induktionsantagande: Utsagan sann d˚ a n = p:
p
X
k=1
(k + 2)(k − 1) = p(p − 1)(p + 4)
3 .
Induktionssteg: Visa utsagan d˚ a n = p + 1:
V.L. =
p+1
X
k=1
(k + 2)(k − 1) =
p
X
k=1
(k + 2)(k − 1) + (p + 3)p = p(p − 1)(p + 4)
3 + (p + 3)p
= p(p − 1)(p + 4) + 3(p + 3)p
3 = p (p − 1)(p + 4) + 3(p + 3) 3
= p(p 2 + 6 p + 5)
3 = p(p + 1)(p + 5)
3 = (p + 1)p(p + 5)
3 = H.L.
D¨ arav f¨ oljer enligt induktionsaxiomet att utsagan ¨ ar sann f¨ or alla tal n = 1, 2, 3, 4, . . ..
3. (a) ∞ (b) 0 (c) sin 1 (d) − 1 2 √ 2 4. V˚ agr¨ at asymptot i y = 0.
V¨ axande i intervallet [−1, 1] Avtagande i intervallen (−∞, −1] och [1, ∞) Minimum : (−1, −1/2) Maximum: (1, 1/2)
Konvex i intervallen (− √
2, 0) och ( √ 2, ∞) Konkav i intervallen (−∞, − √
2) och (0, √ 2) Inflexionspunkter: (− √
2, − √
2/3), (0, 0) och ( √ 2, √
2/3)
-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6
-6 -4 -2 0 2 4 6
